九年級切線長定理和三角形的內切圓

1、九年級切線長定理和三角形的內切圓課件第一頁，共24頁。1.切線具有什么特征? 答:【特征1】 切線與圓只有 一個公共點; 【特征2】圓心到切線的距離等于圓的半徑;【特征3】圓的切線一定垂直于經過切點的半徑第二頁，共24頁。O。PMNPQ 1.任意畫一個任意畫一個OO ，在，在OO上任取兩點上任取兩點A，B，以，以A，B為切點分別作為切點分別作OO的兩條切線，畫出的兩條切的兩條切線，畫出的兩條切線的位置關系怎樣？線的位置關系怎樣？ABO。AB。O。2.圓的切線是線段、射線、還是直線？圓的切線是線段、射線、還是直線？第三頁，共24頁。 O。ABP思考思考：已知已知 O切線切線PA，A為切點，為切點

2、，連接連接OP，把圓沿著，把圓沿著OP對折對折,你能發(fā)你能發(fā)現(xiàn)什么現(xiàn)什么?12第四頁，共24頁。探探 究究 活活 動動如圖，紙上有一 O ，PA為 O的一條切線，沿著直線PO對折，設圓上與點A重合的點為B。1、OB是 O的一條半徑嗎？2、PB是 O的切線嗎？5、利用圖形軸對稱性解釋3、PA、PB有何關系？4、APO和 BPO有何關系？AOP PAOB第五頁，共24頁。(1) 設與點設與點A 重合的點為點重合的點為點B,這里這里O B是是 O的一條的一條_,PB是是 O的一條的一條_.(2) 圖中圖中PA與與P B B、APO與與 B BPO的關系是的關系是(猜猜想想):_.半徑半徑切線切線PA

3、=PPA=PB B APO=APO=B BPOPO 第六頁，共24頁。 1. 1. 如圖，過圓外一點有兩條直線如圖，過圓外一點有兩條直線PAPA、PBPB與與OO相相切。切。在經過圓外一點的圓的切線上，在經過圓外一點的圓的切線上，這點和切點之這點和切點之間間的線段長，叫做這點到圓的的線段長，叫做這點到圓的切線長切線長。 ABPO。切線與切線長的區(qū)別與聯(lián)系：切線與切線長的區(qū)別與聯(lián)系： （1 1）切線是一條與圓相切的直線；切線是一條與圓相切的直線；（2 2）切線長是指切線長是指切線上切線上某一點與切點間的線段的某一點與切點間的線段的長。長。第七頁，共24頁。 2. 2. 從從OO外的一點引兩條切線

4、外的一點引兩條切線PAPA，PBPB，切點分別，切點分別是是A A、B B，連結，連結OAOA、OBOB、OPOP，你能發(fā)現(xiàn)什么結論？并，你能發(fā)現(xiàn)什么結論？并證明你所發(fā)現(xiàn)的結論。證明你所發(fā)現(xiàn)的結論。APO。BPA = PBOPA=OPB證明：證明：PAPA，PBPB與與OO相切，點相切，點A A，B B是切點是切點 OAPAOAPA，OBPB OBPB 即即OAP=OBP=90 OA=OB，OP=OP RtRtAOPRtAOPRtBOP(HL)BOP(HL) PA = PB OPA=OPB試用文字語言敘述試用文字語言敘述你所發(fā)現(xiàn)的結論你所發(fā)現(xiàn)的結論第八頁，共24頁。PA、PB分別切分別切 O于

5、于A、BPA = PB1=2 從圓外一點引圓的兩條切線，它們的從圓外一點引圓的兩條切線，它們的切線長相等，圓心和這一點的連線平分兩條切線切線長相等，圓心和這一點的連線平分兩條切線的夾角。的夾角。 切線長定理切線長定理APO。B幾何語言幾何語言:反思：切線長定理為證明切線長定理為證明線段相等線段相等、角相等角相等提提 供了新的方法。供了新的方法。12第九頁，共24頁。我們學過的切線，常有我們學過的切線，常有 五個五個 性質：性質：1 1、切線和圓只有一個公共點；、切線和圓只有一個公共點；2 2、切線和圓心的距離等于圓的半徑；、切線和圓心的距離等于圓的半徑；3 3、切線垂直于過切點的半徑；、切線垂

6、直于過切點的半徑；4 4、經過圓心垂直于切線的直線必過切點；、經過圓心垂直于切線的直線必過切點；5 5、經過切點垂直于切線的直線必過圓心。、經過切點垂直于切線的直線必過圓心。6 6、從圓外一點引圓的兩條切線，它們的切線長相等，圓心和、從圓外一點引圓的兩條切線，它們的切線長相等，圓心和這一點的連線平分兩條切線的夾角。這一點的連線平分兩條切線的夾角。7 7、如果圓的兩條切線互相平行，則連結兩個切點線段是直徑。、如果圓的兩條切線互相平行，則連結兩個切點線段是直徑。七個七個第十頁，共24頁。APO。BM 4. 4.連結兩切點連結兩切點A A、B B，ABAB交交OPOP于點于點M.M.你又能得你又能得

7、出什么新的結論出什么新的結論? ?并給出證明并給出證明. .OP垂直平分垂直平分AB證明：證明：PAPA，PBPB是是OO的切線的切線, ,點點A A，B B是切點是切點 PA = PB OPA=OPB PABPAB是等腰三角形，是等腰三角形，PMPM為頂角的平分線為頂角的平分線 OP垂直平分垂直平分AB第十一頁，共24頁。切線長定理的基本圖形的研究 PA、PB是是 O的兩條切線，的兩條切線，A、B為切點，直線為切點，直線OP交交 O于點于點D、E，交，交AB于于C。BAPOCED（1）寫出圖中所有的垂直關系）寫出圖中所有的垂直關系OAPA，OB PB，AB OP（3）寫出圖中所有的全等三角形

8、）寫出圖中所有的全等三角形AOP BOP， AOC BOC， ACP BCP（4）寫出圖中所有的相似三角形）寫出圖中所有的相似三角形AOC BOC AOPBOP ACPBCP（5）寫出圖中所有的等腰三角形）寫出圖中所有的等腰三角形ABP AOB（6）若）若PA=4、PD=2，求半徑，求半徑OA（2）寫出圖中與）寫出圖中與OAC相等的角相等的角OAC=OBC=APC=BPC2224(2)rr解得r=3第十二頁，共24頁。APO。BECD已知：如圖，已知：如圖，PA，PB是是 O的兩條切線，的兩條切線，A、B為為切點。直線切點。直線OP交交 O于點于點D、E，交，交AB于點于點C。（2）寫出圖中所

9、有的全等）寫出圖中所有的全等三角形；三角形；（1）寫出圖中所有的垂直關系；）寫出圖中所有的垂直關系；（4）如果）如果PA=4cm，PD=2，求半徑，求半徑OA的長。的長。OAPAOAPA，OBPBOBPB，OPABOPABOAPOAPOBPOBPOCAOCAOCBOCBACPACPBCPBCP（3）圖中有哪些線段相等、弧相等，角相等？）圖中有哪些線段相等、弧相等，角相等？第十三頁，共24頁。四、探索 如圖23.2.11為一張三角形鐵皮，如何在它上面截一個面積最大的圓形鐵皮？ 第十四頁，共24頁。 【重點【重點2】三角形的】三角形的內切圓內切圓 與三角形各邊都相切的圓叫做三角形的內切圓三角形的內

10、切圓的圓心叫做三角形的內心這個三角形叫做圓的外切三角形三角形的內心就是三角形三條內角平分線的交點一個三角形的內切圓是惟一的 第十五頁，共24頁。三、應用舉例 【例1】 如圖， O是ABC 的內切圓，與AB、BC、CA分別切于點D、E、F，DOE120，EOF150，求ABC 的三個內角的度數(shù).第十六頁，共24頁。(第 1 題) DOE120 , EOF150 DOF= 360- DOE -EOF =360- 120- 150=90 【解】 AB、AC分別切 O于點D、F ADO= AFO=90 A=360- ADO - DOF- AFO=360 -90 -90 -90=90同理 B=60, C

11、=30.第十七頁，共24頁?！纠?】 ABC 的內切圓 O 與AB、BC 、 AC分別相切于點D、E、F，且AB5厘米，BC9厘米，AC6厘米，求AD、BE和CF的長.解:設AD=x, BE=y, CF=z,由切線長性質可知：，即AD=1厘米,BE =4厘米,CF =5厘米第十八頁，共24頁?！纠?】設ABC 的內切圓的半徑為r，ABC 的周長為l，求ABC 的面積S. 圖 23.2.12 第十九頁，共24頁。PABO1 1、填空：已知、填空：已知OO的半徑為的半徑為3cm3cm，點點P P和圓心和圓心O O的距離為的距離為6cm6cm，經過點，經過點P P有有OO的兩條切線，則切線長為的兩條

12、切線，則切線長為_cm_cm。這兩條切線的夾角為。這兩條切線的夾角為_度。度。60練練 習：習：2 2、已知、已知圓外切四邊形圓外切四邊形ABCD中，中，AB：BC：CD=4：3：2，它的，它的周長為周長為24cm。則。則AB= ，BC= ；CD= ，DA= 。ADOCB8cm6cm4cm6cm第二十頁，共24頁。ABCabcrr =a+b-c2如：直角三角形的兩直角邊分別是如：直角三角形的兩直角邊分別是5cm5cm，12cm 12cm 則其內切圓的半徑為則其內切圓的半徑為_。4 4、直角三角形的兩直角邊分別是直角三角形的兩直角邊分別是a a，b b 則其內切圓的半徑為則其內切圓的半徑為: :

13、2cm2cm3 3、已知：在已知：在ABCABC中，中，BC=14cmBC=14cm，AC=9cmAC=9cm，AB=13cmAB=13cm，它的內切圓分別，它的內切圓分別和和BCBC、ACAC、ABAB切于點切于點D D、E E、F F，求，求AFAF、BDBD和和CECE的長。的長。.第二十一頁，共24頁。 5. 如圖，四邊形如圖，四邊形ABCD的邊的邊 AB，BC，CD，DA和和 O分別相切于分別相切于L，M，N，P。（1）圖中有幾對相等的線段？）圖中有幾對相等的線段？ADLMNPOCB（2 2）由此你能發(fā)現(xiàn)什么結論）由此你能發(fā)現(xiàn)什么結論？ 為什么？為什么？ AB，BC，CD，DA都與都

14、與 O相切，相切，L，M，N，P是切點，是切點，AL=AP，LB=MB， DN=DP，NC=MCAL+ LB+ DN+ NC = AP+ MB+DP+MC即即 AB+ CD = AD+BC圓的外切四邊形的兩組對邊的和相等圓的外切四邊形的兩組對邊的和相等（可做定理用）（可做定理用）第二十二頁，共24頁。PBAO反思：在解決有關圓的切線長的問題時，往往需要我們構建基本圖形。（3）連結圓心和圓外一點（角平分線）連結圓心和圓外一點（角平分線）（2）連結兩切點（等腰三角形）連結兩切點（等腰三角形）（1）分別連結圓心和切點（直角）分別連結圓心和切點（直角）第二十三頁，共24頁。1.切線長定理切線長定理 從圓外一點引圓的兩條切線，它們的切線從圓外一點引圓的兩條切線，它們的切線長相等，圓心和這一點的連線平分兩條切線