測量誤差及數(shù)據(jù)處理的基本知識

1、第一章 測量誤差及數(shù)據(jù)處理的基本知識 物理實(shí)驗(yàn)離不開對物理量的測量。由于測量儀器、測量方法、測量條件、測量人員等因素的限制，測量結(jié)果不可能絕對準(zhǔn)確。所以需要對測量結(jié)果的可靠性做出評價，對其誤差范圍作出估計，并能正確地表達(dá)實(shí)驗(yàn)結(jié)果。本章主要介紹誤差和不確定度的基本概念，測量結(jié)果不確定度的計算，實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)處理和實(shí)驗(yàn)結(jié)果表達(dá)等方面的基本知識。這些知識不僅在每個實(shí)驗(yàn)中都要用到，而且是今后從事科學(xué)實(shí)驗(yàn)工作所必須了解和掌握的。1.1 測量與誤差物理實(shí)驗(yàn)不僅要定性的觀察物理現(xiàn)象，更重要的是找出有關(guān)物理量之間的定量關(guān)系。因此就需要進(jìn)行定量的測量。測量就是借助儀器用某一計量單位把待測量的大小表示出來。根據(jù)獲得測量

2、結(jié)果方法的不同，測量可分為直接測量和間接測量：由儀器或量具可以直接讀出測量值的測量稱為直接測量。如用米尺測量長度，用天平稱質(zhì)量；另一類需依據(jù)待測量和某幾個直接測量值的函數(shù)關(guān)系通過數(shù)學(xué)運(yùn)算獲得測量結(jié)果，這種測量稱為間接測量。如用伏安法測電阻，已知電阻兩端的電壓和流過電阻的電流，依據(jù)歐姆定律求出待測電阻的大小。一個物理量能否直接測量不是絕對的。隨著科學(xué)技術(shù)的發(fā)展，測量儀器的改進(jìn)，很多原來只能間接測量的量，現(xiàn)在可以直接測量了。比如車速的測量，可以直接用測速儀進(jìn)行直接測量。物理量的測量，大多數(shù)是間接測量，但直接測量是一切測量的基礎(chǔ)。 一個被測物理量，除了用數(shù)值和單位來表征它外，還有一個很重要的表征它的

3、參數(shù)，這便是對測量結(jié)果可靠性的定量估計。這個重要參數(shù)卻往往容易為人們所忽視。設(shè)想如果得到一個測量結(jié)果的可靠性幾乎為零，那么這種測量結(jié)果還有什么價值呢？因此，從表征被測量這個意義上來說，對測量結(jié)果可靠性的定量估計與其數(shù)值和單位至少具有同等的重要意義，三者是缺一不可的。絕對誤差 在一定條件下，某一物理量所具有的客觀大小稱為真值。測量的目的就是力圖得到真值。但由于受測量方法、測量儀器、測量條件以及觀測者水平等多種因素的限制，測量結(jié)果與真值之間總有一定的差異，即總存在測量誤差。設(shè)測量值為N，相應(yīng)的真值為N0，測量值與真值之差NNNN0稱為測量誤差，又稱為絕對誤差，簡稱誤差。誤差存在于一切測量之中，測量

4、與誤差形影不離，分析測量過程中產(chǎn)生的誤差，將影響降低到最低程度，并對測量結(jié)果中未能消除的誤差做出估計，是實(shí)驗(yàn)測量中不可缺少的一項(xiàng)重要工作。- 1 -相對誤差 絕對誤差與真值之比的百分?jǐn)?shù)叫做相對誤差。用表示：E=DNN0´100%由于真值無法知道，所以計算相對誤差時常用代替N0。在這種情況下，可能是公認(rèn)值，或高一級精密儀器的測量值，或測量值的平均值。相對誤差用來表示測量的相對精確度，相對誤差用百分?jǐn)?shù)表示，保留兩位有效數(shù)字。根據(jù)誤差的性質(zhì)和產(chǎn)生的原因，誤差可分為三類：系統(tǒng)誤差、隨機(jī)誤差和粗大誤差。1. 系統(tǒng)誤差 是指在同一條件（指方法、儀器、環(huán)境、人員）下多次測量同一物理量時，結(jié)果總是向

5、一個方向偏離，其數(shù)值一定或按一定規(guī)律變化。系統(tǒng)誤差的特征是具有一定的規(guī)律性。系統(tǒng)誤差的來源具有以下幾個方面：（1）儀器誤差 它是由于儀器本身的缺陷或沒有按規(guī)定條件使用儀器而造成的誤差。如螺旋測徑器的零點(diǎn)不準(zhǔn)，天平不等臂等。（2）理論誤差 它是由于測量所依據(jù)的理論公式本身的近似性，或?qū)嶒?yàn)條件不能達(dá)到理論公式所規(guī)定的要求，或測量方法不當(dāng)?shù)人鸬恼`差。如實(shí)驗(yàn)中忽略了摩擦、散熱、電表的內(nèi)阻、單擺的周期公式T=2plg的成立條件等。（3）個人誤差 它是由于觀測者本人生理或心理特點(diǎn)造成的誤差。如有人用秒表測時間時，總是使之過快。（4）環(huán)境誤差 是外界環(huán)境性質(zhì)（如光照、溫度、濕度、電磁場等）的影響而差生的

6、誤差。如環(huán)境溫度升高或降低，使測量值按一定規(guī)律變化。產(chǎn)生系統(tǒng)誤差的原因通常是可以被發(fā)現(xiàn)的，原則上可以通過修正、改進(jìn)加以排除或減小。分析、排除和修正系統(tǒng)誤差要求測量者有豐富的實(shí)踐經(jīng)驗(yàn)。這方面的知識和技能在我們以后的實(shí)驗(yàn)中會逐步地學(xué)習(xí)，并要很好地掌握。2. 隨機(jī)誤差 在相同測量條件下，多次測量同一物理量時，誤差的絕對值符號的變化，時大時小、時正時負(fù)，以不可預(yù)定方式變化著的誤差稱為隨機(jī)誤差，有時也叫偶然誤差。引起隨機(jī)誤差的原因也很多，與儀器精密度和觀察者感官靈敏度有關(guān)。如無規(guī)則的溫度變化，氣壓的起伏，電磁場的干擾，電源電壓的波動等，引起測量值的變化。這些因素不可控制又無法預(yù)測和消除。當(dāng)測量次數(shù)很多時

7、，隨機(jī)誤差就顯示出明顯的規(guī)律性。實(shí)踐和理論都已證明，隨機(jī)誤差服從一定的統(tǒng)計規(guī)律（正態(tài)分布），其特點(diǎn)表現(xiàn)為： 單峰性 絕對值小的誤差出現(xiàn)的概率比絕對值大的誤差出現(xiàn)的概率大； 對稱性 絕對值相等的正負(fù)誤差出現(xiàn)的概率相同； 有界性 絕對值很大的誤差出現(xiàn)的概率趨于零； 抵償性 誤差的算術(shù)平均值隨著測量次數(shù)的增加而趨于零。- 2 -因此，增加測量次數(shù)可以減小隨機(jī)誤差，但不能完全消除。3. 粗大誤差 由于測量者過失，如實(shí)驗(yàn)方法不合理，用錯儀器，操作不當(dāng)，讀錯數(shù)值或記錯數(shù)據(jù)等引起的誤差，是一種人為的過失誤差，不屬于測量誤差，只要測量者采用嚴(yán)肅認(rèn)真的態(tài)度，過失誤差是可以避免的。在數(shù)據(jù)處理中要把含有粗大誤差的異

8、常數(shù)據(jù)加以剔除。剔除的準(zhǔn)則一般為3準(zhǔn)則或肖維勒準(zhǔn)則。測量的精密度、準(zhǔn)確度和精確度都是評價測量結(jié)果的術(shù)語，但目前使用時其涵義并不盡一致，以下介紹較為普遍采用的說法。精密度表示的是在同樣測量條件下，對同一物理量進(jìn)行多次測量，所得結(jié)果彼此間相互接近的程度，即測量結(jié)果的重復(fù)性、測量數(shù)據(jù)的彌散程度，因而測量精密度是測量偶然誤差的反映。測量精密度高，偶然誤差小，但系統(tǒng)誤差的大小不明確。準(zhǔn)確度表示的是測量結(jié)果與真值接近的程度，因而它是系統(tǒng)誤差的反映。測量準(zhǔn)確度高，則測量數(shù)據(jù)的算術(shù)平均值偏離真值較小，測量的系統(tǒng)誤差小，但數(shù)據(jù)較分散，偶然誤差的大小不確定。精確度表示的則是對測量的偶然誤差及系統(tǒng)誤差的綜合評定。精

9、確度高，測量數(shù)據(jù)較集中在真值附近，測量的偶然誤差及系統(tǒng)誤差都比較小。對某一物理量進(jìn)行多次重復(fù)測量時，其測量結(jié)果服從一定的統(tǒng)計規(guī)律，也就是正態(tài)分布（或高斯分布）。我們用描述高斯分布的兩個參量（x和）來估計隨機(jī)誤差。設(shè)在一組測量值中，n 次測量的值分別為：x1,x2,Lxn1算術(shù)平均值根據(jù)最小二乘法原理證明，多次測量的算術(shù)平均值x=1nåni=1xi （11）是待測量真值x0的最佳估計值。稱x為近似真實(shí)值，以后我們將用x來表示多次測量的近似真實(shí)值。2標(biāo)準(zhǔn)偏差根據(jù)隨機(jī)誤差的高斯理論可以證明，在有限次測量情況下，單次測量值的標(biāo)準(zhǔn)偏差為：n2åxi-xn-1()Sx=sx= （貝塞爾

10、公式） （12）通常稱vi=xi-為偏差，或殘差。sx表示測量列的標(biāo)準(zhǔn)偏差，它表征對同一被測量在同一條件下作n次（在大學(xué)物理實(shí)驗(yàn)中，通常取5£n£10）有限測量時，其結(jié)果的分散程度。其相應(yīng)的置信概率p(sx)接近于58.3%。其意義是n次測量中任一次測量值的誤差（或偏差）落在（±sx）區(qū)間的可能性約為68.3%，也就是真值落在（x-sx,x+sx）范圍的概率為68.3%。標(biāo)準(zhǔn)偏差sx小表示測量值密集，即測量的精密度高；標(biāo)準(zhǔn)偏差sx大表示測量值分散，即測量的精密度低。- 3 -3. 算術(shù)平均值的標(biāo)準(zhǔn)偏差當(dāng)測量次數(shù)n有限，其算術(shù)平均值的標(biāo)準(zhǔn)偏差為snå(xx

11、i=1i-x)2sx=nnn-1 （13）其意義是測量平均值的隨機(jī)誤差在-sx+sx之間的概率為68.3%?；蛘哒f，待測量的真值在(x-sx)(x+sx)范圍內(nèi)的概率為68.3。因此sx反映了平均值接近真值的程度。剔除測量列中異常數(shù)據(jù)的標(biāo)準(zhǔn)有幾種，有3sx準(zhǔn)則、肖維準(zhǔn)則、格拉布斯準(zhǔn)則等。 13sx準(zhǔn)則統(tǒng)計理論表明，測量值的偏差超過3sx的概率已小于1。因此，可以認(rèn)為偏差超過3sx的測量值是其他因素或過失造成的，為異常數(shù)據(jù)，應(yīng)當(dāng)剔除。剔除的方法是將多次測量所得的一系列數(shù)據(jù)，算出各測量值的偏差Dxi 和標(biāo)準(zhǔn)偏差sx，把其中最大的Dxj與3sx比較，若Dxj3sx，則認(rèn)為第j個測量值是異常數(shù)據(jù)，舍去不計。剔除xj后，對余下的各測量值重新計算偏差和標(biāo)準(zhǔn)偏差，并繼續(xù)審查，直到各個偏差均小于3sx為止。2肖維