分?jǐn)?shù)的拆分問(wèn)題【講義]

1、分?jǐn)?shù)的基本性質(zhì)例1、分?jǐn)?shù)的分子加上9，要使分?jǐn)?shù)值不變，分母要擴(kuò)大多少倍？ 分析： =，分子增加3倍，說(shuō)明分子擴(kuò)大了4倍，分母也要增加3倍或擴(kuò)大4倍。拓展：分?jǐn)?shù)的分子加上8，要使分?jǐn)?shù)值不變，分母要擴(kuò)大多少倍？ 例2、分?jǐn)?shù)的分子和分母都加上一個(gè)數(shù)，得到的新分?jǐn)?shù)化簡(jiǎn)以后是，求分子和分母都加上的這個(gè)數(shù)是幾？ 分析：方法一 試一試：將的分子、分母同時(shí)擴(kuò)大相同的倍數(shù) =用這些分?jǐn)?shù)的分子、分母與的分子、分母相減，結(jié)果相同的就是。 方法二 先觀察下面的幾組等式： 交叉相乘可以發(fā)現(xiàn)3×4=2×6 5×9=3×15 4×12=3×16，因此我們得出這樣一

2、個(gè)結(jié)論，當(dāng)時(shí)，a×c=b×d。 解：設(shè)分子和分母都加上的這個(gè)數(shù)為x，根據(jù)題意可得： (4+x)×4=(7+x)×3 16+4x=21+3x X=21-16 X=5 方法三 ：【利用分母與分子差不變】 拓展：分?jǐn)?shù)的分子和分母都加上一個(gè)數(shù)，得到的新分?jǐn)?shù)化簡(jiǎn)以后是，求分子和分母都加上的這個(gè)數(shù)是幾？原來(lái)相差30 加同樣的數(shù)還是相差30 但新數(shù)相差為5， 必須5×6 =30 例3：一個(gè)分?jǐn)?shù)，分子比分母大20，如果分子減去6，得到新分?jǐn)?shù)約分后等于，求原分?jǐn)?shù)。 方法：【利用分母與分子差不變】例4、一個(gè)分?jǐn)?shù)，如果分子加上1，就變成，如果分子減去1，就變成，那么

3、原來(lái)的分?jǐn)?shù)是多少？方法一、將分子，分母數(shù)字較大的采用“等值放大” 看分子減2倍 可以不可以變成1/2 方法二、通分 拓展：一個(gè)分?jǐn)?shù)，如果分子加上1，分母減去1，就變成，如果分子減去1，分母加上1，就變成，那么原來(lái)的分?jǐn)?shù)是多少？將分子，分母數(shù)字較大的采用“等值放大”將分子，分母數(shù)字較小的數(shù)， 變成分子比第一個(gè)數(shù)小2，分母比第一個(gè)數(shù)大2方程法：一個(gè)分?jǐn)?shù)，如果分母減去2，就變成，如果分母加上5，就變成，那么原來(lái)的分?jǐn)?shù)是多少？方法一、等值放大 兩數(shù)分母相差7方法二、通子 一個(gè)分?jǐn)?shù)，如果分母減去4，就變成1，如果分子減去2，就變成，那么原來(lái)的分?jǐn)?shù)是多少？將分子，分母數(shù)字較大的采用“等值放大”將分子，分母

4、數(shù)字較小的數(shù)， 變成分子比第一個(gè)數(shù)大2，分母比第一個(gè)數(shù)小4 例5、一個(gè)分?jǐn)?shù)，分子分母的和是122，如果分子分母都減去19 ，得到是新分?jǐn)?shù)化簡(jiǎn)后是， 求原來(lái)的分?jǐn)?shù)是多少？ 利用和變拓展：分?jǐn)?shù)的分子減去某數(shù)，而分母同時(shí)加上這個(gè)數(shù)后，所得的新分?jǐn)?shù)化簡(jiǎn)后為 ，求某數(shù)是多少？ 利用和不變例6 一個(gè)分?jǐn)?shù)，如果分子加上16，分母減去166，那么約分后是，如果分子加上124，分母加上340，那么約分后是。求原分?jǐn)?shù)是多少？用方程組分?jǐn)?shù)的拆分問(wèn)題一、分?jǐn)?shù)拆分的初步知識(shí)拆分主要有以下幾個(gè)步驟：叫做擴(kuò)分。注意：為什么要乘以5？因?yàn)?正好是分母6的兩個(gè)質(zhì)因數(shù)的和。把分子拆成分母的兩個(gè)質(zhì)因數(shù)的和，再拆成兩個(gè)分?jǐn)?shù)的和。即：

5、把拆開(kāi)后的兩個(gè)分?jǐn)?shù)約分，化成最簡(jiǎn)分?jǐn)?shù)。例1 填空：事實(shí)上，我們把分母分解質(zhì)因數(shù)后，可以得到這個(gè)分母的不同的約數(shù)，只要把分子、分母都乘以這個(gè)分母的任意兩個(gè)約數(shù)的和，就可以把一個(gè)分?jǐn)?shù)拆成兩個(gè)分?jǐn)?shù)的和。解：18分解質(zhì)因數(shù)后共有六個(gè)約數(shù)：1、2、3、6、9、18，取不同的兩個(gè)約數(shù)的和，可以得到不同的解。如：可以看出，由于每次所選用的兩個(gè)約數(shù)不同，所得的解也不相同。但是當(dāng)選用的四個(gè)約數(shù)成比例時(shí)，它們的解就相同。如：選用1和2，3和6，9和18；或選用2和3；6和9時(shí)，解就相同。二、把一個(gè)分?jǐn)?shù)拆成幾個(gè)分?jǐn)?shù)的和以上拆分的方法同樣也適用于把一個(gè)分?jǐn)?shù)拆成三個(gè)或三個(gè)以上分?jǐn)?shù)的和。解：18的約數(shù)有1、2、

6、3、6、9、18。可以任意取其中三個(gè)約數(shù)，得到不同的解。答案不只一種。三、把一個(gè)分?jǐn)?shù)拆成兩個(gè)分?jǐn)?shù)的差能不能把一個(gè)分?jǐn)?shù)拆成兩個(gè)分?jǐn)?shù)差的形式呢？觀察下面的分?jǐn)?shù)運(yùn)算，看左右兩邊有什么關(guān)系。觀察下面幾個(gè)分?jǐn)?shù)的運(yùn)算，左右兩邊有什么關(guān)系。以上每個(gè)分?jǐn)?shù)的分子d都是分母中兩個(gè)因數(shù)的差。當(dāng)n、n+d，都是自然當(dāng)d=1時(shí)，公式（2）則轉(zhuǎn)化為公式（1）。利用公式（2）可以把一些分?jǐn)?shù)拆成兩個(gè)分?jǐn)?shù)差的形式。例5把下面各分?jǐn)?shù)寫(xiě)成兩個(gè)分?jǐn)?shù)差的形式。觀察下面等式，左右兩邊有什么關(guān)系。通過(guò)上面算式，可以得出這樣的結(jié)論：由此可知，一個(gè)分?jǐn)?shù)可以根據(jù)需要拆成兩個(gè)或若干個(gè)分?jǐn)?shù)的和或兩個(gè)分?jǐn)?shù)的差的形式。四、拆分方法在分?jǐn)?shù)加法運(yùn)算中的應(yīng)用例6 計(jì)算：解：由公式（2）解：由公式（3）例9 計(jì)算：解：由等差數(shù)列求和公式由此，本題中的各個(gè)分?jǐn)?shù)可以拆分為：因此，本題解法如下：例11 計(jì)算解：根據(jù)公式（4）解：先把同分母的分?jǐn)?shù)相加，看看有什么規(guī)律。上面三個(gè)算式表明，分母是2、3、4的如上面這樣的算式，它們的和分別是2、3、4。由此可以推出，分母為K的如上面的算式，所有的分?jǐn)?shù)的和等于K。所以，原式=2+3+4=9例13 計(jì)算解：可以利用例12所得出的結(jié)論以及等差數(shù)列求和公式進(jìn)行計(jì)算。原式=1+2+3+1991=（1+1991）