河谷文明與早期數(shù)學

1、xxxx與早期數(shù)學的成就尼羅河下游的古埃及、兩河流域的古巴比倫、恒河與印度河畔的古代印度以及黃河與長江流域的古代中國并稱“四大文明古國”，創(chuàng)造了燦爛輝煌的“河谷文明”，早期的數(shù)學就誕生在這個地方。1 .xx數(shù)學古埃及是“世界四大文明”之首，埃及文明以金字塔、古文字和紙草書為實物佐證，從公元前3500年左右到公元前332年前后綿延三千年。1.1. xx公元前2500年左右，埃及就已經(jīng)建造了至今蔚為奇觀的金字塔。相傳埃及金字塔是古埃及法老的陵墓，陵墓基座為正方形，四面則是四個相等的三角形，側(cè)影類似漢字的“金”字，故漢語稱為金字塔。據(jù)對最大的胡夫金字塔的測算，發(fā)現(xiàn)它基地是正方形，各邊誤差不到一度。這

2、般準確的方位不是偶然定出來的，其中離不開埃及數(shù)學的應用。埃及金字塔是古代世界八大奇跡之一，也是至今最大的建筑群之一。因此，金字塔是埃及文化的象征，也是埃及數(shù)學知識的象征。1.2. xx埃及古文字共三種，分別是象形文字、僧侶文與通俗文。據(jù)史料記載，埃及象形文字產(chǎn)生于公元前3500年左右，約公元前2500年被簡化為一種更易書寫的“僧侶文”，后又發(fā)展成所謂“通俗文”。長期以來，這些神秘的文字始終是不解之謎?，F(xiàn)存莫斯科美術博物館和英國博物館的兩份用僧侶文寫成的紙草書是我們考察古埃及數(shù)學的兩份重要文物。1.3. 紙草書古埃及人在一種用紙莎草壓制成的草片上書寫，這些紙草書有的幸存至今。我們關于古埃及數(shù)學的

3、知識，主要就是依據(jù)了兩部紙草書萊茵特紙草書和莫斯科紙草書。萊茵特紙草書最初發(fā)現(xiàn)于埃及底比斯古都廢墟，1858年為蘇格蘭收藏家萊茵特發(fā)現(xiàn)，因名。該紙草書現(xiàn)存?zhèn)惗卮笥⒉┪镳^。莫斯科紙草書又叫格列尼切夫紙草書，1893年由俄國貴族格列尼切夫在埃及購得，現(xiàn)藏莫斯科普希金精細藝術博物館。據(jù)研究，這部紙草書是出自第十二王朝一位佚名作者的手筆，也是用僧侶文寫成。這兩部紙草書中講述了埃及的乘法和除法、單位分數(shù)的用法、試位法、求圓面積和一些數(shù)學應用方面的問題，是兩部實用的數(shù)學問題集。萊茵德紙草書分由85個問題組成；莫斯科紙草書包含了25個問題。這兩部紙草書無疑是古埃及最重要的傳世數(shù)學文獻。1.4. xx數(shù)學成果

4、古埃及在算術與幾何方面都取得了一定的成功。1.4.1 算術方面記數(shù)符號、單位分數(shù)、倍乘法、十進非位制都是古埃及數(shù)學在算術方面的重要成果。古埃及的記數(shù)符號采用象形文字，用十進計數(shù)法，但不是位置值。埃及象形文字用一種特殊的記號來表示單位分數(shù)（即分子為一的分數(shù)）：在整數(shù)上方畫一個長橢圓。埃及人將所有的真分數(shù)都表示成一些單位分數(shù)的和。單位分數(shù)的廣泛使用成為埃及數(shù)學一個重要而有趣的特色。埃及人最基本的算術運算是加法，乘法運算是通過逐次加倍的程序來實現(xiàn)的。埃及人很早就認識到除法是乘法的逆運算，在除法運算中，加倍程序被倒過來執(zhí)行，除數(shù)取代了被除數(shù)的地位而被拿來逐次加倍。他們對分數(shù)的記法和計算都比現(xiàn)在復雜的多

5、，這也妨礙了埃及數(shù)學的進一步發(fā)展。1.4.2 .幾何方面相對于算術，古埃及的幾何具有更高的成就。埃及人創(chuàng)建的幾何以實用為特征，以求面積和體積為具體內(nèi)容，這包括有計算矩形、三角形和梯形的方法。2 .xx數(shù)學美索不達米亞平原在亞洲西部，位于底格里斯河與幼發(fā)拉底河之間，即現(xiàn)今伊拉克一帶。公元前十九世紀，這里建立了巴比倫王國，孕育了巴比倫文明。2.1. 產(chǎn)生原因公元前18世紀，巴比倫王國國王漢莫拉比統(tǒng)一兩河流域，建立起中央集權的奴隸制國家。一般稱公元前19世紀到前6世紀該地區(qū)文化為巴比倫文化，相應的數(shù)學為巴比倫數(shù)學，也稱美索不達米亞數(shù)學。xx數(shù)學產(chǎn)生的原因有兩個：第一個是社會因素，巴比倫王朝的統(tǒng)治者非

6、常關心灌溉系統(tǒng)的發(fā)展，并向鄰國輸出農(nóng)產(chǎn)品，同時也帶來了高利貸的發(fā)展；另一個因素是建立了貨幣制度，這使巴比倫成為西亞貿(mào)易的中心。農(nóng)業(yè)和商業(yè)的發(fā)展，都促使了巴比倫數(shù)學知識的大量積累。2.2.楔形文字早在公元前3000年，蘇美爾人就發(fā)明了楔形文字，現(xiàn)能找到的文字是由削尖的蘆葦斜刻劃在小泥板上的，當泥板松軟時刻上去，再烘干或曬干，成為堅硬如石的泥板書，形狀像楔子，所以叫楔形文字?？脊艑W家在十九世紀上半葉于美索不達米亞挖掘出大約50萬塊刻有楔形文字、跨躍巴比倫歷史許多時期的泥書板。其中有約300塊石純數(shù)學內(nèi)容的，這些你板書記載兩類數(shù)學：一是“表格課本”，它是古代的“應用數(shù)學”，如數(shù)字乘法表、倒數(shù)表、平方

7、根表和立方根表等；二是“問題課本”，亦即“理論數(shù)學”，今稱數(shù)學題目?，F(xiàn)在關于巴比倫的數(shù)學知識就源于分析這些原始文獻。對這些泥板文書的研究揭示了一個遠比古埃及人先進的美索不達米亞早期數(shù)學文化。2.3. xx數(shù)學主要成果古巴比倫在算術、代數(shù)、幾何方面都取得一定的成果。具體來說，巴比倫數(shù)學的主要成就有60進位制記數(shù)法、數(shù)學用表、面積與體積計算、聯(lián)立方程組、勾股數(shù)（已知勾股定理）。2.3.1 算術方面古巴比倫人是具有高度計算技巧的計算家，其計算程序是借助乘法表、倒數(shù)表、平方表、立方表等數(shù)表來實現(xiàn)的。巴比倫人書寫數(shù)字的方法，更值得我們注意。其記數(shù)體系，采用60與10的混合進位制，具有位值制的觀念。這種記

8、數(shù)制對小于60的整數(shù)采用簡單十進累記法。對于大于60的數(shù)，以60為基數(shù)，采用六十進制的位制記法。同一個記號，根據(jù)它在數(shù)字表示中的相對位置而賦予不同的值位置的區(qū)分是靠在不同楔形記號組之間留空，這種位值原理是美索不達米亞數(shù)學的一項突出成就。這一計數(shù)方法現(xiàn)在反映在人們對事件和角度的表示上。不過這種位值制是不徹底的，因為其中沒有零號。這樣，美索不達米亞人表示122和7202的形式是相同的，人們只能根據(jù)上、下文來消除二義性。2.3.2 .代數(shù)方面在代數(shù)方面，巴比倫人的代數(shù)知識比埃及人高超得多。他們懂得用文字表示長、寬、面積等未知量。并且，許多泥書板中載有一次和二次方程的問題，他們解二次方程的過程與今天的

9、配方法、公式法一致。此外，他們還討論了某些三次方程和含多個未知量的線性方程組問題。2.3.3 幾何方面巴比倫的幾何屬于實用性質(zhì)的幾何，多采用代數(shù)方程求解。他們知道三角形和梯形面積、棱柱和圓柱體積的求法，甚至還知道相似三角形的對應邊成比例，也知道某些勾、股、弦的關系。我們現(xiàn)在把圓周分為360等分，也應歸功于古代巴比倫人。古巴比倫的數(shù)學成就在早期文明中達到了極高的水平，但積累的知識僅僅是觀察和經(jīng)驗的結果，還缺乏理論上的依據(jù)。3 .xx數(shù)學中華文化是一個悠遠的古老文明，主要以黃河、長江流域作為華夏民族遠古文明的代表。中國數(shù)學在人類文化發(fā)展的初期，處于領先地位。3.1. 算術方面中國早在五六千年前，就

10、有了數(shù)字符號。到三千年前的商朝，甲骨文的使用已經(jīng)非常普遍。甲骨文作為殷商時期的文化特征，它是中華文明中最古老的有記錄的文字。殷墟出土的甲骨文卜辭中有很多記數(shù)的文字。從一到十，及百、千、萬是專用的記數(shù)文字，共有13個獨立符號，記數(shù)用合文書寫，其中有十進制制的記數(shù)法，出現(xiàn)最大的數(shù)字為三萬，還有奇數(shù)、偶數(shù)、倍數(shù)等概念。總的來說，古中國的數(shù)字系統(tǒng)比同一時代的古巴比倫和古埃及更為先進、更為科學。算籌是中國古代的計算工具，而這種計算方法稱為籌算。算籌的產(chǎn)生年代已不可考，但可以肯定的是籌算在春秋時代已很普遍。用算籌記數(shù)，有縱、橫兩種方式。它是一種十進位值記數(shù)法，籌算加減法時，按照從高位算起的原則進行計算。公

11、元13世紀，我國數(shù)學家開始用筆在紙上進行籌算。籌算直到十五世紀元朝末年才逐漸為珠算所取代，中國古代數(shù)學就是在籌算的基礎上取得其輝煌成就的。3.2. 幾何與其它方面在幾何學方面史記夏本記中說夏禹治水時已使用了規(guī)、矩、準、繩等作圖和測量工具，并早已發(fā)現(xiàn)“勾三股四弦五”這個勾股定理的特例。戰(zhàn)國時期的百家爭鳴也促進了數(shù)學的發(fā)展，一些學派還總結和概括出與數(shù)學有關的許多抽象概念。著名的有墨經(jīng)中關于某些幾何名詞的定義和命題，例如，“圓，一中同長也”等。墨家還給出有窮和無窮的定義。莊子記載了惠施等人的名家學說和桓團、公孫龍等辯者提出的論題，強調(diào)抽象的數(shù)學思想，例如“至大無外謂之大一，至小無內(nèi)謂之小一”、“一尺之棰，日取其半，萬世不竭”等。最奇妙的一件事，莫過于法國數(shù)學家萊布尼茲所認為，中國是現(xiàn)代計算機理論中“二進制”的故鄉(xiāng)。萊布尼茲對中國古籍易經(jīng)有很深入的研究，他認為易經(jīng)中的八卦圖形，所記錄的內(nèi)容就是“二進制”的思想。按照他的說法，易經(jīng)中的太極生兩儀，兩儀生四象，四象生八卦無疑就是二進