微積分課件：6-6 方向?qū)?shù)與梯度

1、第六節(jié)第六節(jié) 方向?qū)?shù)與梯度方向?qū)?shù)與梯度一、方向?qū)?shù)一、方向?qū)?shù)二、梯度二、梯度三、小結(jié)三、小結(jié) 討論函數(shù)討論函數(shù) 在一點(diǎn)在一點(diǎn)P沿某一方向沿某一方向的變化率問(wèn)題的變化率問(wèn)題),(yxfz 一、方向?qū)?shù)一、方向?qū)?shù)poyx lQ xy00(,),lP xy 設(shè)設(shè) 是是xoyxoy面面上上過(guò)過(guò)點(diǎn)點(diǎn)且且方方向向角角為為的的有有向向直直線線 并并設(shè)設(shè)00(,).Q xx yyl 為為 上上的的另另一一點(diǎn)點(diǎn)（如圖）（如圖）00ecos icos jllxxtcost.yytcos 設(shè)設(shè)為為與與 同同方方向向的的單單位位向向量量，則則 的的，參參數(shù)數(shù)方方程程為為，000000pQ(xx ,yy )(t

2、cos ,tcos )te,pQtet ,tpQ.zf(xtcos ,ytcos )f(x ,y ), 表表示示點(diǎn)點(diǎn) 到到點(diǎn)點(diǎn)的的有有向向距距離離且且當(dāng)當(dāng) 沿著沿著 趨于趨于 時(shí)，時(shí)，QPl0000t0f(xtcos ,ytcos )f(x ,y )limt 是否存在？是否存在？0000000000t0 xy0000t0 xyzf(x,y)p(x ,y ),l,e(cos,cos )l,f(xtcos,ytcos )f(x ,y )limt,Plflf(xtcos,ytcos )f(x ,y )flimlt （，）（，）定定義義設(shè)設(shè)函函數(shù)數(shù)在在點(diǎn)點(diǎn)的的某某個(gè)個(gè)鄰鄰域域內(nèi)內(nèi)有有定定義義 是是一一

3、非非零零向向量量是是與與 同同方方向向的的單單位位向向量量 如如果果極極限限存存在在 則則稱稱這這極極限限為為函函數(shù)數(shù)在在點(diǎn)點(diǎn)沿沿方方向向 的的方方向向?qū)?dǎo)數(shù)數(shù)，記記為為，即即沿沿著著x軸軸負(fù)負(fù)向向、y軸軸負(fù)負(fù)向向的的方方向向?qū)?dǎo)數(shù)數(shù)是是 yxff ,.000000t0f(xtcos,ytcos,ztcos)f(x ,y ,z )lim,t 推廣可得三元函數(shù)方向?qū)?shù)的定義推廣可得三元函數(shù)方向?qū)?shù)的定義coscoscosfffflxyz221uln(xyz )A(1,0,1)AB(3, 2,2) 例例 ：求求在在點(diǎn)點(diǎn)處處沿沿指指向向方方向向的的方方向向?qū)?dǎo)數(shù)數(shù)。21zyx1xuA22A 解：解：

4、0zyyzyx1yuA2222A 21zyzzyx1zuA2222A 022 1 , ,33 31 221 110 ()2 332 32AABAABul 故故在在 沿沿的的方方向向?qū)?dǎo)數(shù)數(shù)：沿沿方方向向le的的二二階階方方向向?qū)?dǎo)數(shù)數(shù): ),(),(220000yxyxlfllf 定義定義 設(shè)函數(shù)設(shè)函數(shù)),(yxfz 在平面區(qū)域在平面區(qū)域 D 內(nèi)具有內(nèi)具有一階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)，則對(duì)于每一點(diǎn)一階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)，則對(duì)于每一點(diǎn)DyxP ),(，都可定出一個(gè)向量都可定出一個(gè)向量jyfixf ，這向量稱為函數(shù)，這向量稱為函數(shù)),(yxfz 在點(diǎn)在點(diǎn)),(yxP的梯度，記為的梯度，記為 ),(yxgradfjyfi

5、xf .二、梯度二、梯度?:最快最快沿哪一方向增加的速度沿哪一方向增加的速度函數(shù)在點(diǎn)函數(shù)在點(diǎn)問(wèn)題問(wèn)題Pfffcoscoslxyff(,) (cos ,cos )xyleyxgradf ),(,cos| ),(| yxgradf 其其中中),(,leyxgradf 由方向?qū)?shù)公式知由方向?qū)?shù)公式知|( , )|gradf x y 最最大大值值結(jié)論結(jié)論 三元函數(shù)三元函數(shù)),(zyxfu 在空間區(qū)域在空間區(qū)域 G 內(nèi)具有內(nèi)具有一階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)，則對(duì)于每一點(diǎn)一階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)，則對(duì)于每一點(diǎn)GzyxP ),(，都可定義一個(gè)向量都可定義一個(gè)向量(梯度梯度).),(kzfjyfixfzyxgradf 類似于二元函

6、數(shù)，此梯度也是一個(gè)向量，類似于二元函數(shù)，此梯度也是一個(gè)向量，其方向與取得最大方向?qū)?shù)的方向一致，其模其方向與取得最大方向?qū)?shù)的方向一致，其模為方向?qū)?shù)的最大值為方向?qū)?shù)的最大值.梯度的概念可以推廣到三元函數(shù)梯度的概念可以推廣到三元函數(shù)解解 由梯度計(jì)算公式得由梯度計(jì)算公式得kzujyuixuzyxgradu ),(,6)24()32(kzjyix 故故.1225)2 , 1 , 1(kjigradu 0 1、方向?qū)?shù)的概念、方向?qū)?shù)的概念2、梯度的概念、梯度的概念3、方向?qū)?shù)與梯度的關(guān)系、方向?qū)?shù)與梯度的關(guān)系（注意方向?qū)?shù)與一般所說(shuō)偏導(dǎo)數(shù)的（注意方向?qū)?shù)與一般所說(shuō)偏導(dǎo)數(shù)的區(qū)別區(qū)別）（注意梯度是一

7、個(gè)（注意梯度是一個(gè)向量向量）三、小結(jié)三、小結(jié).),(最快的方向最快的方向在這點(diǎn)增長(zhǎng)在這點(diǎn)增長(zhǎng)梯度的方向就是函數(shù)梯度的方向就是函數(shù)yxf討討論論函函數(shù)數(shù)22),(yxyxfz 在在)0 , 0(點(diǎn)點(diǎn)處處的的偏偏導(dǎo)導(dǎo)數(shù)數(shù)是是否否存存在在？方方向向?qū)?dǎo)數(shù)數(shù)是是否否存存在在？思考題思考題xfxfxzx )0 , 0()0 ,(lim0)0,0(.|lim0 xxx 同理：同理：)0,0(yz yyy |lim0故兩個(gè)偏導(dǎo)數(shù)均不存在故兩個(gè)偏導(dǎo)數(shù)均不存在.思考題解答思考題解答沿沿任任意意方方向向,zyxl 的的方方向向?qū)?dǎo)數(shù)數(shù), )0 , 0(),(lim0)0,0(fyxflz 1)()()()(lim

8、22220 yxyx 故故沿沿任任意意方方向向的的方方向向?qū)?dǎo)數(shù)數(shù)均均存存在在且且相相等等.一、一、 填空題填空題: :1 1、 函數(shù)函數(shù)22yxz 在點(diǎn)在點(diǎn))2 , 1(處沿從點(diǎn)處沿從點(diǎn))2 , 1(到點(diǎn)到點(diǎn) )32 , 2( 的方向的方向?qū)?shù)為的方向的方向?qū)?shù)為_._.2 2、 設(shè)設(shè)xyzyxzyxf 22232),(zyx623 , , 則則 )0 , 0 , 0(gradf_._.3 3、 已知場(chǎng)已知場(chǎng),),(222222czbyaxzyxu 沿沿則則u場(chǎng)的梯度場(chǎng)的梯度方向的方向?qū)?shù)是方向的方向?qū)?shù)是_._.4 4、 稱向量場(chǎng)稱向量場(chǎng)a為有勢(shì)場(chǎng)為有勢(shì)場(chǎng), ,是指向量是指向量a與某個(gè)函數(shù)

9、與某個(gè)函數(shù) ),(zyxu的梯度有關(guān)系的梯度有關(guān)系_._.練練 習(xí)習(xí) 題題三三、 設(shè)設(shè)vu,都都是是zyx,的的函函數(shù)數(shù), ,vu,的的各各偏偏導(dǎo)導(dǎo)數(shù)數(shù)都都存存在在且且連連續(xù)續(xù), ,證證明明: :ugradvvgraduuvgrad )(四四、 求求222222czbyaxu 在在點(diǎn)點(diǎn)),(000zyxM處處沿沿點(diǎn)點(diǎn)的的向向徑徑0r的的方方向向?qū)?dǎo)數(shù)數(shù), ,問(wèn)問(wèn)cba,具具有有什什么么關(guān)關(guān)系系時(shí)時(shí)此此方方向向?qū)?dǎo)數(shù)數(shù)等等于于梯梯度度的的模模? ?二、求函數(shù)二、求函數(shù))(12222byaxz 在點(diǎn)在點(diǎn))2,2(ba處沿曲線處沿曲線 12222 byax在這點(diǎn)的內(nèi)法線方向的方向?qū)?shù)在這點(diǎn)的內(nèi)法線方向的方向?qū)?shù). .一、一、1 1、321 ； 2 2、 kji623； 3 3、graduczbyax 222222)2()2()2(； 4 4、gradua . .二、二、)(2122baab . .四、四、cba