生產(chǎn)函數(shù)的估計

1、生產(chǎn)函數(shù)估計與預(yù)測方法介紹一、生產(chǎn)函數(shù)的估計1含義我們在?經(jīng)濟學(xué)?課程的學(xué)習中已經(jīng)知道，產(chǎn)量是由生產(chǎn)要素的投入數(shù)量和 組合關(guān)系決定的。那么生產(chǎn)函數(shù)的估計實際就是客觀反映生產(chǎn)量與各生產(chǎn)要素投 入量之間的函數(shù)關(guān)系。2 方法與步驟估計生產(chǎn)函數(shù)最常用的方法是利用實際收集到的一組數(shù)據(jù)進行回歸分析，這種方法較為客觀，通過它得到的信息比擬完全和精確。為了完成回歸分析，我們必須首先構(gòu)造一個生產(chǎn)函數(shù)并確定函數(shù)的具體形 式；然后再在收集數(shù)據(jù)的根底上用回歸分析方法求出函數(shù)的具體參數(shù)值；最后， 我們還需要檢驗回歸結(jié)果對數(shù)據(jù)的擬合程度，以及回歸分析的前提條件是否成 立，因為一個沒有顯著函數(shù)關(guān)系或回歸分析前提條件不成立的

2、回歸分析結(jié)果是沒 有意義的。(1) 影響變量的選取就一個具體的回歸分析而言，各個變量必須具有特定的含義。在進行回歸分 析時，我們應(yīng)該對于研究對象具有深入的了解， 否那么在函數(shù)構(gòu)造這一步可能會漏 掉一些很重要的解釋變量。在進行回歸分析時應(yīng)注意不要漏掉重要的解釋變量， 但這并不意味著解釋變量越多越好，因為在模型中包括一些并不重要的解釋變量 反而會引起一些統(tǒng)計上的問題，一般來說，當解釋變量超過5至6個時，就可能 降低模型的自由度，甚至引起多重共線性問題，這些都會影響到模型的解釋力。 對于一些屬性因素，如年齡、季節(jié)、性別等，如不同的屬性表現(xiàn)對被解釋變量有 明顯不同的影響時，還需設(shè)計虛擬變量。(2) 生

3、產(chǎn)函數(shù)形式確實定上面所構(gòu)造的生產(chǎn)函數(shù)只涉及了變量的選取，但為了完成回歸分析，我們必 須確定生產(chǎn)函數(shù)的具體形式。生產(chǎn)函數(shù)可采用多元線性的，但一般最常用的是柯 布一道格拉斯生產(chǎn)函數(shù)AX1b1X2b2(3) 數(shù)據(jù)的收集當模型的具體形式已經(jīng)確定下來之后，我們需要針對模型中的變量收集樣本 數(shù)據(jù)。數(shù)據(jù)類型包括時序數(shù)據(jù)和截面數(shù)據(jù)?；貧w分析中也會碰到數(shù)據(jù)缺乏的情況， 這時我們就不得不做一些理論上簡化，(4) 建立回歸方程及參數(shù)估計1) 一元線性回歸模型 總體回歸模型如果兩個變量在總體上存在線性回歸關(guān)系，可以用下式表示Y =a bx ；隨機誤差公式中a,b是總體回歸模型的參數(shù)，；是X變量以外其它所有影響因素對

4、丫 值的總合影響，故稱隨機干擾項。如果在一定時期內(nèi)一些因素的單獨影響都比擬 零散、微弱，就可以不把它們單獨列為自變量，而合并為一個隨機因素。在一個 模式中是否存在隨機誤差，表達了確定型依存關(guān)系和統(tǒng)計型依存關(guān)系的區(qū)別。隨機誤差表達了在X取既定值時丫的變異。 假定前提a. ；是隨機變量對應(yīng)于某個X既定值，；的符號和絕對值的大小是隨機的，它既獨立于 X的 取值，也獨立于前一項；值。b. ；服從正態(tài)分布影響丫的其它因素的作用趨于互相抵消，E ；=0，丫的期望值落在總體回 歸線上，在給定X值后，丫值圍繞丫的期望值呈正態(tài)分布。c. 對于任何x值，名有恒定的方差b y,x 同方差性。無論X取什么值，丫值圍繞

5、總體回歸線的變異程度相同。 總體回歸直線方程與樣本回歸直線方程如果從總體回歸函數(shù)，YX ；中排除；，就得到表示丫值隨X取值而定的正態(tài)分布期望值與X值關(guān)系的方程一總體回歸直線方程 巴,x =a + bx上式說明，在X的值給定的條件下，丫的期望值是X的嚴密的線性函數(shù)。卩y,x 稱為丫的條件平均數(shù)，對于一個雙變量協(xié)變總體，當自變量X取特定值時，因變 量取值服從如下 正態(tài)分布丫 NWyxtryx根據(jù)樣本數(shù)據(jù)擬合的直線，稱為樣本回歸直線。?ti&t，t=i,2，,式中丫是樣本回歸線上與X相對應(yīng)的丫值，可視為,x的估計，稱為丫的估計值或擬合值，召為截距，！?為斜率，表示當X變化1個單位時丫的變化量，它 們

6、是總體回歸系數(shù)a,b的估計值。實際觀測到的變量丫值，并不完全等于?，如果用e表示兩者之差，它與總體誤差項；相對應(yīng)e -Y _ ?te 稱為殘差由上述可知，樣本回歸直線是對總體回歸直線的近似反映?；貧w分析的主要任務(wù)就是采用適當?shù)姆椒?，充分利用樣本所提供的信息，使得樣本回歸直線盡可 能地接近真實的總體回歸直線。 回歸模型參數(shù)的估計a. 回歸系統(tǒng)的估計根據(jù)樣本資料確定樣本回歸方程時，一般總希望丫的估計值從整體來看盡可 能接近實際觀測值。即殘差et的總量越小越好，為了防止q簡單的代數(shù)和會相互 抵消，也便于數(shù)學(xué)上的處理，通常采用殘差平方和 3e2作為衡量偏差的尺度。最 小二乘法就是根據(jù)這一思路，通過使殘

7、差平和和為最小來估計回歸系數(shù)的一種方 法。q =喀=弟 一 ？2 二沖-？-bXt2很明顯，殘差平方和Q的大小將依賴于召和R的取值。根據(jù)微積分求極小值 的原理，Q對?和b?的偏導(dǎo)必須為零n aSYXt =YYt ?AXt +t?LXtIXtYt二 bxXxXi(xX)2蕪必m丫nxt -xt)a =Y -bX召，I?的具體數(shù)值即回歸系數(shù)的估計值隨選取的樣本不同而不同，所以它是 隨機變量。b. 總體方差的估計除了 a,b之外，一元線性回歸模型還包括了另一個未知參數(shù)，總體方差 y,x， 它可以反映理論模型誤差的大小。在數(shù)學(xué)上，九 的無偏估計是sy,x。n為樣本容量，Sy,x稱為估計標準誤差。它可用

8、于描述用樣本數(shù)據(jù)擬合回歸直線時， 在X取特定值時丫觀察值對于相 應(yīng)的擬合值的離散程序。c. 最小二乘估計量的性質(zhì)最小二乘法是估計方法中的一種，最小二乘估計量是總體回歸系數(shù)的無偏估 計量，數(shù)學(xué)上還可進一步證明，在所有的無偏估計量中回歸系數(shù)的最小二乘估計 量的方差最??；同時隨著樣本容量的增大，其方差會不斷縮小，所以它又是最優(yōu) 和一致估計量。2多元線性回歸模型現(xiàn)實中，某一現(xiàn)象的變動常受多種現(xiàn)象變動的影響， 右這種場合，僅僅考慮 單個變量是不夠的，這就產(chǎn)生了測定多因素之間相關(guān)關(guān)系的問題。 研究在線性相 關(guān)條件下，兩個或兩個以上自變量對一個因變量的數(shù)量變化關(guān)系，稱為多元線性回歸分析，它是一元線性回歸模型

9、的擴展，其根本原理與一元線性回歸模型相類 似，只是在計算上比擬繁瑣。 總體回歸函數(shù)與總體回歸直線 rXit 2X2t-k Xkt；t:表示截距，j表示在其它自變量保持不變的情況下，自變量 Xj變動一個單位所引起的因變量丫平均變動的數(shù)額，成為偏回歸系數(shù)。 前提假定與一元線性前提假定相同，另外再加上，回歸模型所包含的自變量之間不能 具有較強的線性關(guān)系。 樣本回歸方程丫?二：？ ?XitXkt (t=1,2, , n) 模型的估計以三元線性回歸方程為例，即Y1X12X2ta.回歸系數(shù)的估計最小二乘法MinQ 二 g2 二 AYt 一丫?2 二 3丫一 彳xit - ？2X2t2龍丫 =n 0? +吃

10、 + 際X2!：X2Y =哦丸+畀龍x2 +區(qū)龍X：b.總方差的估計S2iet2Sy.12 一n樣本容量，k:方程中回歸系數(shù)的個數(shù)S：n2稱為回歸估計的標準誤差，越小說明樣本回歸方程的代表性越強Sy,x任Y2_ 輯糾丫 _ 0Ix2Y33非線性回歸模型如果因變量和自變量之間是非線性關(guān)系，我們就必須采用非線性回歸模型， 但對非線性回歸模型的估計必須首先將其轉(zhuǎn)化為線性函數(shù)， 然后再利用先行回歸 方法估計各參數(shù)。非線性回歸模型主要有以下幾種： 幕函數(shù)bl b2二 axi X2兩邊取對數(shù)，得:lnY = In a bl n x P I nx2令：Y =lnYA = lna x/ = Inxx2 = I

11、n x2丫 二 A bx； b2x2這種形式就是前面的三元線性回歸方程。利用前文所述方法估計模型參數(shù)。 特點：方程中的參數(shù)可以直接反映因變量 丫對于某一個自變量的彈性。Zy必b axjx；2 Xi/Y 中0血；2/丫 =b:X Y即，bi是在其它因素不變的條件下，Xi變動1漸引起丫變動的百分比 指數(shù)型：丫二abb；2兩邊取對數(shù)，得:InY = In a x； In b| x21n b2令 Y= I nY A=I na B； nb B2 = I nd，那么Y =A BiXi B2X2 多項式函數(shù)23Y = a bx cx dx令： =x23x2 =x x3 =xY = a bx1 cx2 dx3

12、非線性回歸方程轉(zhuǎn)化為線性回歸方程后，可利用前文所述方法，估計各參數(shù), 最后利用反函數(shù)轉(zhuǎn)化為最初形式。5回歸模型的檢驗1經(jīng)濟學(xué)檢驗經(jīng)濟學(xué)檢驗主要是檢驗參數(shù)估計值的符號和取值區(qū)間所顯示的自變是與應(yīng) 變量的變化關(guān)系是否與理論和人們的實踐經(jīng)驗相一致。2統(tǒng)計學(xué)檢驗利用統(tǒng)計學(xué)中的抽樣理論來檢驗樣本回歸方程的可靠性。a.擬合程度的評價所謂擬合程度，是指樣本觀測值聚在樣本回歸線周圍的緊密程度， 判斷回歸 模型擬合程序優(yōu)劣最常用的數(shù)量指標是可決系數(shù)， 該指標是建立在對總離差平方 和進行分解的根底上。Yt -丫=Y? -Y Yt -Y?=Y?-Y et總離差=可解釋離差+未解釋離差兩邊取平方，得ZYt 一丫2 二

13、Y? -丫 g2 22丫？ -丫丫 -Y?二 z(丫？ 一丫)2 z(丫 -Y?)2SST =SSR SSE離差平方和=回歸平方和+殘差平方和顯而易見，如果各個樣本觀察點與樣本回歸直線靠得越緊，SSR在SST中所占比重超越大，因此可定義這一比例為可決系數(shù)。SSR , SSE ,二(Yt -Y?)2112SST SSTp -Y)20乞r2遼1可決系數(shù)越大，方程擬合度越高，在多元線形回歸方程中，為了 更準確地衡量回歸方程的擬合程度，常使用經(jīng)調(diào)整的多元可決系數(shù)。2(Y -Y?)2 /(n -k)i(Y -Y?)2/( n -1)Sy,xSy_ 2S(lY2_d)/(n_1)nn為樣本容量，k為模型中

14、回歸系數(shù)的個數(shù)b.顯著性檢驗。i. 回歸系數(shù)的顯著性檢驗主要目的是為了檢驗與各回歸系數(shù)對應(yīng)的自變量對因變量的影響是否顯著， 以便對自變量的取舍作出正確判斷， 一般來說，當發(fā)現(xiàn)某個自變量的影響不顯著 時，應(yīng)將其從模型中刪除。這樣才能夠做到以盡可能少的自變量去到達盡可能高 的擬合優(yōu)度?；貧w系數(shù)的檢驗主要是對各自變量斜率的檢驗。檢驗y和X之間是否具備一定的線性回歸關(guān)系就是判斷總體斜率 - j是否等 于0,如果 j=0，那么Y對X的回歸不成立。因此關(guān)于1 j假設(shè)檢驗將以S =0的 零假設(shè)出發(fā)，分為以下步驟：i 提出假設(shè)Ho：=O 零假設(shè)Hi : j - 0備擇假設(shè)顯著水平=0.05ii檢驗統(tǒng)計量及概率

15、分布因為X是服從正態(tài)分布,?j也服從正態(tài)分布一般來說二是未知的, 本時，回歸系數(shù)的估計值服從我們用其無偏估計量 Sj?j來代替，當樣本為小樣tn_ k分布。那么用t檢驗統(tǒng)計量iii判斷，查表得如七.，其值由顯著水平和自由度n-k決定,如果tj 1心，那么拒絕H0,即認為Xj對丫的影響是顯著的。如果訂tn，那么接受原假設(shè),即認為Xj對丫的影響是不顯著的。ii. 回歸方程的顯著性檢驗多元線性回歸模型包括了多個回歸系數(shù)， 所以還需對整個回歸方程模型進行 顯著性檢驗，以檢驗回歸模型總體函數(shù)的線性關(guān)系是否顯著，這主要是在方差分 析根底上米取F檢驗完成的。k =0H1 :打不全為0SSR(k -1)SSE

16、(n -k)f(n,n _k)(ii)進行方差分析，列出回歸方差分析表離差名稱平方和自由度均方和回歸平方和SSR= I(Y? -Y)2k-1SSR/(k-1)SSE/( n-k)殘差平方和SSEYq2n-k總離差平方和SST=H(Yt _Y)2(n-1)(iii )根據(jù)方差分析的結(jié)果求F統(tǒng)計量，即(iv )根據(jù)自由度和給定的顯著性水平：，查F分布表中的理論臨界值 F，當F -F：，拒絕原假設(shè)，即認為總體回歸函數(shù)中各自變量與因變量的線性回歸關(guān)系顯著。反之認為所建立的回歸模型沒意義。3) 經(jīng)濟計量學(xué)檢驗在回歸分析之前，我們提出了一些回歸型的假設(shè)前提，以便于使用最小二乘 法擬合回歸方程，并作出一系列

17、的推斷。任何一條假設(shè)前提不符合都會使回歸分 析不盡合理，甚至誤入歧途。所以當我們擬合出回歸方程后，需要回過頭來審查 一下這些假定前提是否成立。如不成立，需作相應(yīng)調(diào)整和改動。i. 自相關(guān)。樣本數(shù)據(jù)按時間順序展開時，因變量隨機誤差獨立性的前提往往不能成立， 殘值無法呈隨機分布，而是在這些殘值本身之間形成了某種鏈式效應(yīng)(即自相 關(guān))，樣本中的因變量可能受過去變動趨勢的影響。如果自相關(guān)存在，那么就意味有一種有顯著影響的因素一時序沒有在回歸模 式的考慮之中，從而以使誤差平方和 SSE不是最小值。檢驗方法：按時間順序給殘差散點圖或使用杠賓一沃嶺檢驗(DW)解決方法：增設(shè)滯后變量以改良模型，既然時序造成因變

18、量值的前后鏈式影 響，在回歸模型中將前期因變量作為本期自變量值來對待。ii. 異方差對于在自變量取任何一組特定值時條件平均數(shù)的方差恒定的前提假設(shè)不成立，估計標準誤差就無法作為,x的無偏估計量。因而就無法進行參數(shù)的檢驗和 因變量的估計檢驗方法： 繪制殘值對自變量的散點圖， 看殘值的離散度是否隨自由度的變 化而有規(guī)律的擴大與縮小，如是那么有異方差。解決方法：實施變量轉(zhuǎn)換， 即用一個與現(xiàn)行自變量有函數(shù)關(guān)系的自變量進入 回歸方程或采用加權(quán)最小二乘法。iii. 非正態(tài)性如果隨機誤差分布不是正態(tài)或趨于正態(tài)， 就失去了對回歸系數(shù)進行 t 檢驗和 對因變量進行估計的依據(jù)。繪制殘值的直方圖， 通過直方圖可以粗略地檢驗殘值是否趨于正態(tài)分布， 這 種方法要求有一定大的樣本容量，其它方法可采用擬合優(yōu)度檢驗法。解決方法：進行變量轉(zhuǎn)換。應(yīng)有助于改變它的分布狀況。iv. 多重共線性采用回歸分析時， 我們假設(shè)解釋變量之間是線形無關(guān)的， 如果這個假設(shè)被違 背，就產(chǎn)生了多重共線問題， 在實際應(yīng)用多元回歸分析時， 多變共線性是難免產(chǎn) 生的，問題在于程度的強弱。較弱的多重共線性對回歸模型的有效性影響不大， 較強