高等數(shù)學(xué)：11-4 函數(shù)展開成冪級(jí)數(shù)

1、1小結(jié)小結(jié) 思考題思考題 作業(yè)作業(yè)函數(shù)展開成冪級(jí)數(shù)函數(shù)展開成冪級(jí)數(shù)第四節(jié)第四節(jié) 函數(shù)展開成冪級(jí)數(shù)函數(shù)展開成冪級(jí)數(shù)泰勒級(jí)數(shù)泰勒級(jí)數(shù) 第十一章第十一章 無窮級(jí)數(shù)無窮級(jí)數(shù)2 所以有了函數(shù)展開成的冪級(jí)數(shù)所以有了函數(shù)展開成的冪級(jí)數(shù),那末函數(shù)的那末函數(shù)的多項(xiàng)式逼近、函數(shù)值的近似計(jì)算多項(xiàng)式逼近、函數(shù)值的近似計(jì)算,以及一些積分以及一些積分、微分方程問題就應(yīng)刃而解了、微分方程問題就應(yīng)刃而解了. 將函數(shù)展開為冪級(jí)數(shù)的形式將函數(shù)展開為冪級(jí)數(shù)的形式,在理論上和應(yīng)在理論上和應(yīng)用中都是十分重要的用中都是十分重要的. 如如,對(duì)函數(shù)作數(shù)值分析時(shí)對(duì)函數(shù)作數(shù)值分析時(shí),總離不開多項(xiàng)式逼總離不開多項(xiàng)式逼近給定的函數(shù)近給定的函數(shù),而冪

2、級(jí)數(shù)的部分和恰是多項(xiàng)式而冪級(jí)數(shù)的部分和恰是多項(xiàng)式. 問問: 哪些函數(shù)在怎樣的區(qū)間上可展開為冪級(jí)數(shù)哪些函數(shù)在怎樣的區(qū)間上可展開為冪級(jí)數(shù)?冪級(jí)數(shù)的系數(shù)如何確定冪級(jí)數(shù)的系數(shù)如何確定? 這是本節(jié)要討論的主要問題這是本節(jié)要討論的主要問題.3一、泰勒級(jí)數(shù)一、泰勒級(jí)數(shù)nnnxxaxf)()(00 以以f (x)為和函數(shù)為和函數(shù)1.如果能展開如果能展開, 是什么是什么?na2.展開式是否唯一展開式是否唯一?3.在什么條件下才能展開成冪級(jí)數(shù)在什么條件下才能展開成冪級(jí)數(shù)? 1nnnx上節(jié)例題上節(jié)例題)11( x存在冪級(jí)數(shù)在其收斂域存在冪級(jí)數(shù)在其收斂域內(nèi)內(nèi))1ln(x 函數(shù)展開成冪級(jí)數(shù)函數(shù)展開成冪級(jí)數(shù)4的某鄰域內(nèi)的

3、某鄰域內(nèi)有有n+1階導(dǎo)數(shù)階導(dǎo)數(shù), 則則 f (x)可表為可表為: 公式公式(1)是函數(shù)是函數(shù)f(x)在在x0處展開的處展開的泰勒公式泰勒公式, ,)()!1()()(10)1( nnnxxnfxR其中其中 介于介于x與與x0之間之間.回顧回顧Rn(x)是拉格朗日余項(xiàng)是拉格朗日余項(xiàng).若函數(shù)若函數(shù)f (x)在在x0第三章第三節(jié)泰勒公式第三章第三節(jié)泰勒公式:(1)()(!)()(! 2)()()()(00)(200000 xRxxnxfxxxfxxxfxfxfnnn 函數(shù)展開成冪級(jí)數(shù)函數(shù)展開成冪級(jí)數(shù)5如函數(shù)如函數(shù)f (x)在在x0的某鄰域內(nèi)是的某鄰域內(nèi)是(2)稱冪級(jí)數(shù)稱冪級(jí)數(shù)(2)為函數(shù)為函數(shù) f

4、(x)在在x0處的處的 f (x)是否可展為如下的冪級(jí)數(shù)是否可展為如下的冪級(jí)數(shù):自然會(huì)想到自然會(huì)想到: 不管怎樣不管怎樣泰勒級(jí)數(shù)泰勒級(jí)數(shù). . nnxxnxfxxxfxxxfxf)(!)()(! 2)()(! 1)()(00)(200000無窮次連續(xù)無窮次連續(xù)可微的可微的, ,函數(shù)展開成冪級(jí)數(shù)函數(shù)展開成冪級(jí)數(shù)6 顯然顯然,泰勒級(jí)數(shù)泰勒級(jí)數(shù)(2)在什么范圍上在什么范圍上,收斂于函數(shù)收斂于函數(shù) f (x),. 0)(xRn特別特別,為函數(shù)為函數(shù) f (x)的的)3(!)0(! 2)0(! 1)0()0()(2 nnxnfxfxff麥克勞林級(jí)數(shù)麥克勞林級(jí)數(shù). .取決于取決于在什么范圍上有在什么范圍上

5、有當(dāng)當(dāng)x0 = 0時(shí)時(shí),稱冪級(jí)數(shù)稱冪級(jí)數(shù)函數(shù)展開成冪級(jí)數(shù)函數(shù)展開成冪級(jí)數(shù)7證證 必要性必要性)()(!)()(000)(xRxxixfxfninii ),()()(1xsxfxRnn ,)(能展開為泰勒級(jí)數(shù)能展開為泰勒級(jí)數(shù)設(shè)設(shè)xf)()(lim1xfxsnn )(limxRnn)()(lim1xsxfnn ;0 定理定理1 1內(nèi)內(nèi)處處泰泰勒勒級(jí)級(jí)數(shù)數(shù)在在在在點(diǎn)點(diǎn))()(00 xUxxf)(xf收收斂斂于于. 0)(lim)(0 xRxUnn內(nèi)內(nèi)在在函數(shù)展開成冪級(jí)數(shù)函數(shù)展開成冪級(jí)數(shù)8充分性充分性),()()(1xRxsxfnn )()(lim1xsxfnn )(limxRnn , 0 ),()(

6、lim1xfxsnn 即即).()(xfxf的泰勒級(jí)數(shù)收斂于的泰勒級(jí)數(shù)收斂于0)(lim xRnn設(shè)設(shè)函數(shù)展開成冪級(jí)數(shù)函數(shù)展開成冪級(jí)數(shù)9證證 nnxxaxxaaxf)()()(0010由于冪級(jí)數(shù)在收斂區(qū)間內(nèi)可逐項(xiàng)微分由于冪級(jí)數(shù)在收斂區(qū)間內(nèi)可逐項(xiàng)微分,定理定理2(2(函數(shù)冪級(jí)數(shù)展開的唯一性函數(shù)冪級(jí)數(shù)展開的唯一性) )內(nèi)可展為冪級(jí)數(shù)內(nèi)可展為冪級(jí)數(shù)在在如果函數(shù)如果函數(shù))()(0 xUxf則則其其系系數(shù)數(shù),)()(00nnnxxaxf 于是于是, 1! 0 規(guī)規(guī)定定：).()(00)0(xfxf ), 2 , 1 , 0( n)(!10)(xfnann 函數(shù)展開成冪級(jí)數(shù)函數(shù)展開成冪級(jí)數(shù)10 )(23)

7、1(!)(01)(xxannanxfnnn,0 xx 令令), 2 , 1 , 0()(!10)( nxfnann泰勒系數(shù)是唯一的泰勒系數(shù)是唯一的, 10021)()(2)(nnxxnaxxaaxf泰勒系數(shù)泰勒系數(shù),)()1()(23! 2)(20032 nnxxannxxaaxf即得即得函數(shù)展開成冪級(jí)數(shù)函數(shù)展開成冪級(jí)數(shù)所以所以, f (x)的展開式是唯一的的展開式是唯一的.11問題問題nnnxxnxfxf)(!)()(000)( 泰勒級(jí)數(shù)在收斂區(qū)間是否收斂于泰勒級(jí)數(shù)在收斂區(qū)間是否收斂于f (x)? 不一定不一定. . 0, 00,)(21xxexfx如如), 2 , 1 , 0(0)0()(

8、 nfn且且 00)(nnxxf的麥?zhǔn)霞?jí)數(shù)為的麥?zhǔn)霞?jí)數(shù)為. 0)(),( xs內(nèi)內(nèi)和和函函數(shù)數(shù)該該級(jí)級(jí)數(shù)數(shù)在在可見可見,0外外除除 x在在x = 0點(diǎn)任意可導(dǎo)點(diǎn)任意可導(dǎo),函數(shù)展開成冪級(jí)數(shù)函數(shù)展開成冪級(jí)數(shù) f (x)的麥?zhǔn)霞?jí)數(shù)處處不收斂于的麥?zhǔn)霞?jí)數(shù)處處不收斂于f (x).121. 直接展開法直接展開法( (泰勒級(jí)數(shù)法泰勒級(jí)數(shù)法) )步驟步驟;!)0()1()(nfann 求求.0)(lim)3( xRnn討論討論(2) 寫出泰勒級(jí)數(shù)寫出泰勒級(jí)數(shù),!)0(0)(nnnxnf 并求收斂半徑并求收斂半徑R.如如,0)(lim xRnn二、函數(shù)展開成冪級(jí)數(shù)二、函數(shù)展開成冪級(jí)數(shù)函數(shù)展開成冪級(jí)數(shù)函數(shù)展開成冪

9、級(jí)數(shù) 則級(jí)數(shù)在收斂區(qū)間內(nèi)收斂于則級(jí)數(shù)在收斂區(qū)間內(nèi)收斂于f (x).13例例解解.)(的冪級(jí)數(shù)的冪級(jí)數(shù)展開成展開成將將xexfx ,)()(xnexf ), 2 , 1 , 0(. 1)0()( nfn其收斂半徑其收斂半徑因因泰勒公式的余項(xiàng)泰勒公式的余項(xiàng),)!1()(1 nnxnexR (介于介于0, x之間之間)它滿足不等式它滿足不等式 nxnxx!1! 2112xeR = +.函數(shù)展開成冪級(jí)數(shù)函數(shù)展開成冪級(jí)數(shù)14)(xRn.)!1(1 nxenx對(duì)任一確定的對(duì)任一確定的,Rx 是處處收斂的冪級(jí)數(shù)是處處收斂的冪級(jí)數(shù) 的一般項(xiàng)的一般項(xiàng). 0!nnnx),(!1! 2112 xxnxxenxxe是

10、確定的數(shù)是確定的數(shù),)!1(1 nxn而而所以在所以在 上恒有上恒有),( x.0)(lim xRnn有展開公式有展開公式1)!1( nxne 于是于是,函數(shù)展開成冪級(jí)數(shù)函數(shù)展開成冪級(jí)數(shù)15例例.sin)(的冪級(jí)數(shù)的冪級(jí)數(shù)展開成展開成將將xxxf 解解),2sin()()( nxxfn,2sin)0()( nfn, 0)0()2( nf,)1()0()12(nnf ), 2 , 1 , 0( n其收斂半徑其收斂半徑 )!12()1(! 51! 311253nxxxxnn),( x對(duì)對(duì) 內(nèi)任一點(diǎn)內(nèi)任一點(diǎn)x,有有R = +.函數(shù)展開成冪級(jí)數(shù)函數(shù)展開成冪級(jí)數(shù)16)!1(1 nxn)(xRn于是于是,

11、有展開公式有展開公式 )!12()1(! 51! 31sin1253nxxxxxnn),( x1)!1(2)1(sin nxnn 0)( n函數(shù)展開成冪級(jí)數(shù)函數(shù)展開成冪級(jí)數(shù)17例例.)()1()(的冪級(jí)數(shù)的冪級(jí)數(shù)展開成展開成將將xRxxf 解解,)1)(1()1()()(nnxnxf ),1()1()0()( nfn ), 2 , 1 , 0( n nxnnxx!)1()1(! 2)1(12 nnnaa1lim lim1nnn1 1 R函數(shù)展開成冪級(jí)數(shù)函數(shù)展開成冪級(jí)數(shù)18所以所以 的泰勒級(jí)數(shù)的收斂區(qū)間是的泰勒級(jí)數(shù)的收斂區(qū)間是 )1(x 對(duì)不同的對(duì)不同的,1處處在在 x 為了避免討論余項(xiàng)的極限為

12、了避免討論余項(xiàng)的極限,設(shè)在區(qū)間設(shè)在區(qū)間 )1(x 的泰勒級(jí)數(shù)和函數(shù)的泰勒級(jí)數(shù)和函數(shù)s(x),即設(shè)即設(shè) nxnnxxs!)1()1(1)( 下面證明下面證明).1 , 1(,)1()( xxxs由逐項(xiàng)求導(dǎo)得由逐項(xiàng)求導(dǎo)得 1)!1()1()1()1()(nxnnxxs ).1 , 1( 內(nèi)內(nèi))1 , 1( 函數(shù)展開成冪級(jí)數(shù)函數(shù)展開成冪級(jí)數(shù), 斂散性不同斂散性不同.11(1)(1)1.1!(1)!nnxxn19兩邊同乘以兩邊同乘以(1 + x)后后,注意右邊方括號(hào)內(nèi)的注意右邊方括號(hào)內(nèi)的 xn 系數(shù)為系數(shù)為.!)1()1(!)()1()!1()1()1(nnnnnn )()1(xsx 1222!)1(

13、)1(! 2)1(nxnnxx )(xs ,1)()(xxsxs . 1)0( s且且函數(shù)展開成冪級(jí)數(shù)函數(shù)展開成冪級(jí)數(shù)11(1)(1)( )1.1!(1)!nnS xxxn20兩邊積分兩邊積分,d1d)()(00 xxxxsxsxx )1 , 1( x得得),1ln()0(ln)(lnxsxs nxnnxxx!)1()1(! 2)1(1)1(2 牛頓二項(xiàng)式展開式牛頓二項(xiàng)式展開式注注.1的取值有關(guān)的取值有關(guān)處收斂性與處收斂性與在在 x);1 , 1(1 收收斂斂區(qū)區(qū)間間為為 ;1 , 1(11 收收斂斂區(qū)區(qū)間間為為 .1 , 11 收收斂斂區(qū)區(qū)間間為為 函數(shù)展開成冪級(jí)數(shù)函數(shù)展開成冪級(jí)數(shù)21有有時(shí)

14、時(shí)當(dāng)當(dāng),21, 1 )1 , 1()1(11132 nnxxxxx 1 , 1(!)!2(!)!32() 1(64231421211132nnxnnxxxx 1 , 1(!)!2(!)!12() 1(64253142312111132nnxnnxxxx雙階乘雙階乘函數(shù)展開成冪級(jí)數(shù)函數(shù)展開成冪級(jí)數(shù)22),(!1! 2112 xxnxxenx )!12()1(! 51! 31sin1253nxxxxxnn),( x nxnnxxx!)1()1(! 2)1(1)1(2 .1的取值有關(guān)的取值有關(guān)處收斂性與處收斂性與在在 x);1 , 1(, 1 收收斂斂區(qū)區(qū)間間為為 ;1 , 1(, 11 收收斂斂區(qū)

15、區(qū)間間為為 .1 , 1, 1 收收斂斂區(qū)區(qū)間間為為 常見的展開式常見的展開式函數(shù)展開成冪級(jí)數(shù)函數(shù)展開成冪級(jí)數(shù)23 將函數(shù)用直接展開法展開為冪級(jí)數(shù)將函數(shù)用直接展開法展開為冪級(jí)數(shù),而且對(duì)許多函數(shù)來說求各階導(dǎo)而且對(duì)許多函數(shù)來說求各階導(dǎo)與討論拉格朗日型余項(xiàng)與討論拉格朗日型余項(xiàng) Rn(x) 趨于零的范圍趨于零的范圍下面介紹下面介紹計(jì)算工作量大計(jì)算工作量大.一般一般數(shù)數(shù)間接展開法間接展開法. .都是困難的都是困難的.函數(shù)展開成冪級(jí)數(shù)函數(shù)展開成冪級(jí)數(shù)242. .間接展開法間接展開法 根據(jù)展開的唯一性根據(jù)展開的唯一性, 它與直接展開法得到它與直接展開法得到的結(jié)果是一致的的結(jié)果是一致的.利用常見展開式及等比級(jí)

16、數(shù)的和等利用常見展開式及等比級(jí)數(shù)的和等, 通過通過逐項(xiàng)求導(dǎo)逐項(xiàng)求導(dǎo),逐項(xiàng)積分逐項(xiàng)積分, 變量代換變量代換,四則運(yùn)算四則運(yùn)算,恒等恒等變形變形等方法等方法,求展開式求展開式.函數(shù)展開成冪級(jí)數(shù)函數(shù)展開成冪級(jí)數(shù)25例例)(sincos xx1cos x),( x(1) 逐項(xiàng)求導(dǎo)逐項(xiàng)求導(dǎo), 逐項(xiàng)積分法逐項(xiàng)積分法 展開展開為為x的冪級(jí)數(shù)的冪級(jí)數(shù).解解)!2()1(20nxnnn )!12()1(! 51! 31sin1253nxxxxxnn),( x2! 21x 4! 41x )!2()1(2nxnnxcos)!2()1(20nxnnn ),( x函數(shù)展開成冪級(jí)數(shù)函數(shù)展開成冪級(jí)數(shù)xxfcos)( 將將2

17、6例例展開為展開為x的冪級(jí)數(shù)的冪級(jí)數(shù).解解,11)(arctan2xx 而而,)1(1112422 nnxxxx)1 , 1( x 12)1(51311253nxxxxnn1 , 1 xxarctan 21dxxxarctan 12)1(51311253nxxxxnn1 , 1 x0 x函數(shù)展開成冪級(jí)數(shù)函數(shù)展開成冪級(jí)數(shù)xxfarctan)( 將將27)1ln(x ,)1(3121132 nxxxxnn1 , 1( x例例 將將 展開為展開為x的冪級(jí)數(shù)的冪級(jí)數(shù).解解,11 )1ln(xx 而而,)1(1112 nnxxxx)1 , 1( x注注利用間接展開法時(shí)利用間接展開法時(shí),要注意區(qū)間端點(diǎn)的收

18、斂性要注意區(qū)間端點(diǎn)的收斂性. xx1d)1ln(x ,)1(3121132 nxxxxnn1 , 1( x0 x)1ln()(xxf 函數(shù)展開成冪級(jí)數(shù)函數(shù)展開成冪級(jí)數(shù)28有有 121)1(513114nn nn1)1(312112ln1 12)1(5131arctan1253nxxxxxnn nxxxxxnn 132)1(3121)1ln(, 2ln)11ln(1 時(shí)時(shí)，當(dāng)當(dāng)x,41arctan1 時(shí)，時(shí)，當(dāng)當(dāng)x有有1 , 1( x 1 , 1 x函數(shù)展開成冪級(jí)數(shù)函數(shù)展開成冪級(jí)數(shù)29 1989年研究生考題年研究生考題,計(jì)算計(jì)算,6分分.11arctan的冪級(jí)數(shù)的冪級(jí)數(shù)展為展為將函數(shù)將函數(shù)xxx

19、y 解解xxxf 11arctan)(由由41arctan)0( f且且21111)( xxxf2)1()1)(1()1(1xxx 211x xttf0d)(由由)0()(fxf xtf0)( 4)( xfnnnx20)1( )11( x例例 nnxxxx2422)1(111)1 , 1( x函數(shù)展開成冪級(jí)數(shù)函數(shù)展開成冪級(jí)數(shù)304)( xfttnxnnd)1(200 002d)1(4nxnntt 012121)1(4nnnxn )11( x.11arctan的冪級(jí)數(shù)的冪級(jí)數(shù)展為展為將函數(shù)將函數(shù)xxxy 函數(shù)展開成冪級(jí)數(shù)函數(shù)展開成冪級(jí)數(shù)31 1994年研究生考題年研究生考題,計(jì)算計(jì)算,5分分xx

20、xxxf arctan2111ln41)(將函數(shù)將函數(shù).的的冪冪級(jí)級(jí)數(shù)數(shù)展展成成x,141)(141 nnxnxf解解 xxxf111141)()1(212x 1 1114 x 14nnx)0()(fxf xxxf0d)(141141 nnxn0)0( f由由)11( x由牛由牛萊公式得萊公式得例例441xx 函數(shù)展開成冪級(jí)數(shù)函數(shù)展開成冪級(jí)數(shù)32(2) 變量代換變量代換法法例例 將將 展開為展開為x的冪級(jí)數(shù)的冪級(jí)數(shù),并指出收斂區(qū)間并指出收斂區(qū)間.2xe 解解 作作變量代換變量代換2xt ! 2122nttteentx !)1(! 3! 212642nxxxxnn)( x),(!1! 2112

21、xxnxxenx函數(shù)展開成冪級(jí)數(shù)函數(shù)展開成冪級(jí)數(shù)33例例 將將 展開為展開為x的冪級(jí)數(shù)的冪級(jí)數(shù),并指出收斂區(qū)間并指出收斂區(qū)間.解解x 31將將 作作下述下述變形變形,再利用再利用變量代換變量代換.3xt x 31x 31 31t 1131)1(3112 nttt3331 3112 nxxx311x )1 , 1(11132 nxxxxx)1 , 1(11132 nxxxxx)1 , 1(11132 nxxxxx函數(shù)展開成冪級(jí)數(shù)函數(shù)展開成冪級(jí)數(shù)34 1122333131nnxxx, 131 x11 t. 33 x相當(dāng)于相當(dāng)于即即注注 今后為了書寫簡(jiǎn)單起見今后為了書寫簡(jiǎn)單起見,?？梢圆粚⑿鲁？梢圆?/p>

22、將新的變量寫出的變量寫出.函數(shù)展開成冪級(jí)數(shù)函數(shù)展開成冪級(jí)數(shù)35例例.141)(處展開成泰勒級(jí)數(shù)處展開成泰勒級(jí)數(shù)在在將將 xxxxf解解)1(的的冪冪級(jí)級(jí)數(shù)數(shù)展展開開成成 x x41)311(31 x)31()31(311 312 nxxx31 x1 3)1( x).1()(nf并求并求函數(shù)展開成冪級(jí)數(shù)函數(shù)展開成冪級(jí)數(shù)36xxxx 41)1(41 nnxxxx3)1(3)1(3)1()1(31332231 x于于是是.3!)1()(nnnf 故故,31n !)1()(nfn), 2 , 1 , 0()(!10)( nxfnann函數(shù)展開成冪級(jí)數(shù)函數(shù)展開成冪級(jí)數(shù).141)(處展開成泰勒級(jí)數(shù)處展開成

23、泰勒級(jí)數(shù)在在將將 xxxxf)1(的的冪冪級(jí)級(jí)數(shù)數(shù)展展開開成成 x).1()(nf并求并求37解解xln2321212ln222232xxx 2212lnx 221ln2lnx. 222 x得得, 1221 x nnxn221)1(1展開區(qū)間展開區(qū)間.,ln并并指指出出展展開開區(qū)區(qū)間間的的冪冪級(jí)級(jí)數(shù)數(shù)展展開開為為將將x. 40 x2ln )2( x2 x)1ln(x nxxxxnn 132)1(31211 , 1( x函數(shù)展開成冪級(jí)數(shù)函數(shù)展開成冪級(jí)數(shù)38(3) 四則運(yùn)算四則運(yùn)算例例)(21chxxeex )!2(! 4! 21232nxxxn ! 4! 3! 21! 4! 3! 2121432

24、432xxxxxxxx)( x),(!1! 2112 xxnxxenx函數(shù)展開成冪級(jí)數(shù)函數(shù)展開成冪級(jí)數(shù)39例例 將將 展為展為x的冪級(jí)數(shù)的冪級(jí)數(shù).xex 1解解. 1,1112 xxxxxn).,(,!1! 2112 xxnxxenx相乘得相乘得 2! 21! 111! 11111xxxex. 1 x,!1! 21! 111 nxn函數(shù)展開成冪級(jí)數(shù)函數(shù)展開成冪級(jí)數(shù)40例例 將將 展為展為x的冪級(jí)數(shù)的冪級(jí)數(shù).ttxfxdsin)(02 解解 xnxxnnn,)!12()1(sin120 2sint逐項(xiàng)積分得逐項(xiàng)積分得ttxfxdsin)(02 tntnxnnd)!12()1()12(200 .

25、x,)34()!12()1(340 nnxnnn.,)!12()1()12(20 tntnnn2t函數(shù)展開成冪級(jí)數(shù)函數(shù)展開成冪級(jí)數(shù)41),(!1! 2112 xxnxxenx )!12()1(! 51! 31sin1253nxxxxxnn),( x )!2()1(! 41! 211cos242nxxxxnn),( x熟記下面函數(shù)的展開式熟記下面函數(shù)的展開式函數(shù)展開成冪級(jí)數(shù)函數(shù)展開成冪級(jí)數(shù)42)1 , 1( x nxnnxxx!)1()1(! 2)1(1)1(2 )1ln(x nxxxxnn 132)1(31211 , 1( x函數(shù)展開成冪級(jí)數(shù)函數(shù)展開成冪級(jí)數(shù)43;11)1(0 xxnn ;11

26、)1()2(202xxnnn ;1)3(202xaaxnn ;!)4(0 xnnenx ).1ln(1)1()6(01xnxnnn ;sin)!12()1()5(1121xnxnnn 常用已知和函數(shù)的冪級(jí)數(shù)常用已知和函數(shù)的冪級(jí)數(shù)函數(shù)展開成冪級(jí)數(shù)函數(shù)展開成冪級(jí)數(shù)44例例 求常數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)求常數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù) 的和的和. 02!)1(nnn解解在在x = 1時(shí)對(duì)應(yīng)的級(jí)數(shù)時(shí)對(duì)應(yīng)的級(jí)數(shù). nnxnn 02!)1(顯然這個(gè)冪級(jí)數(shù)收斂域?yàn)轱@然這個(gè)冪級(jí)數(shù)收斂域?yàn)楣氏惹蟠斯氏惹蟠藘缂?jí)數(shù)的和函數(shù)冪級(jí)數(shù)的和函數(shù).nnxnnxs 02!)1()( 02!12nnxnnnnnxnn 02!nnxn 1)!1(12nnxnn 1)

27、!1(xe xnnenx 0!).,( nnxnn 0!2nnxn 0!1分析分析這個(gè)常數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)是冪級(jí)數(shù)這個(gè)常數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)是冪級(jí)數(shù)函數(shù)展開成冪級(jí)數(shù)函數(shù)展開成冪級(jí)數(shù)45nnxn 1)!1(12nnxnn 1)!1(11xe 2)!2(nnnxnnxn 1)!1(13xe 02!kkkxx 0!3kkkxxxe xexx)13(2 所以所以 02!)1(nnn)1( s e5 nnxn 1)!1(12nnxnn 1)!1(xe xnnenx 0!函數(shù)展開成冪級(jí)數(shù)函數(shù)展開成冪級(jí)數(shù)46 求常數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)求常數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù) 的和的和. 0!12nnn法一法一解解 0!12nnn )!1(12n 0!13nne3 0!

28、2nnn 0!1nn 0!1nn 0!12nn 0!1nn1 n函數(shù)展開成冪級(jí)數(shù)函數(shù)展開成冪級(jí)數(shù)47法二法二,!12)(02 nnxnnxs令令逐項(xiàng)積分逐項(xiàng)積分 xxxs0d)( 012!1nnxn 0!)(nnnxx故故)()(2 xxexs 當(dāng)當(dāng) x = 1時(shí)，時(shí)， 0!12)1(nnns. x2222xxexe .)21(22xex 122)21( xxex.3e xxnnnxnd!12002 得得 xe 2xxnnenx 0!分析分析令令 x = 1,得得 0!12)1(nnns 02!1nnxn2x函數(shù)展開成冪級(jí)數(shù)函數(shù)展開成冪級(jí)數(shù)48法三法三令令,!1)(012 nnxnxs上式兩邊

29、求導(dǎo)得上式兩邊求導(dǎo)得 02!12)(nnxnnxs.)21(22xex 令令 x=1,得得 0!12)1(nnns的的和和求求 0!12nnn. x 0!12)1(nnns2xxe 02!nnnxx 012!1)(nnxnxs 02!12)(nnxnnxs122)21( xxex分析分析的的和和求求 0!12nnn.3e )(xs2xxe 函數(shù)展開成冪級(jí)數(shù)函數(shù)展開成冪級(jí)數(shù)49 將函數(shù)將函數(shù)xxxxfarctan2111ln41)( 展開為展開為x的冪級(jí)數(shù)的冪級(jí)數(shù),并指出收斂區(qū)間并指出收斂區(qū)間.解解21121111141)(xxxxf 22111121xx411x )11()(04 xxxfnn0)0( f xnnxxfxf004d)0()(140141 nnxn端點(diǎn)無定義端點(diǎn)無定義 )(xf)11(141140 xxnnn函數(shù)展開成冪級(jí)數(shù)函數(shù)展開成冪級(jí)數(shù)50泰勒級(jí)數(shù)收斂于函數(shù)的充分必要條件泰勒級(jí)數(shù)收斂于函數(shù)的充分必要條件函數(shù)展開成泰勒級(jí)數(shù)的方法函數(shù)展開成泰勒級(jí)數(shù)的方法:熟記熟記6個(gè)基本的展開式個(gè)基本的展開式. )1ln(,)1(,cos,sin,11xxxx