正弦定理、余弦定理知識點

1、精選優(yōu)質(zhì)文檔-傾情為你奉上 正弦定理、余弦定理1. 三角形常用公式：ABC；Sab sin Cbc sin Aca sin B；2三角形中的邊角不等關(guān)系:A>Ba>b,a+b>c,a-b<c；3正弦定理：2R（外接圓直徑）；正弦定理的變式：；abcsin Asin Bsin C4正弦定理應(yīng)用范圍：已知兩角和任一邊，求其他兩邊及一角已知兩邊和其中一邊對角，求另一邊的對角幾何作圖時，存在多種情況如已知a、b及A，求作三角形時，要分類討論，確定解的個數(shù)已知兩邊和其中一邊的對角解三角形，有如下的情況：(1)A為銳角 一解 兩解 一解(2)A為銳角或鈍角當(dāng)時有一解.5余弦定理a2

2、=b2+c2-2bccosAc2=a2+b2-2abcosCb2=a2+c2-2accosB若用三邊表示角，余弦定理可以寫為、6余弦定理應(yīng)用范圍：（1）已知三角形的三條邊長，可求出三個內(nèi)角；（2）已知三角形的兩邊及夾角，可求出第三邊知識點1運用判斷三角形形狀例題1在ABC中已知acosB=bcosA,試判斷ABC的形狀.【分析】利用正弦定理或余弦定理判斷三角形形狀,可以將三角形中的邊用角表示,也可將角用邊來表示從中找到三角形中的邊角關(guān)系，判斷出三角形的形狀.【答案】解法1：由擴充的正弦定理：代入已知式 2RsinAcosB=2RsinBcosA sinAcosB-cosAsinB=0 ， si

3、n(A-B)=0 A-B=0 A=B 即ABC為等腰三角形解法2:由余弦定理: 即ABC為等腰三角形.鞏固練習(xí)1 在中，若，試判斷三角形的形狀2在中,已知a2tanB=b2tanA,試判斷這個三角形的形狀.3已知中，有，判斷三角形形狀.知識點2運用正、余弦定理解三角形解三角形問題中正、余弦定理的選擇:(1)在下述情況下應(yīng)首先使用余弦定理:已知三條邊(邊邊邊),求三個角;已知兩邊和它們的夾角(邊角邊),求其它一邊和兩角;(2)在下述情況下應(yīng)首先使用正弦定理:已知兩邊和一邊的對角(邊邊角),求其它一邊和兩角;已知兩角和任一邊(角角邊、角邊角),求其它兩邊和一角. 例題2在ABC中，已知，B=45&

4、#176; 求A、C及c.【分析】在解斜三角形應(yīng)用過程中，注意要靈活地選擇正弦定和余弦定理，解得其它的邊和角【答案】解法1：由正弦定理得：B=45°<90° 即b<a A=60°或120°當(dāng)A=60°時C=75° 當(dāng)A=120°時C=15° 解法2：設(shè)c=x由余弦定理 將已知條件代入，整理：解之：當(dāng)時 從而A=60° ，C=75°當(dāng)時同理可求得：A=120° C=15°.鞏固練習(xí)1已知在中，試解該三角形在中，求三內(nèi)角A、B、C2在中，已知，求A、B、C的大小，又知

5、頂點C的對邊C上的高等于，求三角形各邊a、b、c的長知識點3解決與三角形在關(guān)的證明、計算問題例題3 已知A、B、C為銳角，tanA=1，tanB=2，tanC=3，求A+B+C的值 【分析】本題是要求角，要求角先要求出這個角的某一個三角函數(shù)值，再根據(jù)角的范圍確定角本題應(yīng)先求出A+B和C的正切值，再一次運用兩角和的正切公式求出A+B+C 【答案】 =0 所以A+B+C= 鞏固練習(xí)1在ABC中,a、b、c分別是角A、B、C的對邊,設(shè)a+c=2b,A-C=,求sinB的值.2在中，a，b，c分別是的對邊長，已知a，b，c成等比數(shù)列，且，求的大小及的值3在中，若且，求這個三角形的面積例題4在中,角A、

6、B、C的對邊分別為a、b、c,證明:.【分析】在用三角式的恒等變形證明三角形中的三角等式時，其解題的一般規(guī)律是：二項化積、倍角公式，提取公因式，再化積.遇有三角式的平方項，則利用半角公式降次.【答案】證法一:由正弦定理得=.證法二:由余弦定理得a2=b2+c2-2bccosA,則=1-cosA,又由正弦定理得=,=1-cosA=.證法三: =.由正弦定理得,=,又由余弦定理得=.鞏固練習(xí)1已知銳角三角形ABC中，.（1）求證；（2）設(shè)，求AB邊上的高參考答案課堂互動例題1鞏固練習(xí)1【答案】解法1：由正弦定理，R為外接圓的半徑，將原式化為，.即,，.故為直角三角形解法2：將已知等式變?yōu)?，由余弦?/p>

7、理可得，即也即，故為直角三角形2【答案】解法1:由已知得,由正弦定理得,sinAsinB0,sinAcosA=sinBcosB,即sin2A=sin2B,2A=2B或2A=1800-2B,即A=B或A+B=900.是等腰三角形或直角三角形.解法2: 由已知得,由正弦定理得,即,又由余弦定理得,整理得(a2-b2)(a2+b2-c2)=0,a=b,或a2+b2=c2, 是等腰三角形或直角三角形.3解：由已知得例題2鞏固練習(xí)1【答案】解法1：由正弦定理，得因 由，則有二解，即或 或故或，解法2：令A(yù)C=b，則由余弦定理 又或或.2【答案】由已知有，化簡并利用正弦定理： 由，故 由，可設(shè)，由余弦定理

8、，得 由正弦定理得 由則C是銳角，故3【答案】由已知，得，又由 故 又由 故由則即 把與聯(lián)立，得或4【答案】由已知，及由及得，以為一元二次方程的兩個根，解方程，得或或若，則，若，則例題3鞏固練習(xí)1【答案】由正弦定理和已知條件a+c=2b,得sinA+sinC=2sinB.由和差化積公式,得2sincos=2sinB.由A+B+C=得sin=cos.又A-C=,得=sinB.=2sincos,0<<,cos0,sin=.cos=,sinB=2sincos=2=.2【答案】（I）成等比數(shù)列 又 在中，由余弦定理得 （II）在中，由正弦定理得 3【答案】解法1：由余弦定理得 由正弦定理得： 故 解法2：如圖，作，AD交BC于D，令則