劉俊峰-2018線性代數(shù)考前沖刺(學生用)

1、無 20182018 線性代數(shù)考前沖刺線性代數(shù)考前沖刺 復習要點： 一、行列式的計算 1、數(shù)字型行列式（根據性質） 2、抽象型行列式 爪型行列式（例 1、例 2） 對于低階(4 階(含）以下）行列式，標準爪形利用對角線元素把第一行（列）化為只有一個非零元素，非標準的爪形按照非零行（列)展開; 高階的利用遞推法或數(shù)學歸納法。 三條對角線型（例 3） 對于三對角線行列式，通過行列式性質可以利用對角線元素把對角線下方的元素劃為0，把行列式化成上三角行列式；或者利用遞推和數(shù)學歸納法來證明。 每行（列）元素和相等的行列式 對于行（列）和相等的行列式，把所有行（列）加到第 1 行（列） ，提取公因子，然后

2、通過第 1 列（行）把行列式變成下（上）三角行列式進行計算。 范德蒙型行列式 通過行列式性質進行變形，把行列式變成范德蒙行列式進行計算。 拉普拉斯型行列式（例 4） 此行列式適合比較多的類型，通過行列互換，把原行列式化成拉普拉斯型行列式。 3、矩陣行列式（例 7） 結合矩陣的運算，以及初等變換，來求行列式 4、已知特征值的矩陣行列式（例 6） 1niiA，相似矩陣行列式相等 若A 與B相似，則AB，故可將 A 的行列式的計算轉化為與其相似矩陣的行列式進行計算.一般地，)()(BfAf，其中)(Af為矩陣A的多項式。 5、拉普拉斯矩陣的行列式 0000AACAA BBBCB 其中,A B分別是兩

3、個方陣 ( 1)m mm mmnn nn nOAOAA BBOBC 二、矩陣 1、矩陣的加法、數(shù)乘、乘法運算法則，方陣行列式的計算 注：注：對于n階矩陣 A，nkAkA 無 乘法不滿足交換律 2、特殊向量的乘法 1122,nnababab， 11 11 2122 12221212nnTnnnnnnaa ba ba baa ba ba bbbbaa ba ba b ()1TR 1 122()TTTnna ba ba btr 若T ，T的一個非零特征值為； （因()()TT ） 特別的：T的唯一一個非零特征值T ，又因為T是對稱矩陣，因此T相似對角矩陣，且()( )1TRR ，故T的特征值為T 和

4、0(1n 重） ； 單位矩陣E的特征值為 1 （n重） ， 因此若為單位向量， 則TE 的特征值為 0， 1 （1n 重） ；TE 的特征值為 2，1（1n 重） ，()TR En 3、轉置、可逆、伴隨矩陣的性質 (), (), (), ()TTTTTTTTTTAAABB AkAkAABAB 11111111(), (), (),AAABB AkAAk 11)()(TTAA EAAAAA*，AAAA1)()(*11*，*()()TTAA，*()ABB A 4、矩陣的初等變換 經過有限步初等變換得到的矩陣是等價的。( )( )R AR BAB 熟悉行階梯形矩陣、行最簡形矩陣的特點，主要用于解方程

5、組、求極大無關組、求秩 5、矩陣的秩 ( )R Ar存在r階子式不等于 0，對于所有的（若存在）1r 階子式等于 0； ( )R Ar存在r階子式不等于 0； ( )R Ar對于所有的r階子式等于 0； ( )R AA列秩A的行秩 6、矩陣秩的性質 0()min , m nR Am n ()( )TR AR A，()( )TR A AR A（方程組同解） 為n維非零列向量，()1TR 若AB，則( )( )R AR B 無 若,P Q為可逆矩陣，則()()( )R PAR PAQR A max ( ),( )( ,)( )( )R A R BR A BR AR B ()( )( )R ABR

6、AR B ()min ( ),( )R ABR A R B 若m nn lABO，則( )( )R AR Bn A為n階方陣，*A為A的伴隨矩陣，則*( )()1( )10( )1nR AnR AR AnR An 7、初等矩陣 初等矩陣是單位矩陣經過一次初等變換得到的矩陣； 初等矩陣是可逆的，其逆矩陣仍然是初等矩陣； 可逆矩陣可以表示成有限個初等矩陣的乘積； 矩陣左乘初等矩陣，相當于對矩陣實施一次相應的初等行變換，右乘初等矩陣，相當于對矩陣實施一次相應的列變換； 利用初等變換求逆矩陣； 三、線性方程組 1、齊次線性方程組0m nAx解的判定：( )只有零解有非零解rnR Arrn 2、齊次線性

7、方程組解的性質：12, 是0m nAx的解，則1 122kk也是0m nAx的解； 會求基礎解系； 若( )R Ar，則基礎解系解向量的個數(shù)為nr 3、非齊次線性方程組m nAxb的解的判定： (| )( )=(| )( )無窮多解有解唯一解無解rnR A bR ArrnR A bR A 4、非齊次線性方程組解的性質及結構 若123, 是m nAxb的解，則當1230kkk時，1 12233kkk是0m nAx的解，當1231kkk時，1 12233kkk是m nAxb的解 非齊次方程m nAxb的通解是對應齊次方程的通解加上非齊次方程的特解構成。 5、矩陣方程AXOX的列向量就是0Ax 的基

8、礎解系 矩陣方程1212( ,)( ,)ssAXBAb bb ，即(1,2,)iiAb is 6、公共解問題 求兩個方程組的公共解，也就是要找到一個解既是方程組（1）的解，也是方程組（2）的解，因此對于這類題目就是聯(lián)立兩個方程組，組成一個新的方程組求通解 無 四、向量 1、線性表示 向量b可以由向量組12,r 線性表示1122rrbkkkAxb有解( )(| )R AR A b 向量組12:,sB 可以由向量組12:,rA 線性表示，即向量組B中每個向量都可以由向量組A線性表示( )(|)( )( )R AR A BR AR B 向量組等價：向量組A與向量組B可以相互線性表示( )( )(|)

9、R AR BR A B 若ABC，則C的列向量可以由A的列向量線性表示；C的行向量可以由B的行向量線性表示 2、線性相（無）關 對于向量組12:,rA ，若存在一組不全為 0 的數(shù)12,rk kk，使得11220rrkkk成立，則線性相關，否則線性無關 線性相關0Ax有非零解( )R Ar 線性無關0Ax只有零解( )R Ar 若向量組12:,rA 線性無關，向量組12,r 線性相關，則向量可以由向量組12:,rA 線性表示，且表示唯一 3、極大無關組 極大無關組的定義，求法 向量組的秩的定義 4、向量空間 向量空間、基、維數(shù)的定義 基變換和坐標變換 標準正交基（施密特正交化） 正交矩陣1TT

10、AAEAAA的行（列）向量是單位正交的向量組 五、特征值與特征向量 1、定義：(0)A ，是特征值，是特征值對應的特征向量 2、求法：0AE，解出n個（含重根）特征值12,n 解 ()0iAE x得i的基礎解系 注：若i是k重根，則()iR AEnk，即特征向量的個數(shù)小于等于k個； 若()iR AEnk，矩陣A可以相似對角化，否則不能。 3、相似的定義：1P APB，則A相似于B 相似對角化充要條件A存在n個線性無關的特征向量。 對任意對稱矩陣存在正交矩陣P，使得1P AP 相似矩陣的特征值、行列式、秩、對角線元素和均相等，反之不成立。 無 兩個對稱矩陣如果特征值相等，則必相似。 4、特征值的

11、性質 不同特征值對應的特征向量線性無關；特殊地，對稱矩陣不同特征值對應的特征向量正交 對于n階矩陣A，1niiA，11nniiiiia；特殊地，若矩陣A可逆，則矩陣A的所有特征值不為 0 若是矩陣A的特征值對應的特征向量，則 mmAAAkk 111111()(1)mmmmmmmmk AkAk AEkkk 若1110mmmmk AkAk AE，則11110mmmmkkk 若矩陣A可逆，則1*1AAAA 對稱矩陣A非零特征值的個數(shù)等于( )R A，T的唯一的非零特征值為T 5、對稱矩陣的相似對角化步驟 求出A的特征值、特征向量：1212,;,nn 對于任意一個k重特征值i，其特征向量為1,iik先

12、正交化1,iik，得1,iik；再把所有特征向量單位化，得12,n 存在正交矩陣12(,)nP ，使得TAP P，其中12n 六、二次型 1、二次型矩陣 對稱矩陣 2、把二次型利用正交變換化為標準型也就是對稱矩陣相似對角化的過程 3、正慣性指數(shù) 二次型對任意可逆變換，其正慣性指數(shù)的個數(shù)不變，即大于 0 的特征值的個數(shù)不變。 4、正定矩陣的判定：順序主子式大于 0；特征值大于 0 5、矩陣的等價、相似、合同 兩個n階矩陣,A B存在常見的幾個關系：等價、相似和合同 （1）A與B等價A經過一系列初等變換得到BAPBQ，其中,P Q都是可逆矩陣( )( )R AR B （2）,A B相似存在可逆矩陣

13、P，使得1P APB 無 （3）,A B合同若存在可逆矩陣C，使得TC ACB二次型Tx Ax與Tx Bx有相同的正、負慣性指數(shù) 對于對稱矩陣而言，相似必合同，合同必等價； 對于一般矩陣，相似必等價，合同必等價，相似與合同沒有必然聯(lián)系 沖刺題型： 例例 1 1000100014321 答案：432234 例例 2 證明nnnnnnnnaxaxaxaxaaaaxxxxD11112211000000000100001 無 例例 3 設aaaaaaaaaA2121212122222是n階矩陣，證明nanA) 1( 注：兩類數(shù)學歸納法介紹 （一） （1）驗證1n時，命題成立； （2）假設1 kn時，命

14、題成立； （3）利用（2） ，證明當kn 時，命題成立。 （二） （1）驗證2, 1nn時，命題成立； （2）假設kn 時，命題成立； （3）利用（2） ，證明當kn 時，命題成立。 例例 4 dcdcbaba00000000 無 答案：2()bcad 例例 5 設BA,均為n階矩陣，且, 2, 3BA*,BA分別是A和B的伴隨矩陣，則1*1BABA= 答案：( 1)6n 例例 6 已知矩陣A和B相似，其中003020100B，則 EA 答案：6 例例 7 設, 都是n維非零列向量， 矩陣2TAE， 若223AAEO， 則T 答案：2 例例 8 三階矩陣A可逆， 把矩陣A的第 2 行與第 3

15、行互換得矩陣B， 把矩陣B的第 1 列的2倍加到第 3 列得到單位矩陣E，則*A 答案：*120001010A 例例 9 設A為m n矩陣，且nmAR)(, 則下列命題錯誤的是 （ ） （A）方程組0 xAT只有零解 （B）方程組0AxAT必有無窮多解 （C）對任意的m維列向量b，m nAxb必有無窮多解 （D）對任意的n維列向量b，TA xb總有唯一解 答案：選D 例例 10 設A是nm矩陣，B是mn矩陣，則0ABx （A）mn 時僅有零解 （B）mn 時必有非零解 （C）nm 時僅有零解 （D）nm 時必有非零解 答案：選D 無 例例 11 設A是n階矩陣，是n維列向量，若秩)(0ARAR

16、T，則線性方程組 （A）Ax必有無窮多解 （B）Ax必有唯一解 （C）00TAxy僅有零解 （D）00TAxy必有非零解 答案：選D 例例 12 設123, 是0Ax的一組基礎解系，考查下列向量組 1213, ； 123213,； 12313,； 13123, 上述向量組中，仍是0Ax的基礎解系的是 ( )A ( )B ( )C ()D 答案：選C 例例13 已 知123, 是 非 齊 次 線 性 方 程 組Axb的 三 個 解 ，( )3R A ， 若12231,2,3,4,22,3,4,5TT，則方程組Axb的通解 （A）11021324k （B）1223104315k （C）110111

17、21k （D）10210213k 答案：選B 例例 14 已知齊次方程組（）040203221321321xaxxaxxxxxx；方程（）12321axxx有公共解，求a的值及所有的公共解 無 答案：1a時，公共解為Tk101；2a時，公共解為T110 例例 1 15 5 設四元線性齊次方程組()為 122400 xxxx , 又已知某線性齊次方程組()的通解為120,1,1,01,2,2,1TTkk (1)求線性方程組()的基礎解系. (2)問線性方程組()和()是否有非零公共解?若有,則求出所有的非零公共解.若沒有,則說明理由. 答案： （1）方程組()的基礎解系為120,0,1,0,1,

18、1,0,1TT (2)所有公共解為1,1,1,1Tc 例例 16 設矩陣2332205926Aaaa，122211364Baaa，當a為何值時，方程AXBBX無解；當a為何值時，方程AXBBX有解，并求全部解 無 答案：1a 時，方程無解；當1a 時，方程有唯一解，解為13311113221111111aaaaaaaaaaaa 例例17 求一個齊次線 性方程組 ，使它 的基礎 解系為TT0123,321021 答案：12312420230 xxxxxx 例例 18 已知A是 3 階實對稱矩陣，0A ，若112111212141A，求0Ax 的通解 答案：0Ax 的通解110k 無 例例 19

19、設12301214Aaa且( )2R A ，求齊次方程組*0A x 的通解 答案：*0A x 的通解為12150314kk 例例 20 設1(1,0,1)T，2(0,1,1)T，3(1,3,5)T不能由1(1,1,1)T，2(1,2,3)T，3(3,4, )Ta線性表出。 （1）求a （2）將123, 由123, 線性表出 例例 21 設A是mn矩陣，12,t 是齊次方程組0Ax 的基礎解系，是非齊次線性方程組Axb的解. （1）證明：12,t 線性無關 （2）證明方程組Axb的任一解均可由12,t 線性表示 無 例例 22 已知100010001A，則下列矩陣中與A相似共有（ ）個 1001

20、00100010 , 012, 210001001001 答案：2 例例 2323 設A為 4 階實對稱矩陣,且2AAO,若A的秩為 3,則A相似于 ( ) (A) 1110. (B) 1110. (C) 1110. (D) 1110. 答案：選D 例例 24 設A是n階矩陣，先交換A的第i行和第j行，再交換A的第i列和第j列得到B，則下列關系中正確的有 個。 AB ( )( )R AR B A等價于B A相似于B A合同B 答案：5 無 例例 2525 設矩陣02313312Aa 相似于矩陣12000031Bb （1）求, a b的值； （2）求可逆矩陣P，使1P AP為對角矩陣 答案： （

21、1）4,5ab （2）231101011P， （P不唯一）則1100010 .005P AP 例例 26 26 已知矩陣011230000A （1）求99A； （2）設 3 階矩陣123,B 滿足2BBA.記100123,B ，將123, 分別表示為123, 的線性組合. 無 答案：9999989910010099221222221222000A 99100112( 22 )( 22) ，99100212(1 2 )(1 2)， 9899312(22 )(22 )。 例例 27 設A是 3 階方陣，9,18,18Tb 方程組Axb通解為： 122,1,02,0,11,2,2TTTkk，其中12,k k為任意常數(shù)，求A和100A 答案：91818183636183636A，1001001229244144A 例例 2828 若二次曲面的方程為22232224xyzaxyxzyz，經正交變換化為221144yz，則_a 答案：答案：1a 例例 2