線和角難題-教師

1、直線與線段例1、在一條直線上，如果給定n個(gè)點(diǎn)，那么以它們?yōu)槎它c(diǎn)的線段共有多少條？若從左至右相鄰兩點(diǎn)的線段的長度依次為a1,a2,an-1，求所有線段的長度之和。提示：長度之和S=a1´(n-1) ´1+a2´(n-2) ´2+an-1´1´(n-1)例2、如圖，點(diǎn)C、D、E是線段AB的四等分點(diǎn)，點(diǎn)F、G是線段AB的三等分點(diǎn)，已知AB=12cm，求CF+DF+EF的長。答案：8例3、將直線上的每一點(diǎn)都染上紅、黃色中的一種，求證：必存在同顏色的三個(gè)點(diǎn)，使其中一點(diǎn)是另兩點(diǎn)連線段的中點(diǎn)。提示：用構(gòu)造法。并且用5個(gè)點(diǎn)來保證滿足條件的點(diǎn)。反證法：

2、假設(shè)不存在三個(gè)同種顏色點(diǎn),使得其中一個(gè)是兩點(diǎn)所構(gòu)成線段的中點(diǎn).已知直線上有無數(shù)個(gè)點(diǎn),染成紅黃兩色：必存在同色的兩點(diǎn)(其實(shí)是無數(shù)個(gè)點(diǎn),這里只需取兩點(diǎn)),不妨設(shè)這兩點(diǎn)都是紅點(diǎn),分別為A,B,距離為l.現(xiàn)在將線段A,B分別向兩邊外延l,得端點(diǎn)C,D,并使A為BC中點(diǎn),B為AD中點(diǎn).這樣一來,由假設(shè)知：C,D不能為紅點(diǎn),所以C,D都是黃點(diǎn).再取AB的中點(diǎn)O,由假設(shè),O不能為紅點(diǎn),必為黃點(diǎn).須知O同時(shí)也是線段CD的中點(diǎn),于是C,O,D構(gòu)成同色三點(diǎn),且O為CD中點(diǎn).這與假設(shè)矛盾.所以假設(shè)不成立.例4、在一條直線上已知四個(gè)不同的點(diǎn)依次是A、B、C、D，請?jiān)谥本€上找出一點(diǎn)P，使PA+PB+PC+PD最小。（線

3、段BC上）例5、直線上分布著2002個(gè)點(diǎn)，我們來標(biāo)出以這些點(diǎn)為端點(diǎn)的一切可能的線段的中點(diǎn)。試求至少可以得出多少個(gè)互不重合的中點(diǎn)。提示：用歸納法。一般地，若直線上分布著n個(gè)點(diǎn)，結(jié)論為2n-3。例6、點(diǎn)A、B在直線MN的同側(cè)，請?jiān)贛N上求一點(diǎn)P，使PA+PB為最小。例7、在直線MN的同側(cè)有兩點(diǎn)A、B，且AB的連線與MN不平行。請?jiān)贛N上求一點(diǎn)P，使|PA-PB|為最大。提示：連接AB交MN于P，則P為所求。例8、在DABC中，D是邊AB上任意一點(diǎn)，如圖，求證：AB+ACDB+DC。例9、P是DABC內(nèi)一點(diǎn)，求證（1）AB+ACPB+PC （2）AB+BC+CAPA+PB+PC（3）1答：延長BP與

4、AC邊相交于點(diǎn)D,由三角形兩邊之和大于第三邊得AB+AD>BD,PD+DC>PC,故AB+AD+PD+DC>BD+PC=PB+PD+PC,AB+AD+DC>PB+PC,即AB+AC>PB+PC,同理可證,AB+BC>PA+PC,BC+CA>PB+PA將上面3式相加得2AB+2AC+2AC>2PA+2PB+2PC,AB+AC+AC>PA+PB+PC.再由三角形兩邊之和大于第三邊得 PA+PB>AB ,PB+PC>BC ,PC+PA>CA 將上面3個(gè)式子相加得2(PA+PB+PC)>AB+BC+CA PA+PB+PC&g

5、t;1/2(AB+BC+AC)例10、已知P、Q是DABC內(nèi)兩點(diǎn)，求證：AB+ACBP+PQ提示：延長BP、CQ相交于D，則AB+ACDB+DC=BP+(PD+DQ)+QCBP+PQ+QC角例1、如圖，已知OE平分AOB，OD平分BOC，AOB為直角，EOD=70O,求BOC的度數(shù)。 例2、如圖，已知AOD是一直線，AOC=120O，BOD=150O，OE平分BOC，求AOE的度數(shù)。例3、如圖，以O(shè)為頂點(diǎn)，以O(shè)A1，OA2，OAn為邊小于平角的角有多少個(gè)？若i=AiOAi+1，(i=1,2,n)求出所有角的和。答：共有角n(n-1)/2個(gè)，角度的總和為=1´(n-1)´1+

6、2´(n-2)´2+n-1´1´(n-1)。例4、上題中，若每一個(gè)角都作一條角平分線，問至少可得出多少條互不重合的有平分線？答：2n-3條。例5、過點(diǎn)O任意作14條射線，求證：以0為頂點(diǎn)的角中至少有一個(gè)小于26O。例6、如圖，已知直線AB與CD相交于O，OE，OF，OG分別是AOC、BOD、AOD的平分線。求證：（1）E、O、F三點(diǎn)在同一直線上；（2）OGEF。 例7、如圖是一個(gè)3´3的正方形，求圖中1+2+3+9的和。（答：405O）。例8、求凸n邊形的內(nèi)角和。（n2）×180°很顯然由于多邊形中邊數(shù)最少的是三角形,多邊形

7、的邊數(shù)記為n,則n 3.所以這個(gè)文字題目可以翻譯成“凸n邊形（n 3）的內(nèi)角和等于180o（n2）”.第一步：當(dāng)n 3 時(shí),凸n邊形就是三角形.而三角形的三個(gè)內(nèi)角和等于180o ,所以命題成立.第二步：假設(shè) n k （k3）時(shí)命題成立.也就是說假設(shè)凸k邊形時(shí)其內(nèi)角之和等于180o（n2）.現(xiàn)在要證明凸k1邊形時(shí) ,其內(nèi)角和等于180o（k1）2 .事實(shí)上,當(dāng)n k1時(shí),這時(shí)的凸n邊形就是凸k1邊形.我們可以任選定其一個(gè)頂點(diǎn),過這個(gè)頂點(diǎn)的兩個(gè)頂點(diǎn)作凸k1邊形的一條對(duì)角線.在這條對(duì)角線的兩側(cè)一邊是三角形,另一側(cè)是一個(gè)凸k邊形.則凸k1邊形的內(nèi)角之和恰好等于這個(gè)三角形的內(nèi)角之和（已知三角形內(nèi)角之和等

8、于180o）加上這個(gè)凸k邊形的內(nèi)角之和（已設(shè)凸k邊形的內(nèi)角之和為180o（k2）的總和.所以有凸k1邊形的內(nèi)角之和180o180o（n2）180o（1k2）180o（k1）2.這就證明了,當(dāng)n k1時(shí),命題成立.所以,命題對(duì)n 3時(shí)的任意自然數(shù)成立.,一個(gè)凸n邊形，除一個(gè)內(nèi)角外，其余n-1個(gè)內(nèi)角的和為2009°，求n邊形的邊數(shù)根據(jù)多邊形的內(nèi)角和定理得到：凸n邊形的內(nèi)角和為180°（n-2），又除一個(gè)內(nèi)角外，其余n-1個(gè)內(nèi)角的和為2009°，所以除去的內(nèi)角為180°（n-2）-2009°=180°n-360°-2009°=180°n-2369°，又0180°n-2369°180°，解得：2369°180°n2549°，解得： 2369°180° n 2549°180° ，又n為正整數(shù)，所以n=14例9、在下圖中，找出BCD與ABC、BAC、ADC之間的關(guān)系。