一 二維形式的柯西不等式

1、編輯ppt1 探究探究 類比不等式類比不等式a2+b22ab的推導(dǎo)過程，的推導(dǎo)過程，通過乘法及配方，研究關(guān)于它的不等通過乘法及配方，研究關(guān)于它的不等關(guān)系關(guān)系.編輯ppt2分析分析 把該式首先展開，再用配方法，問把該式首先展開，再用配方法，問題就可以解決。題就可以解決。編輯ppt3解：解：展開乘積得展開乘積得(a2+b2)(c2+d2)=a2c2+b2d2+a2d2+b2c2由于由于a2c2+b2d2+a2d2+b2c2=(ac+bd)2+(ad-bc)2即即(a2+b2)(c2+d2)=(ac+bd)2+(ad-bc)2編輯ppt4而而(ad-bc)20,因此因此(a2+b2)(c2+d2)

2、(ac+bd)2提示提示 上式上式(1)是本節(jié)課所要研究是本節(jié)課所要研究的柯西不等式的柯西不等式.編輯ppt5編輯ppt61.1.認識二維柯西不等式的代數(shù)和向量形認識二維柯西不等式的代數(shù)和向量形式式. .理解二維柯西不等式的幾何意義理解二維柯西不等式的幾何意義.編輯ppt73.3.掌握柯西不等式的應(yīng)用掌握柯西不等式的應(yīng)用. .2.2.通過探究，思考和討論，使學(xué)生從數(shù)形通過探究，思考和討論，使學(xué)生從數(shù)形兩方面認識柯西不等式的代數(shù)和向量的等兩方面認識柯西不等式的代數(shù)和向量的等價關(guān)系。價關(guān)系。編輯ppt81.1.通過探究，從式子變形的角度證出柯通過探究，從式子變形的角度證出柯西不等式，從而認識其代數(shù)

3、形式西不等式，從而認識其代數(shù)形式. .2.2.借助平面向量，從數(shù)量積的角度推借助平面向量，從數(shù)量積的角度推出二維柯西不等式的向量形式出二維柯西不等式的向量形式. .從而給從而給出幾何意義。出幾何意義。編輯ppt9 鍛煉學(xué)生分析問題，解決鍛煉學(xué)生分析問題，解決問題的能力，并培養(yǎng)其審美觀。問題的能力，并培養(yǎng)其審美觀。編輯ppt10定理定理(1)和定理和定理(2). 數(shù)形結(jié)合認識數(shù)形結(jié)合認識(1)與與(2)兩式的兩式的等價關(guān)系等價關(guān)系.編輯ppt11定理定理1（二維形式的柯西不等式）（二維形式的柯西不等式） 若若a,b,c,d都是實數(shù)，則都是實數(shù)，則(a2+b2)(c2+d2) (ac+bd)2,當(dāng)

4、且僅當(dāng)當(dāng)且僅當(dāng)ad=bc時，等號成立時，等號成立.編輯ppt12分析分析 你能否證明你能否證明2222abcdacbd 編輯ppt13證證 明明 22222222abcdabcd 2.acbdacbd 編輯ppt1422222222, , ,.a b c dabcdacbdabcdacbd 對對于于任任何何實實數(shù)數(shù)有有不不等等式式成成立立：編輯ppt15討論討論 對一個代數(shù)結(jié)果進行最簡單的詮釋，對一個代數(shù)結(jié)果進行最簡單的詮釋，往往要借助直觀的幾何背景。討論柯西往往要借助直觀的幾何背景。討論柯西不等式的幾何意義。不等式的幾何意義。編輯ppt160 xy, a b, c d 設(shè)在平面直角坐標系設(shè)在

5、平面直角坐標系xoy中有向量中有向量=(a,b), =(c,d) ，與之間的夾角為，與之間的夾角為，0 （如圖）（如圖）根據(jù)向量數(shù)量積的定義，有根據(jù)向量數(shù)量積的定義，有.=cos 編輯ppt17用平面向量的坐標表示不等式用平面向量的坐標表示不等式(2)得：得：2222,acbdabcd所以所以.=cos 因為因為cos1,所以所以 . 編輯ppt18定理定理2（柯西不等式的向量形式）（柯西不等式的向量形式） 設(shè)設(shè)，是兩個向量，則是兩個向量，則 .,當(dāng)且僅當(dāng)當(dāng)且僅當(dāng)是零向量或存在是零向量或存在實數(shù)實數(shù)k,使使=k時，等號成立時，等號成立.編輯ppt19 探究探究 試從不等式試從不等式(1)推導(dǎo)不

6、等式推導(dǎo)不等式(2)，再，再進行反方向的推導(dǎo)，從數(shù)形結(jié)合的角度進行反方向的推導(dǎo)，從數(shù)形結(jié)合的角度體會兩者的等價關(guān)系。體會兩者的等價關(guān)系。編輯ppt20觀察觀察 如圖，在平面直角坐標系中，設(shè)點如圖，在平面直角坐標系中，設(shè)點P1,P2 的坐標分別是的坐標分別是(x1,y1)(x2,y2)，根據(jù)，根據(jù)oP1P2 的邊的邊長關(guān)系，你能發(fā)現(xiàn)這四個實數(shù)長關(guān)系，你能發(fā)現(xiàn)這四個實數(shù) x1,y1,x2,y2蘊含著蘊含著何種大小關(guān)系嗎？何種大小關(guān)系嗎？編輯ppt210 xy 111,Pxy 222,Pxy0 xy 111,Pxy 222,Pxy.編輯ppt22定理定理3(二維形式的三角不等式二維形式的三角不等式)

7、 112222222211221212,xy xyRxyxyxxyy 設(shè)設(shè)那那么么編輯ppt23能用柯西不等能用柯西不等式證明嗎？式證明嗎？編輯ppt24證證 明明 22222112222222222111122222xyxyxyxyxyxy x12+y12+2x1x2+y1y2+x22+y22 x12+y12-2(x1x2+y1y2)+x22+y22 =x12-2x1x2+x22+y12-2y1y2+y22=(x1-x2)2+(y1-y2)2編輯ppt25 22222211221212xyxyxxyy 所所以以編輯ppt26分析分析 不等式不等式(3)(3)對于任何實數(shù)都成立，于是可對于任何

8、實數(shù)都成立，于是可以得到：以得到： 2222131323232212124xxyyxxyyxxyy編輯ppt27 探究探究 請結(jié)合平面直角坐標系，解釋請結(jié)合平面直角坐標系，解釋不等式不等式(4)的幾何意義。的幾何意義。編輯ppt28例例1分析分析 雖然可以作乘法展開上式的兩雖然可以作乘法展開上式的兩邊，然后在比較它們的大小。但如邊，然后在比較它們的大小。但如果注意到不等式的形式與柯西不等果注意到不等式的形式與柯西不等式的一致性，既可以避免繁雜了。式的一致性，既可以避免繁雜了。已知已知a,b為實數(shù)。為實數(shù)。試證試證(a4+b4)(a2+b2)(a3+b3)編輯ppt29證證 明明根據(jù)柯西不等式，

9、有根據(jù)柯西不等式，有(a4+b4)(a2+b2)(a2a+b2b)2=(a3+b3)2編輯ppt30反思反思 在證明不等式時，聯(lián)系經(jīng)典不等式，在證明不等式時，聯(lián)系經(jīng)典不等式，既可以啟發(fā)證明思路，又可以簡化運算既可以啟發(fā)證明思路，又可以簡化運算. .編輯ppt31例例21102 .xx 求求函函數(shù)數(shù)y y= =5 5編輯ppt32分析分析 利用不等式解決極值問題，通常設(shè)法在利用不等式解決極值問題，通常設(shè)法在不等式一邊得到一個常數(shù)，并尋找不等式取不等式一邊得到一個常數(shù)，并尋找不等式取等號的條件。這個函數(shù)的解析式是兩部分的等號的條件。這個函數(shù)的解析式是兩部分的和，若能化成和，若能化成ac+bd的形式

10、，就能利用柯西不的形式，就能利用柯西不等式求其最大值。等式求其最大值。 編輯ppt33 22221 50.512552156 321551276 3.27yyxxxxxxx 解解：函函數(shù)數(shù)的的定定義義域域為為 ， ，且且當(dāng)當(dāng)且且僅僅當(dāng)當(dāng)時時，等等號號成成立立，即即時時函函數(shù)數(shù)取取最最大大值值編輯ppt34例例3,114.a bab 設(shè)設(shè)R ，R ，a+b=1, 求a+b=1, 求證證分析分析 問題中問題中a+b=1這個條件，由于常這個條件，由于常數(shù)數(shù)1的特殊性，用的特殊性，用a+b去乘任何數(shù)或去乘任何數(shù)或式子，都不會改變它們的值式子，都不會改變它們的值.編輯ppt35證證 明明 2,11114

11、.1,114.a bRabababababab 由由于于根根據(jù)據(jù)柯柯西西不不等等式式，得得又又所所以以編輯ppt361.1.二維形式的柯西不等式的代數(shù)形式二維形式的柯西不等式的代數(shù)形式.若若a,b,c,d都是實數(shù)，都是實數(shù)，則則(a2+b2)(c2+d2) (ac+bd)2,當(dāng)且當(dāng)且僅當(dāng)僅當(dāng)ad=bc時，等號成立時，等號成立.編輯ppt372.二維形式的柯西不等式的向量形式二維形式的柯西不等式的向量形式.設(shè)設(shè)，是兩個向量是兩個向量，則則 .,當(dāng)且僅當(dāng)當(dāng)且僅當(dāng)是零向量或存在實數(shù)是零向量或存在實數(shù)k,使使=k時時，等號成立等號成立.編輯ppt383.二維形式的柯西不等式的應(yīng)用二維形式的柯西不等式的

12、應(yīng)用. 112222222211221212,xyxyRxyxyxxyy 設(shè)設(shè)那那么么編輯ppt391.354 6yxx求求函函數(shù)數(shù)的的最最大大值值. . 225 60.354 634565.yyxxxx 解解：函函數(shù)數(shù)定定義義域域為為， ，且且編輯ppt40222.236,211.xyxy 已已知知求求證證 222236,1422311.23211.yxyxyxy證證明明：因因為為2x2x所所以以因因此此編輯ppt41習(xí)題習(xí)題3.1（第（第36頁）頁）函函數(shù)數(shù)定定義義域域為為 ，且且當(dāng)當(dāng)且且僅僅當(dāng)當(dāng)即即時時，函函數(shù)數(shù)有有最最大大值值221.5 6y0y = 3 x-5 +4 6-x(3 +4 )(x-5+6-x) = 5 4 x-5 = 3 6-x,134 x =5.25編輯ppt42三三維維