生產(chǎn)函數(shù)的估計(jì)

1、生產(chǎn)函數(shù)估計(jì)與預(yù)測(cè)方法介紹一、生產(chǎn)函數(shù)的估計(jì)1含義我們?cè)?經(jīng)濟(jì)學(xué)?課程的學(xué)習(xí)中已經(jīng)知道，產(chǎn)量是由生產(chǎn)要素的投入數(shù)量和 組合關(guān)系決定的。那么生產(chǎn)函數(shù)的估計(jì)實(shí)際就是客觀反映生產(chǎn)量與各生產(chǎn)要素投 入量之間的函數(shù)關(guān)系。2 方法與步驟估計(jì)生產(chǎn)函數(shù)最常用的方法是利用實(shí)際收集到的一組數(shù)據(jù)進(jìn)行回歸分析，這種方法較為客觀，通過(guò)它得到的信息比擬完全和精確。為了完成回歸分析，我們必須首先構(gòu)造一個(gè)生產(chǎn)函數(shù)并確定函數(shù)的具體形 式；然后再在收集數(shù)據(jù)的根底上用回歸分析方法求出函數(shù)的具體參數(shù)值；最后， 我們還需要檢驗(yàn)回歸結(jié)果對(duì)數(shù)據(jù)的擬合程度，以及回歸分析的前提條件是否成 立，因?yàn)橐粋€(gè)沒(méi)有顯著函數(shù)關(guān)系或回歸分析前提條件不成立的

2、回歸分析結(jié)果是沒(méi) 有意義的。(1) 影響變量的選取就一個(gè)具體的回歸分析而言，各個(gè)變量必須具有特定的含義。在進(jìn)行回歸分 析時(shí)，我們應(yīng)該對(duì)于研究對(duì)象具有深入的了解， 否那么在函數(shù)構(gòu)造這一步可能會(huì)漏 掉一些很重要的解釋變量。在進(jìn)行回歸分析時(shí)應(yīng)注意不要漏掉重要的解釋變量， 但這并不意味著解釋變量越多越好，因?yàn)樵谀Ｐ椭邪ㄒ恍┎⒉恢匾慕忉屪兞?反而會(huì)引起一些統(tǒng)計(jì)上的問(wèn)題，一般來(lái)說(shuō)，當(dāng)解釋變量超過(guò)5至6個(gè)時(shí)，就可能 降低模型的自由度，甚至引起多重共線性問(wèn)題，這些都會(huì)影響到模型的解釋力。 對(duì)于一些屬性因素，如年齡、季節(jié)、性別等，如不同的屬性表現(xiàn)對(duì)被解釋變量有 明顯不同的影響時(shí)，還需設(shè)計(jì)虛擬變量。(2) 生

3、產(chǎn)函數(shù)形式確實(shí)定上面所構(gòu)造的生產(chǎn)函數(shù)只涉及了變量的選取，但為了完成回歸分析，我們必 須確定生產(chǎn)函數(shù)的具體形式。生產(chǎn)函數(shù)可采用多元線性的，但一般最常用的是柯 布一道格拉斯生產(chǎn)函數(shù)AX1b1X2b2(3) 數(shù)據(jù)的收集當(dāng)模型的具體形式已經(jīng)確定下來(lái)之后，我們需要針對(duì)模型中的變量收集樣本 數(shù)據(jù)。數(shù)據(jù)類(lèi)型包括時(shí)序數(shù)據(jù)和截面數(shù)據(jù)?；貧w分析中也會(huì)碰到數(shù)據(jù)缺乏的情況， 這時(shí)我們就不得不做一些理論上簡(jiǎn)化，(4) 建立回歸方程及參數(shù)估計(jì)1) 一元線性回歸模型 總體回歸模型如果兩個(gè)變量在總體上存在線性回歸關(guān)系，可以用下式表示Y =a bx ；隨機(jī)誤差公式中a,b是總體回歸模型的參數(shù)，；是X變量以外其它所有影響因素對(duì)

4、丫 值的總合影響，故稱(chēng)隨機(jī)干擾項(xiàng)。如果在一定時(shí)期內(nèi)一些因素的單獨(dú)影響都比擬 零散、微弱，就可以不把它們單獨(dú)列為自變量，而合并為一個(gè)隨機(jī)因素。在一個(gè) 模式中是否存在隨機(jī)誤差，表達(dá)了確定型依存關(guān)系和統(tǒng)計(jì)型依存關(guān)系的區(qū)別。隨機(jī)誤差表達(dá)了在X取既定值時(shí)丫的變異。 假定前提a. ；是隨機(jī)變量對(duì)應(yīng)于某個(gè)X既定值，；的符號(hào)和絕對(duì)值的大小是隨機(jī)的，它既獨(dú)立于 X的 取值，也獨(dú)立于前一項(xiàng)；值。b. ；服從正態(tài)分布影響丫的其它因素的作用趨于互相抵消，E ；=0，丫的期望值落在總體回 歸線上，在給定X值后，丫值圍繞丫的期望值呈正態(tài)分布。c. 對(duì)于任何x值，名有恒定的方差b y,x 同方差性。無(wú)論X取什么值，丫值圍繞

5、總體回歸線的變異程度相同。 總體回歸直線方程與樣本回歸直線方程如果從總體回歸函數(shù)，YX ；中排除；，就得到表示丫值隨X取值而定的正態(tài)分布期望值與X值關(guān)系的方程一總體回歸直線方程 巴,x =a + bx上式說(shuō)明，在X的值給定的條件下，丫的期望值是X的嚴(yán)密的線性函數(shù)。卩y,x 稱(chēng)為丫的條件平均數(shù)，對(duì)于一個(gè)雙變量協(xié)變總體，當(dāng)自變量X取特定值時(shí)，因變 量取值服從如下 正態(tài)分布丫 NWyxtryx根據(jù)樣本數(shù)據(jù)擬合的直線，稱(chēng)為樣本回歸直線。?ti&t，t=i,2，,式中丫是樣本回歸線上與X相對(duì)應(yīng)的丫值，可視為,x的估計(jì)，稱(chēng)為丫的估計(jì)值或擬合值，召為截距，！?為斜率，表示當(dāng)X變化1個(gè)單位時(shí)丫的變化量，它 們

6、是總體回歸系數(shù)a,b的估計(jì)值。實(shí)際觀測(cè)到的變量丫值，并不完全等于?，如果用e表示兩者之差，它與總體誤差項(xiàng)；相對(duì)應(yīng)e -Y _ ?te 稱(chēng)為殘差由上述可知，樣本回歸直線是對(duì)總體回歸直線的近似反映?；貧w分析的主要任務(wù)就是采用適當(dāng)?shù)姆椒?，充分利用樣本所提供的信息，使得樣本回歸直線盡可 能地接近真實(shí)的總體回歸直線。 回歸模型參數(shù)的估計(jì)a. 回歸系統(tǒng)的估計(jì)根據(jù)樣本資料確定樣本回歸方程時(shí)，一般總希望丫的估計(jì)值從整體來(lái)看盡可 能接近實(shí)際觀測(cè)值。即殘差et的總量越小越好，為了防止q簡(jiǎn)單的代數(shù)和會(huì)相互 抵消，也便于數(shù)學(xué)上的處理，通常采用殘差平方和 3e2作為衡量偏差的尺度。最 小二乘法就是根據(jù)這一思路，通過(guò)使殘

7、差平和和為最小來(lái)估計(jì)回歸系數(shù)的一種方 法。q =喀=弟 一 ？2 二沖-？-bXt2很明顯，殘差平方和Q的大小將依賴(lài)于召和R的取值。根據(jù)微積分求極小值 的原理，Q對(duì)?和b?的偏導(dǎo)必須為零n aSYXt =YYt ?AXt +t?LXtIXtYt二 bxXxXi(xX)2蕪必m丫nxt -xt)a =Y -bX召，I?的具體數(shù)值即回歸系數(shù)的估計(jì)值隨選取的樣本不同而不同，所以它是 隨機(jī)變量。b. 總體方差的估計(jì)除了 a,b之外，一元線性回歸模型還包括了另一個(gè)未知參數(shù)，總體方差 y,x， 它可以反映理論模型誤差的大小。在數(shù)學(xué)上，九 的無(wú)偏估計(jì)是sy,x。n為樣本容量，Sy,x稱(chēng)為估計(jì)標(biāo)準(zhǔn)誤差。它可用

8、于描述用樣本數(shù)據(jù)擬合回歸直線時(shí)， 在X取特定值時(shí)丫觀察值對(duì)于相 應(yīng)的擬合值的離散程序。c. 最小二乘估計(jì)量的性質(zhì)最小二乘法是估計(jì)方法中的一種，最小二乘估計(jì)量是總體回歸系數(shù)的無(wú)偏估 計(jì)量，數(shù)學(xué)上還可進(jìn)一步證明，在所有的無(wú)偏估計(jì)量中回歸系數(shù)的最小二乘估計(jì) 量的方差最?。煌瑫r(shí)隨著樣本容量的增大，其方差會(huì)不斷縮小，所以它又是最優(yōu) 和一致估計(jì)量。2多元線性回歸模型現(xiàn)實(shí)中，某一現(xiàn)象的變動(dòng)常受多種現(xiàn)象變動(dòng)的影響， 右這種場(chǎng)合，僅僅考慮 單個(gè)變量是不夠的，這就產(chǎn)生了測(cè)定多因素之間相關(guān)關(guān)系的問(wèn)題。 研究在線性相 關(guān)條件下，兩個(gè)或兩個(gè)以上自變量對(duì)一個(gè)因變量的數(shù)量變化關(guān)系，稱(chēng)為多元線性回歸分析，它是一元線性回歸模型

9、的擴(kuò)展，其根本原理與一元線性回歸模型相類(lèi) 似，只是在計(jì)算上比擬繁瑣。 總體回歸函數(shù)與總體回歸直線 rXit 2X2t-k Xkt；t:表示截距，j表示在其它自變量保持不變的情況下，自變量 Xj變動(dòng)一個(gè)單位所引起的因變量丫平均變動(dòng)的數(shù)額，成為偏回歸系數(shù)。 前提假定與一元線性前提假定相同，另外再加上，回歸模型所包含的自變量之間不能 具有較強(qiáng)的線性關(guān)系。 樣本回歸方程丫?二：？ ?XitXkt (t=1,2, , n) 模型的估計(jì)以三元線性回歸方程為例，即Y1X12X2ta.回歸系數(shù)的估計(jì)最小二乘法MinQ 二 g2 二 AYt 一丫?2 二 3丫一 彳xit - ？2X2t2龍丫 =n 0? +吃

10、 + 際X2!：X2Y =哦丸+畀龍x2 +區(qū)龍X：b.總方差的估計(jì)S2iet2Sy.12 一n樣本容量，k:方程中回歸系數(shù)的個(gè)數(shù)S：n2稱(chēng)為回歸估計(jì)的標(biāo)準(zhǔn)誤差，越小說(shuō)明樣本回歸方程的代表性越強(qiáng)Sy,x任Y2_ 輯糾丫 _ 0Ix2Y33非線性回歸模型如果因變量和自變量之間是非線性關(guān)系，我們就必須采用非線性回歸模型， 但對(duì)非線性回歸模型的估計(jì)必須首先將其轉(zhuǎn)化為線性函數(shù)， 然后再利用先行回歸 方法估計(jì)各參數(shù)。非線性回歸模型主要有以下幾種： 幕函數(shù)bl b2二 axi X2兩邊取對(duì)數(shù)，得:lnY = In a bl n x P I nx2令：Y =lnYA = lna x/ = Inxx2 = I

11、n x2丫 二 A bx； b2x2這種形式就是前面的三元線性回歸方程。利用前文所述方法估計(jì)模型參數(shù)。 特點(diǎn)：方程中的參數(shù)可以直接反映因變量 丫對(duì)于某一個(gè)自變量的彈性。Zy必b axjx；2 Xi/Y 中0血；2/丫 =b:X Y即，bi是在其它因素不變的條件下，Xi變動(dòng)1漸引起丫變動(dòng)的百分比 指數(shù)型：丫二abb；2兩邊取對(duì)數(shù)，得:InY = In a x； In b| x21n b2令 Y= I nY A=I na B； nb B2 = I nd，那么Y =A BiXi B2X2 多項(xiàng)式函數(shù)23Y = a bx cx dx令： =x23x2 =x x3 =xY = a bx1 cx2 dx3

12、非線性回歸方程轉(zhuǎn)化為線性回歸方程后，可利用前文所述方法，估計(jì)各參數(shù), 最后利用反函數(shù)轉(zhuǎn)化為最初形式。5回歸模型的檢驗(yàn)1經(jīng)濟(jì)學(xué)檢驗(yàn)經(jīng)濟(jì)學(xué)檢驗(yàn)主要是檢驗(yàn)參數(shù)估計(jì)值的符號(hào)和取值區(qū)間所顯示的自變是與應(yīng) 變量的變化關(guān)系是否與理論和人們的實(shí)踐經(jīng)驗(yàn)相一致。2統(tǒng)計(jì)學(xué)檢驗(yàn)利用統(tǒng)計(jì)學(xué)中的抽樣理論來(lái)檢驗(yàn)樣本回歸方程的可靠性。a.擬合程度的評(píng)價(jià)所謂擬合程度，是指樣本觀測(cè)值聚在樣本回歸線周?chē)木o密程度， 判斷回歸 模型擬合程序優(yōu)劣最常用的數(shù)量指標(biāo)是可決系數(shù)， 該指標(biāo)是建立在對(duì)總離差平方 和進(jìn)行分解的根底上。Yt -丫=Y? -Y Yt -Y?=Y?-Y et總離差=可解釋離差+未解釋離差兩邊取平方，得ZYt 一丫2 二

13、Y? -丫 g2 22丫？ -丫丫 -Y?二 z(丫？ 一丫)2 z(丫 -Y?)2SST =SSR SSE離差平方和=回歸平方和+殘差平方和顯而易見(jiàn)，如果各個(gè)樣本觀察點(diǎn)與樣本回歸直線靠得越緊，SSR在SST中所占比重超越大，因此可定義這一比例為可決系數(shù)。SSR , SSE ,二(Yt -Y?)2112SST SSTp -Y)20乞r2遼1可決系數(shù)越大，方程擬合度越高，在多元線形回歸方程中，為了 更準(zhǔn)確地衡量回歸方程的擬合程度，常使用經(jīng)調(diào)整的多元可決系數(shù)。2(Y -Y?)2 /(n -k)i(Y -Y?)2/( n -1)Sy,xSy_ 2S(lY2_d)/(n_1)nn為樣本容量，k為模型中

14、回歸系數(shù)的個(gè)數(shù)b.顯著性檢驗(yàn)。i. 回歸系數(shù)的顯著性檢驗(yàn)主要目的是為了檢驗(yàn)與各回歸系數(shù)對(duì)應(yīng)的自變量對(duì)因變量的影響是否顯著， 以便對(duì)自變量的取舍作出正確判斷， 一般來(lái)說(shuō)，當(dāng)發(fā)現(xiàn)某個(gè)自變量的影響不顯著 時(shí)，應(yīng)將其從模型中刪除。這樣才能夠做到以盡可能少的自變量去到達(dá)盡可能高 的擬合優(yōu)度?；貧w系數(shù)的檢驗(yàn)主要是對(duì)各自變量斜率的檢驗(yàn)。檢驗(yàn)y和X之間是否具備一定的線性回歸關(guān)系就是判斷總體斜率 - j是否等 于0,如果 j=0，那么Y對(duì)X的回歸不成立。因此關(guān)于1 j假設(shè)檢驗(yàn)將以S =0的 零假設(shè)出發(fā)，分為以下步驟：i 提出假設(shè)Ho：=O 零假設(shè)Hi : j - 0備擇假設(shè)顯著水平=0.05ii檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量及概率

15、分布因?yàn)閄是服從正態(tài)分布,?j也服從正態(tài)分布一般來(lái)說(shuō)二是未知的, 本時(shí)，回歸系數(shù)的估計(jì)值服從我們用其無(wú)偏估計(jì)量 Sj?j來(lái)代替，當(dāng)樣本為小樣tn_ k分布。那么用t檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量iii判斷，查表得如七.，其值由顯著水平和自由度n-k決定,如果tj 1心，那么拒絕H0,即認(rèn)為Xj對(duì)丫的影響是顯著的。如果訂tn，那么接受原假設(shè),即認(rèn)為Xj對(duì)丫的影響是不顯著的。ii. 回歸方程的顯著性檢驗(yàn)多元線性回歸模型包括了多個(gè)回歸系數(shù)， 所以還需對(duì)整個(gè)回歸方程模型進(jìn)行 顯著性檢驗(yàn)，以檢驗(yàn)回歸模型總體函數(shù)的線性關(guān)系是否顯著，這主要是在方差分 析根底上米取F檢驗(yàn)完成的。k =0H1 :打不全為0SSR(k -1)SSE

16、(n -k)f(n,n _k)(ii)進(jìn)行方差分析，列出回歸方差分析表離差名稱(chēng)平方和自由度均方和回歸平方和SSR= I(Y? -Y)2k-1SSR/(k-1)SSE/( n-k)殘差平方和SSEYq2n-k總離差平方和SST=H(Yt _Y)2(n-1)(iii )根據(jù)方差分析的結(jié)果求F統(tǒng)計(jì)量，即(iv )根據(jù)自由度和給定的顯著性水平：，查F分布表中的理論臨界值 F，當(dāng)F -F：，拒絕原假設(shè)，即認(rèn)為總體回歸函數(shù)中各自變量與因變量的線性回歸關(guān)系顯著。反之認(rèn)為所建立的回歸模型沒(méi)意義。3) 經(jīng)濟(jì)計(jì)量學(xué)檢驗(yàn)在回歸分析之前，我們提出了一些回歸型的假設(shè)前提，以便于使用最小二乘 法擬合回歸方程，并作出一系列

17、的推斷。任何一條假設(shè)前提不符合都會(huì)使回歸分 析不盡合理，甚至誤入歧途。所以當(dāng)我們擬合出回歸方程后，需要回過(guò)頭來(lái)審查 一下這些假定前提是否成立。如不成立，需作相應(yīng)調(diào)整和改動(dòng)。i. 自相關(guān)。樣本數(shù)據(jù)按時(shí)間順序展開(kāi)時(shí)，因變量隨機(jī)誤差獨(dú)立性的前提往往不能成立， 殘值無(wú)法呈隨機(jī)分布，而是在這些殘值本身之間形成了某種鏈?zhǔn)叫?yīng)(即自相 關(guān))，樣本中的因變量可能受過(guò)去變動(dòng)趨勢(shì)的影響。如果自相關(guān)存在，那么就意味有一種有顯著影響的因素一時(shí)序沒(méi)有在回歸模 式的考慮之中，從而以使誤差平方和 SSE不是最小值。檢驗(yàn)方法：按時(shí)間順序給殘差散點(diǎn)圖或使用杠賓一沃嶺檢驗(yàn)(DW)解決方法：增設(shè)滯后變量以改良模型，既然時(shí)序造成因變

18、量值的前后鏈?zhǔn)接?響，在回歸模型中將前期因變量作為本期自變量值來(lái)對(duì)待。ii. 異方差對(duì)于在自變量取任何一組特定值時(shí)條件平均數(shù)的方差恒定的前提假設(shè)不成立，估計(jì)標(biāo)準(zhǔn)誤差就無(wú)法作為,x的無(wú)偏估計(jì)量。因而就無(wú)法進(jìn)行參數(shù)的檢驗(yàn)和 因變量的估計(jì)檢驗(yàn)方法： 繪制殘值對(duì)自變量的散點(diǎn)圖， 看殘值的離散度是否隨自由度的變 化而有規(guī)律的擴(kuò)大與縮小，如是那么有異方差。解決方法：實(shí)施變量轉(zhuǎn)換， 即用一個(gè)與現(xiàn)行自變量有函數(shù)關(guān)系的自變量進(jìn)入 回歸方程或采用加權(quán)最小二乘法。iii. 非正態(tài)性如果隨機(jī)誤差分布不是正態(tài)或趨于正態(tài)， 就失去了對(duì)回歸系數(shù)進(jìn)行 t 檢驗(yàn)和 對(duì)因變量進(jìn)行估計(jì)的依據(jù)。繪制殘值的直方圖， 通過(guò)直方圖可以粗略地檢驗(yàn)殘值是否趨于正態(tài)分布， 這 種方法要求有一定大的樣本容量，其它方法可采用擬合優(yōu)度檢驗(yàn)法。解決方法：進(jìn)行變量轉(zhuǎn)換。應(yīng)有助于改變它的分布狀況。iv. 多重共線性采用回歸分析時(shí)， 我們假設(shè)解釋變量之間是線形無(wú)關(guān)的， 如果這個(gè)假設(shè)被違 背，就產(chǎn)生了多重共線問(wèn)題， 在實(shí)際應(yīng)用多元回歸分析時(shí)， 多變共線性是難免產(chǎn) 生的，問(wèn)題在于程度的強(qiáng)弱。較弱的多重共線性對(duì)回歸模型的有效性影響不大， 較強(qiáng)