引入—算法——帶余除法——,,

1、第一章 多項式§1 數(shù)域 1數(shù)的發(fā)展：自然數(shù)（N）整數(shù)（Z）有理數(shù)（Q）實數(shù)（R）復(fù)數(shù)（C）. 2從發(fā)展的角度分析：N中，對加法，乘法封閉，但對減法、除法不封閉。 人類接受零和負(fù)數(shù)，Z中，對加、減、乘封閉，但對除法不封閉。 人類接受分?jǐn)?shù)，Q中，對加、減、乘、除封閉。 人類承認(rèn)無限不循環(huán)小數(shù)，R復(fù)數(shù)C。 也是數(shù)（為了極限的完備性；直觀上表現(xiàn)為任意線段都能有數(shù)表示其長） 注：數(shù)集P中任意兩個數(shù)作某一運(yùn)算的結(jié)果都仍在P中，我們就說數(shù)集P對這個運(yùn)算是封閉的。3人們可能由于環(huán)境的不同，對同一事物可能有不同的見解。在數(shù)學(xué)中，由于數(shù)的涵義不同，會有不同的結(jié)果。 如x+2=0在N中無解，但在Z中有解

2、； 2x+3=0在N、Z中無解，但在Q中有解； x2-2=0在N、Z、Q中無解，但在R中有解； x2+1=0在N、Z、Q、R中無解，但在C中有解?？梢娪捎跀?shù)集的不同，會有不同的結(jié)果。 4從數(shù)的分析中可以看到：Q、R、C對加減、乘、除運(yùn)算封閉，但N、Z對加、減、乘、除不構(gòu)成封閉。從R、Q、C所具有的代數(shù)性質(zhì)，引入一個一般的概念：定義1 設(shè)P是由一些復(fù)數(shù)組成的集合，其中包括0與1。如果P中任意兩個數(shù)的和、差、積、商（除數(shù)不為零）仍然是P中的數(shù)，那么P就稱為數(shù)域。分析：從上分析可知，Q、R、C為數(shù)域，但N、Z不是數(shù)域。例1：令，則F是一個數(shù)域。例2：任何數(shù)域都包含有理數(shù)域Q。例3：是數(shù)域。例4：不是

3、一個數(shù)域。§2 一元多項式定義2 設(shè)n是一非負(fù)整數(shù)，形式表達(dá)式（1）其中全屬于數(shù)域P，稱為系數(shù)在域P中的一元多項式，或者簡稱為數(shù)域P的一元多項式。1在多項式（1）中，稱為i次項，稱為i次項的系數(shù)。叫做零次項或常數(shù)項。我們用符號或等來代表多項式。2系數(shù)全為零的多項式稱為零多項式，記為0。3在（1）式中，若,則稱為多項式（1）的首項。稱為首項系數(shù)，n稱為多項式（1）的次數(shù)。多項式的次數(shù)記為。但零多項式是唯一不定義次數(shù)的多項式，故用符號時，總假定。4在初等代數(shù)中，x作為“未知數(shù)”是待求的（方程）。在函數(shù)中，x代表變量，但取值范圍還是確定的（如）。但在定義中，字母x僅是一個符號，它與域P中元

4、素的積與和都是形式的，是不定元。定義3 如果在多項式與中，除去系數(shù)為零的項外，同次項的系數(shù)全相等，則與稱為相等，記=。例：=，而=，則=。 =，而=，則。在中學(xué)代數(shù)中，兩個多項式可以相加、相減、相乘，域P上的一元多項式（1）可類似地引入這些運(yùn)算。設(shè)。不妨設(shè)，在中，令。則1。2，其中s次項的系數(shù)是。故。3。（利用多項式的加法運(yùn)算定義減法運(yùn)算，為將的所有系數(shù)變號后所得多項式。）4結(jié)論：數(shù)域P上的兩個多項式經(jīng)過加、減、乘等運(yùn)算后，所得結(jié)果仍然是域P上的多項式,由此引出一定義。定義4 所有系數(shù)在域P中的一元多項式的全體，稱為域P上的一元多項式環(huán)，記為Px。P稱為Px的系數(shù)域（設(shè)S是非空數(shù)集，若對于S中

5、任意兩個數(shù)a、b來說，a+b、a-b、ab都在s內(nèi)，則稱s為一個數(shù)環(huán)）。多項式的次數(shù)在多項式的討論中占有重要地位，關(guān)于次數(shù)有以下定理.定理 設(shè)、是域P上兩個多項式，且則1）若 有 。 2）。在中學(xué)數(shù)學(xué)中，或且成立，但在大學(xué)數(shù)學(xué)中以上不一定成立，即。但可能等于零，或有且便不一定有，故對于新的數(shù)學(xué)定義，其加法、乘法須經(jīng)驗證，判別其是否滿足以下6個運(yùn)算規(guī)則。多項式的運(yùn)算，滿足以下的規(guī)律：1）加法交換律： 。2）加法結(jié)合律： 。3）乘法交換律： 。4）乘法結(jié)合律： 。5）乘法對加法的分配律： 。6）乘法消元律： 若且，那么。§3 整除的概念在整數(shù)Z中，對加、減、乘封閉，構(gòu)成整環(huán)。我們在小學(xué)或

6、中學(xué)階段已學(xué)到如下知識或概念：在Z中乘法的逆運(yùn)算除法并不是普遍可做的。這就要討論，整數(shù)的整除性。引入算法帶余除法，則使且，滿足以上條件的qr是唯一確定的。如400=35×11+15、20=5×4+0等，若，說明a整除b，否則a不整除b。在Z中還有最大公因數(shù)，最小公倍數(shù)，a、b互素等概念，由于一元多項式構(gòu)成一元多項式環(huán)Px，故與整環(huán)Z有許多相似之處，如整除，最大公因式，最小公倍式，因式分解，重因式等概念。定理(帶余除法) 對于Px中任意兩個多項式與，其中，則，使成立，其中或且這樣的、是唯一確定的。證明：先證的存在性。若或，則取，即可?，F(xiàn)假定，設(shè)， ，且非0，。令，則與有相同的

7、首項，故的次數(shù)小于是次數(shù)，再對作同樣的討論可知，存在，使而的次數(shù)低于g的次數(shù)或=0。令，有得證?，F(xiàn)證唯一性。設(shè)另有多項式使，其中或者。于是，即。若又已知，則，有，即，與已知矛盾。所以： ， ，唯一性得證。注：帶余除法中所得的稱為除的商，稱為除的余式。定義5 設(shè)、，若使成立，則稱整除，稱為的倍式。 表示不能整除。定理1 ，其中0 ,|的充要條件是除的余式為零。證明：“” |,則,使，即?！啊比簦瑒t，即|。注1：定理1與定義5的差別，在定義5中沒有要求，即允許=0，但定理1中0。理由：帶余除法或除式中，可以為零，因為= 即0|0有意義，但無意義。所以與有不一樣的含義，但時，可用表示商。注2：從定義

8、5知：（1），故（反身性）。 （2），故任一多項式整除零多項式。 （3）有，故零次多項式整除任一個多項式。（以上（1）、（2）、（3）也可以作為整除性的性質(zhì)）。由定義5可直接推出關(guān)于多項式整除性的一些基本性質(zhì)。1°互伴性：若、，則，其中c為非零常數(shù)。證明：由于，則，使。 由于，則，使 于是=。若則，結(jié)論成立。若，由消去律可知：，則。則，即為常數(shù)C，即。2°傳遞性：若，則。證明：由，使。 由，使。 則，即。3°若，則。證明：，使。 ，使。故，即。4°若，。 則， 其中）為域P上的任意多項式。證明：，使，故=（，即。注：一般稱，為的一個組合。注：兩個多項式之

9、間的整除關(guān)系不會因為系數(shù)域的擴(kuò)大而改變，因為從帶余除法可知，去除，所謂商與余式，僅與、的系數(shù)有關(guān)。（僅為符號）即商與余式的系數(shù)由、的系數(shù)經(jīng)+、-、運(yùn)算而得，又因系數(shù)對+、-、運(yùn)算構(gòu)成封閉，故系數(shù)域的擴(kuò)大并不能改變商與余式的系數(shù)，即不能改變、間的整除關(guān)系。§4 最大公因式定義6設(shè),1）若滿足且,則稱為與的公因式。2）若是和的公因式，且、的公因式全是的因式，則稱為和的最大公因式。分析：（1）是與0的最大公因式。 （2）兩個零多項式的最大公因式為零。 （3）若分別是與的最大公因式，由def6可知，應(yīng)有與，則常數(shù)0使。說明兩個多項式的最大公因式在可以相差一個非零常數(shù)倍的意義下是唯一確定的。兩

10、個不全為零的多項式的最大公因式總是一個非零多項式，在這個情形下，約定用來表示首項系數(shù)是1的那個最大公因式。引理：若，則。分析：引理提供了求最大公因式的方法，即用帶余除法，求得余元，求用來取代。由于，這樣降低了次數(shù)，然后用除，得余元，用取代如此反復(fù)進(jìn)行下去： 由于的次數(shù)逐一遞降，可知輾轉(zhuǎn)相除步驟在有限步之內(nèi)必然結(jié)束，即使余元，則易知有：，其中C為常數(shù)。為首項系數(shù)為1的多項式。這種求最大公因式的方法稱為輾轉(zhuǎn)相除法。定理2 對于Px中任意兩個多項式，在Px中存在一個最大公因式，且可表成的一個組合，即有Px中多項式使。證明: 1）若，則且有。 2）若中有一個為零，不妨設(shè)，則且。 3）若 f ( x)

11、，g ( x) 都不等于零。按帶余除法，用g ( x )除f ( x )，得到商q 1 ( x ),余式r 1( x )。若r 1 (x ) 0 ，則再用r 1 ( x ) 除g ( x ) 得到商q 2 ( x ) ，余式r 2 ( x ) 。若r 2 ( x ) 0 ，則再用 r 2( x ) 除r 1 ( x) 得到商q 3 ( x )，余式r 3 ( x )。如此輾轉(zhuǎn)相除下去，顯然有( g (x ) ) > ( r 1( x ) )> ( r 2 (x ) )>故在有限次之后，必然有余式為零，于是有如下一串等式：f ( x ) = q 1 ( x ) g (x ) +

12、 r 1 (x ) g ( x ) = q 2 ( x ) r 1 (x ) + r 2 ( x )r i 2 ( x ) =q i ( x ) r i 1 ( x ) +r i ( x )r s 2 ( x ) =q s ( x ) r s - 1 ( x ) + rs ( x ) r s 1 ( x ) = q s +1 ( x) r s (x ) + 0 由引理可知，r s (x )即為 f (x )，g ( x) 的最大公因式，同時將上面的等式從下往上推,有如下關(guān)系：r s( x ) = r s - 2( x ) q s ( x) r s 1 (x )r s 1 ( x ) = r s

13、 3 (x ) q s- 1 ( x ) r s - 2( x ) 代入上式，消去r s - 1( x )，得：r s ( x ) = ( 1 +q s ( x ) q s - 1( x ) ) r s 2 (x ) q s( x ) r s 3 ( x )然后據(jù)同樣方法用上面的等式逐個地消去r s 2 ( x )， r s 3 ( x ) , r 1( x )再并項就得到：r s (x ) = u ( x ) f ( x )+ v ( x ) g( x ) .例1：設(shè)f ( x ) = x 4 +3 x 3 x 2 4 x- 3f ( x ) =3 x 3 +1 0 x 2 + 2 x -

14、3求：( f ( x ) , g ( x) )，并求 u ( x) , v ( x ) 使 ( f ( x ) , g ( x )= u ( x ) f ( x ) + v (x ) g ( x ) 例2：設(shè)f ( x ) =x 4 + x2 -2, g ( x ) = x 3 + x 2 - 2 x-2 ,求(f(x), g(x)，并求u(x),v(x) 使(f,g) = u f + v g.。 x / 4 + 1/ 4= q 2 ( x ) x 3 + x 2 2 x - 2x 3 - x x 2 - x 2x 2 - 2r 2 ( x) = - x 1X 4 + o x 3 + x 2

15、+o x - 2X 4 + x 3 2 x 2 2 x - x 3 + 3 x 2 +2 x 2 - x 3 x 2 + 2 x + 2 r 1 ( x ) = 4 x 2 + 0 - 44 x 2 + 4 x - 4 x 4 - 4 x - 40X 1 = q 1 (x ) - 4 x + 4= q 3 (x ) 即f ( x ) = g ( x ) ( x 1 ) + r 1 ( x ) g ( x ) = r 1 ( x )( 1 / 4 x + 1 / 4 ) + r 2 ( x ) r 1 ( x ) = r 2 ( x ) ( - 4 x + 4 )于是( f ( x ) , g

16、( x ) ) = - r 2 ( x ) = x + 1 且( f ( x ) , g ( x ) ) = x + 1 = - r 2 ( x ) = ( 1 / 4 x + 1 / 4 ) r 1 ( x ) g ( x ) = f ( x ) g ( x ) ( x 1 ) ( x / 4 + 1 / 4 ) g ( x ) = ( x / 4 + 1 / 4 ) f ( x ) - ( x 2 / 4 + 3 / 4 ) g ( x ).dbf7 p ( x )中兩個多項式f ( x ) , g ( x )稱為互素的，如果( f ( x ) ,g ( x ) ) = 1。由定理2可得如

17、下定理3：定理3 f(x),g(x)p(x)互素，當(dāng)且僅當(dāng)存在u ( x ) , v ( x ) p ( x ) , U ( x ) f ( x ) t v ( x ) g ( x ) = 1。證明：（ f ( x ) , g ( x ) ）= 1 , 由 T H 2 , u (x ) , v ( x ) p ( x )使 u( x ) f ( x ) + r ( x ) g ( x ) = 1。由于u ( x ) f ( x ) + v ( x ) g ( x ) = 1，于是( f ( x ) , g ( x ) )1 ，則f ( x ) , g ( x )互素。注1：定理2中d ( x

18、)是f ( x ) , g ( x )的最大公因式，則u ( x ),v ( x ) p ( x ) .u ( x ) f ( x ) + v ( x ) g ( x ) = d ( x )成立.但d ( x ) = u ( x ) f ( x ) + v ( x ) g ( x ) 成立，不能說明(僅說明f ( x ) ,g ( x )的公因式，整除d ( x ),但無法說明d ( x ) 是f ( x ) ,g ( x ) 的一個公因式)d ( x ) 是f ( x ) ，g(x)的公因式，但若d ( x ) 是f ( x ) 的一個公因式，則d ( x ) 必為f ( x ) ,g (

19、x ) 的最大公因式。如：f ( x ) = x 2 + 1 , g ( x ) = x 2 - 1 , 1 · f ( x ) + 1 · g ( x ) = 2 x 2則2 x 2顯然不是f ( x ) 與g ( x )的最大公因式。注2：定理3中 ，f ( x ) , g ( x ) 互素，則存在u ( x ) ,v ( x )使u ( x ) f ( x ) +v ( x ) g ( x ) = 1成立，同時，若u ( x ) f ( x ) + v (x )g ( x ) = 1 成立，則必有 ( f ( x ) ,g ( x ) ) = 1 ， ( f ( x

20、) , v ( x ) )= 1， ( u ( x ) , v ( x ) ) = 1 ， ( u ( x ) , g ( x ) ) = 1 。定理4 若( f ( x ) , g ( x ) ) = 1 ,且f ( x ) g ( x ) h(x),則f ( x ) h ( x ) . 證明：由(f ( x ) ,g ( x ) = 1 可知有u ( x ) .v ( x )使 u( x ) f ( x ) + v ( x ) g ( x ) = 1 ，等式兩邊乘h ( x ) .得u ( x ) f ( x ) h ( x ) +v ( x ) g ( x ) h ( x ) = h (

21、 x )。因為f ( x ) g ( x ) h ( x ) ，所以f ( x ) 整除等式右端，即f ( x ) h ( x ) 。推論：若f 1 ( x ) g ( x )，f 2 ( x ) g ( x ) ,且( f 1 ( x ) ,f 2 ( x ) )= 1 ，則f 1 ( x ) f 2 ( x ) g ( x )。 證明：f 1 ( x ) g ( x ) 有g(shù) ( x ) =f 1 ( x ) h 1 ( x ) ，又f 2 ( x ) f 1 ( x )h1( x ) 且( f 1 ( x ) ,f 2 ( x ) ) = 1 。由TH4 有f 2 ( x ) h 1 (

22、 x ) ,即h 1 ( x ) = f 2 ( x ) h 2 ( x ) ，代入上式，即得g ( x ) = f 1 ( x ) f 2 ( x ) h 2 ( x ) ，所以f 1 ( x ) f 2 ( x ) g ( x ) 。定理 若( f ( x ) ,g ( x ) ) = 1 ,( f ( x ) ,h ( x ) = 1 ，則( f ( x ) ,g ( x ) h ( x ) = 1 。證明：1° u f + v g = 1 . s f + t h = 1 ,相乘得( u f s + u e h + v s g ) f + v t g h = 1 ,所以( f

23、( x ) ,g ( x ) h ( x ) = 1 .2° 由( f ( x ) ,g ( x ) ) = 1 ,則u ( x ) ,v ( x ) p x 使u ( x ) f ( x ) + v ( x ) g ( x ) = 1 。以h ( x ) 乘這一等式的兩端，則f ( x ) 與g ( x ) h ( x ) 的每一公因式均為h ( x ) 的一個因式，故亦是f ( x ) 與h ( x ) 的一個公因式。但( f ( x ),h ( x ) ) = 1 所以( f ( x ) ,g ( x ) h ( x ) ) = 1 。最大公因式與互素的概念可以推廣到有限個多項

24、式。 定義7：d ( x ) 稱為f 1 ( x ) ， f 2 ( x ) ，f s ( x ) ( s 2 ) 的一個最大公因式，若d ( x)具有下面的性質(zhì)：1> d ( x ) f i ( x ) , i = 1 ,2,s .2> 若h ( x ) f i ( x ) ,i = 1 , 2 ,s. .那么h( x ) d ( x ) .若d ( x ) 是首項系數(shù)為1的最大公因式，記為d ( x ) = ( f 1 ( x ) ,f 2 ( x ) ,f s ( x ) ) ,若( f 1 ( x ) ,f 2 ( x ), ,f s ( x ) ) = 1 則稱f 1 (

25、 x ) ,f 2 ( x ) ,f s ( x ) 互素。注1：若f 1 ( x ) ,f 2 ( x ) ,f s ( x ) 互素時，它們并不一定兩兩互素，如：f1 ( x ) = x 2 1 .f 2 ( x ) = x + 1 .f 3 ( x ) = x ,則( f 1 ,f 2 ,f 3 ) = 1 ，但( f 1 ,f 2 ) = x + 1 注2：定理2、定理3均可推廣到多個多項式的情形，定理：設(shè)f 1 ( x ) ,，f n ( x ) p x ，則d ( x ) = ( f 1 ( x ) ,f 2 ( x ) ,，f n ( x )存在且唯一，并且存在u1( x ) ,

26、u n ( x ) 使得u 1 f 1 + u 2 f 2 +u n f n = d ( x ).證明：先證存在性：對f 1 ,f 2 ,f n 的多項式個數(shù)作數(shù)學(xué)歸納法。若( f 1 ,f n 1 ) 存在,令d ( x ) = ( ( f 1 , f n - 1 ) ,f n ),則d ( f 1 , ， f n 1 ) ,故d f i ( i= 1 ,2 n ) ，即d 是f 1 ，f 2 ，,fn 的一個公因式.若hf i ( 1 in _) ,則h ( f 1, ,f n 1 ) ,故h d,所以d = ( f 1 , f n ) 存在性得證.唯一性可由兩個具最大公因式必相互整除得到

27、，即d 1 ,d 2 為最大公因式，有d 1 d 2 ,d 2 d 1 。又首項系數(shù)為1 ，故d 1 = d 2 唯一性得證。設(shè)( f 1 ,f 2 ) = u 1 f 1 + u 2 f 2 ，又( ( f 1 ,f 2 ) ,f 3 ) = w 1 ( f 1 , f 2 ) + w 2 f 3 =w 1 u 1 f 1 +w 1 u 2 f 2 + w 2 f 3， 如此續(xù)行即知：( f 1 ,f n ) = u 1 f 1 +u n f n 。作業(yè)：5 -14，補(bǔ)充題：1 ，5§5.因式分解定理定義8 域P上次數(shù)1的多項式P（X）稱為域P 上的不可約多項式，如果它不能表成域P

28、上的兩個次數(shù)比P（X）低的多項式乘積。注1：一次多項式是不可約多項式，因為它不能分解成兩個次數(shù)低于1 的多項式的乘積.因為次數(shù)低于1 的多項式只能是零次多項式，而兩個零次多項式的乘積，仍然是零次多項式。注2：多項式P （X）是否可約，只有在給定數(shù)域后，才能討論是否可約，否則無意義。如：x 2 2 在有理數(shù)域上不可約，但在實域上可約，又如，x 2 + 2在實域上不可約，但在復(fù)數(shù)域上可約，由此可見，把多項式分解為不可約多項式的乘積，即因式分解，須明確數(shù)域后，才能討論因式分解。如f( x ) = x 4-4 在Q上: f ( x ) = ( x 2 - 2 ) ( x 2 + 2 ) 在R上: f

29、( x ) = ( x - 21/2)( x + 21/2)( x 2 + 2 )在C上: f ( x ) = ( x - 21/2)( x + 21/2) ( x- 21/2i)( x + 21/2i)注3 ：不可約多項式P（）的因式只有非零常數(shù)與它自身的非零常數(shù)倍，（如同整數(shù)的素數(shù)）。注4：對于零多項式或零次多項式不能說可約，亦不能說不可約（由定義直接可知），（如同整數(shù)的1與2既不是合數(shù)，又不是素數(shù)）。 定理5 設(shè)p ( x ) p x 是不可約多項式，f ( x ) ,g ( x ) p x 是任意多項式。1>( p( x ) ,f ( x ) = 1 或p ( x ) f ( x

30、 ) 。2>若p ( x ) f ( x ) g ( x ) ,則p ( x ) f ( x ) 或p ( x ) g ( x )。 證明：1>( p ( x ) ,f ( x ) ) p ( x ) ,由于p ( x ) 不可約多項式，則( p ( x ) ,f ( x ) ) = 1或( p ( x ) ,f ( x ) = cp ( x ) （理由見上注3），所以( p ( x ) ,f ( x ) )=1或p ( x ) f ( x) 2>若p ( x ) f ( x ) ,則結(jié)論成立，若p ( x ) f ( x ) 則( p ( x ) ,f ( x ) ) =

31、1 ，由定理4, p ( x )g ( x ) 。定理：因式分解及唯一性定理：數(shù)域P上每一個次數(shù)1的多項式f ( x ) 都可唯一地分解成數(shù)域P上一些不可約多項式的乘積，所謂唯一性即說，若有兩個分解式f ( x ) = p1 ( x ) p 2 ( x ) ps ( x ) =q 1 ( x ) q 2 ( x ) q t ( x ),那么必有s = t ,且適當(dāng)排列因式的次序后有p i ( x ) = c i q i ( x ) , i = 1 ,2,s,其中c i (i = 1 , 2 , s )是一些非零常數(shù)。證明：先證分解的存在性，對f ( x ) 的次數(shù)作數(shù)學(xué)歸納法，由于一次多項式都

32、是不可約的，所以n = 1 時，結(jié)論成立，設(shè)( f ( x ) ) = n ，并設(shè)結(jié)論對于次數(shù)低于n的多項式已經(jīng)成立。若f ( x ) 不可約，則取f ( x ) = p 1 ( x ) 即可。若f ( x ) 可約，即有f ( x ) = f 1 ( x ) f 2 ( x ) ，其中f 1 ( x ),f 2( x ) 的次數(shù)都低于n。由歸納法可設(shè)f 1 ( x ) ,f 2 ( x ) 都分解成數(shù)域P上一些不可約多項式的乘積，即f 1 =p 1 p s ,f 2 = q 1 q t ，則f = f 1 f 2 = p 1 p s q 1 q t，即為f的分解式。再證唯一性：設(shè)f ( x

33、) 可有兩種不可約因式分解，f = p 1 p 2 p s = q 1 q 2 q t 對因式的個數(shù)S作數(shù)學(xué)歸納法。當(dāng)s = 1 ,f ( x ) 是不可約多項式，結(jié)論顯然成立，設(shè)不可約因式的個數(shù)為s 1時，唯一性已證。由p 1 p 2 p s = q 1 q 2 q t 可知，p 1 q 1 q 2 q t ，因此，p 1 能整除q 1 ,q 2 ，q t 中一個，不防設(shè)p 1 q 1 .由于q 1 是不可約多項式，故有p 1 ( x )= c 1 q 1 ( x ) .上式兩端消去q 1 ( x ) .有p 2ps =c1-1 q 2 qt.由歸納法假定，有s 1 =t-1,即s = t

34、，且適當(dāng)排列次序之后，有pi (x)=c iq i ( x),所以分解唯一。注1：因式分解定理雖然在理論上有其基本重要性，但在實踐中不可行。因為其沒有給出求因式分解的具體方法。注2：標(biāo)準(zhǔn)分解式：在多項式的分解式中，可將每一個不可約因式的首項系數(shù)提出來，使其成為首項系數(shù)為1的多項式，再將相同的不可約因式合并，于是f ( x ) 分解式成為f ( x ) = c p 1 r 1 ( x ) p s r s ( x ) ，其中C為f ( x ) 的首項系數(shù)，p 1( x)， ，p s ( x ) 是不同的首項系數(shù)為1的不可約多項式，r 1 ， ，r s是正整數(shù)，這種分解式稱為標(biāo)準(zhǔn)分解式。注3：f (

35、 x ) ,g ( x ) 的標(biāo)準(zhǔn)分解式為：f ( x ) = a P1k1prkrqr+1kr+1qsksg ( x ) =bp1lrprlrqr+1w+1qtlt其中qi與qi 不同.(I=r+1s,I = r +1, ,t ) 令mi=min(ki,li),( I = 1, 2 r ),則( f ( x ) ,g ( x ) )=p 1 m1p 2 m 2 pr m r 令ni = max ( k I ,l I ) ( I = 1 , 2 r ) ,則f ( x ) ,g ( x ) =p 1 n 1 p r n r q r+1kr+1q s k s q r+1lr+1q t l t 作

36、業(yè)：補(bǔ)充題：6、7、8§6. 重 因 式定義9 不可約多項式p ( x ) 稱為多項式f ( x ) 的k重因式，如果p k ( x )f ( x ) ,而p k+1( x)不整除f ( x ) 。若k = 1 稱p ( x ) 為f ( x ) 單因式，若k > 1稱p ( x ) 為f ( x ) 的重因式。分析：若知道f ( x ) 的標(biāo)準(zhǔn)分解式：f ( x ) =cp1r1( x ) p 2 r 2 ( x ) p s r s ( x ) .則易知f ( x ) 的所有重因式及單因式，但問題是：沒有一般的求f ( x ) 的標(biāo)準(zhǔn)分解式的方法，故引入一種新的方法判別f (

37、 x ) 有沒有重因式微商。定義 多項式f ( x ) = a n x n + an-1x n 1 +a 1x +a 0 的微商，定義為f (x ) = n a n x n -1+( n 1 ) a n 1 x n 2 + +a1 f ( x ) 稱為f ( x )的一階微商，f ( x ) 的k 階微商定義為f ( k )( x ) =( f ( k 1 ) ( x )。由定義可直接驗證關(guān)于多項式的微商公式：1°( f + g ) = f +g 2° ( c f )= c f 3° ( f g ) =f g + f g 4° (f m ( x ) )=

38、m f m 1 ( x ) f ( x ) 定理6 若不可約多項式p ( x ) 是f ( x ) 的K重因式( k 1 ) 那么它是微商f ( x )的k 1 重因式。推論1 若不可約多項式p ( x ) 是f ( x ) 的k 重因式，( k1), 則p ( x ) 是f ( x ) ,f ( x)，f ( k 1 ) (x)的因式，但不是f (k)( x) 的因式。證明：由TH6可知，p ( x ) 分別是f ( x ) ,f ( x )， ，f ( k 1 ) (x)的k ,k 1 , ,1重因式，但不是f ( k ) 的因式.注：定理6及其推論，若p ( x ) 是f ( x ) 的

39、k 1 重因式，但p ( x ) 不一定是f ( x)的K重因式，且亦不一定是f ( x ) 的因式。若p ( x ) 是f ( x ) 的因式，則一定是k重因式，（否則與TH6矛盾）。推論2 不可約多項式p ( x ) 是f ( x ) 的重因式的充要條件是，p ( x ) 為f ( x ) 和f ( x ) 的公因式。推論3 多項式f ( x ) 沒有重因式的充要條件是f ( x ) 與f ( x ) 互素。分析：由( f(x) ,f (x) 決定f (x) 是否有重因式，( f( x ) ,f (x )= 1無重因式，否則有重因式，可用輾轉(zhuǎn)相除法去求( f ( x ) ,f ( x )

40、)。分析： 設(shè)f ( x ) 具有標(biāo)準(zhǔn)分解式，即f ( x ) =cp1r1( x ) p 2 r2( x ) p s rs( x ) 則( f ( x ) ,f ( x ) )=p1r1-1( x ) p2r2-1( x ) ps rs-1( x ) 于是f ( x ) /(f ( x ) ,f ( x ) ) =cp1( x ) p2( x ) ps( x ) 是與f ( x ) 有相同的不可約因式而無任何重因式，故是一個去掉因式重數(shù)的有效辦法。作業(yè)：p45/17§7多項式函數(shù) 到現(xiàn)在為止，我們始終是純形式地討論多項式，即把多項式看作形式表達(dá)式。在這一節(jié)里，我們將從函數(shù)的觀點來考

41、察多項式。對于多項式，是不定元，是一個符號?，F(xiàn)將不定元換為域上取值的變量x，則就是域P上的函數(shù)，即是P到P的映射。稱為多項式函數(shù)。在時所得的數(shù)稱為在時的值，記為。定義 若在時函數(shù)值=0，則稱為的一個根或零點。分析：由帶余除法知道，對于和，唯一的和使，于是。于是就得到以下的余數(shù)定理：定理7 （余數(shù)定理）除以的余式為。推論：是的根的充要條件是。分析：由推論可定義重根的概念，若是的k重因式，稱為的k重根，k=1為單根， k>1為重根。分析：以上討論可知，欲求當(dāng)時的值，只需用帶余除法求出用除所得余式?，F(xiàn)介紹一個更簡便的方法綜合除法。設(shè)，并且設(shè) （1）其中。比較（1）式兩端同次項的系數(shù)，可得到：

42、這樣，欲求系數(shù)，只要把前一系數(shù)乘以再加上對應(yīng)系數(shù)，故可照下表所指出的算法就可以很快地陸續(xù)求出商式的系數(shù)和余式。+例: 求，其中。綜合除法：-311014-9-39-30781-310-2669所以商式，余式。定理8 中次多項式（）在域P中的根不可能多于n個，重根按重數(shù)計算。證明：設(shè)在中的不可約因式分解為：。由定理7的推論是可知，在P中根的個數(shù)即為（）是一次因式的個數(shù)，此個數(shù)。所以根的個數(shù)不可能多于n個。分析：每個多項式函數(shù)都可以由一個多項式來定義；那么不同的多項式是否會定義出相同的函數(shù)呢？即若，而對于P中所有的數(shù)都有？由定理8給出了否定回答。（若，則有無窮多個根與Th8矛盾。）而定理9從函數(shù)相

43、同多項式必相同。定理9 若次數(shù)不大于n的兩個多項式、，而它們有個不同的數(shù)有相同的值，即，則。證明：令。若，即，則是一個次數(shù)不超過n的多項式，且在P中有個或更多的根，這與Th8矛盾，所以=0，即。分析：定理8、定理9說明了多項式與多項式函數(shù)是完全一致的（條件是域P有無窮多個數(shù)）。注：在域P是有無窮多個數(shù)時定理9正確。在P是有限域時，即，定理9不正確，總有許多不同的多項式形式?jīng)Q定的函數(shù)是相同的，如與0是不同的多項式；但是相同的函數(shù)。定理9的應(yīng)用：Lagrange插值公式：設(shè)次數(shù)小于n且在n個互異點的值為，則。（見P48-49/12、13）作業(yè)：16、18、19、20、21、22、23、24、25、26補(bǔ)充題