微積分課件：7-2 二重積分的計算

1、一、利用直角坐標計算二重積分一、利用直角坐標計算二重積分二、利用極坐標計算二重積分二、利用極坐標計算二重積分三、小結(jié)三、小結(jié) 第二節(jié)第二節(jié) 二重積分的計算二重積分的計算如果積分區(qū)域為：如果積分區(qū)域為：, bxa ).()(21xyx 其中函數(shù)其中函數(shù) 、 在區(qū)間在區(qū)間 上連續(xù)上連續(xù).)(1x )(2x ,ba一、利用直角坐標系計算二重積分一、利用直角坐標系計算二重積分X型型)(2xy abD)(1xy Dba)(2xy )(1xy X-型區(qū)域的特點型區(qū)域的特點： 穿過區(qū)域且垂直于穿過區(qū)域且垂直于x軸的軸的直線與區(qū)域邊界相交不多于兩個交點直線與區(qū)域邊界相交不多于兩個交點.Df(x,y)dDzf(

2、x,y) 的的值值等等于于以以為為底底，以以曲曲面面為為頂頂?shù)牡那旐斨w體的的體體積積 (f(x,y)0)(f(x,y)0)應用計算應用計算“平行截平行截面面積為已知的立面面積為已知的立體求體積體求體積”的方法的方法,zyx)(0 xA),( yxfz)(1xy)(2xy.),(),()()(21 Dbaxxdyyxfdxdyxf 得得a0 xb( 先積一條線, 后掃積分域 ).),(),()()(21 Ddcyydxyxfdydyxf 如果積分區(qū)域為：如果積分區(qū)域為：,dyc ).()(21yxy Y型型)(2yx )(1yx Dcdcd)(2yx )(1yx D Y-型區(qū)域的特點型區(qū)

3、域的特點：穿過區(qū)域且垂直于穿過區(qū)域且垂直于y軸的軸的直線與區(qū)域邊界相交不多于兩個交點直線與區(qū)域邊界相交不多于兩個交點.說明說明: : (1) 若積分區(qū)域既是若積分區(qū)域既是X型區(qū)域又是型區(qū)域又是Y 型區(qū)域型區(qū)域 , Dyxyxfdd),()(2xyxoyDba)(1yx)(2yxdc則有x)(1xyyyyxfxxd),()()(21baxdxyxfyyd),()()(21dcyd,DD注注: :對對y y先先積積分分時時, ,做做平平行行于于y y軸軸的的任任意意直直線線穿穿過過它它與與的的邊邊界界曲曲線線交交于于兩兩點點, ,這這兩兩點點y y的的坐坐標標就就是是y y的的上上下下限限. .后

4、后積積分分的的上上下下限限為為常常數(shù)數(shù). .oxy為計算方便為計算方便, ,可可選擇積分序選擇積分序, ,必要時還可以必要時還可以交換積分序交換積分序.(2) (2) 若積分域較復雜若積分域較復雜, ,可將它分成若干可將它分成若干1D2D3DX X- -型域或型域或Y Y- -型域型域, ,321DDDD則則 解解兩兩曲曲線線的的交交點點),1 , 1( ,)0 , 0(22 yxxy Ddxdyyx)(2 1022)(xxdyyxdxdxxxxxx)(21)(42102 .14033 2xy 2yx 2xy 2yx 例例2 2：計算計算,dDyx其中其中D D 是拋物線是拋物線2yx 所圍成

5、的閉區(qū)域所圍成的閉區(qū)域. . 解解: 為計算簡便為計算簡便, ,先對先對x x后對后對y y積分積分, ,D: xydx Dxyd 21dy 22y 2212y1x ydy 22511y(y2)y dy2 432621y41y2yy24361 458 Dxy22 xy214oyxy2yxy21y2 2yy2 yx2及直線及直線則則 例例3 3： 計算計算Dsinxdxdy,x 其中其中D D 是直線是直線 ,0,yxy所圍成的閉區(qū)域所圍成的閉區(qū)域. .oxyDxxy 解解: 由被積函數(shù)可知由被積函數(shù)可知, ,因此取因此取D D 為為X X型域型域 : :0yxD:0 x Dsinxdxdyx

6、x0dy 0sinxdx cosx0 2 0sinxdxx x先對先對x x積分不行積分不行, , 注注: : 若被積函數(shù)為一元函數(shù)若被積函數(shù)為一元函數(shù), ,缺哪個變量就對該缺哪個變量就對該變量變量 先積分先積分.xy 1原原式式 ydxyxfdy1010),(.解解積分區(qū)域如圖積分區(qū)域如圖xy 222xxy 原原式式 102112),(yydxyxfdy.解解積分區(qū)域如圖積分區(qū)域如圖axy2 解解= ayaaaydxyxfdy02222),(原式原式 aayaadxyxfdy0222),(.),(2222 aaaaydxyxfdy22xaxy 22yaax a2aa2a dyey2無法用初等

7、函數(shù)表示無法用初等函數(shù)表示解解 積積分分時時必必須須考考慮慮次次序序 Dydxdyex22 yydxexdy02102dyyey 10332210262dyyey ).21(61e D8yxdxdy,D1x11y1 例例 ：求求其其中中 ：，1D2Doxy yxxyyxyxxy解：解： 21DDDdxdyxydxdyyxdxdyxy111ydyxydx 33111y22y11122(xy)dy(yx)dy33 331122112216y dy(1y) dy33151y11dyyxdx 解解曲面圍成的立體如圖曲面圍成的立體如圖., 10 yx,xyyx 所求體積所求體積 DdxyyxV )( 1

8、010)(xdyxyyxdx 103)1(21)1(dxxxx.247 所所圍圍立立體體在在xoy面面上上的的投投影影是是例例10:10:求兩個底圓半徑為求兩個底圓半徑為R R 的直交圓柱面所圍的的直交圓柱面所圍的立體立體體積體積. .xyzRRo解解: : 設兩個直圓柱方程為設兩個直圓柱方程為222xyR ,利用對稱性利用對稱性, , 考慮第一卦限部分考慮第一卦限部分, ,其曲頂柱體的頂為其曲頂柱體的頂為則所求體積為則所求體積為22DV8Rx dxdy 22Rx0dy R2208(Rx )dx 316R3 222xzR22zRx220yRx(x,y)D:0 xR R2208Rx dx 222

9、Ryx222RzxD二重積分化為二次積分計算步驟及注意事項二重積分化為二次積分計算步驟及注意事項 畫出積分域畫出積分域 確定積分序確定積分序 寫出積分限寫出積分限 計算要簡便計算要簡便積分域分塊要少積分域分塊要少累次積分好算為妙累次積分好算為妙( (先積一條線先積一條線, ,后掃積分域后掃積分域) )(充分利用對稱性充分利用對稱性)利利用用二二重重積積分分的的幾幾何何意意義義化化簡簡計計算算： D21DDDdxdy)y, x( fI軸對稱軸對稱關(guān)于關(guān)于xD)1( 1Dy)y, x( fdxdy)y, x( f2y)y, x( f0I為偶函數(shù)為偶函數(shù)關(guān)于關(guān)于為奇函數(shù)為奇函數(shù)關(guān)于關(guān)于軸對稱軸對稱關(guān)

10、于關(guān)于yD)2( 1Dx)y, x( fdxdy)y, x( f2x)y, x( f0I為偶函數(shù)為偶函數(shù)關(guān)于關(guān)于為奇函數(shù)為奇函數(shù)關(guān)于關(guān)于關(guān)關(guān)于于原原點點對對稱稱D)3( 1D)y, x( f)y, x( fdxdy)y, x( f2)y, x( f)y, x( f0I1yx:DdxdyxyID ，其中，其中例：例：1D2D3D4D為偶函數(shù)為偶函數(shù)關(guān)于關(guān)于關(guān)于原點對稱，關(guān)于原點對稱，y, xxyDD21 314321DDDDDD,為偶函數(shù)為偶函數(shù)關(guān)于關(guān)于關(guān)于原點對稱，關(guān)于原點對稱，y, xxyDD43為偶函數(shù)為偶函數(shù)關(guān)于關(guān)于軸對稱，軸對稱，關(guān)于關(guān)于xxyyDD13111 x00D1I4xydxd

11、y(4dxxydy)6 0)D(;dxdy)ysinxcosxy(4)C(;xydxdy2)B(;ydxdysinxcos2)A()(dxdy)ysinxcosxy(DD)1, 1()1 , 1(),1 , 1(OXYD111DDDD1 在第一象限部分，則在第一象限部分，則是是三角形域，三角形域，為頂點的為頂點的和和平面上以平面上以是是例：設例：設AAoDiirr iirrriiiiiiiiirrr 2221)(21iiiirrr )2(21iiiiirrrr 2)(,iiirr .)sin,cos(),( DDrdrdrrfdxdyyxf 二、利用極坐標系計算二重積分二、利用極坐標系計算二重

12、積分.)sin,cos()()(21 rdrrrfd ADo)(1 r)(2 r Drdrdrrf )sin,cos(二重積分化為二次積分的公式（）二重積分化為二次積分的公式（）區(qū)域特征如圖區(qū)域特征如圖, ).()(21 r的外部的外部在積分區(qū)域在積分區(qū)域極點極點DO)1AoD)(r.)sin,cos()(0 rdrrrfd二重積分化為二次積分的公式（）二重積分化為二次積分的公式（）區(qū)域特征如圖區(qū)域特征如圖, ).(0 r Drdrdrrf )sin,cos(的邊界上的邊界上在積分區(qū)域在積分區(qū)域極點極點DO)2 Drdrdrrf )sin,cos(.)sin,cos()(020 rdrrrfd

13、極坐標系下區(qū)域的面積極坐標系下區(qū)域的面積. Drdrd 二重積分化為二次積分的公式（）二重積分化為二次積分的公式（）區(qū)域特征如圖區(qū)域特征如圖).(0 rDoA)(r,2 0的內(nèi)部的內(nèi)部在積分區(qū)域在積分區(qū)域極點極點DO)3221) (),();2);3)yf xyfxD 一一般般情情況況下下，被被積積函函數(shù)數(shù)為為積積分分區(qū)區(qū)域域為為圓圓域域或或圓圓的的一一部部分分的的邊邊界界曲曲線線用用極極坐坐標標表表示示時時用用極極坐坐標標。 D2222x2yx:D,dyxI1：計算：計算例例cos2r0 ,22| ), r(D: 解解 22cos202drrd原式原式 22dcos383932 圍成。圍成。

14、由由求求例例0 x, xy, 0y, 1yx , 4yxDdxyarctgI 222D22 D22x2yx1:D,dxdyxy3：求：求例例 210rdrdI:4解解2643 )23,21(A )23,21(B 3432cos21rdrdtg:原式原式解解=0法二法二:積分區(qū)域關(guān)于積分區(qū)域關(guān)于x軸對稱軸對稱,yxy為奇函數(shù)為奇函數(shù)關(guān)于關(guān)于0 原式原式1 yx122 yx解解在極坐標系下在極坐標系下 sincosryrx所所以以圓圓方方程程為為 1 r,直直線線方方程程為為 cossin1 r, Ddxdyyxf),(.)sin,cos(201cossin1 rdrrrfd解解在極坐標系下在極坐

15、標系下D：ar 0， 20.dxdyeDyx 22 arrdred0202).1(2ae 注注: :利用例利用例5 5可得到一個在概率論與數(shù)理統(tǒng)計及工程上可得到一個在概率論與數(shù)理統(tǒng)計及工程上非常有用的反常積分公式非常有用的反常積分公式2x0edx2 事實上事實上, ,當當D D為為R R2 2時時, ,22xyDedxdy 22xyedxedy 22x04edx 利用例利用例5 5的結(jié)果的結(jié)果, , 得得 222xa0a4edxlim(1e) 故故式成立式成立 . .解解32 61 sin4 r sin2 rdxdyyxD)(22 36sin4sin22rdrrd).32(15 yyx422

16、yyx222 03 yx03 xy解解由對稱性，可只考慮第一象限部分由對稱性，可只考慮第一象限部分， 注意：注意：被積函數(shù)也要有對稱性被積函數(shù)也要有對稱性. Ddxdyyxyx2222)sin(4 12222)sin(Ddxdyyxyx 210sin42rdrrrd. 4 14DD 1D解解根根據(jù)據(jù)對對稱稱性性有有 14DD 在在極極坐坐標標系系下下)(2)(222222yxayx ,2cos2 ar ,222arayx 1D 由由 arar 2cos2, 得得交交點點)6,( aA, 所求面積所求面積 Ddxdy 14Ddxdy 2cos2064aardrd).33(2 a2dx(ba)bb

17、bbaaaa例例11:11:設設f(x)f(x)在在a,ba,b上上連連續(xù)續(xù), ,且且恒恒大大于于零零, ,試試利利用用二二重重積積分分證證明明1 1f(x)dxf(x)dxf(x)f(x)bxbaaa10:dxf(y)dyf(y)(by)dy例例證證明明( )( ):( )( )DDf xf yIdxdydxdyf yf x證證( )( )2()2( )( )DDf xf yIdxdydxdyf yf x2()Iba二重積分在直角坐標下的計算公式二重積分在直角坐標下的計算公式（在積分中要正確選擇（在積分中要正確選擇積分次序積分次序）三、小結(jié)三、小結(jié).),(),()()(21 Dbaxxdyy

18、xfdxdyxf .),(),()()(21 Ddcyydxyxfdydyxf 二重積分在極坐標下的計算公式二重積分在極坐標下的計算公式（在積分中注意使用（在積分中注意使用對稱性對稱性） Drdrdrrf )sin,cos(.)sin,cos()()(21 rdrrrfd.)sin,cos()(0 rdrrrfd.)sin,cos()(020 rdrrrfd 設設)(xf在在1 , 0上上連連續(xù)續(xù)，并并設設Adxxf 10)(， 求求 110)()(xdyyfxfdx.思考題思考題 1)(xdyyf不能直接積出不能直接積出,改改變變積積分分次次序序. 令令 110)()(xdyyfxfdxI,

19、思考題解答思考題解答則原式則原式 ydxyfxfdy010)()(.,)()(010 xdyyfdxxf故故 110)()(2xdyyfdxxfI xdyyfdxxf010)()()()()(1010dyyfdxxfxx .)()(21010Adyyfdxxf 交交換換積積分分次次序序: ).0(),(cos022 adrrfdIa思考題思考題,cos022: arDoxy思考題解答思考題解答 cosar Daararccos ararccos .),(arccosarccos0 araradrfdrI 一、一、 填空題填空題: : 1 1、 Ddyyxx )3(323_._.其中其中 . 1

20、0 , 10: yxD 2 2、 Ddyxx )cos(_._.其中其中D是頂是頂 點分別為點分別為 )0 , 0(，)0 ,( ，),( 的三角形閉區(qū)域的三角形閉區(qū)域 . . 3 3、將二重積分、將二重積分 Ddyxf ),(, ,其中其中D是由是由x軸及半圓周軸及半圓周)0(222 yryx所圍成的閉區(qū)域所圍成的閉區(qū)域, ,化為先對化為先對y后對后對x的二次積分的二次積分, ,應為應為_._.練練 習習 題題 4 4、將二重積分、將二重積分 Ddyxf ),(, ,其中其中D是由直線是由直線 2, xxy及雙曲線及雙曲線)0(1 xxy所圍成的閉區(qū)所圍成的閉區(qū) 域域, ,化為先對化為先對x后對后對y的二次積分的二次積分, ,應為應為 _. _. 5 5、將將二二次次積積分分 22221),(xxxdyyxfdx改改換換積積分分次次序序, , 應應為為_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _. . 6 6、將將二二次次積積分分 xxdyyxfdxsin2sin0),( 改改換換積積分分次次序序, , 應應為為_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _. . 7 7、將將二二次次積積分分 2ln1),(2yedxyxfdy 2)1(2112),(ydxyx