高等數(shù)學(xué)：12-2 一階微分方程

1、1可分離變量的微分方程可分離變量的微分方程小結(jié)小結(jié) 思考題思考題 作業(yè)作業(yè)一階線性微分方程一階線性微分方程利用變量代換求解利用變量代換求解方程方程第二節(jié)第二節(jié) 一階微分方程一階微分方程全微分方程全微分方程伯努利伯努利(Bernoulli)方程方程第十二章第十二章 微分方程微分方程2xxyyd)(d)( 如果一階微分方程如果一階微分方程等式的每一邊僅是一個(gè)變量的函數(shù)與這個(gè)等式的每一邊僅是一個(gè)變量的函數(shù)與這個(gè) 可分離變量的方程可分離變量的方程)()(ygxfy 0d)()(d)()(2121 yyNxNxyMxM或或可以寫成可以寫成0),( yyxF的形式的形式,易于化為形式易于化為形式特點(diǎn)特點(diǎn)變

2、量的微分之積變量的微分之積.兩端積分可得通解兩端積分可得通解.一階微分方程一階微分方程一、可分離變量的微分方程一、可分離變量的微分方程3可分離變量的方程求通解的步驟是可分離變量的方程求通解的步驟是: :分離變量分離變量,兩邊積分兩邊積分其中其中C為任意常數(shù)為任意常數(shù).),(Cxyy 就是方程的通解就是方程的通解分離變量法分離變量法. .的形式；的形式；把方程化為把方程化為xxyyd)(d)( 1.2.由上式確定的函數(shù)由上式確定的函數(shù)(隱式通解隱式通解).這種解方程的方法稱為這種解方程的方法稱為將上式將上式一階微分方程一階微分方程( )d( )d;yyxxC4一階微分方程一階微分方程例例 求方程

3、求方程 的通解的通解.0d)1(d)1(22 yxyxyx解解 分離變量分離變量xxxyyyd1d122 兩端積分兩端積分 yyyd12)1ln(21)1ln(2122xy )1(ln)1ln(22xCy )1(122xCy 為方程的通解為方程的通解.Cln21 隱式通解隱式通解 xxxd125一階微分方程一階微分方程解解xxyyyd1dln1 xxyyd1lndln1Cxylnlnlnln Cxln Cxy lnCxey 通解為通解為ln.xyyy 求方程的通解6注注 應(yīng)用問題建立微分方程的方法應(yīng)用問題建立微分方程的方法:方法大體有兩種方法大體有兩種第一種方法第一種方法常見的物理定律有力學(xué)、

4、熱學(xué)、光學(xué)、電學(xué)常見的物理定律有力學(xué)、熱學(xué)、光學(xué)、電學(xué)直接利用物理定律或幾何條件列出方程直接利用物理定律或幾何條件列出方程,的定律的定律;第二種方法第二種方法取小元素分析取小元素分析,然后利用物理定律列出然后利用物理定律列出方程方程(類似于定積分應(yīng)用中的元素法類似于定積分應(yīng)用中的元素法).一階微分方程一階微分方程7兩端積分兩端積分解解,ddtM由題設(shè)條件由題設(shè)條件)0(dd衰變系數(shù)衰變系數(shù) MtMtMMdd ,dd tMM ,00MMt 代代入入,lnlnCtM 即即00CeM 得得C teMM 0分離變量分離變量負(fù)號是由于當(dāng)負(fù)號是由于當(dāng) t 增加時(shí)增加時(shí)M單調(diào)減少單調(diào)減少,tCeM 通解通解

5、特解特解例例 衰變問題衰變問題. .衰變速度與未衰變原子含量衰變速度與未衰變原子含量M成成正比正比,00MMt 已知已知求衰變過程中鈾含量求衰變過程中鈾含量 M (t)隨時(shí)間隨時(shí)間 t 變化的規(guī)律變化的規(guī)律.一階微分方程一階微分方程衰變規(guī)律衰變規(guī)律衰變速度衰變速度8一階微分方程一階微分方程例例 求游船上的傳染病人數(shù)求游船上的傳染病人數(shù).一只游船上有一只游船上有800人人,12小時(shí)后有小時(shí)后有3人發(fā)病人發(fā)病.故感染者不能被及時(shí)隔離故感染者不能被及時(shí)隔離. 設(shè)傳染病的傳播速度與受感染的人數(shù)及未受感染的設(shè)傳染病的傳播速度與受感染的人數(shù)及未受感染的人數(shù)之積成正比人數(shù)之積成正比.一名游客患了某種傳染病一

6、名游客患了某種傳染病,由于這種傳染病沒有早期癥狀由于這種傳染病沒有早期癥狀,直升機(jī)將在直升機(jī)將在60至至72小時(shí)小時(shí)將疫苗運(yùn)到將疫苗運(yùn)到,試估算疫苗運(yùn)到時(shí)患此傳染病的人數(shù)試估算疫苗運(yùn)到時(shí)患此傳染病的人數(shù).解解用用 y ( t )表示發(fā)現(xiàn)首例病人后表示發(fā)現(xiàn)首例病人后 t 小時(shí)時(shí)的小時(shí)時(shí)的感染人感染人數(shù)數(shù),)(800ty 表示表示 t 刻刻未受感染的人數(shù)未受感染的人數(shù),由題意由題意,得得d(800),dtykyy其中其中k 0為比例常數(shù)為比例常數(shù).可分離變量微分方程可分離變量微分方程分離變量分離變量,d)800(dtkyyy , 1)0( y初始條件初始條件:3)12( y9一階微分方程一階微分方

7、程,d)800(dtkyyy 即即,dd800118001tkyyy 兩邊積分兩邊積分,得得,)800ln(ln80011Cktyy 通解通解ktCey8001800 ).(1800CeC , 1)0( y初始條件初始條件3)12( y由由初始條件初始條件, 1)0( y得得.799 C再由再由, 3)12( y便可確定出便可確定出 k800所以所以.7991800)(09176. 0tety 1797ln122397.09176. 0 10一階微分方程一階微分方程.7991800)(09176. 0tety 直升機(jī)將在直升機(jī)將在60至至72小時(shí)將疫苗運(yùn)到小時(shí)將疫苗運(yùn)到,試估算疫苗運(yùn)試估算疫苗

8、運(yùn)到時(shí)患此傳染病的人數(shù)到時(shí)患此傳染病的人數(shù).下面計(jì)算下面計(jì)算72,60 t小時(shí)時(shí)的小時(shí)時(shí)的感染者人數(shù)感染者人數(shù) )60(y )72(y從上面數(shù)字可看出從上面數(shù)字可看出,在在72小時(shí)疫苗運(yùn)到時(shí)小時(shí)疫苗運(yùn)到時(shí), 感感染的人數(shù)將是染的人數(shù)將是60小時(shí)感染人數(shù)的小時(shí)感染人數(shù)的2倍倍.病流行時(shí)及時(shí)采取措施是至關(guān)重要的病流行時(shí)及時(shí)采取措施是至關(guān)重要的.可見在傳染可見在傳染,18879918006009176. 0 e.38579918007209176. 0 e11有高為有高為1米的半球形容器米的半球形容器, 解解 由由力學(xué)知識力學(xué)知識 得得,水從孔口水從孔口流出的流量為流出的流量為流量系數(shù)流量系數(shù)孔口截

9、面面積孔口截面面積重力加速度重力加速度ghStVQ262. 0dd 一階微分方程一階微分方程水面的高度水面的高度h(水面與孔口中心間的距離水面與孔口中心間的距離)隨時(shí)間隨時(shí)間t的變化規(guī)律的變化規(guī)律.開始時(shí)開始時(shí)容器內(nèi)盛滿了水容器內(nèi)盛滿了水,求水從小孔流出過程中容器里求水從小孔流出過程中容器里流出流出, 例例小孔橫截面積為小孔橫截面積為1平方厘米平方厘米 (如圖如圖). 水從它的底部小孔水從它的底部小孔 3221(100),(200)d3VhhdVhhh 12hhhd)200(2 ,d262. 0tgh ,d)200(262. 0d3hhhgt ,)523400(262. 053Chhgt ,1

10、00|0 th,101514262. 05 gC).310107(265. 45335hhgt 所求規(guī)律為所求規(guī)律為一階微分方程一階微分方程可分離變量方程可分離變量方程13一階微分方程一階微分方程 2001年北方交大期末考題年北方交大期末考題(8分分)推進(jìn)器停止工作推進(jìn)器停止工作,已知船受水的阻力與船速的平方成正比已知船受水的阻力與船速的平方成正比 (比例系比例系問經(jīng)過問經(jīng)過多少時(shí)間多少時(shí)間,船的速度減為原速度的一半船的速度減為原速度的一半?解解 由題意由題意2ddmkvtvm 0)0(vv Cktv 1初始條件初始條件011vktv 01vC ,20時(shí)時(shí)當(dāng)當(dāng)vv 01kvt 即得即得.解得解

11、得當(dāng)輪船的前進(jìn)速度為當(dāng)輪船的前進(jìn)速度為v0時(shí)時(shí),數(shù)為數(shù)為mk,其中其中k 0為常數(shù)為常數(shù),而而m為船的質(zhì)量為船的質(zhì)量).14, 2lnd2)()(20 ttfxfxfx滿足關(guān)系式滿足關(guān)系式設(shè)設(shè)).()( xf則則; 2ln.xeA; 2ln.2xeB; 2ln. xeC2ln.2 xeD分析分析 有兩種方法有兩種方法其一，其一， 將所給選項(xiàng)代入關(guān)系式直接驗(yàn)算，將所給選項(xiàng)代入關(guān)系式直接驗(yàn)算，B(B)正確正確.其二，其二， 對積分關(guān)系式兩邊求導(dǎo)化為微分方程對積分關(guān)系式兩邊求導(dǎo)化為微分方程,并注并注意到由所給關(guān)系式在特殊點(diǎn)可確定出微分方程意到由所給關(guān)系式在特殊點(diǎn)可確定出微分方程所應(yīng)滿足的初始條件所應(yīng)

12、滿足的初始條件.一階微分方程一階微分方程 1991年考研數(shù)學(xué)一年考研數(shù)學(xué)一, 3分分15一般一般,未知函數(shù)含于未知函數(shù)含于變上限的積分變上限的積分中時(shí)中時(shí),?？沙？赏ㄟ^對關(guān)系式兩邊求導(dǎo)而化為微分方程再找出通過對關(guān)系式兩邊求導(dǎo)而化為微分方程再找出初始條件而解之初始條件而解之.解解 )(xf)(2)(xfxf fx222 可分離變量方程可分離變量方程xxfxfd2)()(d 兩邊積分兩邊積分Cxxfln2)(ln xCexf2)( 由原關(guān)系式由原關(guān)系式2ln)0( f, 2ln C得得得得. 2ln)(2xexf 分離變量分離變量一階微分方程一階微分方程20( )dln2,2xtf xft將關(guān)系式

13、兩邊求導(dǎo)16二、一階線性微分方程二、一階線性微分方程)()(ddxQyxPxy 一階線性微分方程一階線性微分方程的標(biāo)準(zhǔn)形式的標(biāo)準(zhǔn)形式, 0)( xQ當(dāng)當(dāng)上面方程稱為上面方程稱為上面方程稱為上面方程稱為, 0)( xQ當(dāng)當(dāng)如如,dd2xyxy ,sindd2ttxtx , 32 xyyy, 1cos yy線性的線性的;非線性的非線性的.齊次的齊次的; ;非齊次的非齊次的.線性線性一階一階 自由項(xiàng)自由項(xiàng)一階微分方程一階微分方程17. 0)(dd yxPxy,d)(dxxPyy ,d)(d xxPyy齊次方程齊次方程的通解為的通解為 xxPCeyd)(1. 線性線性齊次齊次方程方程一階線性一階線性微

14、分方程的微分方程的解法解法(使用分離變量法使用分離變量法)(C1為任意常數(shù)為任意常數(shù))(1CeC 一階微分方程一階微分方程1ln |( )dln,yP xxC 182. 線性線性非齊次非齊次方程方程 yxPxy)(dd線性線性齊次齊次方程是線性方程是線性非齊次非齊次方程的特殊情況方程的特殊情況.,d)( xxPCe顯然線性顯然線性非齊次非齊次方程的解不會是如此方程的解不會是如此,之間應(yīng)存在某種共性之間應(yīng)存在某種共性.設(shè)想設(shè)想)()(ddxQyxPxy 非齊次非齊次方程方程 待定函數(shù)待定函數(shù)線性線性齊次齊次方程的通解是方程的通解是但它們但它們)(xQ一階微分方程一階微分方程 xxPeyd)()(

15、xC的解是的解是19 xxPexCyd)()(,代代入入原原方方程程和和將將yy )(xQ xxPxxPexPxCexCd)(d)()()()( xxPexCxPd)()()(從而從而C(x)滿足方程滿足方程,)(d)(求導(dǎo)求導(dǎo)對對 xxPexCy得得)(xC)(xP xxPed)(得得)()(ddxQyxPxy )()(d)(xQexCxxP 一階微分方程一階微分方程)()(ddxQyxPxy 20即即 xxPexQxCd)()()(xexQxCxxPd)()(d)( C 一階線性非齊次一階線性非齊次微分方程的通解為微分方程的通解為d)(d)(d)(CxexQeyxxPxxP xxPexCy

16、d)()(設(shè)設(shè)常數(shù)變易法常數(shù)變易法 把齊次方程通解中的常數(shù)變易為把齊次方程通解中的常數(shù)變易為待定函數(shù)的方法待定函數(shù)的方法. .一階微分方程一階微分方程 xd xdd( )( ).dyP x yQ xx是的解21 xxPCed)(非齊次方程的一個(gè)特解非齊次方程的一個(gè)特解對應(yīng)齊次對應(yīng)齊次方程通解方程通解d)(d)(d)(CxexQeyxxPxxP 一階線性方程解的結(jié)構(gòu)一階線性方程解的結(jié)構(gòu)xexQexxPxxPd)(d)(d)( 注注 一階線性方程解的結(jié)構(gòu)及解非齊次方程一階線性方程解的結(jié)構(gòu)及解非齊次方程的常數(shù)變易法對高階線性方程也適用的常數(shù)變易法對高階線性方程也適用.一階微分方程一階微分方程)()(

17、ddxQyxPxy 22.sin1的通解的通解求方程求方程xxyxy ,1)(xxP ,sin)(xxxQ xxeyd1 Cxxxdsin1 Cxx cos1解解例例一階線性非一階線性非齊次方程齊次方程 xxsin xxed1xdC 一階微分方程一階微分方程d)(d)(d)(CxexQeyxxPxxP 23 23)(yx xyxxy03d23xyy 解解 xxxf0d)( 積分方程積分方程一階微分方程一階微分方程例例 如圖所示如圖所示,平行于平行于y 軸的動直線被曲線軸的動直線被曲線 y = f (x)陰影部分的面積陰影部分的面積,一階非齊次線性方程一階非齊次線性方程 yyx 23即即xyO3

18、xy )(xfy xPQ截下的線段截下的線段PQ之長之長數(shù)值上等于數(shù)值上等于求曲線求曲線 y = f (x).3(0)yxx與240000 Cxexeyxxd3d2d6632 xxCex 0|xy6 C得得所求曲線為所求曲線為)222(32 xxeyx23xyy , 1)( xP23)(xxQ 一階微分方程一階微分方程 xyxxy03d00025一階微分方程一階微分方程例例靜脈輸液問題靜脈輸液問題. .靜脈輸入葡萄糖是一種重要的醫(yī)療技術(shù)靜脈輸入葡萄糖是一種重要的醫(yī)療技術(shù). .研究這一過程研究這一過程, ,設(shè)設(shè)G(t)為為時(shí)刻時(shí)刻 t 血液中血液中葡萄糖含量葡萄糖含量, ,min)(gk與此與此

19、血液中的血液中的葡萄糖還會轉(zhuǎn)化為其他物質(zhì)或轉(zhuǎn)移葡萄糖還會轉(zhuǎn)化為其他物質(zhì)或轉(zhuǎn)移其速率與其速率與血液中的血液中的葡萄糖含量成正比葡萄糖含量成正比. .試列出描述這一現(xiàn)象的微分方程試列出描述這一現(xiàn)象的微分方程, ,為了為了到其他地方到其他地方, ,含量含量. .糖以常數(shù)糖以常數(shù)同時(shí)同時(shí),解解 因?yàn)橐驗(yàn)檠褐械难褐械钠咸烟呛康淖兓势咸烟呛康淖兓蕋Gdd加速率與減少速率之差加速率與減少速率之差, ,等于增等于增而增加速率為而增加速率為減少減少速率為速率為,G 其中其中 為正的比例常數(shù)為正的比例常數(shù), ,所以所以需要知道需要知道t 時(shí)刻中血液中的時(shí)刻中血液中的葡萄糖葡萄糖且設(shè)葡萄且設(shè)葡萄的固定速

20、率輸入到的固定速率輸入到血液中血液中,并解之并解之. .常數(shù)常數(shù)k,ddGktG 26一階微分方程一階微分方程,ddGktG 即即.ddkGtG 關(guān)于關(guān)于G的一階線性非齊次方程的一階線性非齊次方程由通解公式由通解公式, ,得得 d)(ddCteketGtt 設(shè)設(shè)G(0)表示最初血液中表示最初血液中葡萄糖含量葡萄糖含量, ,)0( kGC 于是于是.)0()(tekGktG 定出定出則可確則可確.tCek 27解初值問題解初值問題: 10cos2)1(02xyxxyyx解解 將方程寫為將方程寫為1cos1222 xxyxxy)(xP)sin(112xCx 由初始條件由初始條件10 xy特解特解2

21、1sin1xxy )(xQ, 1 C一階非齊次線性方程一階非齊次線性方程一階微分方程一階微分方程d)(d)(d)(CxexQeyxxPxxP 2222dd112cosd1xxxxxxxyeexCx28例例 解方程解方程0d)ln(dln yyxxyy若將方程寫成若將方程寫成yxyyxylnlndd 則它既不是線性方程則它既不是線性方程,又不能分離變量又不能分離變量.若將方程寫成若將方程寫成yyyxyxlnlndd yxyy1ln1 以以x為為未知函數(shù)未知函數(shù), 即即yxyyyx1ln1dd 一階非齊次線性方程一階非齊次線性方程.分析分析y 為為自變量自變量的的一階微分方程一階微分方程29 Cy

22、eyexyyyyyyd1dln1dln1 Cyyyydln1ln1yCylnln21 此外此外, y = 1也是原方程的解也是原方程的解.解解yxyyyx1ln1dd 一階微分方程一階微分方程)(yP)(yQd)(d)(d)(CxexQeyxxPxxP ln d(ln )d0yy xxyy30注注參數(shù)形式的參數(shù)形式的.解方程時(shí)解方程時(shí), 通常不計(jì)較哪個(gè)是自變量哪個(gè)是通常不計(jì)較哪個(gè)是自變量哪個(gè)是因變量因變量,視方便而定視方便而定,關(guān)系關(guān)系.關(guān)鍵在于找到兩個(gè)變量間的關(guān)鍵在于找到兩個(gè)變量間的解可以是顯函數(shù)解可以是顯函數(shù), 也可以是隱函數(shù)也可以是隱函數(shù),甚至是甚至是一階微分方程一階微分方程31)(xQ

23、)(xP的的通通解解為為微微分分方方程程xxyycostan 解解 y 這是典型的一階線性方程這是典型的一階線性方程.分析分析 由通解公式有由通解公式有 Cxexeyxxxxdcosdtandtan一階微分方程一階微分方程 1992年考研數(shù)學(xué)一年考研數(shù)學(xué)一, 3分分()cosxCx()cosxCx32 2002年考研數(shù)學(xué)二年考研數(shù)學(xué)二, 7分分 求微分方程求微分方程0d)2(d xyxyx 的一個(gè)解的一個(gè)解),(xyy 與直線與直線2, 1 xx 以及以及x軸所圍成的平面圖形繞軸所圍成的平面圖形繞x軸旋轉(zhuǎn)一周的所圍軸旋轉(zhuǎn)一周的所圍成的旋轉(zhuǎn)體體積最小成的旋轉(zhuǎn)體體積最小. 使得由曲線使得由曲線)(

24、xyy 12dd yxxy解解212475xxy 一階微分方程一階微分方程原方程可化為原方程可化為則則 Cxeeyxxxxd1d2d2.2Cxx 一階線性方程一階線性方程)(CV).37215531(2 CC 0)215562()( CCV .12475 C 2122d)(xCxx 33形如形如的方程的方程,)()(ddxQyxPxy 方程為方程為線性線性微分方程微分方程. 方程為方程為非線性非線性微分方程微分方程.,1 , 0時(shí)時(shí)當(dāng)當(dāng) n,1 , 0時(shí)時(shí)當(dāng)當(dāng) n需經(jīng)過變量代換化為線性微分方程需經(jīng)過變量代換化為線性微分方程.解法解法)1 , 0( n稱為稱為ny 一階微分方程一階微分方程伯努利

25、伯努利( (Bernoulli)方程方程. 事實(shí)上事實(shí)上, ny用用除方程的兩邊除方程的兩邊,得得 雅個(gè)布雅個(gè)布 伯努利伯努利 (瑞士瑞士) 1654-1705)()(dd1xQyxPxyynn 三、伯努利三、伯努利(Bernoulli)方程方程34即即)()(dd1111xQyxPxynnn 可見只要作可見只要作變換變換,)()(dd1xQyxPxyynn nyz 1方程就可化為方程就可化為z 的一階線性方程的一階線性方程)1)()()1(ddnxQzxPnxz ny1伯努利方程伯努利方程的通解的通解 )d)1)(d)()1(d)()1(CxenxQezxxPnxxPn 令令ny 一階微分方

26、程一階微分方程35.4dd的通解的通解求方程求方程yxyxxy 解解例例伯努利方程伯努利方程21 n作變換作變換.21211yyz 則方程化為則方程化為 xzdd即即22ddxzxxz 它的通解為它的通解為22dd2xxxxxzeedxC xCxln212故原方程的通解為故原方程的通解為24ln21 xCxy)1)()()1(ddnxQzxPnxz 一階微分方程一階微分方程zx 4211x 21136 熟悉求解方法后熟悉求解方法后,也可以不引入新變量也可以不引入新變量,注注例例 解方程解方程321ddyxxyxy 解解 這不是線性方程這不是線性方程,但若把但若把y視為自變量視為自變量,23dd

27、xyyxyx 兩邊除以兩邊除以,dd312yyxyxx 311ddyyxyx 一階微分方程一階微分方程n=2的伯努利方程的伯努利方程.也不是也不是伯努利方程伯努利方程.方程寫為方程寫為:2x而直接按上述方法求解而直接按上述方法求解.即即,dd311yyxyx ,)(yyP 3)(yyQ 37即即,dd311yyxyx ,)(yyP Cyeyexyyyyd)(d3d1 Cyeyeyyd232222222yCey 3)(yyQ 1 x1 x一階微分方程一階微分方程38的的通通解解求求yexy 1分析分析這不是前面的典型類型中的任何一種這不是前面的典型類型中的任何一種,可仿照可仿照伯努利方程的解法伯

28、努利方程的解法,通乘等式通乘等式以以ye 11dd yyexxye可化為可化為線性方程線性方程解解yeu 令令xyexuydddd 則則上式成為上式成為11dd uxxu即即11dd uxxu線性方程線性方程一階微分方程一階微分方程例例兩邊兩邊, 得得39 Cxeeuxxxxdd1d1從而從而xCx 2于是得于是得ye xCx 2即即 xCxy2ln一階微分方程一階微分方程40四、利用變量代換求解四、利用變量代換求解方程方程 下面用變量代換的方法來簡化求解微分方程下面用變量代換的方法來簡化求解微分方程.如果一階微分方程可以寫成如果一階微分方程可以寫成 xygxydd齊次齊次型型方程方程. .即

29、即,uxy 得到得到 u 滿足的方程滿足的方程).(dduguxux 即即的形式的形式,xyu 作變量代換作變量代換 xydd 代入代入變量代換在數(shù)學(xué)的各個(gè)方面都是極重要的變量代換在數(shù)學(xué)的各個(gè)方面都是極重要的,極限運(yùn)算和積分運(yùn)算中已看到了變換的作用極限運(yùn)算和積分運(yùn)算中已看到了變換的作用.則稱之為則稱之為 uxxudd 一階微分方程一階微分方程1. 齊次型方程齊次型方程41可分離變量的方程可分離變量的方程,)(ddxuugxu xxuugud)(d 分離變量分離變量兩邊積分兩邊積分,求出通解后求出通解后, .uxy代代替替用用就得到原方程的通解就得到原方程的通解.一階微分方程一階微分方程42例例

30、 解方程解方程解解 將方程寫為將方程寫為22ddyxxyxy 齊次型方程齊次型方程,xyu 令令,uxy 則則xuxuxydddd 方程變?yōu)榉匠套優(yōu)?1dduuxuxu 即即xxuuud1d132 積分得積分得Cxuu lnln21221 xyxy可分離變量方程可分離變量方程uuxyu 一階微分方程一階微分方程 xygxydd22d()d0 xy xxyy43例例 探照燈反射鏡的設(shè)計(jì)探照燈反射鏡的設(shè)計(jì). .一階微分方程一階微分方程在在xOy平面上有一曲線平面上有一曲線L,曲線曲線L繞繞x軸旋轉(zhuǎn)一周軸旋轉(zhuǎn)一周,形成一形成一旋轉(zhuǎn)曲面旋轉(zhuǎn)曲面. 假設(shè)由假設(shè)由O點(diǎn)發(fā)出的光線經(jīng)此點(diǎn)發(fā)出的光線經(jīng)此旋轉(zhuǎn)旋轉(zhuǎn)

31、曲面形狀的凹曲面形狀的凹鏡反射后都與鏡反射后都與x軸平行軸平行(探照燈內(nèi)的探照燈內(nèi)的凹凹鏡就是這樣的鏡就是這樣的), ,求求曲線曲線L的方程的方程.解解 如圖如圖,設(shè)設(shè) O點(diǎn)點(diǎn)發(fā)出的某條發(fā)出的某條 ML光線經(jīng)光線經(jīng)L上一點(diǎn)上一點(diǎn)M (x, y)反射反射后是一條與后是一條與x軸平行的直線軸平行的直線MS.又設(shè)過點(diǎn)又設(shè)過點(diǎn)M的切線的切線AT與與x軸的傾角是軸的傾角是. 由題意由題意,. SMTxyO TAS 44一階微分方程一階微分方程另一方面另一方面,OMA 是是入射角入射角的余角的余角,SMT 是是反射角反射角的余角的余角,于是由光學(xué)中的于是由光學(xué)中的反射定律反射定律, SMTOMA有有從而從

32、而,OMAO 但但OPAPAO OPPM cot而而.22yxOM 于是得微分方程于是得微分方程,22yxxyy 即即.d)(d22yyxxxy MLxyO TAS PN,xyy 入射角入射角 = 反射角反射角齊次型方程齊次型方程45一階微分方程一階微分方程為方便求解為方便求解,yyxxxyd)(d22 視視y為自變量為自變量, x為未知函數(shù)為未知函數(shù),yxv 令令則則,yvx 有有,dddvyyvx 代入上式得代入上式得.d)1|()dd(2yvyyvvyyvy 由曲線由曲線L的對稱性的對稱性, 不妨設(shè)不妨設(shè)y 0, ,上式上式為為,d)1()dd(2yvvyvyyvy 化簡得化簡得,d1d

33、2yvvy .d1d2yyvv 分離變量分離變量可分離變量的方程可分離變量的方程46.d1d2yyvv 兩邊積分兩邊積分一階微分方程一階微分方程得得,lnln)1ln(2Cyvv 即即.12Cyvv 由上式可得由上式可得, 122 vvCy即即, 1222 CyvCy以以yxv 代入上式代入上式,得得.222 CxCy這就是這就是曲線曲線L的方程的方程,它是以它是以x軸為對稱軸軸為對稱軸,焦點(diǎn)焦點(diǎn)在原點(diǎn)的在原點(diǎn)的拋物線拋物線.47分析分析.,求求解解比比較較方方便便的的函函數(shù)數(shù)看看作作把把yx解解 yxdd,yxu 令令,uyx 則則,ddddyuyuyx 方程變?yōu)榉匠套優(yōu)?yuyudd)1(

34、11 ueu 齊次齊次型型方程方程可分離變量方程可分離變量方程 yxfyxdd一階微分方程一階微分方程)1(11 yxeyx(1) d()d.xyey xxyy求方程的通解48兩邊積分兩邊積分Cyeuulnln)ln( 即即Ceuyu )(得通解得通解Cyexyx 分離變量分離變量yyueueuud1d1 yuyudd)1(11 ueu一階微分方程一階微分方程49uuux 11)1(2解解令令則則 y代入方程代入方程, ,1dd112 xxuuu積分得積分得uarctan)1(ln212u )1(ln xC分離變量分離變量, ,得得因方程可變形為因方程可變形為uxy)1(5 得得例例 求解求解

35、一階微分方程一階微分方程,)1(uux 2. 可化為齊次型的方程可化為齊次型的方程15 xyud4d6yxyxxy25xy d(5)(1)d(5)(1)yyxxyx50求解求解一階微分方程一階微分方程通解通解15arctan xy 2151ln21xy)1(ln xC得得 C = 1,故所求特解為故所求特解為15arctan xyd4d6yxyxxy25xy 221ln (1)(5)2xy51為齊次型方程為齊次型方程. .,01時(shí)時(shí)當(dāng)當(dāng) cc，令令kYyhXx ,(其中其中h和和k是待定的常數(shù)是待定的常數(shù))YyXxdd,dd 否則為否則為非齊次型方程非齊次型方程. . XYdd解法解法一階微分

36、方程一階微分方程形如形如的微分方程的微分方程111cybxacbyax )(ddfxy cbkahbYaX )(f11111ckbhaYbXa , 0, 0111ckbhacbkah11)1(baba 有唯一一組解有唯一一組解., 0 52 , 0, 0111ckbhacbkah, 0)1(11 baba有唯一一組解有唯一一組解.)(dd11YbXabYaXfXY 得通解代回得通解代回 ，kyYhxX, 0)2( 未必有解未必有解, 上述方法不能用上述方法不能用.,01時(shí)時(shí)當(dāng)當(dāng) bba 與與1一階微分方程一階微分方程中必至少有一個(gè)為零中必至少有一個(gè)為零., 0 b若若可分離變量的微分方程可分離

37、變量的微分方程.)(dd111cybxacbyaxfxy ,byaxz 令令, 0, 01 ab若若),dd(1ddaxzbxy )()dd(11cczfaxzb 可分離變量的微分方程可分離變量的微分方程.53,11 bbaa令令),)(dd1cbyaxcbyaxfxy ，則則xybaxzdddd ).()dd(11czczfaxzb ,01時(shí)時(shí)當(dāng)當(dāng) b,byaxz 令令可分離變量可分離變量.)(dd111cybxacbyaxfxy 一階微分方程一階微分方程 , 0, 0111ckbhacbkah, 0)2( 未必有解未必有解, 上述方法不能用上述方法不能用.方程可化為方程可化為54.31dd

38、的通解的通解求求 yxyxxy解解, 021111 0301khkh2, 1 kh. 2, 1 YyXx令令,ddYXYXXY 代入原方程得代入原方程得，令令XYu 一階微分方程一階微分方程例例 )(dd111cybxacbyaxfxy , hXx 令令 . 0, 0111ckbhacbkah，kYy 是是非齊次型方程非齊次型方程. .方程組方程組是是齊次型方程齊次型方程. . XuXudd分離變量法得分離變量法得方程變?yōu)榉匠套優(yōu)?11uu 55,11dduuXuXu 分離變量法得分離變量法得,)12(22CuuX ,222CXXYY 代回，代回，將將2, 1 yYxX得原方程的通解得原方程的

39、通解,)1()2)(1(2)2(22Cxyxy .622122Cyxyxyx 方程變?yōu)榉匠套優(yōu)橐浑A微分方程一階微分方程XYu 即即或或56求解下列微分方程求解下列微分方程一階微分方程一階微分方程例例0d)(d)()1( yxxygxyxyfxyxyxxy )(sin1dd)2(2xxyxeyyxyx22)4(2222 解題提示解題提示方程中出現(xiàn)方程中出現(xiàn)),(),(yxfxyf )(),(22xyfyxf 等形式的項(xiàng)時(shí)等形式的項(xiàng)時(shí),通常要做相應(yīng)通常要做相應(yīng)的的變量代換變量代換,22xyyxyxxyu yxxy 1dd)3(57一階微分方程一階微分方程0d)(d)()1( yxxygxyxyf解

40、解,xyu 令令求微分得求微分得,dddxyyxu 代入方程代入方程0d)(d)()( uugxxuuguf0d)()()(d uugufuugxx xln uugufuugd)()()(C 可分離變量方程可分離變量方程58xyxyxxy )(sin1dd)2(2解解,xyu 令令 xudd則則 xuddCxuu 42sin2分離變量法得分離變量法得,代回代回將將xyu 所求通解為所求通解為Cxxyxy 4)2sin(2)(sin1(2xyxyxxy u2sin1 xuddu2sin1 可分離變量方程可分離變量方程一階微分方程一階微分方程xyxydd 59yxxy 1dd)3(解解uyx 令令

41、, 1dddd xuxy則則代入原式代入原式,11dduxu 分離變量法得分離變量法得,)1ln(Cxuu ,代代回回將將yxu 所求通解為所求通解為,)1ln(Cyxy 11 yeCxy或或另解另解yxyx dd一階線性方程一階線性方程. 可分離變量方程可分離變量方程一階微分方程一階微分方程方程變形為方程變形為60 xxyxeyyxyx22)4(2222 一階微分方程一階微分方程解解,22uyx 令令uyyx 22則則原方程原方程xuexuu ,xuv 再令再令,xvu 而而vxvu vevvxv xxvevd1d Cxev lnCxexyx ln22齊次齊次型型方程方程61一階微分方程一階

42、微分方程解微分方程解微分方程例例0cossin xyxyy解解 原方程變形原方程變形 y yy2cos21202tan2tan xyyuy 2tan0 xuu一階線性方程一階線性方程原方程的解原方程的解)1(2tanxCeyx 2cos2sin2yyxy 2cos220 2tany0 x62例例 求解求解 有的微分方程可以由多元函數(shù)全微分的有的微分方程可以由多元函數(shù)全微分的xyy (是可分離是可分離、解解 將方程寫成將方程寫成因?yàn)樽蠖耸侨⒎质揭驗(yàn)樽蠖耸侨⒎质絛dx yy x所以方程變成所以方程變成得通解得通解Cxy 五、全微分方程五、全微分方程又是齊次方程又是齊次方程 )(d xy一階微分

43、方程一階微分方程逆運(yùn)算解出逆運(yùn)算解出.dd0 x yy xd()0 xy 631.1.定義定義0d),(d),( yyxQxyxP則則若有全微分形式若有全微分形式如如0dd yyxx)(21),(22yxyxu 全微分方程全微分方程或恰當(dāng)方程或恰當(dāng)方程yyxxddd 是全微分方程是全微分方程.全全微微分分方方程程xQyP 所以所以0dd yyxx),(yxu一階微分方程一階微分方程d ( , )( , )d( , )du x yP x yxQ x yy642. .解法解法0d),(d),( yyxQxyxP應(yīng)用曲線積分與路徑無關(guān)應(yīng)用曲線積分與路徑無關(guān).xQyP 通解為通解為 yyxxyyxQx

44、yxPyxu00d),(d),(),(0,d),(d),(000 xyxPyyxQxxyy ;),(Cyxu (1) 用直接湊用直接湊全微分的方法全微分的方法.全微分方程全微分方程一階微分方程一階微分方程65.0d)4(d)2(的通解的通解求方程求方程 yxyxyx解解1 yP是是全微分方程全微分方程.Cyxyxyx d)4(d)2(.222Cxyyx 原方程的通解為原方程的通解為例例)0 , 0(),(00 yx取取通解為通解為 xxx0d2),(yxP),(yxQ,xQ 應(yīng)用曲線積分與路徑無關(guān)應(yīng)用曲線積分與路徑無關(guān)xyo)0 , 0(),(yx yyxy0d)4(C ),(yx.)0 ,(

45、x.一階微分方程一階微分方程 ),(yxu66 xxd2)(d0)2(d22 yxyx得通解得通解Cyxyx 222也可用也可用分組湊全微分分組湊全微分的方法解出的方法解出這個(gè)方程這個(gè)方程x2)(d)(d0 y4xd yyd40 )dd(yxxy yd 2x22yxy一階微分方程一階微分方程(2)d(4)d0 xyxyxy67.0d3d24223的通解的通解求方程求方程 yyxyxyx解解46yxyP 是是全微分方程全微分方程將左端重新組合將左端重新組合 yyd12 Cyxy 321原方程的通解為原方程的通解為)1(d32yxy 例例)d3d2(423yyxxyx xQ d d y1 32yx

46、一階微分方程一階微分方程68定義定義如何求方程的積分因子如何求方程的積分因子?積分因子法積分因子法,0),(連續(xù)可微函數(shù)連續(xù)可微函數(shù) yx 使方程使方程0d),(),(d),(),( yyxQyxxyxPyx 則稱則稱),(yx 為方程的為方程的成為全微分方程成為全微分方程.一階微分方程一階微分方程積分因子積分因子. .69 觀察法觀察法憑觀察湊微分得到憑觀察湊微分得到),(yx 常見的全微分表達(dá)式常見的全微分表達(dá)式 2ddd22yxyyxx xyxxyyxddd2 xyyxxyyxarctanddd22 xyxyxyyxlnddd 一階微分方程一階微分方程70 )ln(21ddd2222yx

47、yxyyxx yxyxyxxyyxln21ddd22可選用積分因子可選用積分因子.,1,1,1,12222222等等xyyxyxyxxyx 一階微分方程一階微分方程71一階微分方程一階微分方程.0d)1(d2223的通解的通解 yyxxxy例例 求方程求方程解解 不是全微分方程不是全微分方程. 將方程兩端重新組合將方程兩端重新組合,有有0d)dd2(223 yyyxxxy21),(yyx 用簡單的觀察法看出積分因子為用簡單的觀察法看出積分因子為于是于是, 原方程原方程0ddd222223 yyyyyxxxyyxxxydd22 0d2 yy)(d2yxCyyx 120)1(d2 yyx)1(dy 0 72.0d)1(dln2222的通解的通解 yyyxxyxy解解將方程兩端重新組合將方程兩端重新組合,yyyd122 例例 求方程求方程不是全微分方程不是全微分方程.0d1)ddln2(22 yyyyyxxyx有有,1),(