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1、生產(chǎn)函數(shù)估計(jì)與預(yù)測(cè)方法介紹一、生產(chǎn)函數(shù)的估計(jì)1含義我們?cè)?經(jīng)濟(jì)學(xué)?課程的學(xué)習(xí)中已經(jīng)知道,產(chǎn)量是由生產(chǎn)要素的投入數(shù)量和 組合關(guān)系決定的。那么生產(chǎn)函數(shù)的估計(jì)實(shí)際就是客觀反映生產(chǎn)量與各生產(chǎn)要素投 入量之間的函數(shù)關(guān)系。2 方法與步驟估計(jì)生產(chǎn)函數(shù)最常用的方法是利用實(shí)際收集到的一組數(shù)據(jù)進(jìn)行回歸分析,這種方法較為客觀,通過它得到的信息比擬完全和精確。為了完成回歸分析,我們必須首先構(gòu)造一個(gè)生產(chǎn)函數(shù)并確定函數(shù)的具體形 式;然后再在收集數(shù)據(jù)的根底上用回歸分析方法求出函數(shù)的具體參數(shù)值;最后, 我們還需要檢驗(yàn)回歸結(jié)果對(duì)數(shù)據(jù)的擬合程度,以及回歸分析的前提條件是否成 立,因?yàn)橐粋€(gè)沒有顯著函數(shù)關(guān)系或回歸分析前提條件不成立的
2、回歸分析結(jié)果是沒 有意義的。(1) 影響變量的選取就一個(gè)具體的回歸分析而言,各個(gè)變量必須具有特定的含義。在進(jìn)行回歸分 析時(shí),我們應(yīng)該對(duì)于研究對(duì)象具有深入的了解, 否那么在函數(shù)構(gòu)造這一步可能會(huì)漏 掉一些很重要的解釋變量。在進(jìn)行回歸分析時(shí)應(yīng)注意不要漏掉重要的解釋變量, 但這并不意味著解釋變量越多越好,因?yàn)樵谀P椭邪ㄒ恍┎⒉恢匾慕忉屪兞?反而會(huì)引起一些統(tǒng)計(jì)上的問題,一般來說,當(dāng)解釋變量超過5至6個(gè)時(shí),就可能 降低模型的自由度,甚至引起多重共線性問題,這些都會(huì)影響到模型的解釋力。 對(duì)于一些屬性因素,如年齡、季節(jié)、性別等,如不同的屬性表現(xiàn)對(duì)被解釋變量有 明顯不同的影響時(shí),還需設(shè)計(jì)虛擬變量。(2) 生
3、產(chǎn)函數(shù)形式確實(shí)定上面所構(gòu)造的生產(chǎn)函數(shù)只涉及了變量的選取,但為了完成回歸分析,我們必 須確定生產(chǎn)函數(shù)的具體形式。生產(chǎn)函數(shù)可采用多元線性的,但一般最常用的是柯 布一道格拉斯生產(chǎn)函數(shù)AX1b1X2b2(3) 數(shù)據(jù)的收集當(dāng)模型的具體形式已經(jīng)確定下來之后,我們需要針對(duì)模型中的變量收集樣本 數(shù)據(jù)。數(shù)據(jù)類型包括時(shí)序數(shù)據(jù)和截面數(shù)據(jù)?;貧w分析中也會(huì)碰到數(shù)據(jù)缺乏的情況, 這時(shí)我們就不得不做一些理論上簡化,(4) 建立回歸方程及參數(shù)估計(jì)1) 一元線性回歸模型 總體回歸模型如果兩個(gè)變量在總體上存在線性回歸關(guān)系,可以用下式表示Y =a bx ;隨機(jī)誤差公式中a,b是總體回歸模型的參數(shù),;是X變量以外其它所有影響因素對(duì)
4、丫 值的總合影響,故稱隨機(jī)干擾項(xiàng)。如果在一定時(shí)期內(nèi)一些因素的單獨(dú)影響都比擬 零散、微弱,就可以不把它們單獨(dú)列為自變量,而合并為一個(gè)隨機(jī)因素。在一個(gè) 模式中是否存在隨機(jī)誤差,表達(dá)了確定型依存關(guān)系和統(tǒng)計(jì)型依存關(guān)系的區(qū)別。隨機(jī)誤差表達(dá)了在X取既定值時(shí)丫的變異。 假定前提a. ;是隨機(jī)變量對(duì)應(yīng)于某個(gè)X既定值,;的符號(hào)和絕對(duì)值的大小是隨機(jī)的,它既獨(dú)立于 X的 取值,也獨(dú)立于前一項(xiàng);值。b. ;服從正態(tài)分布影響丫的其它因素的作用趨于互相抵消,E ;=0,丫的期望值落在總體回 歸線上,在給定X值后,丫值圍繞丫的期望值呈正態(tài)分布。c. 對(duì)于任何x值,名有恒定的方差b y,x 同方差性。無論X取什么值,丫值圍繞
5、總體回歸線的變異程度相同。 總體回歸直線方程與樣本回歸直線方程如果從總體回歸函數(shù),YX ;中排除;,就得到表示丫值隨X取值而定的正態(tài)分布期望值與X值關(guān)系的方程一總體回歸直線方程 巴,x =a + bx上式說明,在X的值給定的條件下,丫的期望值是X的嚴(yán)密的線性函數(shù)。卩y,x 稱為丫的條件平均數(shù),對(duì)于一個(gè)雙變量協(xié)變總體,當(dāng)自變量X取特定值時(shí),因變 量取值服從如下 正態(tài)分布丫 NWyxtryx根據(jù)樣本數(shù)據(jù)擬合的直線,稱為樣本回歸直線。?ti&t,t=i,2,,式中丫是樣本回歸線上與X相對(duì)應(yīng)的丫值,可視為,x的估計(jì),稱為丫的估計(jì)值或擬合值,召為截距,!?為斜率,表示當(dāng)X變化1個(gè)單位時(shí)丫的變化量,它 們
6、是總體回歸系數(shù)a,b的估計(jì)值。實(shí)際觀測(cè)到的變量丫值,并不完全等于?,如果用e表示兩者之差,它與總體誤差項(xiàng);相對(duì)應(yīng)e -Y _ ?te 稱為殘差由上述可知,樣本回歸直線是對(duì)總體回歸直線的近似反映。回歸分析的主要任務(wù)就是采用適當(dāng)?shù)姆椒?,充分利用樣本所提供的信息,使得樣本回歸直線盡可 能地接近真實(shí)的總體回歸直線。 回歸模型參數(shù)的估計(jì)a. 回歸系統(tǒng)的估計(jì)根據(jù)樣本資料確定樣本回歸方程時(shí),一般總希望丫的估計(jì)值從整體來看盡可 能接近實(shí)際觀測(cè)值。即殘差et的總量越小越好,為了防止q簡單的代數(shù)和會(huì)相互 抵消,也便于數(shù)學(xué)上的處理,通常采用殘差平方和 3e2作為衡量偏差的尺度。最 小二乘法就是根據(jù)這一思路,通過使殘
7、差平和和為最小來估計(jì)回歸系數(shù)的一種方 法。q =喀=弟 一 ?2 二沖-?-bXt2很明顯,殘差平方和Q的大小將依賴于召和R的取值。根據(jù)微積分求極小值 的原理,Q對(duì)?和b?的偏導(dǎo)必須為零n aSYXt =YYt ?AXt +t?LXtIXtYt二 bxXxXi(xX)2蕪必m丫nxt -xt)a =Y -bX召,I?的具體數(shù)值即回歸系數(shù)的估計(jì)值隨選取的樣本不同而不同,所以它是 隨機(jī)變量。b. 總體方差的估計(jì)除了 a,b之外,一元線性回歸模型還包括了另一個(gè)未知參數(shù),總體方差 y,x, 它可以反映理論模型誤差的大小。在數(shù)學(xué)上,九 的無偏估計(jì)是sy,x。n為樣本容量,Sy,x稱為估計(jì)標(biāo)準(zhǔn)誤差。它可用
8、于描述用樣本數(shù)據(jù)擬合回歸直線時(shí), 在X取特定值時(shí)丫觀察值對(duì)于相 應(yīng)的擬合值的離散程序。c. 最小二乘估計(jì)量的性質(zhì)最小二乘法是估計(jì)方法中的一種,最小二乘估計(jì)量是總體回歸系數(shù)的無偏估 計(jì)量,數(shù)學(xué)上還可進(jìn)一步證明,在所有的無偏估計(jì)量中回歸系數(shù)的最小二乘估計(jì) 量的方差最小;同時(shí)隨著樣本容量的增大,其方差會(huì)不斷縮小,所以它又是最優(yōu) 和一致估計(jì)量。2多元線性回歸模型現(xiàn)實(shí)中,某一現(xiàn)象的變動(dòng)常受多種現(xiàn)象變動(dòng)的影響, 右這種場合,僅僅考慮 單個(gè)變量是不夠的,這就產(chǎn)生了測(cè)定多因素之間相關(guān)關(guān)系的問題。 研究在線性相 關(guān)條件下,兩個(gè)或兩個(gè)以上自變量對(duì)一個(gè)因變量的數(shù)量變化關(guān)系,稱為多元線性回歸分析,它是一元線性回歸模型
9、的擴(kuò)展,其根本原理與一元線性回歸模型相類 似,只是在計(jì)算上比擬繁瑣。 總體回歸函數(shù)與總體回歸直線 rXit 2X2t-k Xkt;t:表示截距,j表示在其它自變量保持不變的情況下,自變量 Xj變動(dòng)一個(gè)單位所引起的因變量丫平均變動(dòng)的數(shù)額,成為偏回歸系數(shù)。 前提假定與一元線性前提假定相同,另外再加上,回歸模型所包含的自變量之間不能 具有較強(qiáng)的線性關(guān)系。 樣本回歸方程丫?二:? ?XitXkt (t=1,2, , n) 模型的估計(jì)以三元線性回歸方程為例,即Y1X12X2ta.回歸系數(shù)的估計(jì)最小二乘法MinQ 二 g2 二 AYt 一丫?2 二 3丫一 彳xit - ?2X2t2龍丫 =n 0? +吃
10、 + 際X2!:X2Y =哦丸+畀龍x2 +區(qū)龍X:b.總方差的估計(jì)S2iet2Sy.12 一n樣本容量,k:方程中回歸系數(shù)的個(gè)數(shù)S:n2稱為回歸估計(jì)的標(biāo)準(zhǔn)誤差,越小說明樣本回歸方程的代表性越強(qiáng)Sy,x任Y2_ 輯糾丫 _ 0Ix2Y33非線性回歸模型如果因變量和自變量之間是非線性關(guān)系,我們就必須采用非線性回歸模型, 但對(duì)非線性回歸模型的估計(jì)必須首先將其轉(zhuǎn)化為線性函數(shù), 然后再利用先行回歸 方法估計(jì)各參數(shù)。非線性回歸模型主要有以下幾種: 幕函數(shù)bl b2二 axi X2兩邊取對(duì)數(shù),得:lnY = In a bl n x P I nx2令:Y =lnYA = lna x/ = Inxx2 = I
11、n x2丫 二 A bx; b2x2這種形式就是前面的三元線性回歸方程。利用前文所述方法估計(jì)模型參數(shù)。 特點(diǎn):方程中的參數(shù)可以直接反映因變量 丫對(duì)于某一個(gè)自變量的彈性。Zy必b axjx;2 Xi/Y 中0血;2/丫 =b:X Y即,bi是在其它因素不變的條件下,Xi變動(dòng)1漸引起丫變動(dòng)的百分比 指數(shù)型:丫二abb;2兩邊取對(duì)數(shù),得:InY = In a x; In b| x21n b2令 Y= I nY A=I na B; nb B2 = I nd,那么Y =A BiXi B2X2 多項(xiàng)式函數(shù)23Y = a bx cx dx令: =x23x2 =x x3 =xY = a bx1 cx2 dx3
12、非線性回歸方程轉(zhuǎn)化為線性回歸方程后,可利用前文所述方法,估計(jì)各參數(shù), 最后利用反函數(shù)轉(zhuǎn)化為最初形式。5回歸模型的檢驗(yàn)1經(jīng)濟(jì)學(xué)檢驗(yàn)經(jīng)濟(jì)學(xué)檢驗(yàn)主要是檢驗(yàn)參數(shù)估計(jì)值的符號(hào)和取值區(qū)間所顯示的自變是與應(yīng) 變量的變化關(guān)系是否與理論和人們的實(shí)踐經(jīng)驗(yàn)相一致。2統(tǒng)計(jì)學(xué)檢驗(yàn)利用統(tǒng)計(jì)學(xué)中的抽樣理論來檢驗(yàn)樣本回歸方程的可靠性。a.擬合程度的評(píng)價(jià)所謂擬合程度,是指樣本觀測(cè)值聚在樣本回歸線周圍的緊密程度, 判斷回歸 模型擬合程序優(yōu)劣最常用的數(shù)量指標(biāo)是可決系數(shù), 該指標(biāo)是建立在對(duì)總離差平方 和進(jìn)行分解的根底上。Yt -丫=Y? -Y Yt -Y?=Y?-Y et總離差=可解釋離差+未解釋離差兩邊取平方,得ZYt 一丫2 二
13、Y? -丫 g2 22丫? -丫丫 -Y?二 z(丫? 一丫)2 z(丫 -Y?)2SST =SSR SSE離差平方和=回歸平方和+殘差平方和顯而易見,如果各個(gè)樣本觀察點(diǎn)與樣本回歸直線靠得越緊,SSR在SST中所占比重超越大,因此可定義這一比例為可決系數(shù)。SSR , SSE ,二(Yt -Y?)2112SST SSTp -Y)20乞r2遼1可決系數(shù)越大,方程擬合度越高,在多元線形回歸方程中,為了 更準(zhǔn)確地衡量回歸方程的擬合程度,常使用經(jīng)調(diào)整的多元可決系數(shù)。2(Y -Y?)2 /(n -k)i(Y -Y?)2/( n -1)Sy,xSy_ 2S(lY2_d)/(n_1)nn為樣本容量,k為模型中
14、回歸系數(shù)的個(gè)數(shù)b.顯著性檢驗(yàn)。i. 回歸系數(shù)的顯著性檢驗(yàn)主要目的是為了檢驗(yàn)與各回歸系數(shù)對(duì)應(yīng)的自變量對(duì)因變量的影響是否顯著, 以便對(duì)自變量的取舍作出正確判斷, 一般來說,當(dāng)發(fā)現(xiàn)某個(gè)自變量的影響不顯著 時(shí),應(yīng)將其從模型中刪除。這樣才能夠做到以盡可能少的自變量去到達(dá)盡可能高 的擬合優(yōu)度?;貧w系數(shù)的檢驗(yàn)主要是對(duì)各自變量斜率的檢驗(yàn)。檢驗(yàn)y和X之間是否具備一定的線性回歸關(guān)系就是判斷總體斜率 - j是否等 于0,如果 j=0,那么Y對(duì)X的回歸不成立。因此關(guān)于1 j假設(shè)檢驗(yàn)將以S =0的 零假設(shè)出發(fā),分為以下步驟:i 提出假設(shè)Ho:=O 零假設(shè)Hi : j - 0備擇假設(shè)顯著水平=0.05ii檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量及概率
15、分布因?yàn)閄是服從正態(tài)分布,?j也服從正態(tài)分布一般來說二是未知的, 本時(shí),回歸系數(shù)的估計(jì)值服從我們用其無偏估計(jì)量 Sj?j來代替,當(dāng)樣本為小樣tn_ k分布。那么用t檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量iii判斷,查表得如七.,其值由顯著水平和自由度n-k決定,如果tj 1心,那么拒絕H0,即認(rèn)為Xj對(duì)丫的影響是顯著的。如果訂tn,那么接受原假設(shè),即認(rèn)為Xj對(duì)丫的影響是不顯著的。ii. 回歸方程的顯著性檢驗(yàn)多元線性回歸模型包括了多個(gè)回歸系數(shù), 所以還需對(duì)整個(gè)回歸方程模型進(jìn)行 顯著性檢驗(yàn),以檢驗(yàn)回歸模型總體函數(shù)的線性關(guān)系是否顯著,這主要是在方差分 析根底上米取F檢驗(yàn)完成的。k =0H1 :打不全為0SSR(k -1)SSE
16、(n -k)f(n,n _k)(ii)進(jìn)行方差分析,列出回歸方差分析表離差名稱平方和自由度均方和回歸平方和SSR= I(Y? -Y)2k-1SSR/(k-1)SSE/( n-k)殘差平方和SSEYq2n-k總離差平方和SST=H(Yt _Y)2(n-1)(iii )根據(jù)方差分析的結(jié)果求F統(tǒng)計(jì)量,即(iv )根據(jù)自由度和給定的顯著性水平:,查F分布表中的理論臨界值 F,當(dāng)F -F:,拒絕原假設(shè),即認(rèn)為總體回歸函數(shù)中各自變量與因變量的線性回歸關(guān)系顯著。反之認(rèn)為所建立的回歸模型沒意義。3) 經(jīng)濟(jì)計(jì)量學(xué)檢驗(yàn)在回歸分析之前,我們提出了一些回歸型的假設(shè)前提,以便于使用最小二乘 法擬合回歸方程,并作出一系列
17、的推斷。任何一條假設(shè)前提不符合都會(huì)使回歸分 析不盡合理,甚至誤入歧途。所以當(dāng)我們擬合出回歸方程后,需要回過頭來審查 一下這些假定前提是否成立。如不成立,需作相應(yīng)調(diào)整和改動(dòng)。i. 自相關(guān)。樣本數(shù)據(jù)按時(shí)間順序展開時(shí),因變量隨機(jī)誤差獨(dú)立性的前提往往不能成立, 殘值無法呈隨機(jī)分布,而是在這些殘值本身之間形成了某種鏈?zhǔn)叫?yīng)(即自相 關(guān)),樣本中的因變量可能受過去變動(dòng)趨勢(shì)的影響。如果自相關(guān)存在,那么就意味有一種有顯著影響的因素一時(shí)序沒有在回歸模 式的考慮之中,從而以使誤差平方和 SSE不是最小值。檢驗(yàn)方法:按時(shí)間順序給殘差散點(diǎn)圖或使用杠賓一沃嶺檢驗(yàn)(DW)解決方法:增設(shè)滯后變量以改良模型,既然時(shí)序造成因變
18、量值的前后鏈?zhǔn)接?響,在回歸模型中將前期因變量作為本期自變量值來對(duì)待。ii. 異方差對(duì)于在自變量取任何一組特定值時(shí)條件平均數(shù)的方差恒定的前提假設(shè)不成立,估計(jì)標(biāo)準(zhǔn)誤差就無法作為,x的無偏估計(jì)量。因而就無法進(jìn)行參數(shù)的檢驗(yàn)和 因變量的估計(jì)檢驗(yàn)方法: 繪制殘值對(duì)自變量的散點(diǎn)圖, 看殘值的離散度是否隨自由度的變 化而有規(guī)律的擴(kuò)大與縮小,如是那么有異方差。解決方法:實(shí)施變量轉(zhuǎn)換, 即用一個(gè)與現(xiàn)行自變量有函數(shù)關(guān)系的自變量進(jìn)入 回歸方程或采用加權(quán)最小二乘法。iii. 非正態(tài)性如果隨機(jī)誤差分布不是正態(tài)或趨于正態(tài), 就失去了對(duì)回歸系數(shù)進(jìn)行 t 檢驗(yàn)和 對(duì)因變量進(jìn)行估計(jì)的依據(jù)。繪制殘值的直方圖, 通過直方圖可以粗略地檢驗(yàn)殘值是否趨于正態(tài)分布, 這 種方法要求有一定大的樣本容量,其它方法可采用擬合優(yōu)度檢驗(yàn)法。解決方法:進(jìn)行變量轉(zhuǎn)換。應(yīng)有助于改變它的分布狀況。iv. 多重共線性采用回歸分析時(shí), 我們假設(shè)解釋變量之間是線形無關(guān)的, 如果這個(gè)假設(shè)被違 背,就產(chǎn)生了多重共線問題, 在實(shí)際應(yīng)用多元回歸分析時(shí), 多變共線性是難免產(chǎn) 生的,問題在于程度的強(qiáng)弱。較弱的多重共線性對(duì)回歸模型的有效性影響不大, 較強(qiáng)
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