利用開環(huán)頻率特性分析系統(tǒng)的性能

1、5.6 利用開環(huán)頻率特性分析系統(tǒng)的性能在頻域中對系統(tǒng)進行分析、設(shè)計時，通常是以頻域指標作為依據(jù)的，但是不如時域指標來得直接、準確。因此，須進一步探討頻域指標與時域指標之間的關(guān)系?？紤]到對數(shù)頻率特性在控制工程中應(yīng)用的廣泛性，本節(jié)將以Bode圖為基點，首先討論開環(huán)對數(shù)幅頻特性的形狀與性能指標的關(guān)系，然后根據(jù)頻域指標與時域指標的關(guān)系估算出系統(tǒng)的時域響應(yīng)性能。實際系統(tǒng)的開環(huán)對數(shù)幅頻特性一般都符合如圖5-49所示的特征：左端（頻率較低的部分）高；右端（頻率較高的部分）低。將人為地分為三個頻段：低頻段、中頻段和高頻段。低頻段主要指第一個轉(zhuǎn)折點以前的頻段；中頻段是指截止頻率附近的頻段；高頻段指頻率遠大于的頻

2、段。這三個頻段包含了閉環(huán)系統(tǒng)性能不同方面的信息，需要分別進行討論。圖5-49 對數(shù)頻率特性三頻段的劃分需要指出，開環(huán)對數(shù)頻率特性三頻段的劃分是相對的，各頻段之間沒有嚴格的界限。一般控制系統(tǒng)的頻段范圍在之間。這里所述的“高頻段”與無線電學科里的“超高頻”、“甚高頻”不是一個概念。 低頻漸近線與系統(tǒng)穩(wěn)態(tài)誤差的關(guān)系系統(tǒng)開環(huán)傳遞函數(shù)中含積分環(huán)節(jié)的數(shù)目（系統(tǒng)型別）確定了開環(huán)對數(shù)幅頻特性低頻漸近線的斜率，而低頻漸近線的高度則取決于開環(huán)增益的大小。因此，低頻段漸近線集中反映了系統(tǒng)跟蹤控制信號的穩(wěn)態(tài)精度信息。根據(jù)低頻段可以確定系統(tǒng)型別和開環(huán)增益，利用第3章中介紹的靜態(tài)誤差系數(shù)法可以確定系統(tǒng)在給定輸入下的穩(wěn)態(tài)誤

3、差。 中頻段特性與系統(tǒng)動態(tài)性能的關(guān)系開環(huán)對數(shù)幅頻特性的中頻段是指截止頻率附近的頻段。設(shè)開環(huán)部分純粹由積分環(huán)節(jié)構(gòu)成，圖5-50（）所示的對數(shù)幅頻特性對應(yīng)一個積分環(huán)節(jié)，斜率為，相角，因而相角裕度；圖5-50（）的對數(shù)幅頻特性對應(yīng)兩個積分環(huán)節(jié)，斜率為，相角，因而相角裕度。圖5-50 中頻段對穩(wěn)定性的影響 一般情況下，系統(tǒng)開環(huán)對數(shù)幅頻特性的斜率在整個頻率范圍內(nèi)是變化的，故截止頻率處的相角裕度應(yīng)由整個對數(shù)幅頻特性中各段的斜率所共同確定。在處，曲線的斜率對相角裕度的影響最大，遠離的對數(shù)幅頻特性，其斜率對的影響就很小。為了保證系統(tǒng)有滿意的動態(tài)性能，希望曲線以的斜率穿過線，并保持較寬的頻段。截止頻率和相角裕度

4、是系統(tǒng)開環(huán)頻域指標，主要由中頻段決定，它與系統(tǒng)動態(tài)性能指標之間存在著密切關(guān)系，因而頻域指標是表征系統(tǒng)動態(tài)性能的間接指標。 1 二階系統(tǒng)典型二階系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)圖可用圖5-51表示。其中開環(huán)傳遞函數(shù)為相應(yīng)的閉環(huán)傳遞函數(shù)為圖5-51 典型二階系統(tǒng)結(jié)構(gòu)圖（1）和的關(guān)系: 系統(tǒng)開環(huán)頻率特性為 （5-62）開環(huán)幅頻和相頻特性分別為在處，即亦即解之，得 （5-63）當時，有由此可得系統(tǒng)的相角裕度為 （5-64）將式（5-63）代入式（5-64），得 （5-65）根據(jù)式（5-65），可以畫出和的函數(shù)關(guān)系曲線,如圖5-52所示。另一方面，典型二階系統(tǒng)超調(diào)量 （5-66）為便于比較，將式（5-66）的函數(shù)關(guān)系也一并繪

5、于圖5-52中。從圖5-52所示曲線可以看出：越?。葱。?，就越大；反之，越大，就越小。通常希望。 圖5-52二階系統(tǒng)、與的關(guān)系曲線 圖5-53二階系統(tǒng)與的關(guān)系曲線>> 圖5-52的繪制程序：ks=0:0.001:1;MMr=;kks=;for i=1:length(ks) r(i)=atan(2*ks(i)/sqrt(sqrt(4*ks(i)4+1)-2*ks(i)2)*180/pi; de(i)=exp(-pi*ks(i)/sqrt(1-ks(i)2)*100/2+10; if ks(i)<0.707 Mr(i)=1/(2*ks(i)*sqrt(1-ks(i)2); el

6、se Mr(i)=1; end if Mr(i)<=7.5 MMr=MMr Mr(i)*10-10; kks=kks ks(i); endendab=plot(ks,r,'b-',ks,de,'r-',kks,MMr,'g-');set(ab,'linewidth',1.5);grid;>> 圖5-53的繪制程序:ks=0.2:0.01:1;for i=1:length(ks) r(i)=atan(2*ks(i)/sqrt(sqrt(4*ks(i)4+1)-2*ks(i)2); tswc(i)=7/tan(r(i

7、);endab=plot(r*180/pi,tswc,'b-');set(ab,'linewidth',3);grid;（2）、與的關(guān)系：由時域分析法可知，典型二階系統(tǒng)調(diào)節(jié)時間（取時）為 （5-67） 將式（5-67）與式（5-63）相乘，得 （5-68）再由式（5-65）和式（5-68）可得 （5-69）將式（5-69）的函數(shù)關(guān)系繪成曲線，如圖5-53所示。可見，調(diào)節(jié)時間與相角裕度和截止頻率都有關(guān)。當確定時，與成反比。換言之，如果兩個典型二階系統(tǒng)的相角裕度相同，那么它們的超調(diào)量也相同（見圖5-52），這樣，較大的系統(tǒng)，其調(diào)節(jié)時間必然較短（見圖5-53）。例5-

8、13 二階系統(tǒng)結(jié)構(gòu)圖如圖5-54所示。試分析系統(tǒng)開環(huán)頻域指標與時域指標的關(guān)系。解 系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)為式中，轉(zhuǎn)折頻率為。若取 （5-70）圖5-54 系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)圖 圖5-55 系統(tǒng)的對數(shù)幅頻特性則開環(huán)對數(shù)幅頻特性如圖5-55所示。系統(tǒng)的相角裕度為根據(jù)所求得的值，查圖5-52可得，。由圖5-53查得。再由式（5-70），得 若增加開環(huán)增益，則圖5-55的向上平移，右移。當移至更靠近時，相角裕度變得較小，超調(diào)量自然變大。例如，若選時，則相角裕度，從上述曲線查得，。若值進一步加大，則將落在斜率為的高頻漸近線段上，相角裕度將變得更小，超調(diào)量就更大。2. 高階系統(tǒng)對于一般三階或三階以上的高階系統(tǒng)，要準確

9、推導(dǎo)出開環(huán)頻域特征量（和）與時域指標（和）之間的關(guān)系是很困難的，即使導(dǎo)出這樣的關(guān)系式，使用起來也不方便，實用意義不大。在控制工程分析與設(shè)計中，通常采用下述兩個近似公式由頻域指標估算系統(tǒng)的動態(tài)性能指標： （5-71） （5-72）圖5-56所示的兩條曲線是根據(jù)式（5-71）和式（5-72）繪成的，以供查用。圖中曲線表明，隨著值的增加，高階系統(tǒng)的超調(diào)量和調(diào)節(jié)時間（一定時）都會降低。圖5-56的繪制程序:r=30:0.01:90; tts=; dde=; rr1=; rr2=;for i=1:length(r)圖5-56 高階系統(tǒng)、與的關(guān)系曲線 temp=1/sin(r(i)*pi/180)-1;

10、de(i)=0.16+0.4*temp; ts(i)=pi*(2+1.5*temp+2.5*temp2)*0.5/9-6*0.5/9+0.1; if ts(i)<=0.5 rr1=rr1 r(i); tts=tts ts(i); end if de(i)<=0.5 rr2=rr2 r(i); dde=dde de(i); endendaa=plot(rr2,dde,'b-',rr1,tts,'r-'); set(aa,'linewidth',1.5);axis(30 90 0.1 0.55);grid; 高頻段對系統(tǒng)性能的影響 的高頻段特性是由小時間常數(shù)的環(huán)節(jié)構(gòu)成的，其轉(zhuǎn)折頻率均遠離截止頻率，所以對系統(tǒng)的動態(tài)響應(yīng)影響不大。但是，從系統(tǒng)抗干擾的角度出發(fā)，研究高頻段的特性是具有實際意義的，現(xiàn)說明如下。對于單位反饋系統(tǒng)，開環(huán)頻率特性和閉環(huán)頻率特性的關(guān)系為在高頻段，一般有，即。故由上式可得即在高頻段，閉環(huán)幅頻特性近似等于開環(huán)幅頻特性。 因此，特性高頻段的幅值，直接反映出系統(tǒng)對輸入端高頻信號的抑制能力，高頻段的分貝值越低，說明系統(tǒng)對高頻信號的衰減作用越大，即系統(tǒng)的抗高頻干擾能力越強。 綜上所述，我們所希望的開環(huán)對數(shù)幅頻特性應(yīng)具有下述性質(zhì)： （1）如果要求具有一階或二階無差度（即系統(tǒng)在階躍