高等數(shù)學：8-6 微分法在幾何上的應用

1、1小結小結 思考題思考題 作業(yè)作業(yè)空間曲線的切線與法平面空間曲線的切線與法平面曲面的切平面與法線曲面的切平面與法線第六節(jié)第六節(jié) 微分法在幾何上的微分法在幾何上的應用應用第八章第八章 多元函數(shù)微分法及其應用多元函數(shù)微分法及其應用2設空間曲線的方程設空間曲線的方程)1()()()( tzztyytxx(1)式中的三個函數(shù)均式中的三個函數(shù)均可導可導.M.),(0000tttzzyyxxM 對應于對應于;),(0000ttzyxM 對應于對應于設設M 1. 空間曲線的方程為參數(shù)方程空間曲線的方程為參數(shù)方程一、空間曲線的切線與法平面一、空間曲線的切線與法平面微分法在幾何上的應用微分法在幾何上的應用Oxy

2、z3考察割線趨近于極限位置考察割線趨近于極限位置 xxx0t t t 上式分母同除以上式分母同除以, t MM 割線割線 的方程為的方程為MM ,000zzzyyyxxx yyy0zzz 0切線的過程切線的過程微分法在幾何上的應用微分法在幾何上的應用Oxyz4,0,時時即即當當 tMM曲線在曲線在M處的切線方程處的切線方程)()()(000000tzzztyyytxxx 切向量切向量法平面法平面0)()()(000000 zztzyytyxxtx切線的方向向量稱為曲線的切向量切線的方向向量稱為曲線的切向量.過過M點且與切線垂直的平面點且與切線垂直的平面.MM 微分法在幾何上的應用微分法在幾何上

3、的應用Oxyz000( ( ),( ),( )Tx ty tz t5設曲線直角坐標方程為設曲線直角坐標方程為,)()(100000 xzzzxyyyxx . 0)()()(100000 zzxzyyxyxx法平面方程為法平面方程為2. 空間曲線的方程為空間曲線的方程為曲線的參數(shù)方程是曲線的參數(shù)方程是由前面得到的結果由前面得到的結果,在在M(x0, y0, z0)處處,令令)(),(xzzxyy )()(xzzxyyxx切線方程為切線方程為x為參數(shù)為參數(shù),兩個柱面兩個柱面的交線的交線微分法在幾何上的應用微分法在幾何上的應用)()()(000000tzzztyyytxxx 6.0處的切線與法平面方

4、程處的切線與法平面方程在在 t: 求曲線求曲線 ttuezttyuuex301cossin2dcos解解2, 1, 0 zyx,costext ,sincos2tty tez33 , 1)0( x, 2)0( y3)0( z切線方程切線方程322110 zyx法平面方程法平面方程0)2(3)1(2 zyx0832 zyx)()()(000000tzzztyyytxxx 0)()()(000000 zztzyytyxxtx例例即即,0時時當當 t微分法在幾何上的應用微分法在幾何上的應用7例例 在拋物柱面在拋物柱面 與與 的交線上的交線上, 求對應求對應 的點處的的點處的切向量切向量.x為參數(shù)為參

5、數(shù),于是于是 , 1 x,12xy xz24 212xz 26xy 21 x解解 22126xzxyxx所以交線上與所以交線上與21 x對應點的切向量為對應點的切向量為: T).12, 6, 1(交線的參數(shù)方程為交線的參數(shù)方程為取取微分法在幾何上的應用微分法在幾何上的應用8設空間曲線方程為設空間曲線方程為,0),(0),( zyxGzyxF3.空間曲線的方程為空間曲線的方程為確定了隱函數(shù)確定了隱函數(shù)(此曲線方程仍可用方程組此曲線方程仍可用方程組 兩邊分別對兩邊分別對.)()( xzzxyy )()(xzzxyyxx,0)(),(,(0)(),(,( xzxyxGxzxyxF表示表示.)x求全導

6、數(shù)求全導數(shù):兩個曲面兩個曲面的交線的交線微分法在幾何上的應用微分法在幾何上的應用9 xydd 利用利用2.結果結果, 0dddd xzGxyGGzyxzyzyGGFFxzxzGGFFzyzyGGFFyxyxGGFF)()(100000 xzzzxyyyxx 兩邊分別對兩邊分別對,0)(),(,(0)(),(,( xzxyxGxzxyxFx求全導數(shù)求全導數(shù) 0dddd xzFxyFFzyx)()(100000 xzzzxyyyxx 微分法在幾何上的應用微分法在幾何上的應用ddzx10. 0)()()(000000 zzGGFFyyGGFFxxGGFFyxyxxzxzzyzy法平面方程為法平面方程

7、為,000000yxyxxzxzzyzyGGFFzzGGFFyyGGFFxx 切線方程為切線方程為,0),(0),( zyxGzyxF在點在點 M(x0, y0, z0)處的處的微分法在幾何上的應用微分法在幾何上的應用11解解的的在點在點求曲線求曲線)2 , 3, 1(80222222Pzyxzyx 例例 切線方程和法平面方程切線方程和法平面方程.法一法一 直接用公式直接用公式;8),(222 zyxzyxF令令222),(zyxzyxG ,2xFx ,2yFy ;2zFz ,2xGx ,2yGy .2zGz 微分法在幾何上的應用微分法在幾何上的應用12. 0)()()(000000 zzGG

8、FFyyGGFFxxGGFFyxyxxzxzzyzy法平面方程法平面方程,000000yxyxxzxzzyzyGGFFzzGGFFyyGGFFxx 切線方程切線方程微分法在幾何上的應用微分法在幾何上的應用13切線方程切線方程 1x0dd2dd22 xzzxyyx33dd0 Pxy0dd0 Pxz 法二法二 將所給方程的兩邊對將所給方程的兩邊對x求導求導的的在點在點求曲線求曲線)2 , 3, 1(80222222Pzyxzyx 切線方程和法平面方程切線方程和法平面方程.法平面方程法平面方程0)2(0)3(33)1(1 zyx. 0633 yx xzzxyyxdd2dd22 3 y2 z133 0

9、微分法在幾何上的應用微分法在幾何上的應用14設曲線設曲線)(),(),(tzztyytxx 證證)()(txXtx 因原點因原點)0 , 0 , 0(0)()()()()()( tztztytytxtx即即0 于是于是 )()()(222tztytx證明此曲線必在以原點為證明此曲線必在以原點為的的法平面都過原點法平面都過原點,在任一點在任一點中心的某球面上中心的某球面上.曲線過該點的法平面方程為曲線過該點的法平面方程為),(),(),(tztytx故有故有)()(tyYty )()(tzZtz 0 C)()()(222tztytx 微分法在幾何上的應用微分法在幾何上的應用 在法平面上在法平面上

10、,任取曲線上一點任取曲線上一點0)()()(000000 zztzyytyxxtx15yxzO 0),( zyxF 今在曲面今在曲面上任取一條上任取一條1. 設曲面設曲面的方程為的方程為0),( zyxF的情形的情形隱式方程隱式方程二、曲面的切平面與法線二、曲面的切平面與法線微分法在幾何上的應用微分法在幾何上的應用),(000zyxM ,),(000 zyxM 函數(shù)函數(shù)),(zyxF的偏導數(shù)在該點連續(xù)且不同的偏導數(shù)在該點連續(xù)且不同 時為零時為零. ,0tt )(),(),(000tztytx 且且點點M 對應于參數(shù)對應于參數(shù) 不全為零不全為零.過點過點M 的的曲線曲線,設其參數(shù)設其參數(shù)方程為方

11、程為),(),(),(tzztyytxx 16微分法在幾何上的應用微分法在幾何上的應用),(),(),(000tztytxT yxzO 0),( zyxF),(000zyxM T 由于曲線由于曲線在曲面在曲面上上, 所以所以, 0)(),(),( tztytxF 在恒等式兩端對在恒等式兩端對t 求全導數(shù)求全導數(shù), 并令并令,0tt 則得則得 )(),(0000txzyxFx 若記向量若記向量),(),(),(000000000zyxFzyxFzyxFnzyx 曲線曲線在點在點M處切線的方向向量記為處切線的方向向量記為 則則式可改寫成式可改寫成, 0 Tn即向量即向量 Tn與與垂直垂直. . 0

12、)(),()(),(00000000 tzzyxFtyzyxFzyn17 因為曲線因為曲線是曲面是曲面上過點上過點M的的任意任意一條曲一條曲線線,所有這些曲線在點所有這些曲線在點M的切線都與同一向量的切線都與同一向量垂直垂直, 因此這些切線必共面因此這些切線必共面,稱為曲面稱為曲面在點在點M的的n微分法在幾何上的應用微分法在幾何上的應用yxzO 0),( zyxF),(000zyxM n過點過點M且垂直于切且垂直于切法線法線, ,又是法線的方向向量又是法線的方向向量.向量向量n稱為曲稱為曲法向量法向量. .切平面切平面,由切線形成的這一由切線形成的這一平面平面,平面的直線稱為曲面平面的直線稱為

13、曲面在在點點M的的面面在在點點M的的n18),(),(),(000000000zyxFzyxFzyxFnzyx 曲面在曲面在M(x0, y0 , z0)處的法向量處的法向量:微分法在幾何上的應用微分法在幾何上的應用切平面方程為切平面方程為0)(,()(,()(,(000000000000 zzzyxFyyzyxFxxzyxFzyx法線方程為法線方程為),(),(),(000000000000zyxFzzzyxFyyzyxFxxzyx 所以曲面所以曲面上在點上在點M的的19解解,3),(33azxyzzyxF 令令切平面方程切平面方程法線方程法線方程; 0 azx1010azayx ),0(),

14、(aazyxFFFn )3, 0 ,3(22aa 例例處的切平面處的切平面上點上點求曲面求曲面), 0(333aaazxyz ).0( a和法線方程和法線方程,3yzFx ,3xzFy ,332zxyFz )1 , 0 , 1(. ayazx0)(1)(0)0(1 azayx切平面方程為切平面方程為0)(,()(,()(,(000000000000 zzzyxFyyzyxFxxzyxFzyx法線方程為法線方程為),(),(),(000000000000zyxFzzzyxFyyzyxFxxzyx 0),(: zyxF曲面方程曲面方程MzyxFFFn),(, 曲面在曲面在M處的法向量處的法向量:微

15、分法在幾何上的應用微分法在幾何上的應用20842232222 yzxzxyzyx在曲面在曲面上求一點的坐標上求一點的坐標,使此點處的切平面平行于使此點處的切平面平行于yOz平面平面.解解 設所求點為設所求點為),(zyx則切平面的法向量為則切平面的法向量為)32,22,(zyxzyxzyx 由題意由題意, n)32,22,(zyxzyxzyx )0 , 0 , 1(由此得由此得022 zyx. 0,2 zyx所求之點所求之點:).0 , 2, 4()0 , 2 , 4( 及及 032 zyx),(2zyx n)(),22(2zyx )32(2zyx 微分法在幾何上的應用微分法在幾何上的應用21

16、2. 曲面方程形為曲面方程形為 的情形的情形),(yxfz 曲面在曲面在M處的處的切平面方程切平面方程為為, 0)()(,()(,(0000000 zzyyyxfxxyxfyx曲面在曲面在M處的處的法線方程法線方程為為.1),(),(0000000 zzyxfyyyxfxxyx,),(),(zyxfzyxF 令令,xxfF . 1 zF,yyfF 或或,)(,()(,(0000000zzyyyxfxxyxfyx )1,( yxffn顯式方程顯式方程微分法在幾何上的應用微分法在幾何上的應用),(),(),(000000000zyxFzyxFzyxFnzyx 22 例例過過上所有點處的切平面都上所

17、有點處的切平面都證明曲面證明曲面xyxez .一定點一定點 證證,),(000是曲面上任一點是曲面上任一點設設zyx0000 xyexz 則法向量為則法向量為切平面方程切平面方程為為0)()()()1(000000000 zzyyexxexyxyxy),(yxfz )1,( yxffn,)1(0000 xyexy n)(,00 xye1 微分法在幾何上的應用微分法在幾何上的應用230)1()1(000000000000000 zyexexyzyexexyxyxyxyxy0 0)()()()1(000000000 zzyyexxexyxyxy, 0)1(000000 zyexexyxyxy所以這

18、些平面都過所以這些平面都過00 0 xyxez 原點原點.過過上所有點處的切平面都上所有點處的切平面都證明曲面證明曲面xyxez .一定點一定點微分法在幾何上的應用微分法在幾何上的應用24微分法在幾何上的應用微分法在幾何上的應用 2003年考研數(shù)學年考研數(shù)學(一一), 3分分04222 zyxyxz與平面與平面曲面曲面平行的切平面的方程是平行的切平面的方程是( ).542 zyx25 例例 證證, 0)().( aufczbyfaxz可微可微證明曲面證明曲面)均為常數(shù)均為常數(shù)、cb的所有的所有切平面都與一常向量切平面都與一常向量平行平行.則曲面在任一點處的則曲面在任一點處的法向量法向量:,az

19、czbyfaxzyxF )(),(令令則則),( A nAbczbyfbcczbyfbcb )()(, 0 即即nA 所以所以,所有的切平面均與所有的切平面均與),(bcab 常向量常向量平行平行.0),(: zyxF曲面方程曲面方程MzyxFFFn),(, 曲面在曲面在M處的法向量處的法向量:1)( czbyf c n)(),(czbyfb ,ab取取, c b微分法在幾何上的應用微分法在幾何上的應用26 例例 0523zyxzyx8522222 zyx 證證85222),(22 zyxzyxF令令過直線過直線L的平面束方程為的平面束方程為523 zyx即即05)1()2()3( zyx 其

20、其法向量法向量為為)1, 2,3( ,4xFx 2 zF,4yFy 0)( zyx 微分法在幾何上的應用微分法在幾何上的應用求過直線求過直線L且與曲面且與曲面相切之切平面方程相切之切平面方程.27設曲面與切平面的切點為設曲面與切平面的切點為),(000zyx則則過直線過直線L的平面束方程其的平面束方程其法向量法向量為為,4xFx 2 zF,4yFy ,85222),(22 zyxzyxF tyx 21424300 05)1()2()3(000 zyx 8522202020 zyx, 3, 121 tt因而因而7, 321 微分法在幾何上的應用微分法在幾何上的應用)1, 2,3( 28過直線過直

21、線L的平面束方程為的平面束方程為523 zyx0)( zyx 故故所求切平面方程為所求切平面方程為7, 321 523 zyx0)(3 zyx或或523 zyx0)(7 zyx即即526 zyx或或56510 zyx微分法在幾何上的應用微分法在幾何上的應用298),(222 zyxzyxF令令)2 , 3, 1(2 )2 , 3, 1( 解解的的在點在點求曲線求曲線)2 , 3, 1(80222222Pzyxzyx 切線方程和法平面方程切線方程和法平面方程.應應同時垂直于同時垂直于2222228zyxzyx 和和曲面曲面 分析分析)2,3, 1()2 ,2 ,2(zyx 1n曲線在點曲線在點

22、處切線向量處切線向量 s)2 , 3, 1(0P.210nnP和和的法向量的法向量在點在點微分法在幾何上的應用微分法在幾何上的應用 例例 當空間當空間曲線方程為曲線方程為一般式時一般式時,求切向量曾求切向量曾采用了采用了推導推導法法.現(xiàn)采用現(xiàn)采用向量代數(shù)法向量代數(shù)法求切向量求切向量3012/snn)2, 3, 1()2 , 3, 1( )0, 4, 34( )0 ,33, 1( 令令222),(zyxzyxG )2,3, 1()2,2,2(zyx )2, 3, 1(2 )2, 3, 1( 的的在點在點求曲線求曲線)2 , 3, 1(80222222Pzyxzyx 切線方程和法平面方程切線方程和

23、法平面方程.)2 , 3, 1( 1n 2n微分法在幾何上的應用微分法在幾何上的應用31)(,()(,(0000000yyyxfxxyxfzzyx 的全微分的全微分在點在點函數(shù)函數(shù)),(),(00yxyxfz 因為曲面在因為曲面在M處的切平面方程處的切平面方程:全微分的幾何意義全微分的幾何意義,),(),(00的全微分的全微分在點在點yxyxfz 表示表示處的處的在點在點曲面曲面),(),(000zyxyxfz 切平面上的點的豎坐標的增量切平面上的點的豎坐標的增量.切平面切平面上點的上點的豎坐標豎坐標的增量的增量微分法在幾何上的應用微分法在幾何上的應用32),(00yxffxx ),(00yx

24、ffyy 其中其中,1cos22yxxfff ,1cos22yxyfff .11cos22yxff (, 1)(,1)xyxyffnff 或法向量法向量 ,若若表示曲面的法向量的方向角表示曲面的法向量的方向角,并假定并假定法向量的方向是向上法向量的方向是向上的的,即使得它與即使得它與z 軸的正向所成的角軸的正向所成的角 是是銳角銳角, 則法向量的則法向量的方向余弦為方向余弦為n微分法在幾何上的應用微分法在幾何上的應用33因為因為(第三個分量為負第三個分量為負), 求旋轉拋物面求旋轉拋物面 在任意點在任意點P(x, y, z)處處向上向上的法向量的法向量(即與即與z軸夾角為銳角軸夾角為銳角的法向

25、量的法向量).122 yxz解解, 1),(22 yxyxf而而Pyxff)1,( )1,2 ,2( yx).1 ,2,2(yx 為為向下向下的法向量的法向量故故向上向上的法向量應為的法向量應為:微分法在幾何上的應用微分法在幾何上的應用341993年研究生考題年研究生考題,填空填空,3分分軸旋轉一周軸旋轉一周繞繞由曲線由曲線yzyx 0122322)2, 3, 0(解解12233222 yzx令令12323),(222 zyxzyxF)2,3,0(),(zyxFFF )26, 34, 0( )3, 2, 0(51 )2,3,0()6 ,4 ,6(zyx )3, 2, 0(51n|0nnn 微分法在幾何上的應用微分法在幾何上的應用得到