大學物理：第3章 剛體的定軸轉(zhuǎn)動

1、1第三章第三章剛體的定軸轉(zhuǎn)動剛體的定軸轉(zhuǎn)動剛體：剛體：物體上任意兩點之間的距離保持不變物體上任意兩點之間的距離保持不變受力不發(fā)生形變受力不發(fā)生形變23.1 3.1 剛體定軸轉(zhuǎn)動的描述剛體定軸轉(zhuǎn)動的描述3.1.1 3.1.1 剛體的運動剛體的運動 剛體的基本運動可以分為剛體的基本運動可以分為平動平動和和轉(zhuǎn)動轉(zhuǎn)動，剛體的各，剛體的各種復雜運動都可以看成是這兩種運動的合成。種復雜運動都可以看成是這兩種運動的合成。 剛體的平動剛體的平動是指剛體在是指剛體在運動過程中其中任意兩點的運動過程中其中任意兩點的連線始終保持原來的方向連線始終保持原來的方向（或者說，在運動的各個時（或者說，在運動的各個時刻始終保

2、持彼此平行）?？淌冀K保持彼此平行）。平動的剛體可看作質(zhì)點模型。平動的剛體可看作質(zhì)點模型。3剛體的轉(zhuǎn)動比較復雜，我們只研究剛體的定軸轉(zhuǎn)動。剛體的轉(zhuǎn)動比較復雜，我們只研究剛體的定軸轉(zhuǎn)動。 剛體的定軸轉(zhuǎn)動剛體的定軸轉(zhuǎn)動是指是指剛體上各點都繞同一直線剛體上各點都繞同一直線作圓周運動，而直線本身作圓周運動，而直線本身在空間的位置保持不動的在空間的位置保持不動的一種轉(zhuǎn)動。一種轉(zhuǎn)動。 這條直線稱為這條直線稱為轉(zhuǎn)軸轉(zhuǎn)軸。43.1.2 3.1.2 剛體的角量描述剛體的角量描述 1.1.角坐標角坐標 o 描寫剛體轉(zhuǎn)動位置的物理量。描寫剛體轉(zhuǎn)動位置的物理量。Px在轉(zhuǎn)動平面內(nèi)，過在轉(zhuǎn)動平面內(nèi)，過O O點作一點作一極軸

3、，設極軸的正方向是水極軸，設極軸的正方向是水平向右。平向右。 過過P P作垂直于轉(zhuǎn)軸的橫截面作垂直于轉(zhuǎn)軸的橫截面（轉(zhuǎn)動平面），轉(zhuǎn)動平面與（轉(zhuǎn)動平面），轉(zhuǎn)動平面與轉(zhuǎn)軸的交點為轉(zhuǎn)軸的交點為O O。 角稱為角稱為角坐標（或角位置）角坐標（或角位置）。連接連接OPOP，OPOP與極軸之間的夾角為與極軸之間的夾角為 。角坐標為標量。但可有正負。角坐標為標量。但可有正負。單位：單位：弧度，弧度，rad5在定軸轉(zhuǎn)動過程中，角坐標是時間的函數(shù)：在定軸轉(zhuǎn)動過程中，角坐標是時間的函數(shù)： = = （t t），叫做），叫做轉(zhuǎn)動方程轉(zhuǎn)動方程。描寫剛體位置變化的物理量。描寫剛體位置變化的物理量。t+tt+t時刻，質(zhì)點到達

4、時刻，質(zhì)點到達PP，角坐標為，角坐標為 。t t時刻時刻，質(zhì)點在質(zhì)點在P P點，角坐標為點，角坐標為 ，角坐標的增量為角坐標的增量為：稱為剛體的稱為剛體的角位移角位移xyP p2v1vR2.2.角位移角位移 角位移的大小表示了剛體在角位移的大小表示了剛體在tt時間內(nèi)角位置變化的多少。時間內(nèi)角位置變化的多少。單位：單位：弧度，弧度，rad6描寫剛體轉(zhuǎn)動快慢和方向的物理量。描寫剛體轉(zhuǎn)動快慢和方向的物理量。平均角速度平均角速度t單位：單位：弧度弧度/ /秒，秒，rad/s3.3.角速度角速度 ( (瞬時瞬時) )角速度角速度tt0limdtd( (瞬時瞬時) )角速度是矢量，但對于剛體定角速度是矢量

5、，但對于剛體定軸轉(zhuǎn)動角速度的方向只有兩個，在表軸轉(zhuǎn)動角速度的方向只有兩個，在表示角速度時角速度的正負數(shù)值就顯示示角速度時角速度的正負數(shù)值就顯示角速度的方向，不必用矢量表示。角速度的方向，不必用矢量表示。( (瞬時瞬時) )角速度角速度方向：方向：滿足右手定則，滿足右手定則，沿剛體轉(zhuǎn)動方向右旋大拇指指向。沿剛體轉(zhuǎn)動方向右旋大拇指指向。74.4.角加速度角加速度 平均角加速度平均角加速度( (瞬時瞬時) )角加速度角加速度描寫角速度變化快慢和方向的物理量。描寫角速度變化快慢和方向的物理量。t t到到t+tt+t時刻，剛體角速度的增量為：時刻，剛體角速度的增量為：ttt0limdtd22dtd單位：

6、單位：弧度弧度/ /秒秒2，rad/s2 方向：方向：角速度變化的方向。角速度變化的方向。008 角加速度是矢量，但對于剛體定軸轉(zhuǎn)動角加速度角加速度是矢量，但對于剛體定軸轉(zhuǎn)動角加速度的方向只有兩個，在表示角加速度時只用角加速度的的方向只有兩個，在表示角加速度時只用角加速度的正負數(shù)值就可表示角加速度的方向，不必用矢量表示。正負數(shù)值就可表示角加速度的方向，不必用矢量表示。 總結(jié)總結(jié): : 對于剛體的定軸轉(zhuǎn)動問題，我們可用角坐標、對于剛體的定軸轉(zhuǎn)動問題，我們可用角坐標、角位移、角速度和角加速度來描述。角位移、角速度和角加速度來描述。5.5.定軸轉(zhuǎn)動剛體上任一點的速度和加速度定軸轉(zhuǎn)動剛體上任一點的速度

7、和加速度 路程與角位移的關系路程與角位移的關系rsxosrpp線速度與角速度的關系線速度與角速度的關系rv 9加速度與角加速度的關系加速度與角加速度的關系 可將作圓周運動的質(zhì)點的加速度沿圓可將作圓周運動的質(zhì)點的加速度沿圓周軌道的切向和法向分解為兩個分量。周軌道的切向和法向分解為兩個分量。ora ana aa adtdvat切向加速度：切向加速度：法向加速度：法向加速度：rvan2nntteaeaa圓周運動時加速度與角量的關系圓周運動時加速度與角量的關系dtdvatrvan2rdtdrrr2)(2r103.2 3.2 剛體定軸轉(zhuǎn)動定律剛體定軸轉(zhuǎn)動定律3.2.1 3.2.1 剛體定軸轉(zhuǎn)動定律剛體定

8、軸轉(zhuǎn)動定律 1.1.力對轉(zhuǎn)軸的矩力對轉(zhuǎn)軸的矩 力對固定點的矩力對固定點的矩FrM對軸的矩就等于力對固定點對軸的矩就等于力對固定點O O的矩。的矩。力對固定軸的矩力對固定軸的矩（1）力垂直轉(zhuǎn)軸）力垂直轉(zhuǎn)軸OPdrrFM（2）力與轉(zhuǎn)軸不垂直）力與轉(zhuǎn)軸不垂直FF轉(zhuǎn)軸轉(zhuǎn)軸o rFz轉(zhuǎn)動平面轉(zhuǎn)動平面 可以把力分解為平行于轉(zhuǎn)軸的可以把力分解為平行于轉(zhuǎn)軸的分量和垂直于轉(zhuǎn)軸的分量。分量和垂直于轉(zhuǎn)軸的分量。 平行轉(zhuǎn)軸的力不產(chǎn)生轉(zhuǎn)動效果，平行轉(zhuǎn)軸的力不產(chǎn)生轉(zhuǎn)動效果，對軸的矩為零。即對軸的矩為零。即FrM大小大小:sinrFM11a)a)力的作用線與轉(zhuǎn)軸相交或平行時力對該轉(zhuǎn)軸的矩為零力的作用線與轉(zhuǎn)軸相交或平行時力對

9、該轉(zhuǎn)軸的矩為零；b)b)同一個力對不同的轉(zhuǎn)軸的矩不一樣；同一個力對不同的轉(zhuǎn)軸的矩不一樣；c)c)當所給的力在轉(zhuǎn)動平面內(nèi)，力對轉(zhuǎn)軸的矩與力當所給的力在轉(zhuǎn)動平面內(nèi)，力對轉(zhuǎn)軸的矩與力對交點對交點O O的矩等值。但不能說完全相同的矩等值。但不能說完全相同。d)d)在定軸轉(zhuǎn)動中在定軸轉(zhuǎn)動中，如果有幾個外力同時作用在剛體，如果有幾個外力同時作用在剛體上，它們的作用可以與某一個力矩相當，這個力矩上，它們的作用可以與某一個力矩相當，這個力矩叫做這幾個力的叫做這幾個力的合力矩合力矩。合力矩與合力的矩是不同。合力矩與合力的矩是不同的概念，不要混淆。的概念，不要混淆。說明：說明：力矩的計算力矩的計算 計算力對某一轉(zhuǎn)

10、軸的力矩，若力的作用點不固定計算力對某一轉(zhuǎn)軸的力矩，若力的作用點不固定在同一處在同一處( (如例如例1 1），則應當采取分小段的辦法，先計），則應當采取分小段的辦法，先計算每一小段上的作用力（分力）產(chǎn)生的矩，再求和。算每一小段上的作用力（分力）產(chǎn)生的矩，再求和。12例例1 1：一勻質(zhì)細桿，長為一勻質(zhì)細桿，長為 l 質(zhì)量為質(zhì)量為 m ，在摩擦系數(shù)為，在摩擦系數(shù)為 的的水平桌面上轉(zhuǎn)動，求摩擦力的力矩水平桌面上轉(zhuǎn)動，求摩擦力的力矩 M阻阻。解：解：桿上各質(zhì)元均受摩擦力作用，但各質(zhì)元受的摩桿上各質(zhì)元均受摩擦力作用，但各質(zhì)元受的摩擦阻力矩因離軸的具體不同而不同擦阻力矩因離軸的具體不同而不同mlodmdx

11、xx細桿的質(zhì)量密度細桿的質(zhì)量密度lm質(zhì)元質(zhì)量質(zhì)元質(zhì)量dxdm質(zhì)元受阻力矩：質(zhì)元受阻力矩：dmgxdM阻細桿受的阻力矩細桿受的阻力矩阻阻dMM221gllmmgl21lgxdx0132. 2. 剛體定軸轉(zhuǎn)動定律剛體定軸轉(zhuǎn)動定律 考慮剛體上某一質(zhì)元考慮剛體上某一質(zhì)元 ，imiiiiamfF剛體外其他物體對它的合作用剛體外其他物體對它的合作用力力(外力外力)為為 ，剛體上其它質(zhì)，剛體上其它質(zhì)元對它的作用力為元對它的作用力為 ，iFifim對對 用牛頓第二定律：用牛頓第二定律：iniininamfF:法向 法向力作用線通過轉(zhuǎn)軸，力矩為零。法向力作用線通過轉(zhuǎn)軸，力矩為零。itiititamfF:切向14

12、itiititamfF:切向兩邊乘以兩邊乘以r ri i , ,有：有：iitiiitiitramrfrF)(2iiiitiiitiitrmramrfrF對所有質(zhì)元的同樣的式子求和，有：對所有質(zhì)元的同樣的式子求和，有：左邊第二項左邊第二項 表示表示內(nèi)力矩之和內(nèi)力矩之和，等于，等于零零iitrf左邊第一項左邊第一項 表示表示合外力矩合外力矩，記作，記作iitrFM右邊右邊 只與剛體的質(zhì)量和質(zhì)量相對轉(zhuǎn)軸的只與剛體的質(zhì)量和質(zhì)量相對轉(zhuǎn)軸的分布有關分布有關表示，稱為剛體對軸的表示，稱為剛體對軸的轉(zhuǎn)動慣量轉(zhuǎn)動慣量，記作，記作)(2iirmJ則上式可簡寫成則上式可簡寫成JM 剛體定軸轉(zhuǎn)動定律剛體定軸轉(zhuǎn)動定律

13、15JM 剛體定軸轉(zhuǎn)動定律剛體定軸轉(zhuǎn)動定律 剛體所受的對于剛體所受的對于某一固定轉(zhuǎn)動軸某一固定轉(zhuǎn)動軸的合外力矩等的合外力矩等于剛體于剛體對此轉(zhuǎn)軸對此轉(zhuǎn)軸的轉(zhuǎn)動慣量與剛體在的轉(zhuǎn)動慣量與剛體在此合外力矩此合外力矩作作用下所獲得的角加速度的乘積。用下所獲得的角加速度的乘積。注意幾點注意幾點: :1. . 上式是矢量式（在定軸轉(zhuǎn)動中力矩只有兩個方向）。上式是矢量式（在定軸轉(zhuǎn)動中力矩只有兩個方向）。2. . MM、J、 是對同一軸而言的。是對同一軸而言的。4. . 轉(zhuǎn)動慣量轉(zhuǎn)動慣量J J是剛體轉(zhuǎn)動慣性大小的量度。是剛體轉(zhuǎn)動慣性大小的量度。5. .剛體轉(zhuǎn)動定律的地位與牛頓第二定律相當剛體轉(zhuǎn)動定律的地位與牛

14、頓第二定律相當。3. . 具有瞬時性，是力矩的瞬時效應。具有瞬時性，是力矩的瞬時效應。163.2.2 3.2.2 定軸轉(zhuǎn)動剛體的轉(zhuǎn)動慣量定軸轉(zhuǎn)動剛體的轉(zhuǎn)動慣量 iiiJ)rm(J2轉(zhuǎn)動慣量轉(zhuǎn)動慣量 剛體對固定軸的轉(zhuǎn)動慣量等于各質(zhì)元質(zhì)量與其至剛體對固定軸的轉(zhuǎn)動慣量等于各質(zhì)元質(zhì)量與其至轉(zhuǎn)軸的垂直距離的平方的乘積之和。轉(zhuǎn)軸的垂直距離的平方的乘積之和。剛體的轉(zhuǎn)動慣量與剛體的形狀、大小、質(zhì)量的分布剛體的轉(zhuǎn)動慣量與剛體的形狀、大小、質(zhì)量的分布以及轉(zhuǎn)軸的位置有關。以及轉(zhuǎn)軸的位置有關。 對于質(zhì)量連續(xù)分布的剛體：對于質(zhì)量連續(xù)分布的剛體： VVVrmrJdd22SSSrmrJdd22（面質(zhì)量分布）（面質(zhì)量分布）L

15、LlrmrJdd22（線質(zhì)量分布）（線質(zhì)量分布）在（在（SISI）中，）中，J J的單位：的單位：kgmkgm2 2 量綱：量綱：MLML2 217例：例：半徑為半徑為 R 質(zhì)量為質(zhì)量為 M 的圓環(huán)，繞垂直于圓環(huán)平面的的圓環(huán)，繞垂直于圓環(huán)平面的質(zhì)心軸轉(zhuǎn)動，求轉(zhuǎn)動慣量質(zhì)心軸轉(zhuǎn)動，求轉(zhuǎn)動慣量J。RMo解：解：dmMdmRJ02分割質(zhì)量元分割質(zhì)量元 dm圓環(huán)上各質(zhì)量元到軸的距離相等，圓環(huán)上各質(zhì)量元到軸的距離相等，MdmR022MR繞圓環(huán)質(zhì)心軸的轉(zhuǎn)動慣量為繞圓環(huán)質(zhì)心軸的轉(zhuǎn)動慣量為2MRJ 例：例：在無質(zhì)輕桿的在無質(zhì)輕桿的 b 處處 3b 處各系質(zhì)量為處各系質(zhì)量為 2m 和和 m 的的質(zhì)點，可繞質(zhì)點，可

16、繞 o 軸轉(zhuǎn)動，求：質(zhì)點系的轉(zhuǎn)動慣量軸轉(zhuǎn)動，求：質(zhì)點系的轉(zhuǎn)動慣量J。解：解：212iiirmJ22)3(2bmmb211mb18oR例例 : 一質(zhì)量為一質(zhì)量為m，半徑為，半徑為R的均勻圓盤，求對通過盤的均勻圓盤，求對通過盤中心并與盤面垂直的軸的轉(zhuǎn)動慣量。中心并與盤面垂直的軸的轉(zhuǎn)動慣量。解：解：rrmd2dmrJd2rr d23RrrJ03d224212mRRrdr19例：例： 如圖所示，一質(zhì)量為如圖所示，一質(zhì)量為m、長為、長為l的均質(zhì)空心圓柱體的均質(zhì)空心圓柱體（即圓筒圓筒）其內(nèi)、外半徑分別為（即圓筒圓筒）其內(nèi)、外半徑分別為R1和和R2。試求對。試求對幾何軸幾何軸oz的轉(zhuǎn)動慣量的轉(zhuǎn)動慣量J。1R

17、2Rrdrozll )rdr(dVdm,drrl,)RrR( r221則該質(zhì)元的質(zhì)量為厚度為半徑為其長為柱殼形狀的質(zhì)元取一薄圓處在半徑為解：lRRm)(2122圓筒的體密度)RR(l4142221322RRmdrrldmrJ)(212221RRmJ221221,21, 0mRJRRRmRJRRR若若20例例 求長度為求長度為L，質(zhì)量為，質(zhì)量為m的均勻細棒的均勻細棒AB的轉(zhuǎn)動慣量。的轉(zhuǎn)動慣量。（1）對于通過棒的一端與棒垂直的軸。）對于通過棒的一端與棒垂直的軸。（2）對于通過棒的中心與棒垂直的軸。）對于通過棒的中心與棒垂直的軸。xoABdmxdxLxoABdmxdx2L2LCmAdmxJ232mL

18、Ldxx02解解（1）細桿為線質(zhì)量分布，單位長度的質(zhì)量為：細桿為線質(zhì)量分布，單位長度的質(zhì)量為：lm331L（2）對于通過棒的中心的軸對于通過棒的中心的軸2/2/2LLcdmxJ2121mL3121L2/2/2LLdxx2)2(LmJJCA21平行軸定理平行軸定理上例中上例中J JC C表示相對通過表示相對通過質(zhì)心質(zhì)心的軸的的軸的轉(zhuǎn)動慣量，轉(zhuǎn)動慣量， J JA A表示相對通過棒端表示相對通過棒端的軸的轉(zhuǎn)動慣量。兩軸平行，相距的軸的轉(zhuǎn)動慣量。兩軸平行，相距L/2L/2。222231411212mLmLmLLmJJCA定理表述：定理表述：剛體繞平行于質(zhì)心軸剛體繞平行于質(zhì)心軸的轉(zhuǎn)動慣量的轉(zhuǎn)動慣量 J

19、J，等于繞質(zhì)心軸的，等于繞質(zhì)心軸的轉(zhuǎn)動慣量轉(zhuǎn)動慣量 J JC C 加上剛體質(zhì)量與兩加上剛體質(zhì)量與兩軸間的距離平方的乘積。軸間的距離平方的乘積。JmCJdC2mdJJC剛體繞質(zhì)心軸的轉(zhuǎn)動慣量最小。剛體繞質(zhì)心軸的轉(zhuǎn)動慣量最小。22)Lm(JJCA22例例 計算鐘擺的轉(zhuǎn)動慣量。（已知：擺錘質(zhì)量為計算鐘擺的轉(zhuǎn)動慣量。（已知：擺錘質(zhì)量為m，半徑為半徑為r，擺桿質(zhì)量也為，擺桿質(zhì)量也為m，長度為，長度為2r。）。）rO擺桿轉(zhuǎn)動慣量：擺桿轉(zhuǎn)動慣量：22134231mrrmJ擺錘轉(zhuǎn)動慣量：擺錘轉(zhuǎn)動慣量：22222219321mrrmmrmdJJC2222166521934mrmrmrJJJ23例例 一個質(zhì)量為一

20、個質(zhì)量為m m1 1、半徑為的定滑輪、半徑為的定滑輪( (當當作均勻圓盤作均勻圓盤) )上面繞有細繩，繩的一端固定上面繞有細繩，繩的一端固定在滑輪邊上，另一端掛一質(zhì)量為在滑輪邊上，另一端掛一質(zhì)量為2 2的物體的物體而下垂。忽略軸處摩擦，求物體而下垂。忽略軸處摩擦，求物體2 2由靜止由靜止下落高度時的速度和此時滑輪的角速度。下落高度時的速度和此時滑輪的角速度。解：解：R aamTgm22222,21RmJ JTRMgmmma21222122241mmghmRRv mmghmhav1222242定軸定軸0Rhm2繩繩Tm2g對對m1：對對m2：3.2.3 3.2.3 剛體定軸轉(zhuǎn)動定律的應用剛體定軸

21、轉(zhuǎn)動定律的應用 24例例 一質(zhì)量為一質(zhì)量為m, ,長為長為L的均質(zhì)細棒的均質(zhì)細棒, ,轉(zhuǎn)軸在轉(zhuǎn)軸在O O點點, ,今使今使棒從靜止開始由水平位置繞棒從靜止開始由水平位置繞O O點轉(zhuǎn)動點轉(zhuǎn)動, ,求求: :（1 1）下擺到）下擺到角角時，細棒所受的重力矩時，細棒所受的重力矩; ;（2 2）水平位置的角速度）水平位置的角速度和角加速度和角加速度; ;（2 2）垂直位置時的角速度和角加速度。）垂直位置時的角速度和角加速度。OxdmgdmCmg解：解： （1）在棒上取質(zhì)元）在棒上取質(zhì)元dm，設其，設其距距O點的水平距離為點的水平距離為x，則，則dm受到受到的重力矩為的重力矩為xxgdmdMG棒受到總的

22、重力矩棒受到總的重力矩xdmgxgdmMGcGmgxM據(jù)據(jù)質(zhì)心定義質(zhì)心定義mxdmxC即即cos2lmgMG得得25(2)(2)水平位置水平位置02LmgMG231mRJ LgJMG23(3)(3)任意角度任意角度cos2LmgMGLgJMG2cos3Lgdddddtddtd2cos3又又垂直位置垂直位置dLgd2002cos3解得解得Lg3026例例 兩個勻質(zhì)圓盤，同軸地粘結(jié)在一起，構成一個組合輪。小圓盤兩個勻質(zhì)圓盤，同軸地粘結(jié)在一起，構成一個組合輪。小圓盤的半徑為的半徑為r，質(zhì)量為，質(zhì)量為m；大圓盤的半徑；大圓盤的半徑r=2r，質(zhì)量，質(zhì)量m = 2m。組合輪。組合輪可以繞通過其中心且垂直于

23、盤面的光滑水平固定軸可以繞通過其中心且垂直于盤面的光滑水平固定軸o轉(zhuǎn)動，對轉(zhuǎn)動，對o軸的軸的轉(zhuǎn)動慣量轉(zhuǎn)動慣量J=9mr2/2 。兩圓盤邊緣上分別繞有輕質(zhì)細繩，細繩下端各。兩圓盤邊緣上分別繞有輕質(zhì)細繩，細繩下端各懸掛質(zhì)量為懸掛質(zhì)量為m的物體的物體A和和B，這一系統(tǒng)從靜止開始運動，這一系統(tǒng)從靜止開始運動,繩與盤無相繩與盤無相對滑動且長度不變。已知對滑動且長度不變。已知r =10cm 。 求：求：（1）組合輪的角加速度；組合輪的角加速度；（2）當物體上升當物體上升h=0.4m時，組合輪的角速度。時，組合輪的角速度。ra 2srad310192.)r(g:解得rh:,)2(則為組合輪轉(zhuǎn)過的角度設121

24、208. 9)2(2sradrh解：解：aTTTTamgmgrm,rm,ABo29)2(2mrTrrT)2( ra amTmgmamgT273.3 3.3 定軸轉(zhuǎn)動剛體的功與能定軸轉(zhuǎn)動剛體的功與能1.1.力矩的功力矩的功 oPFddsrz力矩的功為時轉(zhuǎn)到使剛體由力,0F0MdA 剛體繞定軸轉(zhuǎn)動時，力矩對轉(zhuǎn)動物體作的功等于剛體繞定軸轉(zhuǎn)動時，力矩對轉(zhuǎn)動物體作的功等于相應力矩和角位移的乘積。相應力矩和角位移的乘積。剛體在力剛體在力 作用繞軸轉(zhuǎn)過一微小角位移作用繞軸轉(zhuǎn)過一微小角位移 d，F(xiàn)力力 作功為：作功為：FrdFdA| )2cos(rdF|sinrdFdsFsindFrsinMFrsinMddA

25、 28注意：注意：1)1)力矩功并不是新概念，只是力的功的另一種力矩功并不是新概念，只是力的功的另一種表達方式。表達方式。2)2)內(nèi)力矩對定軸轉(zhuǎn)動剛體所作的功為零。內(nèi)力矩對定軸轉(zhuǎn)動剛體所作的功為零。2.2.剛體的動能剛體的動能 zmiiriv第第i個質(zhì)元的動能：個質(zhì)元的動能： 222k2121iiiiirmmEv整個剛體的轉(zhuǎn)動動能：整個剛體的轉(zhuǎn)動動能：22kk21iiirmEE22)(21iirm2k21JE 293.3.定軸轉(zhuǎn)動剛體的動能定理定軸轉(zhuǎn)動剛體的動能定理 設在外力矩設在外力矩 M 的作用下，剛體繞定軸發(fā)生角位移的作用下，剛體繞定軸發(fā)生角位移d 元功：元功：ddMA由轉(zhuǎn)動定律由轉(zhuǎn)動定

26、律tJMdddddddJtJW有有21dJW21222121JJ剛體繞定軸轉(zhuǎn)動的動能定理剛體繞定軸轉(zhuǎn)動的動能定理 ：合外力矩對剛體所合外力矩對剛體所做的功等于剛體轉(zhuǎn)動動能的增量。做的功等于剛體轉(zhuǎn)動動能的增量。 30mocmgNA0vh.sin2.,:lmgONN重力矩為其力矩為零點過軸對桿的支承力作用于桿的力有重力及解dlmgdAsin2)cos1 (2sin20mlmgdlmgAmmghAlhm21)cos1 (代入上式得將220202121021lvJJmgh由轉(zhuǎn)動動能定理得gvh320解得例題例題 一長為一長為l ，質(zhì)量為，質(zhì)量為m的均勻細長桿的均勻細長桿O A ，可繞通過其一端點，可繞

27、通過其一端點O的水平軸在鉛垂面內(nèi)自由擺動，已知另一端點的水平軸在鉛垂面內(nèi)自由擺動，已知另一端點A過最低點時的過最低點時的速率為速率為v0，桿對通過端點，桿對通過端點O而垂直于桿長的軸的轉(zhuǎn)動慣量而垂直于桿長的軸的轉(zhuǎn)動慣量 J=ml2/3 ，若空氣阻力及軸上的摩擦力都可以忽略不計，求桿擺動時若空氣阻力及軸上的摩擦力都可以忽略不計，求桿擺動時A點升點升高的最大高度。高的最大高度。314.4.剛體的重力勢能剛體的重力勢能 iighmEp hc-質(zhì)心的高度質(zhì)心的高度剛體仍是個質(zhì)點系剛體仍是個質(zhì)點系,根據(jù)質(zhì)點系的功能原理：根據(jù)質(zhì)點系的功能原理：cmgh mhmmgii mimchihc若若 dA外外+dA

28、內(nèi)非內(nèi)非=o，則，則 Ek+Ep=常量常量.- 機械能守恒定律機械能守恒定律A外外+A內(nèi)非內(nèi)非=（Ek2+Ep2）（Ek1+Ep1）5.5.定軸轉(zhuǎn)動剛體的功能定理定軸轉(zhuǎn)動剛體的功能定理 323.4 3.4 定軸轉(zhuǎn)動剛體的角動量守恒定律定軸轉(zhuǎn)動剛體的角動量守恒定律3.4.1 3.4.1 定軸轉(zhuǎn)動剛體的角動量定理定軸轉(zhuǎn)動剛體的角動量定理 定軸轉(zhuǎn)動剛體的角動量定軸轉(zhuǎn)動剛體的角動量iiiimRLviiiiRmLv沿轉(zhuǎn)軸沿轉(zhuǎn)軸Oz的投影為的投影為iL)2cos(iizLLsiniiiRmv質(zhì)元質(zhì)元 對點的角動量為對點的角動量為 imziLOxyiriRivimiiirm v2iirm33剛體對剛體對OZ

29、軸軸的轉(zhuǎn)動慣量的轉(zhuǎn)動慣量iiiizrmLv2iirm剛體對剛體對Oz軸的角動量為軸的角動量為 iiiiiiiizzrmrmLL)(22得得zzJL 剛體定軸轉(zhuǎn)動時，上式可簡寫為剛體定軸轉(zhuǎn)動時，上式可簡寫為 JL 34定軸轉(zhuǎn)動剛體的角動量定理定軸轉(zhuǎn)動剛體的角動量定理 剛體定軸轉(zhuǎn)動定律：剛體定軸轉(zhuǎn)動定律：JM dtdJdtJd)(dtdLdtdLM定軸轉(zhuǎn)動剛體角動量定軸轉(zhuǎn)動剛體角動量定理微分形式定理微分形式定軸轉(zhuǎn)動剛體所受的合外力矩等于剛體的角動量定軸轉(zhuǎn)動剛體所受的合外力矩等于剛體的角動量對時間的變化率。對時間的變化率。000LLdLMdtLLtt定軸轉(zhuǎn)動剛體角動量定軸轉(zhuǎn)動剛體角動量定理積分形式定

30、理積分形式作用在剛體上的沖量矩等于在作用時間內(nèi)角動量的增量。作用在剛體上的沖量矩等于在作用時間內(nèi)角動量的增量。353.4.2 轉(zhuǎn)動剛體對定軸的角動量定理守恒定律轉(zhuǎn)動剛體對定軸的角動量定理守恒定律 恒量 JL0M當當時，則時，則1221dLLtMtt剛體對定軸的角動量定理剛體對定軸的角動量定理dtdLM 剛體對定軸的角動量守恒定律： 當剛體所受的外力對轉(zhuǎn)軸的力矩之代數(shù)和為零時，當剛體所受的外力對轉(zhuǎn)軸的力矩之代數(shù)和為零時，剛體對該轉(zhuǎn)軸的角動量保持不變。剛體對該轉(zhuǎn)軸的角動量保持不變。 注意：注意：該定律不但適用于剛體，同樣也適用于繞該定律不但適用于剛體，同樣也適用于繞定軸轉(zhuǎn)動的任意物體系統(tǒng)。定軸轉(zhuǎn)動

31、的任意物體系統(tǒng)。 36說明：說明：1. 物體繞定軸轉(zhuǎn)動時角動量守恒是指轉(zhuǎn)動慣量和角速度物體繞定軸轉(zhuǎn)動時角動量守恒是指轉(zhuǎn)動慣量和角速度的乘積不變。的乘積不變。3. 3. 幾個物體（或質(zhì)點）組成的系幾個物體（或質(zhì)點）組成的系統(tǒng)，繞一公共軸轉(zhuǎn)動，如果各個統(tǒng)，繞一公共軸轉(zhuǎn)動，如果各個物體（或質(zhì)點）相對于轉(zhuǎn)軸的距物體（或質(zhì)點）相對于轉(zhuǎn)軸的距離可以發(fā)生變化，則對該公共轉(zhuǎn)離可以發(fā)生變化，則對該公共轉(zhuǎn)軸的合外力矩為零時，該系統(tǒng)對軸的合外力矩為零時，該系統(tǒng)對此軸的總角動量守恒此軸的總角動量守恒iiiJ恒量2.2.對定軸轉(zhuǎn)動的單個剛體，定軸轉(zhuǎn)動慣量對定軸轉(zhuǎn)動的單個剛體，定軸轉(zhuǎn)動慣量J J是常量，當合是常量，當合外

32、力矩外力矩M M為零時，角速度為零時，角速度將保持不變，剛體勻角速轉(zhuǎn)動。將保持不變，剛體勻角速轉(zhuǎn)動。 37例：例：在摩擦系數(shù)為在摩擦系數(shù)為桌面上有細桌面上有細桿，質(zhì)量為桿，質(zhì)量為 m、長度為、長度為 l，以初，以初始角速度始角速度 0 繞垂直于桿的質(zhì)心繞垂直于桿的質(zhì)心軸轉(zhuǎn)動，問細桿經(jīng)過多長時間軸轉(zhuǎn)動，問細桿經(jīng)過多長時間停止轉(zhuǎn)動。停止轉(zhuǎn)動。olm,0解：解：以細桿為研究對象，受力分析，重力及桌面的以細桿為研究對象，受力分析，重力及桌面的支持力不產(chǎn)生力矩，只有摩擦力產(chǎn)生力矩。支持力不產(chǎn)生力矩，只有摩擦力產(chǎn)生力矩。確定細桿受的摩擦力矩確定細桿受的摩擦力矩分割質(zhì)量元分割質(zhì)量元dm細桿的質(zhì)量密度為：細桿

33、的質(zhì)量密度為：lm/dxdm質(zhì)元受的摩擦力矩質(zhì)元受的摩擦力矩dmgxdM細桿受的摩擦力矩細桿受的摩擦力矩/202lMdMmgl4138始末兩態(tài)的角動量為：始末兩態(tài)的角動量為： 00IL 由角動量定理：由角動量定理：00LLMdttt00041Jmgldtt0212141mlmgltglt30本題也可用運動學方法求解，由本題也可用運動學方法求解，由 M=JM=J , , 和和 = = 0 0+ + t t, , 求出求出 t t = = 0 0/ / 。0 ,Lolm,0dmxdxx2/l2/l39o1o 2例：例：人與轉(zhuǎn)盤的轉(zhuǎn)動慣量人與轉(zhuǎn)盤的轉(zhuǎn)動慣量J0= =60kg m2, ,伸伸臂時臂長為

34、臂時臂長為 1m，收臂時臂長為，收臂時臂長為 0.2m。人站在摩擦可不計的自由轉(zhuǎn)動的圓盤中心人站在摩擦可不計的自由轉(zhuǎn)動的圓盤中心上，每只手抓有質(zhì)量上，每只手抓有質(zhì)量 m= =5kg的啞鈴。伸的啞鈴。伸臂時轉(zhuǎn)動角速度臂時轉(zhuǎn)動角速度 1 = = 3 s- -1, ,求收臂時的角求收臂時的角速度速度 2 。解：解：整個過程合外力矩為零，角動量守恒整個過程合外力矩為零，角動量守恒2211JJ21012mlJJ21526022022mlJJ22 .052602mkg702mkg4 .602112JJ4 .607031 -s5 .3由轉(zhuǎn)動慣量的減小，由轉(zhuǎn)動慣量的減小，角速度增加。角速度增加。40例例 有一

35、長為有一長為l，質(zhì)量為，質(zhì)量為m1的均勻細棒，靜止平放在光的均勻細棒，靜止平放在光滑水平桌面上，它可繞通過其端點滑水平桌面上，它可繞通過其端點O，且與桌面垂直，且與桌面垂直的固定光滑軸轉(zhuǎn)動。另有一質(zhì)量為的固定光滑軸轉(zhuǎn)動。另有一質(zhì)量為m2 、水平運動的、水平運動的小滑塊，從棒的側(cè)面沿垂直于棒的方向與棒的另一端小滑塊，從棒的側(cè)面沿垂直于棒的方向與棒的另一端A相碰撞，并被棒反向彈回，碰撞時間極短。已知小相碰撞，并被棒反向彈回，碰撞時間極短。已知小滑塊與細棒碰撞前后的速率分別為滑塊與細棒碰撞前后的速率分別為v和和u，則碰撞后棒，則碰撞后棒繞軸轉(zhuǎn)動的角速度繞軸轉(zhuǎn)動的角速度 為多大？為多大？1m2mvuOA.,:碰撞前后角動量守恒矩作用則系統(tǒng)不受外力間摩擦阻力矩對于整個系統(tǒng)不考慮軸解ulmJvlm222131lmJO轉(zhuǎn)動的轉(zhuǎn)動慣量為細棒繞lmmuv12)(3代入上式求得41lm uvmo 桿的角速度桿的角速度 肯定如圖，肯定如圖， 假設小球碰后瞬時的速假設小球碰后瞬時的速 度度 向上，如圖所示。向上，如圖所示。v例：例：質(zhì)量質(zhì)量m長長l的均勻細桿可繞過其中點處的水平光滑固的均勻細桿可繞過其中點處的水