函數(shù)的基本性質(zhì)

1、第三節(jié)第三節(jié) 函數(shù)的基本性質(zhì)函數(shù)的基本性質(zhì)一、有界性一、有界性二、單調(diào)性二、單調(diào)性三、奇偶性三、奇偶性四、周期性四、周期性一、有界性一、有界性設(shè)函數(shù)y=f(x)的在集合內(nèi)有定義，如果存在正數(shù)M，使得對(duì)于任意的 ，都有成立，則稱f (x)在內(nèi)有界，或稱f (x)為內(nèi)的有界函數(shù)，如果這樣的M不存在，就稱函數(shù)f(x)在內(nèi)無界.如果M為f(x)的一個(gè)界，易知比M大的任何一個(gè)正數(shù)都是f(x)的界.Mxf | )(|如果f(x)在內(nèi)無界，那么對(duì)于任意一個(gè)給定的正數(shù)M，中總有相應(yīng)的點(diǎn) ，使得 .MxMxfM | )(|Dx當(dāng)函數(shù)y=f(x)在區(qū)間a,b上有界時(shí)，函數(shù)y=f(x)的圖形恰好位于直線y=M和y=

2、 之間.這里取=1.函數(shù)y=sinx的圖形位于直線y=1與y= 1之間.例如，函數(shù)f(x)=sinx在 內(nèi)是有界的. 這是因?yàn)閷?duì)于任意的 ， 都有 成立，),(),(x1|sin|x應(yīng)該注意，函數(shù)的有界性，不僅僅要注意函數(shù)的特點(diǎn)，還要注意自變量的變化范圍.例如，函數(shù) 在區(qū)間(1,2)內(nèi)是有界的.xxf1)(成立，都有1|1| )(| xxf)2 , 1 (x事實(shí)上，若取=1，則對(duì)于任何 而 在區(qū)間(0,1)內(nèi)是無界的.xxf1)(二、單調(diào)性二、單調(diào)性設(shè)函數(shù)y=f(x)在區(qū)間I上有定義(即是函數(shù)y=f(x)的定義域或者是定義域的一部分).如果對(duì)于任意的 ，當(dāng) 時(shí)，均有則稱函數(shù)y=f(x)在區(qū)間上

3、單調(diào)增加(或單調(diào)減少).Ixx21,21xx ),()( )()(2121xfxfxfxf或則稱函數(shù)y=f(x)在區(qū)間上嚴(yán)格單調(diào)增加(或嚴(yán)格單調(diào)減少). 如果對(duì)于區(qū)間I上任意兩點(diǎn) ，當(dāng) 均有21xx 及),()( )()(2121xfxfxfxf或21xx 嚴(yán)格單調(diào)增加的函數(shù)的圖形是沿x 軸正向上升的；嚴(yán)格單調(diào)減少的函數(shù)的圖形是沿x 軸正向下降的；例如，函數(shù) 內(nèi)是嚴(yán)格單調(diào)增加的.),()(3在xxf0 ,()(2在xxf函數(shù) 內(nèi)是嚴(yán)格單調(diào)減少的，在區(qū)間 上是嚴(yán)格單調(diào)增加的,而在區(qū)間 內(nèi)則不是單調(diào)函數(shù).),(), 0 三、奇偶性三、奇偶性設(shè)函數(shù)y=f(x)的定義域D是關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱的，即當(dāng) 時(shí)，有

4、 .則稱f(x)為偶函數(shù)，偶函數(shù)的圖形關(guān)于y軸對(duì)稱；),()(xfxfDxDx如果對(duì)于任意的 ，均有Dx如果對(duì)任意的 ,均有Dx就稱函數(shù)f(x)為奇函數(shù).奇函數(shù)的圖形關(guān)于坐標(biāo)原點(diǎn)對(duì)稱.),()(xfxf例1 討論下列函數(shù)的奇偶性:;)( ) 1 (2xxf;)()2(3xxf.)( ),()()(2)333是奇函數(shù)xxfxfxxxf. )( ),()()() 1 (222是偶函數(shù)xxfxfxxxf解.)()3(32xxxf,)( ,)( ,)()3(323232xxxfxxxfxxxf而),()( ),()(,0 xfxfxfxfx且時(shí)當(dāng). )(32函數(shù)既不是偶函數(shù)也不是奇所以xxxf 設(shè)函數(shù)

5、y=f (x)在內(nèi)有定義, 如果存在正常數(shù) T,使得對(duì)于內(nèi)的任何x，恒有 f (x + T)=f (x) 四、周期性四、周期性 顯然，若T是f(x)的周期，則kT也是f(x)的周期(k=1,2,3 )，通常我們說的周期就是指最小正周期. 成立，則稱函數(shù)y=f (x)為周期函數(shù)，T為f (x)的周期.例如，函數(shù)y=sin x及y=cos x都是以 為周期的周期函數(shù)；2函數(shù)y=tan x及y=cot x都是以 為周期的周期函數(shù).,) sin()(為常數(shù)其中的周期求函數(shù)AtAtf，只需的周期為并注意到 , 2 , 1 , 0 2 2sinnTt解 設(shè)所求的周期為T，由于) sin( )(sin)(TtATtATtf