利用MATLAB實現(xiàn)連續(xù)信號的采樣與重構仿真

1、課程設計說明書 NO.1利用MATLAB實現(xiàn)連續(xù)信號的采樣與重構仿真1.課程設計目的掌握利用MATLAB實現(xiàn)連續(xù)信號采用與重構的方法，加深理解采樣與重構的概念。初步掌握線性系統(tǒng)的設計方法，培養(yǎng)獨立工作能力。學習MATLAB中信號表示的基本方法及繪圖函數(shù)的調用，實現(xiàn)對常用連續(xù)時間信號的可視化表示，加深對各種電信號的理解。加深對采樣定理的理解和掌握，以及對信號恢復的必要性；掌握對連續(xù)信號在時域的采樣與重構的方法。2課程設計的要求與內容2.1 MATLAB介紹MATLAB的基本數(shù)據(jù)單位是矩陣，它的指令表達式與數(shù)學,工程中常用的形式十分相似,故用MATLAB來解算問題要比用C,FORTRAN等語言完全

2、相同的事情簡捷得多.在新的版本中也加入了對C,FORTRAN,c+ ,JAVA的支持.可以直接調用,用戶也可以將自己編寫的實用程序導入到MATLAB函數(shù)庫中方便自己以后調用。2.2設計思路連續(xù)信號是指自變量的取值范圍是連續(xù)的，且對于一切自變量的取值，除了有若干個不連續(xù)點以外，信號都有確定的值與之對應。嚴格來說，MATLAB并不能處理連續(xù)信號，而是用等時間間隔點的樣值來近似表示連續(xù)信號。當取樣時間間隔足夠小時，這些離散的樣值就能較好地近似連續(xù)信號。時域對連續(xù)時間信號進行采樣，是給它乘以一個采樣脈沖序列，就可以得到采樣點上的樣本值，信號被采樣前后在頻域的變化，可以通過時域頻域的對應關系分別求得了采

3、樣信號的頻譜。 在一定條件下，一個連續(xù)時間信號完全可以用該信號在等時間間隔上的瞬時值來表示，并且可以用這些樣本值把信號完全恢復過來。這樣，抽樣定理為連續(xù)時間信號與離散時間信號的相互轉換提供了理論依據(jù)。通過觀察采樣信號的頻譜，發(fā)現(xiàn)它只是原信號頻譜的線性重復搬移，只要給它乘以一個門函數(shù)，就可以在頻域恢復原信號的頻譜，在時域是否也能恢復原信號時，利用頻域時域的對稱關系，得到了信號。 沈 陽 大 學課程設計說明書 NO.22.3連續(xù)信號的采樣2.3.1連續(xù)信號的采樣原理信號采樣原理圖如圖1 所示： 圖1 信號采樣原理圖由圖1可見，其中，沖激采樣信號的表達式為：其傅立葉變換為，其中。由于，分別為，的傅立

4、葉變換函數(shù)，由傅立葉變換的頻域卷積定理，可得 若設是帶限信號，帶寬為，經(jīng)過采樣后的頻譜就是將在頻率軸上搬移至處（幅度為原頻譜的倍）。因此，當時，頻譜不發(fā)生混疊；而當時，頻譜發(fā)生混疊。一個理想采樣器可以看成是一個載波為理想單位脈沖序列的幅值調制器，即理想采樣器的輸出信號，是連續(xù)輸入信號調制在載波上的結果，如圖2所示： 沈 陽 大 學課程設計說明書 NO.3(a)連續(xù)時間信號 (b)取樣脈沖序列 （c）取樣信號圖2 信號的采樣 用數(shù)學表達式描述上述調制過程，則有: 理想單位脈沖序列可以表示為: 其中是出現(xiàn)在時刻，強度為1的單位脈沖。由于的數(shù)值僅在采樣瞬時才有意義，同時，假設 所以又可表示為： 2.

5、3.2連續(xù)信號的采樣定理模擬信號經(jīng)過 (A/D) 變換轉換為數(shù)字信號的過程稱為采樣，信號采樣后其頻譜產(chǎn)生了周期延拓，每隔一個采樣頻率 fs，重復出現(xiàn)一次。為保證采樣后信號的頻譜形狀不失真，采樣頻率必須大于信號中最高頻率成分的兩倍，這稱之為采樣定理。 信號采樣后其頻譜產(chǎn)生了周期延拓，每隔一個采樣頻率 ，重復出現(xiàn)一次。為保證采樣后信號的頻譜形狀不失真，采樣頻率必須大于信號中最高頻率成分的兩倍。時域采樣定理從采樣信號恢復原信號必需滿足兩個條件：1 必須是帶限信號，其頻譜函數(shù)在 各處為零； 沈 陽 大 學課程設計說明書 NO.4取樣頻率不能過低，必須滿足（即），或者說取樣間隔不能太長，必須滿足，否則將

6、會發(fā)生混疊。當采樣頻率時，頻譜不發(fā)生混疊；而當時，頻譜發(fā)生混疊。則采樣離散信號能無失真地恢復到原來的連續(xù)信號 。一個頻譜在區(qū)間以外為零的頻帶有限信號，可唯一的由其在均勻間隔 上的樣點值所確定。根據(jù)時域與頻域的對稱性，可以由時域采樣定理推出頻域采樣定理。一個時間受限信號，它集中在（）的時間范圍內，則該信號的頻譜在頻域中以間隔為的沖激序列進行采樣，采樣后的頻譜可以惟一表示原信號的重復周期，或頻域間隔（其中）。采樣信號的頻譜是原信號頻譜的周期性重復，它每隔重復出現(xiàn)一次。當時，不會出現(xiàn)混疊現(xiàn)象，從而能從采樣信號中恢復原信號 。連續(xù)信號與采樣信號()時的比較如圖3所示：連續(xù)信號與采樣信號()時的比較如圖

7、4所示：連續(xù)信號與采樣信號()時的比較如圖5所示： 圖3連續(xù)信號與采樣信號()時的比較 沈 陽 大 學課程設計說明書 NO.5 圖4連續(xù)信號與采樣信號()時的比較 圖5連續(xù)信號與采樣信號()時的比較2.3.3信號采樣 采樣器的作用是把連續(xù)信號變?yōu)槊}沖或數(shù)字序列。一連續(xù)信號f(t)經(jīng)采樣器采樣后變?yōu)殡x散信號的過程如圖6所示： 沈 陽 大 學課程設計說明書 NO.6 圖6連續(xù)信號f(t)經(jīng)采樣器采樣后變?yōu)殡x散信號過程2.4信號重構設信號被采樣后形成的采樣信號為，信號的重構是指由經(jīng)過內插處理后，恢復出原來信號的過程,又稱為信號恢復。若設是帶限信號，帶寬為，經(jīng)采樣后的頻譜為。設采樣頻率，則由式（9）知

8、是以為周期的譜線?，F(xiàn)選取一個頻率特性（其中截止頻率滿足）的理想低通濾波器與相乘，得到的頻譜即為原信號的頻譜。與之對應的時域表達式為 而將及代入得此式即為用求解的表達式，是利用MATLAB實現(xiàn)信號重構的基本關系式，抽樣函數(shù)在此起著內插函數(shù)的作用。，由時域采樣定理知采樣間隔，?。ㄟ^采樣）。利用MATLAB的抽樣函數(shù)來表示，有。據(jù)此可知：通過以上分析，得到如下的時域采樣定理：一個帶寬為wm的帶限信號f(t)，可唯一地由它的均勻取樣信號fs(nTs)確定，其中，取樣間隔Ts</wm, 該取樣間隔又稱為 沈 陽 大 學課程設計說明書 NO.7奈奎斯特間隔。 根據(jù)時域卷積定理，求出信號重構的數(shù)學表達

9、式為： 式中的抽樣函數(shù)Sa(wct)起著內插函數(shù)的作用，信號的恢復可以視為將抽樣函數(shù)進行不同時刻移位后加權求和的結果，其加權的權值為采樣信號在相應時刻的定義值。利用MATLAB中的抽樣函數(shù)來表示Sa(t)，有，于是，信號重構的內插公式也可表示為： * =3.課程設計的主要內容3.1詳細設計過程3.1.1 Sa(t)的臨界采樣及重構實現(xiàn)程序代碼：當采樣頻率等于一個連續(xù)的同信號最大頻率的2倍，即時，稱為臨界采樣。修改門信號寬度、采樣周期等參數(shù)，重新運行程序，觀察得到的采樣信號時域和頻域特性，以及重構信號與誤差信號的變化。Sa(t)的臨界采樣及重構程序代碼；wm=1;%升余弦脈沖信號帶寬wc=wm;

10、 %頻率Ts=pi/wm; %周期ws=2.4*pi/Ts; %理想低通截止頻率n=-100:100; %定義序列的長度是201nTs=n*Ts %采樣點 沈 陽 大 學課程設計說明書 NO.8f=sinc(nTs/pi); %抽樣信號Dt=0.005;t=-20:Dt:20;fa=f*Ts*wc/pi*sinc(wc/pi)*(ones(length(nTs),1)*t-nTs'*ones(1,length(t); %信號重建t1=-20:0.5:20;f1=sinc(t1/pi);subplot(211);stem(t1,f1);xlabel('kTs');ylab

11、el('f(kTs)');title('sa(t)=sinc(t/pi)的臨界采樣信號');subplot(212);plot(t,fa)xlabel('t');ylabel('fa(t)');title('由sa(t)=sinc(t/pi)的臨界采樣信號重構sa(t)');grid;程序運行運行分析與結果圖程序分析：Sa(t)=sinc(t/pi) %利用sinc函數(shù)生成函數(shù)Sa(t)Pi %圓周率n=-170:170; %時域采樣點t=-45:Dt:45 %產(chǎn)生一個時間采樣序列fa=f*Ts*wc/pi*sin

12、c(wc/pi)*(ones(length(nTs),1)*t-nTs'*ones(1,length(t) %信號重構sinc(t1/pi) %繪制f1的非的非零樣值向量plot(t,fa) %繪制fa的圖形stem(t1,f1) %繪制一個二維桿圖程序運行結果圖如圖7所示： 沈 陽 大 學課程設計說明書 NO.9圖7的臨界采樣信號、重構信號及兩信號的絕對誤差圖運行結果分析：為了比較由采樣信號恢復后的信號與原信號的誤差，可以計算出兩信號的絕對誤差。當t選取的數(shù)據(jù)越大，起止的寬度越大。3.1.2 Sa(t)的過采樣及重構實現(xiàn)程序代碼當采樣頻率大于一個連續(xù)的同信號最大頻率的2倍，即時，稱為

13、過采樣.Sa(t)的過采樣及重構程序代碼：wm=1;wc=1.1*wm; Ts=1.1*pi/wm;ws=2*pi/Ts; 沈 陽 大 學課程設計說明書 NO.10n=-100:100;nTs=n*Tsf=sinc(nTs/pi);Dt=0.005;t=-10:Dt:10;fa=f*Ts*wc/pi*sinc(wc/pi)*(ones(length(nTs),1)*t-nTs'*ones(1,length(t);error=abs(fa-sinc(t/pi);t1=-10:0.5:10;f1=sinc(t1/pi);subplot(311);stem(t1,f1);xlabel(

14、9;kTs');ylabel('f(kTs)');title('sa(t)=sinc(t/pi)的采樣信號');subplot(312);plot(t,fa)xlabel('t');ylabel('fa(t)');title('由sa(t)=sinc(t/pi)的過采樣信號重構sa(t)');grid;subplot(313);plot(t,error);xlabel('t');ylabel('error(t)');title('過采樣信號與原信號的誤差error(t

15、)') ;程序運行運行分析與結果圖程序分析：Sa(t)=sinc(t/pi) %利用sinc函數(shù)生成函數(shù)Sa(t)error=abs(fa-sinc(t/pi); %求重構信號與原信號誤差 f1=sinc(t1/pi); %f1的非零樣值向量 xlabel('t') %橫坐標軸ylabel('fa(t)') %縱坐標軸title('由sa(t)=sinc(t/pi)的欠采樣信號重構sa(t)')%書寫圖名程序結果圖如圖8所示： 沈 陽 大 學課程設計說明書 NO.11圖8的過采樣信號、重構信號及兩信號的絕對誤差圖運行分析：將原始信號分別修

16、改函數(shù)Sa(t)、正弦信號sin(20*pi*t)+cos(20*pi*t)、指數(shù)信號e-2tu(t)時，在不同采樣頻率的條件下，可以觀察到對應采樣信號的時域和頻域特性，以及重構信號與誤差信號的變化。3.1.3 Sa(t)的欠采樣及重構實現(xiàn)程序代碼當采樣頻率小于一個連續(xù)的同信號最大頻率的2倍，即時，稱為過采樣。利用頻域濾波的方法修改實驗中的部分程序，完成對采樣信號的重構。Sa(t)的欠采樣及重構程序代碼：wm=1;wc=wm; Ts=2.5 *pi/wm;ws=2*pi/Ts;n=-100:100;nTs=n*Tsf=sinc(nTs/pi);Dt=0.005;t=-20:Dt:20;fa=f

17、*Ts*wc/pi*sinc(wc/pi)*(ones(length(nTs),1)*t-nTs'*ones(1,length(t);error=abs(fa-sinc(t/pi);t1=-20:0.5:20 沈 陽 大 學課程設計說明書 NO.12f1=sinc(t1/pi);subplot(311);stem(t1,f1);xlabel('kTs');ylabel('f(kTs)');title('sa(t)=sinc(t/pi)的采樣信號sa(t)');subplot(312);plot(t,fa);xlabel('t

18、9;);ylabel('fa(t)');title('由sa(t)=sinc(t/pi)的欠采樣信號重構sa(t)');grid;subplot(313);plot(t,error);xlabel('t');ylabel('error(t)');title('欠采樣信號與原信號的誤差error(t)');程序運行運行分析與結果圖程序分析：Sa(t)=sinc(t/pi) %利用sinc函數(shù)生成函數(shù)Sa(t)error=abs(fa-sinc(t/pi); %求重構信號與原信號誤差f1=sinc(t1/pi); %f

19、1的非零樣值向量程序結果圖如圖9所示： 沈 陽 大 學課程設計說明書 NO.13 圖9 的欠采樣信號、重構信號及兩信號的絕對誤差圖誤差分析：絕對誤差error已大為增加，其原因是因采樣信號的頻譜混疊，使得在區(qū)域內的頻譜相互“干擾”所致。3.2程序中的常見函數(shù)和功能程序中的常見函數(shù)和功能:abs( )求絕對值;sinc( ) Sa(t)函數(shù);ones( )全1矩陣;plot( )繪圖;subplot( ) 繪制子圖;stem( ) 繪制離散序列數(shù)據(jù)圖 。3.3設計方案優(yōu)缺點3.3.1MATLAB優(yōu)缺點優(yōu)點：MATLAB在繪圖方面提供了相當高級的函數(shù)序及程序界面，即使用戶沒有豐富的程序設計經(jīng)驗，也能夠快速地得到自己想要的結果，熟練的使用MATLAB的程序員或研究人員能縮短研究開發(fā)時間，從而提高競爭力，MATLAB和其他高級語言有良好的接口，可以方便地實現(xiàn)與其他語言的混合編程，從而進一步擴寬MATLAB的應用潛力。缺點：MATLAB占用內存空間很大，并且會因硬盤分區(qū)是NTFS格式還是FAT格式而有差異。3.3.2程序優(yōu)缺點優(yōu)點：以上3個程序程序簡潔而且可以較好的反映出采樣、過采樣、臨界采樣的特點。缺點：調整某些參數(shù)圖型的變化非常小，無法直觀看出更改后的結果。4.收獲和體會經(jīng)過此次MATLAB課程設計我學到了很多知識和學習方法。僅憑我在信號與系統(tǒng)實驗課上所學的