微積分課件：7-3 三重積分的 計算

1、一、三重積分的定義一、三重積分的定義二、三重積分的計算二、三重積分的計算三、小結(jié)三、小結(jié)第三節(jié)第三節(jié) 三重積分的三重積分的 計算計算一、三重積分的定義一、三重積分的定義即即 dvzyxf),(iiiniivf ),(lim10 .叫做體積元素叫做體積元素其中其中dv, 的平面來劃分的平面來劃分用平行于坐標(biāo)面用平行于坐標(biāo)面在直角坐標(biāo)系中，如果在直角坐標(biāo)系中，如果.lkjizyxv 則則三三重重積積記記為為 dxdydzzyxf),(iiiniivf ),(lim10 .積元素積元素叫做直角坐標(biāo)系中的體叫做直角坐標(biāo)系中的體其中其中dxdydz三重積分的幾何意義三重積分的幾何意義當(dāng)當(dāng) f(x,y,z

2、)1f(x,y,z)1 時時, ,dvVdvV 表表示示空空間間區(qū)區(qū)域域的的體體積積 三重積分的性質(zhì)三重積分的性質(zhì)類似于二重積分的性質(zhì)類似于二重積分的性質(zhì)中值定理中值定理:設(shè)設(shè) f f( (x x, ,y y, ,z z) )在有界閉域在有界閉域 上連續(xù)上連續(xù), ,V V 為為 的的體積體積, , 則存在則存在( ( , , , , ) ), , 使得使得f(x,y,z)dvf(x,y,z)dvf(f( , , , , )V)V 222222223 3r0r0 xyzrxyzr1 1設(shè)設(shè)f(x,y,z)f(x,y,z)連連續(xù)續(xù), ,則則 limf(x,y,z)dvlimf(x,y,z)dvr

3、r 直角坐標(biāo)系中將三重積分化為三次積分直角坐標(biāo)系中將三重積分化為三次積分二、利用直角坐標(biāo)計算三重積分二、利用直角坐標(biāo)計算三重積分xyzo D1z2z2S1S),(1yxzz ),(2yxzz ab)(1xyy )(2xyy ),(yx如圖，如圖，,Dxoy面上的投影為閉區(qū)域面上的投影為閉區(qū)域在在閉區(qū)域閉區(qū)域 ),(:),(:2211yxzzSyxzzS ,),(作直線作直線過點過點Dyx 穿出穿出穿入，從穿入，從從從21zz1坐標(biāo)面投影法（先后）坐標(biāo)面投影法（先后） 函數(shù)，則函數(shù)，則的的只看作只看作看作定值，將看作定值，將先將先將zzyxfyx),(, ),(),(21),(),(yxzyxz

4、dzzyxfyxF再再計計算算 F(x,y)F(x,y) 在在閉閉區(qū)區(qū)域域 D D 上上的的二二重重積積分分21( , )( , )( , )( , , ).zx yzx yDDF x y df x y z dz dxdy ,),()(:21bxaxyyxyD 得得 dvzyxf),(.),()()(),(),(2121 baxyxyyxzyxzdzzyxfdydx注意注意于兩點情形于兩點情形相交不多相交不多的邊界曲面的邊界曲面直線與閉區(qū)域直線與閉區(qū)域內(nèi)部的內(nèi)部的軸且穿過閉區(qū)域軸且穿過閉區(qū)域這是平行于這是平行于Sz 其中其中 為三個坐標(biāo)為三個坐標(biāo)例例1: 計算三重積分計算三重積分xdxdydz

5、,xdxdydz,21xyz所圍成的閉區(qū)域所圍成的閉區(qū)域 .1xyz121解解:zyxxddd)1(01021d)21 (dxyyxxxyxz210d1032d)2(41xxxxyxz210)1(021xy10 x )1(021dxy10d xx481面及平面面及平面解解由由 22222xzyxz, 得得交交線線投投影影區(qū)區(qū)域域, 122 yx故故 ： 22222221111xzyxxyxx,.),(11221122222 xyxxxdzzyxfdydxI 1101222),(yxxdzzyxfdydxI.解解. 11, 1,0:222 xyxyxz如圖，如圖，(3) 計算二重積分計算二重積分

6、 zDdxdyzyxf),( 其結(jié)果為其結(jié)果為z的函數(shù)的函數(shù))(zF；(4)最后計算單積分最后計算單積分 21)(ccdzzF即得三重積分值即得三重積分值.z例例 4 4 計計算算三三重重積積分分dxdydzz 2，其其中中 是是由由 橢橢球球面面1222222 czbyax所所成成的的空空間間閉閉區(qū)區(qū)域域. : ,| ),(czczyx 1222222czbyax 原式原式,2 zDccdxdydzzxyzozD解解| ),(yxDz 1222222czbyax )1()1(222222czbczadxdyzD ),1(22czab ccdzzczab222)1(.1543abc 原式原式注

7、注: :若若被被積積函函數(shù)數(shù)為為一一元元函函數(shù)數(shù), ,用用先先2 2后后1 122222222例例 : : 計計算算x dxdydz,x dxdydz,:xyz2z (:xyz2z (選選講講) )( (作作業(yè)業(yè)P48)P48)2222222222例例5 :5 : 計計算算z dv,z dv,是是由由曲曲面面z1xyz1xy 與與xyz1xyz1所所圍圍成成的的閉閉區(qū)區(qū)域域.(.(作作業(yè)業(yè)P45)P45)補(bǔ)充：利用對稱性化簡三重積分計算補(bǔ)充：利用對稱性化簡三重積分計算使用對稱性時應(yīng)注意：使用對稱性時應(yīng)注意：、積分區(qū)域關(guān)于坐標(biāo)面的對稱性；、積分區(qū)域關(guān)于坐標(biāo)面的對稱性；、被積函數(shù)在積分區(qū)域上的關(guān)于

8、三個坐標(biāo)軸的、被積函數(shù)在積分區(qū)域上的關(guān)于三個坐標(biāo)軸的奇偶性奇偶性3 3若若為為R R 中中關(guān)關(guān)于于xyxy面面對對稱稱的的有有界界閉閉區(qū)區(qū)域域，f(x,y,z)f(x,y,z) 為為上上的的連連續(xù)續(xù)函函數(shù)數(shù), ,則則 ; 0),(,_),(dvzyxfzyxf為為奇奇函函數(shù)數(shù)時時關(guān)關(guān)于于當(dāng)當(dāng) 1),(_),(,_),(dvzyxfdvzyxfzyxf為為偶偶函函數(shù)數(shù)時時關(guān)關(guān)于于當(dāng)當(dāng).1面面上上方方的的部部分分在在為為其其中中xy zz2解解積分域關(guān)于三個坐標(biāo)面都對稱，積分域關(guān)于三個坐標(biāo)面都對稱，被積函數(shù)是被積函數(shù)是 的的奇函數(shù)奇函數(shù),z. 01)1ln(222222 dxdydzzyxzyxz

9、0, 02 , . z三、利用柱面坐標(biāo)計算三重積分三、利用柱面坐標(biāo)計算三重積分( , , ), ,M x y zMxoyPzM 設(shè)設(shè)為為空空間間內(nèi)內(nèi)一一點點，并并設(shè)設(shè)點點在在面面上上的的投投影影的的極極坐坐標(biāo)標(biāo)為為，則則這這樣樣的的三三個個數(shù)數(shù)就就叫叫點點的的柱柱面面坐坐標(biāo)標(biāo)規(guī)定：規(guī)定：xyzo),(zyxM( , )P cos ,sin ,.xyzz 柱面坐標(biāo)與直角坐柱面坐標(biāo)與直角坐標(biāo)的關(guān)系為標(biāo)的關(guān)系為 為為常常數(shù)數(shù)為常數(shù)為常數(shù)z 為為常常數(shù)數(shù)如圖，三坐標(biāo)面分別為如圖，三坐標(biāo)面分別為圓柱面；圓柱面；半平面；半平面；平平 面面),(zyxM( , )P zxyzo dxdydzzyxf),(

10、cos ,sin , ).fzd d dz d xyzodzd d 如圖，柱面坐標(biāo)系如圖，柱面坐標(biāo)系中的體積元素為中的體積元素為,dvd d dz ).yx(f)3;)2;D)122 被被積積函函數(shù)數(shù)為為旋旋轉(zhuǎn)轉(zhuǎn)拋拋物物面面的的邊邊界界曲曲面面為為圓圓柱柱面面或或是是圓圓域域的的投投影影區(qū)區(qū)域域一一般般按按z z的的次次序序進(jìn)進(jìn)行行積積分分下下列列情情形形用用柱柱面面坐坐標(biāo)標(biāo)： ( (實實質(zhì)質(zhì)是是先先1 1后后2)2)例例1 1 計算計算 zdxdydzI，其中，其中 是球面是球面 4222 zyx與拋物面與拋物面zyx322 所圍的立體所圍的立體.解解22243zz 1,3,z 知交線為知交

11、線為22323400Iddzdz .413 面上，如圖，面上，如圖，投影到投影到把閉區(qū)域把閉區(qū)域xoy 22:4303,02 .z ，另另解解: :先先2 2后后1 1222222222222例例2:2:求求(xy )zdxdydz,(xy )zdxdydz,由由zxyzxy 與與xy1xy1及及z0z0圍圍成成.(.(作作業(yè)業(yè)P50)P50)22222 2例例3 3：計計算算I(xy )dVI(xy )dV，其其中中為為平平面面曲曲線線y2zy2z繞繞z z軸軸旋旋轉(zhuǎn)轉(zhuǎn)一一周周形形成成的的曲曲面面與與平平面面z8z8所所x0 x0圍圍成成的的區(qū)區(qū)域域。 2 22 248483 30000 /

12、 2/ 210241024解解：IdIdd ddzdz3 3 四、利用球面坐標(biāo)計算三重積分四、利用球面坐標(biāo)計算三重積分的球面坐標(biāo)的球面坐標(biāo)就叫做點就叫做點，個數(shù)個數(shù)面上的投影，這樣的三面上的投影，這樣的三在在點點為為的角，這里的角，這里段段逆時針方向轉(zhuǎn)到有向線逆時針方向轉(zhuǎn)到有向線軸按軸按軸來看自軸來看自為從正為從正軸正向所夾的角，軸正向所夾的角，與與為有向線段為有向線段間的距離，間的距離，與點與點點點為原為原來確定，其中來確定，其中，三個有次序的數(shù)三個有次序的數(shù)可用可用為空間內(nèi)一點，則點為空間內(nèi)一點，則點設(shè)設(shè)MrxoyMPOPxzzOMMOrrM)z ,y, x(M ,r 0.20 ,0 規(guī)定

13、：規(guī)定：為常數(shù)為常數(shù)r為常數(shù)為常數(shù) 為常數(shù)為常數(shù) 如圖，三坐標(biāo)面分別為如圖，三坐標(biāo)面分別為圓錐面；圓錐面；球球 面；面；半平面半平面 .cosrz,sinsinry,cossinrx球面坐標(biāo)與直角坐標(biāo)的關(guān)系為球面坐標(biāo)與直角坐標(biāo)的關(guān)系為如圖，如圖，Pxyzo),(zyxM r zyxA，軸上的投影為軸上的投影為在在點點，面上的投影為面上的投影為在在設(shè)點設(shè)點AxPPxoyM.,zPMyAPxOA 則則 dxdydzzyxf),( .ddrdsinr )cosr ,sinsinr ,cossinr ( f2球面坐標(biāo)系中的體積元素為球面坐標(biāo)系中的體積元素為,ddrdsinrdv2 drxyzodr d

14、sinr rd d d sinr如圖，如圖，2222221)1)積積分分區(qū)區(qū)域域由由球球面面所所圍圍成成的的立立體體；2)2)被被積積函函數(shù)數(shù)為為f(xyz ).f(xyz ).下下列列情情形形用用球球面面坐坐標(biāo)標(biāo)：的次序進(jìn)行積分的次序進(jìn)行積分一般按一般按 , r解解 由由錐錐面面和和球球面面圍圍成成，采采用用球球面面坐坐標(biāo)標(biāo)，由由22222azyx ,2ar 22yxz ,4 ,20,40, a2r0: 由由三三重重積積分分的的性性質(zhì)質(zhì)知知 dxdydzV, a202020drsinrddV4 403d3)a2(sin2.)12(343a 另另解解：采采用用柱柱面面坐坐標(biāo)標(biāo)解解 1 采采用用

15、球球面面坐坐標(biāo)標(biāo)az ,cosar 222zyx ,4 ,20,40,cosar0: dxdydzyxI)(22drsinrdd40cosa03420 d)0cosa(51sin255403.105a 解解 2 采用柱面坐標(biāo)采用柱面坐標(biāo) ,:222ayxD dxdydzyxI)(22 aradzrrdrd2020 adrrar03)(254254aaa .105a 222zyx , rz ,20,0,: arazr2 22 222222222222 22 2a aa ax xaxyaxy2222a axyxya a- -x x2 22 2例例6 :6 : 三三次次積積分分I=dxdyf(x,y

16、,z)dzI=dxdyf(x,y,z)dz的的柱柱坐坐標(biāo)標(biāo)形形式式為為I=I=球球坐坐標(biāo)標(biāo)形形式式為為I=I= ( (作作業(yè)業(yè)P47)P47)解解2)(zyx )(2222zxyzxyzyx 其其中中yzxy 是是關(guān)關(guān)于于y的的奇奇函函數(shù)數(shù), 且且 關(guān)關(guān)于于zox面面對對稱稱, 0)(dvyzxy,同同理理 zx是是關(guān)關(guān)于于x的的奇奇函函數(shù)數(shù), 且且 關(guān)關(guān)于于yoz面面對對稱稱, 0 xzdv由由對對稱稱性性知知 dvydvx22,則則 dxdydzzyxI2)(,)2(22 dxdydzzx在柱面坐標(biāo)下：在柱面坐標(biāo)下：,20 , 10 r,222rzr , 122 yx投影區(qū)域投影區(qū)域 xy

17、D： 2222222010)cos2(rrdzzrrdrdI).89290(60 注：注：此此題題不不宜宜采采用用球球面面坐坐標(biāo)標(biāo)作作業(yè)業(yè)P50P50第第4 4題題三重積分的定義和計算三重積分的定義和計算在直角坐標(biāo)系下的體積元素在直角坐標(biāo)系下的體積元素dxdydzdv （計算時將三重積分化為三次積分）（計算時將三重積分化為三次積分）三、小結(jié)三、小結(jié)（1） 柱面坐標(biāo)的體積元素柱面坐標(biāo)的體積元素dxdydzd d dz （2） 球面坐標(biāo)的體積元素球面坐標(biāo)的體積元素 ddrdsinrdxdydz2（3） 對稱性簡化運(yùn)算對稱性簡化運(yùn)算三重積分換元法三重積分換元法 柱面坐標(biāo)柱面坐標(biāo)球面坐標(biāo)球面坐標(biāo)思考題

18、思考題 為為六六個個平平面面0 x，2 x，1 y，42 yx，xz ，2 z圍圍成成的的區(qū)區(qū)域域，),(zyxf在在 上上連連續(xù)續(xù)，則則累累次次積積分分_ dvzyxf),(.選擇題選擇題:;),()(201222 xxdzzyxfdydxA;),()(202212 xxdzzyxfdydxB;),()(201222 xxdzzyxfdydxC.),()(202212 xxdzzyxfdydxD一、一、 填空題填空題: :1 1、 若若 由曲面由曲面22yxz 及平面及平面1 z所圍成所圍成, , 則三重積分則三重積分 dxdydzzyxf),(化為三次積分是化為三次積分是 _. .2 2、 若若 是由曲面是由曲面0( cxycz),),12222 byax, ,0 z所所圍成的在第一卦限內(nèi)的閉區(qū)域圍成的在第一卦限內(nèi)的閉區(qū)域, ,則三重積分則三重積分 dxdydzzyxf),(可化為三次積分為可化為三次積分為_._.3 3、 若若10 , 10 , 10: zyx, ,則則 dxdydzzyx)(可化為三次積分可化為三次積分_,_,其值為其值為_._.練練 習(xí)習(xí) 題題 4 4、若、若 : :是由是由),0(, 0, 0 hhzzx )0(2222 aayxayx及及所圍成所圍成, ,則三重積則三重積 分分 dvzyxf)