利用基本圖形解決圓的幾個(gè)問題

1、利用基本圖形解決圓的幾個(gè)問題松岙鎮(zhèn)初中 孫林岳 內(nèi)容提要：初中數(shù)學(xué)的知初識(shí)內(nèi)容中，圓的基本性質(zhì)、圓與直線的位置關(guān)系，圓與圓的位置關(guān)系及其這幾個(gè)方面知識(shí)結(jié)合三角函數(shù)、相似三角形、函數(shù)等知識(shí)應(yīng)用是重點(diǎn)也是難點(diǎn)。下面就對(duì)本人在教學(xué)實(shí)踐中所得到的經(jīng)驗(yàn)給予總結(jié)。初中圓知識(shí)的復(fù)習(xí)基本可以分為四塊：1、基本知識(shí)、基本圖形的熟練掌握和應(yīng)用。2、答案不唯一性的討論。3、變化中尋找不變的量或關(guān)系。4、圓在綜合題中的應(yīng)用。以上這四塊知識(shí)應(yīng)該分塊系統(tǒng)地進(jìn)行復(fù)習(xí)，并且在復(fù)習(xí)中注意題目的演變和應(yīng)用。再配合相應(yīng)的練習(xí)，效果應(yīng)該會(huì)更加的好。關(guān)鍵詞：圓 基本圖形 不唯一性 變化正文 初中數(shù)學(xué)的知識(shí)內(nèi)容中，圓的基本性質(zhì)、圓與直線

2、的位置關(guān)系，圓與圓的位置關(guān)系及其這幾個(gè)方面知識(shí)結(jié)合三角函數(shù)、相似三角形、函數(shù)等知識(shí)應(yīng)用是重點(diǎn)也是難點(diǎn)。特別是九年級(jí)的數(shù)學(xué)教師，考慮最多的肯定是如何系統(tǒng)有效地復(fù)習(xí)這部分知識(shí)。下面就對(duì)本人在教學(xué)實(shí)踐中所得到的經(jīng)驗(yàn)給予總結(jié)。初中圓知識(shí)的復(fù)習(xí)基本可以分為四塊：1、基本知識(shí)、基本圖形的熟練掌握和應(yīng)用。2、答案不唯一性的討論。3、變化中尋找不變的量或關(guān)系。4、圓在綜合題中的應(yīng)用。 一、基本知識(shí)、基本圖形的熟練掌握和應(yīng)用。 圓的基本知識(shí)主要可以分為：關(guān)于圓的定理，圓與點(diǎn)、線、其他圓位置關(guān)系兩大塊。 關(guān)于圓的基本定理可以從圓的兩個(gè)主要性質(zhì)中得到。1、圓的軸對(duì)稱性對(duì)稱軸為直徑所在的直線。根據(jù)這個(gè)性質(zhì)可以方便的得

3、到垂徑定理。2、圓的旋轉(zhuǎn)不變性圓以圓心為旋轉(zhuǎn)中心旋轉(zhuǎn)任意角度能和原來的圓重合。由這個(gè)性質(zhì)也可以容易的得到圓心角定理。再由圓心角定理推出圓周角定理。關(guān)于這幾個(gè)定理的敘述和證明同學(xué)們都應(yīng)該已經(jīng)熟練地掌握。 圓與點(diǎn)、線、其他圓位置關(guān)系。這三種位置關(guān)系的關(guān)鍵就是分別討論點(diǎn)與圓心之間的距離和半徑的比較、圓心與直線的距離和半徑的比較、圓心和圓心之間的圓心距和兩圓半徑關(guān)系的比較。結(jié)合在一起復(fù)習(xí)，就有對(duì)比性，學(xué)生容易掌握。（一）ABPO（二）ABPCO（四）ABDPC（五）CBPDA（六）EAOPF（三） 圓的基本圖形主要就是對(duì)上面幾個(gè)性質(zhì)常規(guī)的應(yīng)用，能夠在一些復(fù)雜的圖形中分析并找到經(jīng)常應(yīng)用的幾個(gè)常規(guī)圖形對(duì)于

4、學(xué)生解題思路的形成和解題的速度都有很大的幫助。關(guān)于圓的基本圖形有很多，下面幾個(gè)圖是我個(gè)人認(rèn)為比較重要的。 上組圖是單圓系列圖。圖（一）是典型的垂徑定理應(yīng)用的圖，都應(yīng)該非常熟練的掌握。后面五個(gè)圖是一個(gè)系列的問題，可以用一個(gè)系統(tǒng)的方法來記憶。圖（二），從圓外一點(diǎn)P做O的兩條切線PA、PB，易證PAOPBO，從而得到PA=PB。而當(dāng)PB這條線以P為旋轉(zhuǎn)中心向圓內(nèi)旋轉(zhuǎn)與圓有兩個(gè)交點(diǎn)時(shí)可變?yōu)閳D（三），圖（四）這兩個(gè)圖形，圖（三）中，因?yàn)镻AO=EAF=Rt，可證GHPEFOAPAF=OAE=OEA，所以PAFPEA，可得PAPA=PFPE。圖（四）也可以證明PACPBA，證明的過程可借助圖（三）這個(gè)特殊

5、情況，如圖所示，根據(jù)上面圖（三）的結(jié)論已知PAF=E，又因?yàn)镋=H，所以GAF=H，所以GAFGHA，所以GAGA=GFGH，即在圖（四）中有結(jié)論P(yáng)APA=PCPB。再當(dāng)圖（四）中的PA這條線也以P為旋轉(zhuǎn)中心往圓內(nèi)旋轉(zhuǎn)與圓有兩個(gè)交點(diǎn)時(shí)，就變成了圖（五）這個(gè)基本圖形，從圖中信息不難得到PBC=PDA，PAC=PDB，PCA=PBD，于是可證PBCPDA、PACPDB，根據(jù)任意一對(duì)三角形相似都可以得到PAPB=PCPD。圖（六）則是圓外點(diǎn)P跑到圓內(nèi)時(shí)引出的兩條弦，只要連接AC、BD，易的APCDPB，從而可得PAPB=PCPD。經(jīng)過上述這樣系統(tǒng)的講解后相信大多數(shù)學(xué)生對(duì)以上的幾個(gè)基本圖形中存在的量之

6、間的關(guān)系都能有所掌握。單圓系列圖還有下面這兩個(gè)比較重要的基本圖形，相對(duì)來說比較容易，不做詳細(xì)的介紹。COAPBBCAPOO1O2ABPABCDO1O2ABEFO1O2ABCDEFO1O2ABCDEFO2O1O2O1ABP（七）（九）（八）（十）（十一）（十三）（十二） 下組圖為雙圓系列圖：O2O1ABPCDABPO1O2DC 圖(七)是兩個(gè)圓結(jié)合在一起比較常用的一個(gè)圖形,這樣的輔助線添法也可以在兩圓外切,相交時(shí)使用.后面6個(gè)圖也是一組系列圖,可以系統(tǒng)的給學(xué)生講授.圖(八)是兩個(gè)圓外切時(shí)候,過切點(diǎn)P做一條直線分別交兩個(gè)圓于A,B.如圖連接圓心和兩條半徑后,容易得到AO1PBO2P,于是可知AP:

7、BP=R1:R2.同理可證圖(九)中當(dāng)兩圓內(nèi)切時(shí),APO1BPO2,同樣有AP:BP=R1:R2.這兩個(gè)圖延伸后可以變成下面兩個(gè)圖,根據(jù)上面的結(jié)論容易得到APCBPD,AC/BD.而當(dāng)兩圓相交時(shí),如圖(十),有公共弦AB,過B做任意直線交兩圓于C,D.再連接AC,AD.也有同樣的結(jié)論AC:AD=R1:R2.該結(jié)論的證明可以借助圖(十一)這個(gè)特殊情況.EF垂直AB于點(diǎn)B時(shí),容易得到AE,AF都為直徑,于是也有AE:AF=R1:R2.把圖(十)和圖(十一)結(jié)合在一起可得圖(十二),從圖中,根據(jù)圓周角定理可知EBC=EAC=DBF=DAF.再連接EC,DF后如圖(十三),因?yàn)锳E,AF都為直徑,所以

8、ACE=ADF=Rt,可以推出ACEADF,于是有AC:AD=AE:AF=R1:R2.通過以上的講解,大家不難發(fā)現(xiàn)當(dāng)兩個(gè)圓位置變化的過程中,有些量之間的關(guān)系始終都沒有發(fā)生變化,能夠從變化的過程中發(fā)現(xiàn)不變的量或關(guān)系,這也是學(xué)生需要掌握的一項(xiàng)重要能力. 以上兩組圖形的熟練掌握,并能在實(shí)際解題中善于發(fā)現(xiàn)這些基本圖形,對(duì)學(xué)生解題思路的形成和解題速度都有很大的幫助. 二、答案不唯一性的討論。 在初中圓的知識(shí)中,學(xué)生比較容易犯錯(cuò)的還有就是碰到有兩個(gè)或兩個(gè)以上答案時(shí),很多學(xué)生經(jīng)?？紤]的不夠全面,導(dǎo)致犯錯(cuò).下面我就對(duì)一些經(jīng)?？赡艹霈F(xiàn)多個(gè)答案的知識(shí)點(diǎn)進(jìn)行小結(jié).BCDAOP 在一個(gè)圓中,大家知道一段弧所對(duì)的弦只有

9、一條,但一條弦所對(duì)弧卻有兩段,并且這兩段弧組成這個(gè)圓.如圖,已知劣弧AB所對(duì)的圓心角AOB=120度,則這條弧所對(duì)的圓周角度數(shù)為60度,只有一個(gè)答案.若已知弦AB所對(duì)的圓心角AOB=120度,則弦AB所對(duì)的圓周角為60度或120度,有兩個(gè)答案.此題還可以這樣問,若已知弦AB=8,圓半徑R=5,求這條弦的中點(diǎn)到它所對(duì)弧中點(diǎn)的距離,則也應(yīng)該有兩個(gè)答案,2或8.已知小圓半徑為2,大圓半徑為5,此時(shí)的圓心距為9,當(dāng)小圓沿連心線向右移動(dòng)多少距離時(shí),兩圓相切?此類問題我們可以動(dòng)起來,如圖所示可知有四個(gè)答案,為2或6或12或16.AO2 O1BABO1O2PP 兩個(gè)圓相交的問題也比較容易考到.若已知相交兩圓

10、的公共弦AB=2,大圓半徑為5,小圓半徑為3,求此時(shí)兩圓的圓心距為多少?這個(gè)問題應(yīng)該讓學(xué)生明白,雖然是兩圓相交,公共弦確定,但相交情況也有兩種,如圖所示.這樣就很容易可以根據(jù)勾股定理計(jì)算出O1P,O2P的長(zhǎng)度,所以最后答案有兩個(gè),O1P+O2P或O1P-O2P.AABP3P4P1P2B 現(xiàn)在我們?cè)賮砜慈齻€(gè)作圖問題.第一題,如圖所示,圓中有一條弦AB,請(qǐng)?jiān)趫A上找到一個(gè)點(diǎn)P,使ABP為等腰三角形.此題需要注意的是AB可以為腰也可以為底,討論應(yīng)該詳細(xì).以AB為底時(shí),只要作出垂直AB的直徑,該直徑與圓的兩個(gè)交點(diǎn)既是所求的點(diǎn).可知ABP1和ABP2都是以AB為底的等腰三角形.若AB為腰,則需考慮A,B哪

11、個(gè)是頂點(diǎn).如A為頂點(diǎn),只要以A為圓心,AB為半徑做弧交圓于一點(diǎn),此點(diǎn)就是所求的點(diǎn).可知ABP3為等腰三角形.同理可得BAmAB已知線段AB=4,請(qǐng)?jiān)诩埳习匆笞鞒鰣A,有幾個(gè)做幾個(gè),沒有說明理由.(1)半徑為3的圓;(2)半徑為2的圓;(3)半徑為1.5的圓.首先我們知道,如果可以作出同時(shí)過點(diǎn)A,B的圓,則圓心肯定在AB的中垂線m上.(1)圓的半徑為3時(shí),可知此圓的直徑為6,比AB大,所以可以對(duì)稱的作出兩個(gè)圓,如圖.(2)當(dāng)圓的半徑為2時(shí),可知圓的直徑為4,正好等于AB,所以直接以AB為直徑作圓就可以.(3)若BAOABPO圓的半徑為1.5,則圓的直徑為3,小于弦AB,所以不可能作出同時(shí)過AB的

12、圓.3第三題,已知圓O的半徑為1,圓上有一點(diǎn)為P,過P做2弦AP= ,BP= ,求APB的度數(shù).很清楚的可以知道這兩條弦相對(duì)位置關(guān)系有兩種,如圖所示.經(jīng)計(jì)算可以知道APO=30度,BPO=45度,所以APB=75度或15度. 以上這幾種答案不唯一的情況相信學(xué)生都有所接觸.關(guān)鍵是要讓學(xué)生明白考慮問題應(yīng)該周到詳全. 三、變化中尋找不變的量或關(guān)系。ACBPMO 變化一般是指圖形中一個(gè)點(diǎn)或者一部分圖形按照一定的規(guī)律在移動(dòng).解這一類題的關(guān)鍵是能夠在變的過程中尋找發(fā)現(xiàn)一些不變的量或者關(guān)系,并應(yīng)用這些量或關(guān)系來解決問題.在第一部分的前后兩大組基本圖形中,大家也應(yīng)該已經(jīng)發(fā)現(xiàn)了這一個(gè)規(guī)律.下面我們?cè)賮砜匆粋€(gè)問題

13、. 如圖,已知點(diǎn)P是圓O中直徑BC延長(zhǎng)線上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn),過P做圓O的切線PA切圓O于點(diǎn)A,連接AB,作APB的角平分線PM交AB于點(diǎn)M.問在點(diǎn)P往BC的延長(zhǎng)線移動(dòng)的過程中,AMP是否發(fā)生變化,若變化說明理由,若不變,請(qǐng)計(jì)算AMP的值.分析:無(wú)論P(yáng)點(diǎn)在什么位置,PA永遠(yuǎn)與圓O相切,切點(diǎn)為A,所以可以連接AO,可知OAP=90度.因?yàn)锽O=PO=R,PM為APB的角平分線,所以O(shè)BA=OAB,APM=BPM.又因?yàn)锳OP=OBA+OAB=2OBA,AMP=OBA+MPB,AOP+APB=90度,所以AMP=45度.在P的移動(dòng)過程中,這個(gè)關(guān)系始終成立.所以AMP不會(huì)變,永遠(yuǎn)為45度. 諸如上題的題目也

14、比較多,同學(xué)們拿到題只要不要被變化所嚇倒,認(rèn)真分析思考,尋找到一些不變的量或關(guān)系,此類題就可以引刃而解. 四、圓在綜合題中的應(yīng)用 圓的知識(shí)在綜合題中的應(yīng)用,就是要利用圓的性質(zhì)規(guī)律,結(jié)合三角函數(shù),相似三角形,函數(shù)等知識(shí)來解決綜合性比較高的一些問題.下面可以看個(gè)例子. 如圖所示,有一正方形ABCD,和一直徑為BC的圓.BC=2cm,現(xiàn)在有兩點(diǎn)E,F分別從點(diǎn)B,點(diǎn)A同時(shí)出發(fā),點(diǎn)E沿線段BA以1cm/s的速度向點(diǎn)A運(yùn)動(dòng),點(diǎn)F沿折線A-D-C以2cm/s的速度向點(diǎn)C運(yùn)動(dòng).設(shè)點(diǎn)E離開點(diǎn)B的時(shí)間為t s.求(1) 當(dāng)t為何值時(shí),EF/BC?(2) 設(shè)t大于1小于2,當(dāng)t 為何值時(shí),EF與圓相切?DAFECB

15、(3) 當(dāng)t 大于等于1小于2時(shí),設(shè)EF與AC相交于點(diǎn)P,問點(diǎn)E,F運(yùn)動(dòng)時(shí),點(diǎn)P的位置是否發(fā)生變化?若變化說明理由?若不變,求AP:CP的值.分析:(1)EF/BC要成立,根據(jù)題目意思,點(diǎn)F肯定在DC段.畫出E1F1/BC如備用圖一所示.可知BE1=t,CF1=4-2t.因?yàn)樗倪呅蜤1BCF1為矩形,所以BE1=CF1.所以t =4-2t.解得t=4/3. (2)若E2F2切圓于點(diǎn)M,如備用圖二所示,則根據(jù)上面的基本圖形圖（二）可知NMDAF2E2CBP備用二F1DAE1CB備用一BE2=ME2=t ,CF2=MF2=4-2t.過F2作AB的垂線段交AB于點(diǎn)N,可知NF2=BC=2cm,NE2=BE2-CF2=3t-4.E2F2=E2M+F2M=4-t.根據(jù)勾股定理可以求得t的