人教版數(shù)學(xué)八年級(jí)上冊(cè)教師輔導(dǎo)講義 第十一章三角形

1、三角形1“三角形兩邊的和大于第三邊在實(shí)際中的應(yīng)用；2三角形的“三線高、中線、角平分線在實(shí)際中的應(yīng)用；3三角形、多邊形內(nèi)外角和定理及其應(yīng)用。一、概念由三條不在同一直線上的線段首尾順次相連而構(gòu)成的平面圖形 叫 三角形。注意其中：不在同一直線上或說(shuō)不共線；是三條線段；首尾順次相連 這三個(gè)條件缺一不可。二、分類1按角分類：分為 斜三角形包括銳角三角形 和 鈍角三角形 直三角形即直角三角形2按邊分類：分為 不等邊三角形 等腰三角形包括只有兩邊相等/或說(shuō)是底腰不等的三角形 和 三邊相等/即等邊的三角形注：、等邊三角形是特殊的等腰三角形；、一個(gè)三角形中最多只有一個(gè)鈍角，最少有二個(gè)銳角。三、三角形的三邊關(guān)系1

2、、三角形的三邊關(guān)系定理：三角形的任意兩邊之和大于第三邊。( 即 a+bc ,或a+cb ,或b+ca )2、推論：三角形的任意兩邊之差小于第三邊。特別注意：1、以上兩點(diǎn)就是判斷任意給定的三條線段能否組成三角形的條件，但在實(shí)際做題時(shí)，并不需要去分析全部三組邊的大小關(guān)系，可簡(jiǎn)化為：當(dāng)三條線段中最長(zhǎng)的線段小于另兩條較短線段之和時(shí)，或 當(dāng)三條線段中最短的線段大于另兩條較長(zhǎng)線段之差的絕對(duì)值時(shí)，即可組成三角形。2、三角形的兩邊a，b(ab)，那么第三邊c的取值范圍為：ab c 0) 、a + 3 ,a + 4 ,a + 7 (a0) 、3a , 4a , 2a + 1 (a1/5) 例：M是ABC內(nèi)一點(diǎn)，

3、試說(shuō)明：AB + AC MB + MC (圖自畫)四、有關(guān)三角形邊長(zhǎng)的綜合問題1、等腰三角形：等腰三角形有兩相等的腰和一底邊，題目中往往并不直接說(shuō)明腰和底邊，因此，解題時(shí)要分類討論，以免丟解。例：等腰三角形的周長(zhǎng)為24cm，其中兩條邊長(zhǎng)的比為 3 ：2，求該等腰三角形的三邊長(zhǎng)。例：等腰三角形的周長(zhǎng)是16cm，1假設(shè)其中一邊長(zhǎng)為6cm，求另外兩邊長(zhǎng)； 2假設(shè)其中一邊長(zhǎng)為4cm，求另外兩邊長(zhǎng)。例：在等腰ABC中，AB=AC，一腰上的中線BD將三角形周長(zhǎng)分為21和12兩局部，求這個(gè)三角形的腰長(zhǎng)和底邊長(zhǎng)。注：根據(jù)三角形三邊關(guān)系，假設(shè)等腰三角形的腰長(zhǎng)為a，那么底邊長(zhǎng)x 的取值范圍是：0 x a/22、其

4、它例：ABC和三角形內(nèi)的一點(diǎn)P，試說(shuō)明：AB + AC PB + PC (圖略)五、三角形的中線、角平分線和高圖表區(qū)別 名稱 中線 角平分線 高三角形一個(gè)角的平分線與對(duì)邊相交，頂點(diǎn)與交點(diǎn)的連線段三角形一邊上的中點(diǎn)與這邊所對(duì)的頂點(diǎn)的連線段從三角形的頂點(diǎn)向?qū)吇驅(qū)叺难娱L(zhǎng)線作垂線，垂足與頂點(diǎn)的連線段 定義形狀 線段 線段 線段數(shù)量 3條 3條 3條銳角三角形的高均在三角形內(nèi)；直角三角形斜邊上的高在三角形內(nèi)，另兩條高與兩條直角邊重合；鈍角三角形最長(zhǎng)邊上的高在三角形內(nèi)，另兩條高在三角形外。位置 三角形內(nèi)部 三角形內(nèi)部交于同一點(diǎn)，位于三角形內(nèi)，叫三角形的內(nèi)心交于同一點(diǎn)，位于三角形內(nèi)，叫三角形的重心交于同

5、一點(diǎn)，叫三角形的垂心：銳角三角形高的交點(diǎn)位于三角形內(nèi)部；直角三角形高的交點(diǎn)與直角頂點(diǎn)重合；鈍角三角形高的交點(diǎn)在三角形的外部。交點(diǎn)情況例：判斷對(duì)錯(cuò)：1三角形的三條高在三角形的內(nèi)部。 2以三角形的頂點(diǎn)為端點(diǎn)，且平分三角形內(nèi)角的射線叫做三角形的角平分線。 3三角形的中線將三角形分為面積相等的兩個(gè)三角形。 4三角形的三條角平分線和三條中線在三角形內(nèi)部或外部。 注：1、畫任意一個(gè)三角形的三條高，對(duì)于初學(xué)者來(lái)講，有時(shí)會(huì)不太熟練，記住，要掌握好三角形的高的定義及位置情況，根據(jù)定義正確畫出三角形的高，口訣：“一靠二過三畫線；2、要區(qū)分角的平分線和三角形角的平分線，前者是射線，后者是線段； 3、三角形的一條中線

6、把三角形的面積一分為二(因?yàn)椤暗鹊椎雀叩娜切蚊娣e相等)，三角形的任意一條邊與該邊上的高的乘積的一半都等于這個(gè)三角形的面積，所以，有時(shí)，題目中出現(xiàn)了中線，或出現(xiàn)了高時(shí)，一定要有從面積入手來(lái)解題的意識(shí)。 4、三角形的三條中線相交于一點(diǎn)這點(diǎn)叫三角形的重心，且把原三角形分成面積相等的六個(gè)局部即六個(gè)小三角形。六、三角形的穩(wěn)定性三角形的三條邊固定，那么三角形的形狀和大小就完全確定了，這個(gè)性質(zhì)叫三角形的穩(wěn)定性。除了三角形外，其它的多邊形不具有穩(wěn)定性，但可以通過連接對(duì)角線，把多邊形轉(zhuǎn)化為假設(shè)干個(gè)三角形，這個(gè)多邊形也就具有穩(wěn)定性了。多邊形要具有穩(wěn)定性，四邊形要添一條對(duì)角線，五邊形要添二條對(duì)角線 ， n邊形要添

7、n-3條對(duì)角線。七、三角形的內(nèi)角和定理三角形的內(nèi)角和等于180度。 要會(huì)利用平行線性質(zhì)、鄰補(bǔ)角、平角等相關(guān)知識(shí)推出三角形內(nèi)角和定理。注：、三角形的兩個(gè)內(nèi)角度數(shù)，可求出第三個(gè)角的度數(shù)； 、等邊三角形的每一個(gè)內(nèi)角都等于60度；、如果等腰三角形的一個(gè)內(nèi)角等于60度，那么這個(gè)等腰三角形就是等邊三角形。 、三角形中，有“大角對(duì)大邊，大邊對(duì)大角性質(zhì)，即度數(shù)較大的角，所對(duì)的邊就較長(zhǎng)，或較長(zhǎng)的邊，所對(duì)的角的度數(shù)較大。例：1等腰三角形的一個(gè)內(nèi)角等于70度，那么另外兩個(gè)內(nèi)角的度數(shù)分別是多少度? 2等腰三角形的一個(gè)外角是100，求這個(gè)三角形的三個(gè)內(nèi)角度數(shù)。八、三角形的外角及其性質(zhì)三角形的每一個(gè)內(nèi)角都有相鄰的兩個(gè)外角

8、，且這兩個(gè)外角相等對(duì)頂角相等。一共有六個(gè)外角。其中，從與三角形的每一個(gè)內(nèi)角相鄰的兩個(gè)外角中各取一個(gè)外角相加一共三個(gè)外角相加，叫三角形的外角和。根據(jù)鄰補(bǔ)角、三角形的內(nèi)角和等相關(guān)知識(shí)，可知：三角形的外角和 = 360 度。性質(zhì)1、三角形的一個(gè)外角等于與它不相鄰的兩個(gè)內(nèi)角和。性質(zhì)2、三角形的一個(gè)外角大于任何一個(gè)與它不相鄰的內(nèi)角。常用于解決角的不等關(guān)系問題例：等腰三角形的一個(gè)外角等于100度，那么這個(gè)等腰三角形的三個(gè)內(nèi)角分別是多少度？例：試用適宜的方法說(shuō)明五角星的五個(gè)頂角和等于180圖自畫注：1、ABC內(nèi)有一點(diǎn)O，連接BO、CO，那么有BOC = A + ABO +ACO 圖略 2、ABC內(nèi)有一點(diǎn)M，

9、連接BM、CM，BO、CO分別是ABM 和ACM的平分線，那么有BOC =(A +BMC)/2 3、一個(gè)五角星，五個(gè)頂角的和等于180度。可利用性質(zhì)1和三角形的內(nèi)角和來(lái)加以證明4、BO、CO分別是ABC的內(nèi)角平分線，BO、CO相交于點(diǎn)O，那么BOC = 90+ A/25、BO、CO分別是ABC的外角平分線，BO、CO相交于點(diǎn)O，那么BOC = 90- A/26、BO是ABC的內(nèi)角平分線，CO是ABC的外角平分線，BO、CO相交于點(diǎn)O，那么BOC = A/27、銳角三角形兩條邊上的高相交所成的夾角與第三邊所對(duì)的角互補(bǔ)；直角三角形兩條邊上的高相交所成的夾角與第三邊所對(duì)的角相等；鈍角三角形一條鈍角邊

10、上的高與鈍角所對(duì)最大邊上的高相交所成的夾角與另一鈍角邊所對(duì)的角相等，但假設(shè)是兩條鈍角邊上的高相交所成的夾角，那么與第三邊所對(duì)的角互補(bǔ)。 請(qǐng)自行用適宜的方法說(shuō)明以上各點(diǎn)！九、多邊形及其內(nèi)角和、外角和1、概念：由不在同一直線上的一些線段首尾順次相接組成的平面圖形叫做多邊形。 三角形是最簡(jiǎn)單的多邊形。注：、多邊形分為凸多邊形 和 凹多邊形，我們初中階段只研究凸多邊形。凸多邊形：整個(gè)多邊形都在任何一條邊所在直線的同一側(cè)，這樣的多邊形叫凸多邊形。、正多邊形：各個(gè)內(nèi)角都相等，各條邊都相等的多邊形叫正多邊形。注：邊、角均相等兩條件缺一不可、各邊都相等的多邊形不一定是正多邊形,例如菱形；各內(nèi)角都相等的多邊形不

11、一定是正多邊形,例如矩形。2、多邊形的內(nèi)角和定理：n邊形內(nèi)角和等于：n-2180 推導(dǎo)方法1：由n邊形的一個(gè)頂點(diǎn)出發(fā)，作n邊形的對(duì)角線，一共可以作(n-3)條對(duì)角線，這些對(duì)角線把原來(lái)的n邊形分成了n-2個(gè)三角形，由三角形的內(nèi)角和等于180，可得出該n邊形的內(nèi)角和為：n-2180推導(dǎo)方法2：在n邊形的一邊上任取一點(diǎn)，由這一點(diǎn)出發(fā)，連接n邊形的各個(gè)頂點(diǎn)與所取點(diǎn)相鄰的兩個(gè)頂點(diǎn)除外，一共可以作n-2條連接線段，這些線段把原來(lái)的n邊形分成了n-1個(gè)三角形，但卻多出了一個(gè)平角，所以，該n邊形的內(nèi)角和為：n-1180- 180= n-2180推導(dǎo)方法3：在n邊形內(nèi)任取一點(diǎn),由這一點(diǎn)出發(fā),連接n邊形的各個(gè)頂點(diǎn)

12、,一共可以作n條連接線段,這些線段把原來(lái)的n邊形分成了n個(gè)三角形，但中間卻多出了一個(gè)周角，所以，該n邊形的內(nèi)角和為：n 180- 360= n-2180注：、正n邊形的每一個(gè)內(nèi)角都等于n-2180/n 、多邊形的內(nèi)角和是180的整倍數(shù)。、假設(shè)多邊形的邊數(shù)增加n條，那么它的內(nèi)角和增加n180、假設(shè)多邊形的邊數(shù)擴(kuò)大2倍，那么它的內(nèi)角和增加n180 、假設(shè)多邊形的邊數(shù)擴(kuò)大m倍，那么它的內(nèi)角和增加(m-1)n180例：一個(gè)多邊形的所有內(nèi)角和其中一個(gè)外角的度數(shù)和是1335，這是個(gè)_邊形，這個(gè)外角為_度。 一個(gè)多邊形除了一個(gè)內(nèi)角外,其余內(nèi)角之和為1680,那么這個(gè)多邊形是_邊形，這個(gè)內(nèi)角為_度。3、多邊形

13、的外角和：多邊形的外角和是一個(gè)定值，恒等于360。 指的是取多邊形每一個(gè)頂點(diǎn)處的一個(gè)外角相加的和，故n邊形的外角和指的是n個(gè)外角相加的和。 多邊形的外角和與邊數(shù)無(wú)關(guān)。注：、n邊形有n(n-3)/2 條對(duì)角線。 例：十邊形有10(10-3)/2 = 35 條對(duì)角線 、在運(yùn)用多邊形的內(nèi)角和公式與外角的性質(zhì)求值時(shí)，常與方程思想相結(jié)合，運(yùn)用方程思想是解決本節(jié)運(yùn)算的常用方法。、在解決握手次數(shù)、通 次數(shù)以及單循環(huán)賽比賽場(chǎng)數(shù)問題時(shí)，可以建立多邊形模型，此類問題即為 多邊形的邊數(shù) + 對(duì)角線的條數(shù)例：、多邊形的每一個(gè)內(nèi)角都等于150，那么這個(gè)多邊形的外角和是_，內(nèi)角和為_ 、一個(gè)多邊形的內(nèi)角和與某一個(gè)外角的度

14、數(shù)總和為1350，那么此多邊形為_邊形。、一個(gè)多邊形除了一個(gè)內(nèi)角外，其余內(nèi)角之和為1680，那么這個(gè)多邊形是_邊形。、ABC的兩邊分別與DEF的兩邊垂直，那么ABC和DEF的大小關(guān)系是互補(bǔ) 或 相等。試畫圖說(shuō)明。 、六個(gè)人去參加會(huì)議,要求每?jī)扇酥g要握一次手,那么這六個(gè)人共要握多少次手？把六個(gè)人看作六個(gè)點(diǎn)十、鑲嵌 當(dāng)圍繞一點(diǎn)拼在一起的幾個(gè)多邊形的內(nèi)角加在一起恰好組成一個(gè)周角時(shí)，就能拼成一個(gè)平面圖形。1、用同一種多邊形鑲嵌：這種多邊形可以不是正多邊形例如三角形、長(zhǎng)方形、平行四邊形、菱形、梯形等，也可以是正多邊形例如正三角形、正方形、正六邊形。 三角形，四邊形均可單獨(dú)鑲嵌。2、用多種多邊形鑲嵌：那么每種多邊形必須是正多邊形。例如：3個(gè)正三角 + 2個(gè)正方形，4