高考數(shù)學(xué)解題中突破思維障礙的技巧

1、高考數(shù)學(xué)解題中突破思維障礙的技巧 泉州五中數(shù)學(xué)組趙志毅 高考數(shù)學(xué)解題中，如何突破思維障礙，促進(jìn)思維流暢，正常發(fā)揮，取得優(yōu)異成績呢？筆者經(jīng)過近三十年的教學(xué)，帶出十幾屆高三畢業(yè)生，總結(jié)出以下幾點(diǎn)，有失偏頗之處，還請各位同行不吝指正： 1、高考數(shù)學(xué)解題中形成思維障礙、思維屏蔽的原因： 1.1基礎(chǔ)知識不系統(tǒng)，不扎實，重要概念一知半解，似懂非懂，定理、法則、公式丟三落四，囫圇吞棗，不了解知識的內(nèi)涵、外延、公式、定理的使用條件； 1.2基本數(shù)學(xué)思想方法意識淡薄，不能用學(xué)科思想指導(dǎo)解題； 1.3缺乏學(xué)科整體意識，不善于發(fā)現(xiàn)數(shù)學(xué)知識間的聯(lián)系與轉(zhuǎn)化，不了解知識網(wǎng)絡(luò)的交匯點(diǎn)； 1.4學(xué)法呆板，學(xué)習(xí)中死記硬背，練習(xí)

2、時機(jī)械摹仿； 1.5思維方式低下，只知順向思維，缺少轉(zhuǎn)換視角、逆向思維或發(fā)散思維的意識和能力； 1.6解題習(xí)慣不良，不遵循解題格式思維和表述，隨手亂畫草圖，隨意省略過程，甚至丟三落四，盲目添加、默認(rèn)或修改條件和結(jié)論，亂套數(shù)學(xué)模型； 1.7對題目的新穎情境辨析能力差； 1.8心理素質(zhì)欠佳，一遇困難，情緒陡下，不能集中注意力，積極思維 2、高考數(shù)學(xué)解題中，出現(xiàn)解題思維障礙的表征： 2.1題目情境新，涉及知識深，背景材料不熟，無法尋求相近、相似的數(shù)學(xué)模式； 2.2條件眾多且分散，無法發(fā)現(xiàn)它們間的聯(lián)系或轉(zhuǎn)化途徑； 2.3數(shù)學(xué)記號與數(shù)學(xué)語言新奇、陌生、抽象，不能理解其數(shù)學(xué)內(nèi)涵； 2.4目標(biāo)不明確、不具體

3、，且無法與條件溝通； 2.5條件不充分，且無法發(fā)現(xiàn)足夠的隱含條件； 2.6按常規(guī)思路計算量大，解題長度太長； 2.7應(yīng)用題所列實際問題情境不熟悉，專用名詞，術(shù)語生辟，無法建立數(shù)學(xué)模型； 2.8在實施解題計劃中，原有演算或推理無法繼續(xù)施行 3、高考數(shù)學(xué)解題中突破思維障礙的常規(guī)策略： 3.1語言轉(zhuǎn)譯 數(shù)學(xué)語言是數(shù)學(xué)知識的載體，是數(shù)學(xué)高考必考的數(shù)學(xué)能力的要素之一，也是考生讀不懂高考數(shù)學(xué)試題，形成解題思維障礙的第一個關(guān)卡 數(shù)學(xué)語言包括文字語言、符號語言及圖形語言三種基本樣式，每種樣式各有自己獨(dú)特的規(guī)律和長處，優(yōu)勢互補(bǔ)，形成數(shù)學(xué)交流中風(fēng)格各異、豐富多彩的語言特色，數(shù)苑奇觀，也同時構(gòu)筑了外行無法逾越的關(guān)卡

4、，競爭者艱難攀登的一個階梯及時將題目條件與結(jié)論中讀不懂的部分，由原有的表述樣式，轉(zhuǎn)譯為新一種表述樣式，利用不同的語言樣式的優(yōu)點(diǎn)，凸現(xiàn)題目的數(shù)學(xué)本質(zhì)，如將普通語言改譯為符號語言，或?qū)⒎栒Z言改譯為圖形語言，常常可以幫助我們突破語言關(guān)卡，讀懂或切入題意 例題1已知集合Ax| x23x100，B=x| m+1x2m1，若ABA, 求實數(shù)m的取值范圍 分析：本小題解答中，一些考生讀不懂條件AB=A，因而思維短路 突破思維障礙的策略有兩種： (1) 通法：將ABA轉(zhuǎn)譯為圖形語言，由文氏圖可得A BABA； (2) 特例法：化簡條件，易知A=2, 5是固定集合，B=m+1, 2m1是可變集合，由數(shù)軸可知將

5、B分為B=或B兩類情況，相對于A集變動，即得m的取值范圍(, 3. 點(diǎn)撥解疑：忽視B的存在，是一個常見錯誤 例題2函數(shù)yf(x)在(, 0上是減函數(shù)，而函數(shù)yf(x+1)是偶函數(shù)，設(shè) af()，bf(3)，c=farcos(1)，試比較a，b，c的大小關(guān)系 分析：易得af(2)，c=f()，但一些考生讀不懂函數(shù)yf(x+1)是偶函數(shù)的內(nèi)含，無法轉(zhuǎn)化為f(x)的單調(diào)性來求，思路不暢 轉(zhuǎn)換語言樣式，運(yùn)用圖形語言和圖形變換考察題設(shè)條件，知函數(shù) yf(x+1)的圖像關(guān)于 y軸對稱，而函數(shù) y=f(x+1)的圖像由函數(shù)yf(x)的圖像向左平移1個單位得到，所以yf(x)的圖像關(guān)于直線x1對稱， 由y=f

6、(x)在(, 0上遞減，知y=f(x)在x2, )上遞增， f(2)=f(4), 而234，f(3)<f()<f(4), 故bca 例題3設(shè)m等于|a|，|b|和1中最大的一個，當(dāng)|x|m時，求證：<2. 分析：本小題解答中，一些考生不善于將題設(shè)條件中的文字語言轉(zhuǎn)譯為符號語言，揭示其隱蔽的大小關(guān)系，形成思維障礙 將題設(shè)的文字語言轉(zhuǎn)譯成符號語言“m|a|，m|b|, m1”與條件|x|m統(tǒng)一為符號語言表述，即可思路暢通，發(fā)現(xiàn)|x|>m|a|，從而 , =2.3.2數(shù)形結(jié)合數(shù)形結(jié)合思想是重要的基本數(shù)學(xué)思想，從人腦思維功能看，人的左半腦主抽象思維，代數(shù)推理思維；右半腦主形象思

7、維，幾何直觀思維，數(shù)形結(jié)合思想完美地調(diào)動了左、右半腦的思維功能，極大地促進(jìn)數(shù)學(xué)解題者的思維能力，從數(shù)學(xué)對象的本質(zhì)看，數(shù)即數(shù)學(xué)記號具有高度的抽象性，簡約性，形即數(shù)學(xué)圖形具有高度的直觀性，形象性，數(shù)形結(jié)合思想相輔相成，完美地凸現(xiàn)了數(shù)學(xué)對象的各種本質(zhì)及本質(zhì)間的聯(lián)系 數(shù)學(xué)解題中，不能充分揭露題目的隱含條件，找不到解題的突破口時，有意識地運(yùn)用數(shù)形結(jié)合思想轉(zhuǎn)換思維角度，賦條件和結(jié)論中的數(shù)式以圖形，或給條件和結(jié)論中的圖形以數(shù)式的解釋，以形釋數(shù)，由數(shù)思形，把代數(shù)式的精確刻畫與幾何圖形的直觀描述有機(jī)地結(jié)合起來，盡現(xiàn)題目豐富的種種聯(lián)系，許多思維障礙便不攻自破了例題4已知奇函數(shù)f(x) 的定義域是x| x0, xR

8、，且在(0, +)上單調(diào)遞增，若f(1)=0試求滿足x·f(x)0的x的范圍分析：由于函數(shù)f(x)沒有給出具體的函數(shù)式，目標(biāo)不等式無法直接解出，形成思維障礙轉(zhuǎn)換思維角度，注意到x·f(x)0表明此函數(shù)的自變量與函數(shù)值異號，結(jié)合題沒條件，即可見運(yùn)用數(shù)形結(jié)合思想，構(gòu)造一個符合條件的簡單函數(shù)的圖像（如圖）由圖像立知，滿足x·f(x)0的x的取值范圍是(1, 0)(0, 1) 點(diǎn)撥解疑：抽象函數(shù)問題常采用特例法解，根據(jù)題設(shè)構(gòu)造一個最簡單的函數(shù)即可例題5設(shè)函數(shù)f(x)a+，g(x)x+1，已知x4, 0時，恒有f(x)g(x), 求實數(shù)a的取值范圍 分析：f(x)g(x)，

9、即a+x+1, 由于參數(shù)a取值范圍不易由x0， 4時，將原不等式同解變換得到，思路不暢轉(zhuǎn)換視角，觀察不等式結(jié)構(gòu)特征，數(shù)形結(jié)合，易知變形為不等式a+x+1后，可令 y1= , y2=x+1a , 由得(x2)2y2=4（y0），表示以點(diǎn)(-2，0)為圓心，2為半徑的半圓； 式表示斜率為，截距為1a的平行直線系, 顯然直線系中與半圓O相切的直線AT（T為切點(diǎn)）即為所求臨界值 如圖，設(shè)直線AT的傾斜角為，則tan= (0<<), sin=, 在BOT中, =, 在AOB中，OA|OB|·tan=×= 6, 要使f(x)g(x)恒成立，直線必須位于AT上方或AT重合 1

10、a6, a5. 3.3逆向思維 逆向思維是較高層次的思維方式，也是數(shù)學(xué)高考思維能力考查的一個要點(diǎn) 逆向思維包含多種形式，常見形式有： 逆向分析，當(dāng)直接證法受阻時，變換視角，從待證結(jié)論出發(fā)，遞次尋找結(jié)論成立的充分（充要）條件，直至題設(shè)或顯然的數(shù)學(xué)事實，此執(zhí)果尋因的證法通常叫分析法，是不等式證明中的重要間接證法； 逆用知識：當(dāng)定理、法則、公式順用不符合題沒條件，只有逆向運(yùn)用才能解題時，根據(jù)題沒逆用知識就成為解題的必須策略，但解題成敗的關(guān)鍵是對知識能否逆用的認(rèn)識，即對定理、公式、法則使用范圍的深刻理解； 逆向推求，在一些難度較大的探索型開放題，如存在性問題，從問題結(jié)論出發(fā)，假設(shè)問題結(jié)論存在（成立），

11、結(jié)合題設(shè)條件，逆向推理或演算，找到確切的數(shù)值或明顯的矛盾，使問題獲解； 反證法：當(dāng)結(jié)論的正面不易證明時，假定結(jié)論反面成立，通過歸謬，窮舉等嚴(yán)格推理，引出矛盾，否定“反設(shè)”，從而肯定結(jié)論正確； 反面求補(bǔ)，當(dāng)結(jié)論的正面比較復(fù)雜，而反面比較簡單時，求結(jié)論的補(bǔ)集 （去雜法 ），在高考數(shù)學(xué)解題中，順向思考遇到障礙，并經(jīng)過語言轉(zhuǎn)譯，數(shù)形結(jié)合仍不奏效時，應(yīng)積極轉(zhuǎn)換視角，嘗試逆向思維 例題6已知集合 M=( x, y)| y22x，N=(x, y)| (xa)2y2=9，求 MN的充要條件 分析：易知MN的充要條件是方程組至少有一個實數(shù)解，且x0, 即x2+2(1a)x+a29=0至少有一個非負(fù)根由0，得a5

12、，此時若順向思維，則情形較繁，求解困難，若逆向思維，考慮至少有一個非負(fù)根的反面是兩個負(fù)根（只有一種情形）立知上述方程有兩個負(fù)根的充要條件應(yīng)為0，且 x1x20，x1x20，即2(1a)0，且a290，解得a3，從而知所求充要條件為3a5 例題7設(shè)k和r是實數(shù)，且r0使得直線y= kx1既與圓 x2y2=r2相切，又與雙曲線 x2y2=r2有兩個交點(diǎn)，試問：直線 y=kx1能否經(jīng)過雙曲線 x2y2r2的焦點(diǎn)？為什么？ 分析：由于兩個參數(shù)k和r的聯(lián)系較隱蔽，很難順向確定，形成思維障礙，若轉(zhuǎn)換思維角度，用反證法則目標(biāo)明確，化難為易了 解：不可能，下面用反證法雙曲線x2y2=r2的焦點(diǎn)是F1(r，0)

13、, F2(r，0)，如果直線ykx1過點(diǎn)F1，則有rk+1=0, 即 r=, (1)因為直線ykx1與x2y2=r2圓相切，所以圓心(0, 0)到直線的距離等于半徑r, 即有 , 因為r20, 故=1, (2) 又因為直線 ykx十1與雙曲線x2y2=r2相交，故交點(diǎn)坐標(biāo)(x，y)滿足方程組 將（3）代人（4）得 (1k2)x22kx(1+r2)0 （5） 由直線與雙曲線有兩個交點(diǎn)，且對于任意實數(shù)k，直線不平行于y軸，故（5）式有兩個不同的實數(shù)根，因而1k20, 即|k|1 但將（1）代入（2），得(k)2k2=1，即k=±1與|k|1矛盾， 故直線ykx1不可能過雙曲線x2y2=r

14、2的左焦點(diǎn) 同理可證也不可能過右焦點(diǎn) 3.4聯(lián)想遷移聯(lián)想是一種富于發(fā)現(xiàn)、創(chuàng)造功能的思維方式，它把兩個不同領(lǐng)域中的事物聯(lián)系起來進(jìn)行思考并由此激發(fā)新的認(rèn)識，促成問題的解決，高考數(shù)學(xué)解題中思維受阻時，將題目的條件和結(jié)論，與數(shù)學(xué)各分支中不同的數(shù)學(xué)知識，數(shù)學(xué)方法乃至兄弟學(xué)科或現(xiàn)實生活中的其他知識常識，充分展開接近聯(lián)想、相似聯(lián)想、對比聯(lián)想，改變問題情境，常能有效地使思路暢通，甚至誘發(fā)直覺、頓悟，激發(fā)靈感，獲得創(chuàng)造性的解法思維求變、求異、多向發(fā)散、拓展聯(lián)想空間，促進(jìn)信息遷移，使問題獲得多種不同的解題途徑，優(yōu)化解法是決勝數(shù)學(xué)高考的一個不可缺少的思維策略例題8如圖，小圓圈表示網(wǎng)絡(luò)的結(jié)點(diǎn)，兩點(diǎn)之間的線段表示它們的

15、網(wǎng)線相聯(lián)，連線標(biāo)注的數(shù)字表示該網(wǎng)線單位時間內(nèi)可以通過的最大信息量，現(xiàn)從結(jié)點(diǎn)A向結(jié)點(diǎn)B傳遞信息，信息可以分開沿不同的路線同時傳遞，則單位時間內(nèi)傳遞的最大信息量為A26 B24 C20 D19 分析：這是2001年高考數(shù)學(xué)選擇題第12題，一道頗具時代氣息的優(yōu)秀創(chuàng)新題，屬線性規(guī)劃范疇，很多考生讀不懂題意如果轉(zhuǎn)換思維角度，廣泛聯(lián)想，可將信息傳遞聯(lián)想為水的流動，這條虛擬的河便化生為熟，立即使你明白最大流量就是每條線路的最小流量的和，從而輕松地獲得正確選項為（D） 例題9函數(shù)f(x)對于任何xR，恒有f(x1x2)=f(x1)+f(x2)，若f(8)=3，則f() . 分析：由于映射法則f沒有給出，直接計

16、算較難，思維受阻，聯(lián)想f(x1x2)=f(x1)+f(x2)恰好是對數(shù)函數(shù)的一個運(yùn)算性質(zhì)，立即思路暢通 由f(8)3，想到可設(shè)f(x)=log2x，故得f()=. 3.5歸納猜想歸納是通過分析部分特殊的事例去概括出普遍的結(jié)論的一種由特殊到一般的推理方法，當(dāng)題目條件抽象性強(qiáng)，不易直接進(jìn)行演繹推理獲得結(jié)論時，轉(zhuǎn)換思維角度，從特值、特例出發(fā)，經(jīng)過觀察，運(yùn)用抽象或類比，猜想其一般規(guī)律，再給予嚴(yán)格證明，是高考數(shù)學(xué)解答題中難度較大的綜合題歸納猜想型開放性題的必由思路例題10已知函數(shù)f(x)=其中f1(x)=2(x)2+1, f2(x)=2x+2, 設(shè)y=f2(x)（x, 1）的反函數(shù)為 yg(x)，a1=

17、1, a2g(a1)，an=g(an1)，求數(shù)列an的通項公式，并求 an.分析：本小題許多考生用迭代法得到a11，a2, a3=, a4=, 據(jù)此觀察，猜想得an=, 但發(fā)現(xiàn)無法求an，思維受阻重新審題：可知an=g(an1)是遞推關(guān)系式，迭代結(jié)果應(yīng)展現(xiàn)遞推規(guī)律，不應(yīng)合并成一個數(shù)，從而可知 a1=1, a2=1，a3=1+, a4=1+ 據(jù)此再觀察，歸納，推測得 an=1+()n1, 思路暢通，得an. 點(diǎn)撥解疑：在運(yùn)用歸納法推測數(shù)列通項公式中，要注意展示數(shù)值遞推過程，以利抽象、概括，不可輕易將前四項中每一項的值分別合并為一個數(shù) 3.6分解突破 對不易識別模式，進(jìn)行形式轉(zhuǎn)換，或情境較復(fù)雜，不

18、易整體突破的非常規(guī)問題，根據(jù)問題的結(jié)構(gòu)，數(shù)學(xué)對象的內(nèi)涵（本質(zhì)屬性）和外延（使用范圍），靈活轉(zhuǎn)換思維角度，運(yùn)用分解、分割、分離、分情況等策略，轉(zhuǎn)化為一些相關(guān)連的小的子題目，就常?；聻榕f，化生為熟，化難為易，思路頓開 例題11如圖，已知正方體ABCDA1B1C1D1的棱長為a，求異面直線 BD與 B1 C的距離 分析：此題若用公垂線法，一些考生對公垂線的位置不清晰，產(chǎn)生思維障礙，根據(jù)正方體的數(shù)學(xué)本質(zhì)，從正方體中特殊元素間的垂直關(guān)系出發(fā)，可將本題結(jié)論所需作出的異面直線BD與B1C的公垂線，由公垂線的定義分解為兩個要素（垂直、相交），依此分兩個步驟，即第一步，找到正方體AC1中與BD、B1C分別垂直

19、但不相交的直線，第二步通過平移變換，作出與BD、B1C分別垂直且相交的直線 通過上述分解第一步，由三垂線定理，易得體對角線AC1，分別垂直于BD和B1C，第二步連AC，過AC的中點(diǎn)O作 OM/ AC1，交 C1C于點(diǎn) M，連 BM，交B1C于E，過點(diǎn)E在面BOM中作EF/OM，交BO于F，則EF為異面直線BD與B1C的公垂線 由此易得EF=a為所求 例題12設(shè)f(x)x2xk，若log2f(a)2f(log2a)=k(a0, a1)，求使得 成立的x的取值范圍 分析：這是一道較復(fù)雜的綜合題，由于參數(shù)a、k的值是用抽象的函數(shù)記號的方程隱蔽地給出的，不能一眼看透，主條件不等式同樣抽象隱蔽，許多考生

20、讀不懂題意，形成思維障礙 若從參數(shù)著眼，順藤摸瓜，把它分解為幾個基本題，逐步突破，思路便暢通了由題意可分解為下列四個子問題（1）由方程f(log2a)=k，求a的值； （2）由方程log2f(a)2，求k的值； （3）求f(x)的值； （4）解不等式組求x的取值范圍 依次，解（1）可得a2，解（2）得k2，從而知f(x)=2，解（4）得0<x<13. 7，整體思想 當(dāng)題目條件分散，聯(lián)系隱蔽或形式復(fù)雜，不易處理時，靈活變通思維，整體觀察、分析、代入、替換、配湊、構(gòu)造、消元，常能另辟途徑，使思路奇巧、運(yùn)算簡捷 例題13函數(shù)f(x)=axb滿足2f(1)1，1f(1) 2時，求f(2)的取值范圍 分析：若按常規(guī)，將f(1)=ab，f(1)=ab代入條件式，得2ab1，1ab2, 試圖把a(bǔ)、b從兩個約束不等式解出來，再求f(2)的取值范圍，就會擴(kuò)大解集（請思考為什么？），引起不同解變形，然而，轉(zhuǎn)換視角把f(1)、f(1)看成一個整體，解集就不會擴(kuò)大了解：設(shè)f(2)Af(1)Bf(1)。即2abA(ab)B(ab)=(BA)a(AB)b, , 解得A=, B=, 又 2a+b1, 1a+b2, (a+b)1, (a+b)3, 12a+b=(a+b)+(a+b)4, 即1f(2)