線性代數(shù)課件：2矩陣的相似對角化

1、 2 矩陣的矩陣的相似對角化相似對角化一、相似矩陣的概念一、相似矩陣的概念二、矩陣的相似對角化二、矩陣的相似對角化一、相似矩陣的概念一、相似矩陣的概念顯然，矩陣的相似滿足如下三個基本性質(zhì)：顯然，矩陣的相似滿足如下三個基本性質(zhì)：(1) 反身性反身性 A A ； 1定義定義.,相似相似與與或說矩陣或說矩陣的相似矩陣的相似矩陣是是則稱則稱使使若有可逆矩陣若有可逆矩陣階矩陣階矩陣都是都是設(shè)設(shè)BAABBAPPPnBA1 記為記為 A B(2) 對稱性對稱性 A B ，則，則 B A ；(3) 傳遞性傳遞性 A B, B C, 則則A C 。二、矩陣的相似對角化二、矩陣的相似對角化證明證明,相似相似與與B

2、A PEPAPPEB 11 PEAP 1PEAP 1.EA ,1BAPPP 使得使得存在可逆陣存在可逆陣., 的特征值亦相同的特征值亦相同與與從而從而多項式相同多項式相同的特征的特征與與則則相似相似與與階矩陣階矩陣若若BABABAn定理定理1推論推論1 若若 階方陣階方陣A與對角陣與對角陣n n 21.,21個特征值個特征值的的即是即是則則相似相似nAn 若若n階矩陣階矩陣A與與n階對角矩陣相似，則稱階對角矩陣相似，則稱A可以可以對角化對角化 對角陣具有諸多良好的性質(zhì)，而這些性質(zhì)往對角陣具有諸多良好的性質(zhì)，而這些性質(zhì)往往又被與其相似的矩陣共享。于是很自然就會產(chǎn)往又被與其相似的矩陣共享。于是很自

3、然就會產(chǎn)生這樣一個問題：滿足什么條件的階方陣才可對生這樣一個問題：滿足什么條件的階方陣才可對角化？角化？ .)(個線性無關(guān)的特征向量個線性無關(guān)的特征向量有有的充分必要條件是的充分必要條件是能對角化能對角化即即與對角矩陣相似與對角矩陣相似階矩陣階矩陣nAAAn 定理定理2 如果如果 階矩陣階矩陣 的的 個特征值互不相等，個特征值互不相等，則則 與對角陣相似與對角陣相似推論推論2nAAn（A與對角陣相似的充分條件與對角陣相似的充分條件）如果如果 的特征方程有重根，此時不一定有的特征方程有重根，此時不一定有 個線性無關(guān)的特征向量，從而矩陣個線性無關(guān)的特征向量，從而矩陣 不一定能不一定能對角化，但如果

4、能找到對角化，但如果能找到 個線性無關(guān)的特征向量，個線性無關(guān)的特征向量， 還是能對角化還是能對角化AAnnA說明說明例例1 1 判斷下列實矩陣能否化為對角陣？判斷下列實矩陣能否化為對角陣？ 242422221)1(A 201335212)2(A解解EA 由由)1( 722 0 242422221. 7, 2321 得得 得得方方程程組組代代入入將將, 02121 xEA 04420442022321321321xxxxxxxxx解之得基礎(chǔ)解系解之得基礎(chǔ)解系.110,10221 , 0, 73 xEA 由由對對求得基礎(chǔ)解系求得基礎(chǔ)解系 2 , 2 , 13T , 0211210102 由于由于.

5、,321線線性性無無關(guān)關(guān)所所以以 .,3 化化可對角可對角因而因而個線性無關(guān)的特征向量個線性無關(guān)的特征向量有有即即AA,同理同理 201335212EA 31 201335212)2(A. 1321 的特征值為的特征值為所以所以A , 01 xEA 代入代入把把解之得基礎(chǔ)解系解之得基礎(chǔ)解系,) 1, 1 , 1 ( T 故故 不能化為對角矩陣不能化為對角矩陣.A 163053064A設(shè)設(shè)A能否對角化？若能對角能否對角化？若能對角,P則則求求出出可可逆逆矩矩陣陣化化例例2 2.1為為對對角角陣陣使使APP 解解 163053064EA 212 . 2, 1321 的全部特征值為的全部特征值為所以

6、所以A 得方程組得方程組代入代入將將0121 xEA 063063063212121xxxxxx解之得基礎(chǔ)解系解之得基礎(chǔ)解系,0121 .1002 解解系系得得方方程程組組的的基基礎(chǔ)礎(chǔ)代代入入將將, 02 3 xEA .1 , 1 , 13 T .,321線線性性無無關(guān)關(guān)由由于于 110101102, 321 P令令.200010001 1 APP則則有有所以所以 可對角化可對角化.A注意注意 , ,213 P若令若令111 012 100. 1 APP則有則有00 00002 11即即矩陣矩陣 的列向量和對角矩陣中特征值的位置的列向量和對角矩陣中特征值的位置要相互對應(yīng)要相互對應(yīng)P例例 3 3設(shè)設(shè) 00111100 xA問問x為何值時，矩陣為何值時，矩陣A能對角化？能對角化？解：解： 11)1(011110 xEA)1()1(2 得得1,1