利用MATLAB實現(xiàn)連續(xù)信號的采樣與重構(gòu)仿真

1、課程設(shè)計說明書 NO.1利用MATLAB實現(xiàn)連續(xù)信號的采樣與重構(gòu)仿真1.課程設(shè)計目的掌握利用MATLAB實現(xiàn)連續(xù)信號采用與重構(gòu)的方法，加深理解采樣與重構(gòu)的概念。初步掌握線性系統(tǒng)的設(shè)計方法，培養(yǎng)獨立工作能力。學(xué)習(xí)MATLAB中信號表示的基本方法及繪圖函數(shù)的調(diào)用，實現(xiàn)對常用連續(xù)時間信號的可視化表示，加深對各種電信號的理解。加深對采樣定理的理解和掌握，以及對信號恢復(fù)的必要性；掌握對連續(xù)信號在時域的采樣與重構(gòu)的方法。2課程設(shè)計的要求與內(nèi)容2.1 MATLAB介紹MATLAB的基本數(shù)據(jù)單位是矩陣，它的指令表達(dá)式與數(shù)學(xué),工程中常用的形式十分相似,故用MATLAB來解算問題要比用C,FORTRAN等語言完全

2、相同的事情簡捷得多.在新的版本中也加入了對C,FORTRAN,c+ ,JAVA的支持.可以直接調(diào)用,用戶也可以將自己編寫的實用程序?qū)氲組ATLAB函數(shù)庫中方便自己以后調(diào)用。2.2設(shè)計思路連續(xù)信號是指自變量的取值范圍是連續(xù)的，且對于一切自變量的取值，除了有若干個不連續(xù)點以外，信號都有確定的值與之對應(yīng)。嚴(yán)格來說，MATLAB并不能處理連續(xù)信號，而是用等時間間隔點的樣值來近似表示連續(xù)信號。當(dāng)取樣時間間隔足夠小時，這些離散的樣值就能較好地近似連續(xù)信號。時域?qū)B續(xù)時間信號進(jìn)行采樣，是給它乘以一個采樣脈沖序列，就可以得到采樣點上的樣本值，信號被采樣前后在頻域的變化，可以通過時域頻域的對應(yīng)關(guān)系分別求得了采

3、樣信號的頻譜。 在一定條件下，一個連續(xù)時間信號完全可以用該信號在等時間間隔上的瞬時值來表示，并且可以用這些樣本值把信號完全恢復(fù)過來。這樣，抽樣定理為連續(xù)時間信號與離散時間信號的相互轉(zhuǎn)換提供了理論依據(jù)。通過觀察采樣信號的頻譜，發(fā)現(xiàn)它只是原信號頻譜的線性重復(fù)搬移，只要給它乘以一個門函數(shù)，就可以在頻域恢復(fù)原信號的頻譜，在時域是否也能恢復(fù)原信號時，利用頻域時域的對稱關(guān)系，得到了信號。 沈 陽 大 學(xué)課程設(shè)計說明書 NO.22.3連續(xù)信號的采樣2.3.1連續(xù)信號的采樣原理信號采樣原理圖如圖1 所示： 圖1 信號采樣原理圖由圖1可見，其中，沖激采樣信號的表達(dá)式為：其傅立葉變換為，其中。由于，分別為，的傅立

4、葉變換函數(shù)，由傅立葉變換的頻域卷積定理，可得 若設(shè)是帶限信號，帶寬為，經(jīng)過采樣后的頻譜就是將在頻率軸上搬移至處（幅度為原頻譜的倍）。因此，當(dāng)時，頻譜不發(fā)生混疊；而當(dāng)時，頻譜發(fā)生混疊。一個理想采樣器可以看成是一個載波為理想單位脈沖序列的幅值調(diào)制器，即理想采樣器的輸出信號，是連續(xù)輸入信號調(diào)制在載波上的結(jié)果，如圖2所示： 沈 陽 大 學(xué)課程設(shè)計說明書 NO.3(a)連續(xù)時間信號 (b)取樣脈沖序列 （c）取樣信號圖2 信號的采樣 用數(shù)學(xué)表達(dá)式描述上述調(diào)制過程，則有: 理想單位脈沖序列可以表示為: 其中是出現(xiàn)在時刻，強度為1的單位脈沖。由于的數(shù)值僅在采樣瞬時才有意義，同時，假設(shè) 所以又可表示為： 2.

5、3.2連續(xù)信號的采樣定理模擬信號經(jīng)過 (A/D) 變換轉(zhuǎn)換為數(shù)字信號的過程稱為采樣，信號采樣后其頻譜產(chǎn)生了周期延拓，每隔一個采樣頻率 fs，重復(fù)出現(xiàn)一次。為保證采樣后信號的頻譜形狀不失真，采樣頻率必須大于信號中最高頻率成分的兩倍，這稱之為采樣定理。 信號采樣后其頻譜產(chǎn)生了周期延拓，每隔一個采樣頻率 ，重復(fù)出現(xiàn)一次。為保證采樣后信號的頻譜形狀不失真，采樣頻率必須大于信號中最高頻率成分的兩倍。時域采樣定理從采樣信號恢復(fù)原信號必需滿足兩個條件：1 必須是帶限信號，其頻譜函數(shù)在 各處為零； 沈 陽 大 學(xué)課程設(shè)計說明書 NO.4取樣頻率不能過低，必須滿足（即），或者說取樣間隔不能太長，必須滿足，否則將

6、會發(fā)生混疊。當(dāng)采樣頻率時，頻譜不發(fā)生混疊；而當(dāng)時，頻譜發(fā)生混疊。則采樣離散信號能無失真地恢復(fù)到原來的連續(xù)信號 。一個頻譜在區(qū)間以外為零的頻帶有限信號，可唯一的由其在均勻間隔 上的樣點值所確定。根據(jù)時域與頻域的對稱性，可以由時域采樣定理推出頻域采樣定理。一個時間受限信號，它集中在（）的時間范圍內(nèi)，則該信號的頻譜在頻域中以間隔為的沖激序列進(jìn)行采樣，采樣后的頻譜可以惟一表示原信號的重復(fù)周期，或頻域間隔（其中）。采樣信號的頻譜是原信號頻譜的周期性重復(fù)，它每隔重復(fù)出現(xiàn)一次。當(dāng)時，不會出現(xiàn)混疊現(xiàn)象，從而能從采樣信號中恢復(fù)原信號 。連續(xù)信號與采樣信號()時的比較如圖3所示：連續(xù)信號與采樣信號()時的比較如圖

7、4所示：連續(xù)信號與采樣信號()時的比較如圖5所示： 圖3連續(xù)信號與采樣信號()時的比較 沈 陽 大 學(xué)課程設(shè)計說明書 NO.5 圖4連續(xù)信號與采樣信號()時的比較 圖5連續(xù)信號與采樣信號()時的比較2.3.3信號采樣 采樣器的作用是把連續(xù)信號變?yōu)槊}沖或數(shù)字序列。一連續(xù)信號f(t)經(jīng)采樣器采樣后變?yōu)殡x散信號的過程如圖6所示： 沈 陽 大 學(xué)課程設(shè)計說明書 NO.6 圖6連續(xù)信號f(t)經(jīng)采樣器采樣后變?yōu)殡x散信號過程2.4信號重構(gòu)設(shè)信號被采樣后形成的采樣信號為，信號的重構(gòu)是指由經(jīng)過內(nèi)插處理后，恢復(fù)出原來信號的過程,又稱為信號恢復(fù)。若設(shè)是帶限信號，帶寬為，經(jīng)采樣后的頻譜為。設(shè)采樣頻率，則由式（9）知

8、是以為周期的譜線。現(xiàn)選取一個頻率特性（其中截止頻率滿足）的理想低通濾波器與相乘，得到的頻譜即為原信號的頻譜。與之對應(yīng)的時域表達(dá)式為 而將及代入得此式即為用求解的表達(dá)式，是利用MATLAB實現(xiàn)信號重構(gòu)的基本關(guān)系式，抽樣函數(shù)在此起著內(nèi)插函數(shù)的作用。，由時域采樣定理知采樣間隔，取（過采樣）。利用MATLAB的抽樣函數(shù)來表示，有。據(jù)此可知：通過以上分析，得到如下的時域采樣定理：一個帶寬為wm的帶限信號f(t)，可唯一地由它的均勻取樣信號fs(nTs)確定，其中，取樣間隔Ts</wm, 該取樣間隔又稱為 沈 陽 大 學(xué)課程設(shè)計說明書 NO.7奈奎斯特間隔。 根據(jù)時域卷積定理，求出信號重構(gòu)的數(shù)學(xué)表達(dá)

9、式為： 式中的抽樣函數(shù)Sa(wct)起著內(nèi)插函數(shù)的作用，信號的恢復(fù)可以視為將抽樣函數(shù)進(jìn)行不同時刻移位后加權(quán)求和的結(jié)果，其加權(quán)的權(quán)值為采樣信號在相應(yīng)時刻的定義值。利用MATLAB中的抽樣函數(shù)來表示Sa(t)，有，于是，信號重構(gòu)的內(nèi)插公式也可表示為： * =3.課程設(shè)計的主要內(nèi)容3.1詳細(xì)設(shè)計過程3.1.1 Sa(t)的臨界采樣及重構(gòu)實現(xiàn)程序代碼：當(dāng)采樣頻率等于一個連續(xù)的同信號最大頻率的2倍，即時，稱為臨界采樣。修改門信號寬度、采樣周期等參數(shù)，重新運行程序，觀察得到的采樣信號時域和頻域特性，以及重構(gòu)信號與誤差信號的變化。Sa(t)的臨界采樣及重構(gòu)程序代碼；wm=1;%升余弦脈沖信號帶寬wc=wm;

10、 %頻率Ts=pi/wm; %周期ws=2.4*pi/Ts; %理想低通截止頻率n=-100:100; %定義序列的長度是201nTs=n*Ts %采樣點 沈 陽 大 學(xué)課程設(shè)計說明書 NO.8f=sinc(nTs/pi); %抽樣信號Dt=0.005;t=-20:Dt:20;fa=f*Ts*wc/pi*sinc(wc/pi)*(ones(length(nTs),1)*t-nTs'*ones(1,length(t); %信號重建t1=-20:0.5:20;f1=sinc(t1/pi);subplot(211);stem(t1,f1);xlabel('kTs');ylab

11、el('f(kTs)');title('sa(t)=sinc(t/pi)的臨界采樣信號');subplot(212);plot(t,fa)xlabel('t');ylabel('fa(t)');title('由sa(t)=sinc(t/pi)的臨界采樣信號重構(gòu)sa(t)');grid;程序運行運行分析與結(jié)果圖程序分析：Sa(t)=sinc(t/pi) %利用sinc函數(shù)生成函數(shù)Sa(t)Pi %圓周率n=-170:170; %時域采樣點t=-45:Dt:45 %產(chǎn)生一個時間采樣序列fa=f*Ts*wc/pi*sin

12、c(wc/pi)*(ones(length(nTs),1)*t-nTs'*ones(1,length(t) %信號重構(gòu)sinc(t1/pi) %繪制f1的非的非零樣值向量plot(t,fa) %繪制fa的圖形stem(t1,f1) %繪制一個二維桿圖程序運行結(jié)果圖如圖7所示： 沈 陽 大 學(xué)課程設(shè)計說明書 NO.9圖7的臨界采樣信號、重構(gòu)信號及兩信號的絕對誤差圖運行結(jié)果分析：為了比較由采樣信號恢復(fù)后的信號與原信號的誤差，可以計算出兩信號的絕對誤差。當(dāng)t選取的數(shù)據(jù)越大，起止的寬度越大。3.1.2 Sa(t)的過采樣及重構(gòu)實現(xiàn)程序代碼當(dāng)采樣頻率大于一個連續(xù)的同信號最大頻率的2倍，即時，稱為

13、過采樣.Sa(t)的過采樣及重構(gòu)程序代碼：wm=1;wc=1.1*wm; Ts=1.1*pi/wm;ws=2*pi/Ts; 沈 陽 大 學(xué)課程設(shè)計說明書 NO.10n=-100:100;nTs=n*Tsf=sinc(nTs/pi);Dt=0.005;t=-10:Dt:10;fa=f*Ts*wc/pi*sinc(wc/pi)*(ones(length(nTs),1)*t-nTs'*ones(1,length(t);error=abs(fa-sinc(t/pi);t1=-10:0.5:10;f1=sinc(t1/pi);subplot(311);stem(t1,f1);xlabel(

14、9;kTs');ylabel('f(kTs)');title('sa(t)=sinc(t/pi)的采樣信號');subplot(312);plot(t,fa)xlabel('t');ylabel('fa(t)');title('由sa(t)=sinc(t/pi)的過采樣信號重構(gòu)sa(t)');grid;subplot(313);plot(t,error);xlabel('t');ylabel('error(t)');title('過采樣信號與原信號的誤差error(t

15、)') ;程序運行運行分析與結(jié)果圖程序分析：Sa(t)=sinc(t/pi) %利用sinc函數(shù)生成函數(shù)Sa(t)error=abs(fa-sinc(t/pi); %求重構(gòu)信號與原信號誤差 f1=sinc(t1/pi); %f1的非零樣值向量 xlabel('t') %橫坐標(biāo)軸ylabel('fa(t)') %縱坐標(biāo)軸title('由sa(t)=sinc(t/pi)的欠采樣信號重構(gòu)sa(t)')%書寫圖名程序結(jié)果圖如圖8所示： 沈 陽 大 學(xué)課程設(shè)計說明書 NO.11圖8的過采樣信號、重構(gòu)信號及兩信號的絕對誤差圖運行分析：將原始信號分別修

16、改函數(shù)Sa(t)、正弦信號sin(20*pi*t)+cos(20*pi*t)、指數(shù)信號e-2tu(t)時，在不同采樣頻率的條件下，可以觀察到對應(yīng)采樣信號的時域和頻域特性，以及重構(gòu)信號與誤差信號的變化。3.1.3 Sa(t)的欠采樣及重構(gòu)實現(xiàn)程序代碼當(dāng)采樣頻率小于一個連續(xù)的同信號最大頻率的2倍，即時，稱為過采樣。利用頻域濾波的方法修改實驗中的部分程序，完成對采樣信號的重構(gòu)。Sa(t)的欠采樣及重構(gòu)程序代碼：wm=1;wc=wm; Ts=2.5 *pi/wm;ws=2*pi/Ts;n=-100:100;nTs=n*Tsf=sinc(nTs/pi);Dt=0.005;t=-20:Dt:20;fa=f

17、*Ts*wc/pi*sinc(wc/pi)*(ones(length(nTs),1)*t-nTs'*ones(1,length(t);error=abs(fa-sinc(t/pi);t1=-20:0.5:20 沈 陽 大 學(xué)課程設(shè)計說明書 NO.12f1=sinc(t1/pi);subplot(311);stem(t1,f1);xlabel('kTs');ylabel('f(kTs)');title('sa(t)=sinc(t/pi)的采樣信號sa(t)');subplot(312);plot(t,fa);xlabel('t

18、9;);ylabel('fa(t)');title('由sa(t)=sinc(t/pi)的欠采樣信號重構(gòu)sa(t)');grid;subplot(313);plot(t,error);xlabel('t');ylabel('error(t)');title('欠采樣信號與原信號的誤差error(t)');程序運行運行分析與結(jié)果圖程序分析：Sa(t)=sinc(t/pi) %利用sinc函數(shù)生成函數(shù)Sa(t)error=abs(fa-sinc(t/pi); %求重構(gòu)信號與原信號誤差f1=sinc(t1/pi); %f

19、1的非零樣值向量程序結(jié)果圖如圖9所示： 沈 陽 大 學(xué)課程設(shè)計說明書 NO.13 圖9 的欠采樣信號、重構(gòu)信號及兩信號的絕對誤差圖誤差分析：絕對誤差error已大為增加，其原因是因采樣信號的頻譜混疊，使得在區(qū)域內(nèi)的頻譜相互“干擾”所致。3.2程序中的常見函數(shù)和功能程序中的常見函數(shù)和功能:abs( )求絕對值;sinc( ) Sa(t)函數(shù);ones( )全1矩陣;plot( )繪圖;subplot( ) 繪制子圖;stem( ) 繪制離散序列數(shù)據(jù)圖 。3.3設(shè)計方案優(yōu)缺點3.3.1MATLAB優(yōu)缺點優(yōu)點：MATLAB在繪圖方面提供了相當(dāng)高級的函數(shù)序及程序界面，即使用戶沒有豐富的程序設(shè)計經(jīng)驗，也能夠快速地得到自己想要的結(jié)果，熟練的使用MATLAB的程序員或研究人員能縮短研究開發(fā)時間，從而提高競爭力，MATLAB和其他高級語言有良好的接口，可以方便地實現(xiàn)與其他語言的混合編程，從而進(jìn)一步擴寬MATLAB的應(yīng)用潛力。缺點：MATLAB占用內(nèi)存空間很大，并且會因硬盤分區(qū)是NTFS格式還是FAT格式而有差異。3.3.2程序優(yōu)缺點優(yōu)點：以上3個程序程序簡潔而且可以較好的反映出采樣、過采樣、臨界采樣的特點。缺點：調(diào)整某些參數(shù)圖型的變化非常小，無法直觀看出更改后的結(jié)果。4.收獲和體會經(jīng)過此次MATLAB課程設(shè)計我學(xué)到了很多知識和學(xué)習(xí)方法。僅憑我在信號與系統(tǒng)實驗課上所學(xué)的