樊昌信數(shù)字通信第二章

1、第二章 信號2.1 信號的類型2.1.1 確知信號和隨機信號確知信號和隨機信號u什么是確知信號什么是確知信號u什么是隨機信號什么是隨機信號l 確知信號的類型確知信號的類型n按照周期性區(qū)分：u周期信號： T0信號的周期， T0 0 u非周期信號n按照能量區(qū)分：u能量信號：能量有限，u功率信號：p歸一化功率：p平均功率P為有限正值：n能量信號的功率趨于0，功率信號的能量趨于 tTtsts),()(0dttsE)(022/2/2)(1limTTTdttsTP2222/IVRIRVP能量信號和功率信號能量信號和功率信號u信號的功率信號的功率: 設設 R = 1, 則則 P = V2/R = I2R =

2、 V2 = I2u信號的能量：設信號的能量：設S代表代表V或或I，若，若S隨時間變化，則寫為隨時間變化，則寫為s(t), 于是，信號的能量于是，信號的能量 E = s2(t)dtu能量信號：滿足能量信號：滿足 u平均功率：平均功率：，故能量信號的，故能量信號的P = 0。u 功率信號：功率信號：P 0 的信號，即持續(xù)時間無窮的信號。的信號，即持續(xù)時間無窮的信號。u能量信號的能量有限，但平均功率為能量信號的能量有限，但平均功率為0。u功率信號的平均功率有限，但能量為無窮大。功率信號的平均功率有限，但能量為無窮大。/22/21lim( )TTTPs t dtT20( )Es t dtl1、“歸一化

3、能量歸一化能量”和和“能量信號能量信號”的概的概念念l為了分析簡便、統(tǒng)一，我們令負載為為了分析簡便、統(tǒng)一，我們令負載為1歐歐姆，這樣無論是姆，這樣無論是f(t)是電壓還是電流，其作是電壓還是電流，其作用在負載上的能量都可記為用在負載上的能量都可記為能量譜密度和功率譜密度稱為歸一化能量,)(2dttfE若一個信號的歸一化能量不是無窮大，若一個信號的歸一化能量不是無窮大，則稱之為能量信號，如單個門函數(shù)則稱之為能量信號，如單個門函數(shù)t2、 “功率信號”和“歸一化功率”的概念l若一個信號的在整個時間域內(nèi)的能量是無若一個信號的在整個時間域內(nèi)的能量是無窮大的，則稱之為功率信號，如方波窮大的，則稱之為功率信

4、號，如方波l其平均功率為其平均功率為稱為歸一化功率,)(lim2/2/2TdttfSTTTTdttfStfT02)(,)( 則為周期信號若3、巴塞伐爾(Parseval)定理)(tf若能量信號，則)(FdFdttf22)(21)(即信號能量即信號能量E)(),()(tftf且肯定也是功率信號為周期信號若，則)(FNnTTCdttfT22/2/2000)(1即信號功率即信號功率S如果用語言描述巴塞伐爾定理就是：l一個能量信號的能量一個能量信號的能量 等于等于 n信號的付立葉變換的模值的平方付立葉變換的模值的平方在頻率域內(nèi)的積分，再除以2l一個周期（功率）信號的功率一個周期（功率）信號的功率 等于

5、等于n信號的各級付立葉級數(shù)的模值的平方付立葉級數(shù)的模值的平方和上面紅色字體描述的內(nèi)容體現(xiàn)了能量（或功率）在頻率域的分布的情況，于是，我們引入“能量（或功率）譜密度”的概念4、能量譜密度)(tf若能量信號，則)(F2| )(|)(Ftf的能量譜密度為定義dGEGEE)(21, )(并且有記為5、功率譜密度)(),()(tftf且肯定也是功率信號為周期信號若，則)(F)(|2)()(02nCPtfnnS的功率譜密度為定義這樣定義的目的主要是使這樣定義的目的主要是使E和和S的表達式形式上的統(tǒng)一的表達式形式上的統(tǒng)一可寫成功率信號的功率定義式由上面的SPs,)(dPSS)(21小結(jié)(對比表格)能量能量(

6、或功率或功率)譜密度譜密度能量信號能量信號功率信號功率信號dFE2)(212| )(|FNnCS2)(|202nCnn周期函數(shù)的付立葉變換與功率譜密度的區(qū)別)(2:0nCnn周期函數(shù)的付立葉變換)(|2)(02nCPnnS功率譜密度為二者最明顯的區(qū)別為：付立葉變換可能是復數(shù)二者最明顯的區(qū)別為：付立葉變換可能是復數(shù);而功而功率譜密度一定是實數(shù)。率譜密度一定是實數(shù)。另外，付立葉變換通常不考慮單位，而功率譜密度另外，付立葉變換通常不考慮單位，而功率譜密度的單位是的單位是(瓦瓦/Hz)例2.1下列信號哪些是能量信號，哪些是功率信號，分別求出其歸一化能量（或功率）及譜密度秒的單一門函數(shù)寬度為一個高度為1

7、01,)2(0008cos2000cos) 1 (ttA必為功率信號為周期函數(shù)解,0008cos2000cos) 1 (:ttA0006cos00010cos2A0008cos2000costtttA)(46000cos210000cos2122/2/2000瓦根據(jù)歸一化功率定義AdttAtATSTT例2.1（續(xù)）進行付利葉級數(shù)展開對0006cos00010cos2Att0,453均為而其他的可得nCACC)(|2)(02nCPnnS功率譜密度為/Hz)()5(16)3(16 )5(16)3(16202020202瓦AAAA42200020A肯定為積分后除以可以證明對上式在頻域注：例2.1（續(xù)

8、）所以這是能量信號的總能量此門函數(shù)在整個時域中10110)()2(2102dttDEs)(tD)2(Sa)2()(SaF22)2()()(SaFGE 其能量譜密度)/()5(100)210(1022HzSaSa焦耳2.2 確知信號的性質(zhì)2.2.1頻域性質(zhì)頻域性質(zhì)n功率信號的頻譜：設功率信號的頻譜：設s(t)為周期性功率信號，為周期性功率信號，T0為周期，則有為周期，則有式中，式中， 0 = 2 / T0 = 2 f0 C(jn 0)是復數(shù)，是復數(shù)， C(jn 0) = |Cn|ej n式中，式中，|Cn| 頻率為頻率為nf0的分量的振幅；的分量的振幅； n 頻率為頻率為nf0的分量的相位。的分

9、量的相位。u信號信號s(t)的傅里葉級數(shù)表示法：的傅里葉級數(shù)表示法： 2/T2/Ttjn00000dte) t ( sT1)jn(Cntjn00e)jn(C) t ( s【例2.1】 試求周期性方波的頻譜。 解：設一周期性方波的周期為T，寬度為，幅度為V 求頻譜： t)Tt ( f) t ( f) 2/T(t2/02/t2/V) t ( f2nsinTnV2jneeTVejnVT1dtVeT1)jn(C0002/jn2/jn2/2/2/2/tjn0tjn00000頻譜圖頻譜圖u【補充例】試求圖2-3所示周期性方波的頻譜。由式(2.2-1) ：因為此信號不是偶函數(shù)，其頻譜Cn是復函數(shù)。 T-Tt

10、0Vs(t)tTtstsTttVts),()(, 00,)(TnjnfjtnfjtnfjnenjVnfjeTVenfjVTdtVeTC/202020021221211000【例2.2】試求全波整流后的正弦波的頻譜。解：設此信號的表示式為求頻譜：信號的傅里葉級數(shù)表示式：ttftftttf)1()(10)sin()(10222/2/00) 14(2)sin()(1)(000ndtetdtetsTjnCntjTTtjn1f(t)tnntjentf221412)(由于此波形為偶函數(shù)，故其頻譜為實函數(shù)。n能量信號的頻譜密度能量信號的頻譜密度設一能量信號為設一能量信號為s(t)，則其頻譜密度為：，則其頻譜

11、密度為：S( )的逆變換為原信號：的逆變換為原信號：【例【例2.3】試求一個矩形脈沖的頻譜密度?！吭嚽笠粋€矩形脈沖的頻譜密度。 解：設此矩形脈沖的表示式為解：設此矩形脈沖的表示式為則它的頻譜密度就是它的傅里葉變換：則它的頻譜密度就是它的傅里葉變換：dtetsStj)()(deStstj)()(2/02/1)(tttg2/) 2/sin()(1)(2/2/2/2/jjtjeejdteG矩形脈沖的帶寬等于其脈沖持續(xù)時間的倒數(shù)，在這里它等于矩形脈沖的帶寬等于其脈沖持續(xù)時間的倒數(shù)，在這里它等于(1/ ) Hz?！纠?.4】試求抽樣函數(shù)的波形和頻譜密度。解：抽樣函數(shù)的定義是而Sa(t)的頻譜密度為：和上

12、例比較可知，Sa(t)的波形和上例中的G()曲線相同，而Sa(t)的頻譜密度Sa()的曲線和上例中的g(t)波形相同。ttsin) t (Sa其他處011sin)(dtettSatj【例2.5】試求單位沖激函數(shù)及其頻譜密度。 解：單位沖激函數(shù)常簡稱為函數(shù)，其定義是： (t)的頻譜密度：00)(1)(ttdtt1)(1)()(dttdtetftjuSa(t)Sa(t)及其頻譜密度的曲線：及其頻譜密度的曲線：u 函數(shù)的物理意義：函數(shù)的物理意義： 高度為無窮大，寬度為無窮小，面積為高度為無窮大，寬度為無窮小，面積為1 1的脈沖。的脈沖。u用抽樣函數(shù)用抽樣函數(shù)Sa(t)表示表示 函數(shù)：函數(shù)：Sa(t)

13、Sa(t)有如下性質(zhì)有如下性質(zhì)當當 k k 時，振幅時，振幅 ， 波形的零點間隔波形的零點間隔 0 0，故有故有 1)(dtktSakttt)(lim)(ktSaktkf(f)10t(t)0u 函數(shù)的性質(zhì)函數(shù)的性質(zhì)p對對f(t)的抽樣：的抽樣：p 函數(shù)是偶函數(shù)：函數(shù)是偶函數(shù)：p 函數(shù)是單位階躍函數(shù)的導數(shù)：函數(shù)是單位階躍函數(shù)的導數(shù)：u能量信號的頻譜密度能量信號的頻譜密度S(f)和周期性功率信號的頻譜和周期性功率信號的頻譜C(jn 0)的區(qū)別的區(qū)別:pS(f ) 連續(xù)譜；連續(xù)譜； C(jn 0) 離散譜離散譜pS(f )的單位：的單位：V/Hz； C(jn 0) 的單位：的單位：VpS(f )在一

14、頻率點上的幅度無窮小。在一頻率點上的幅度無窮小。u (t) = (t) dt)tt () t (f)t (f00dttttftf)()()(00) t() t (0, 1, 0, 0)(tttu當當t10圖2.2.6 單位階躍函數(shù)【例2.6】試求無限長余弦波的頻譜密度。 解：設一個余弦波的表示式為f (t) = cos0t，則其頻譜密度F()按式(2.2-10)計算，可以寫為參照式(2.2-19)，上式可以改寫為u引入引入 (t)，就能將頻譜密度概念推廣到功率信號上。，就能將頻譜密度概念推廣到功率信號上。2)(2)(2lim2/)(2/)sin(2/)(2/)sin(2limcoslim)(0

15、000002/2/0SaSadtteFtj)()()(00Ft000(b) 頻譜密度(a) 波形n能量譜密度能量譜密度設一個能量信號s(t)的能量為E，則其能量由下式?jīng)Q定：若此信號的頻譜密度，為S(f )，則由巴塞伐爾定理得知：上式中|S(f )|2稱為能量譜密度，也可以看作是單位頻帶內(nèi)的信號能量。上式可以改寫為：式中，G(f )|S(f)|2 （J / Hz） 為能量譜密度。uG(f )的性質(zhì)：因的性質(zhì)：因s(t)是實函數(shù)，故是實函數(shù)，故|S(f )|2 是偶函數(shù)，是偶函數(shù)，dttsE)(2dffSdttsE22)()(dffGE)(0)(2dffGEn功率譜密度功率譜密度令s(t)的截短信

16、號為sT(t)，-T/2 t T/2，則有定義功率譜密度為：得到信號功率：dffSdttsETTTT22/2/2)()(2)(1lim)(fSTfPTTdffPdffSTPTTTT)()(1lim2/2/22.2.2 時域性質(zhì)n自相關(guān)函數(shù)自相關(guān)函數(shù)u能量信號的自相關(guān)函數(shù)定義：能量信號的自相關(guān)函數(shù)定義：u功率信號的自相關(guān)函數(shù)定義：功率信號的自相關(guān)函數(shù)定義：u性質(zhì)：性質(zhì)：pR( )只和只和 有關(guān)，和有關(guān)，和 t 無關(guān)無關(guān)p當當 = 0時，能量信號的時，能量信號的R( )等于信號的能量；等于信號的能量； 功率信號的功率信號的R( )等于信號的平均功率。等于信號的平均功率。dttstsR)()()(2

17、/2/)()(1lim)(TTTdttstsTRn互相關(guān)函數(shù)互相關(guān)函數(shù)u能量信號的互相關(guān)函數(shù)定義：能量信號的互相關(guān)函數(shù)定義：u功率信號的互相關(guān)函數(shù)定義：功率信號的互相關(guān)函數(shù)定義：u性質(zhì)：性質(zhì)：p1. R12( )只和只和 有關(guān)，和有關(guān)，和 t 無關(guān)；無關(guān)；p2. 證：令證：令x = t + ，則，則 ,)()()(2112dttstsR2/2/2112,)()(1lim)(TTTdttstsTR)()(1221 RR)()()()()()()()(1221121221RdxxsxsdxxsxsdttstsR2.3 隨機信號的性質(zhì)2.3.1 隨機變量的概率分布隨機變量的概率分布n隨機變量的概念：

18、若某種試驗隨機變量的概念：若某種試驗A的隨機結(jié)果用的隨機結(jié)果用X表示，則稱此表示，則稱此X為一個隨機變量，并設它的取值為為一個隨機變量，并設它的取值為x。 例如，在一定時間內(nèi)電話交換臺收到的呼叫次數(shù)是一個例如，在一定時間內(nèi)電話交換臺收到的呼叫次數(shù)是一個隨機變量。隨機變量。n隨機變量的分布函數(shù)：隨機變量的分布函數(shù)：u定義：定義：FX(x) = P(X x) u性質(zhì)：性質(zhì)： P(a X b) + P(X a) = P(X b),P(a X b) = P(X b) P(X a)， P(a X b) = FX(b) FX(a) u離散隨機變量的分布函數(shù)：離散隨機變量的分布函數(shù)：p設設X的取值為：的取值

19、為：x1 x2 xi xn，其取值的概率分別，其取值的概率分別為為p1, p2, , pi, , pn，則有，則有P (X x1) = 0,P(X xn) = 1p P(X xi) = P(X = x1) + P(X = x2) + + P(X = xi), p性質(zhì)：性質(zhì)： FX(- ) = 0 FX(+ ) = 1 若若x1 x2，則有，則有: FX(x1) FX(x2) ，為單調(diào)增函數(shù)。為單調(diào)增函數(shù)。nikikXxxxxxpxxxF10)(1111u連續(xù)隨機變量的分布函數(shù)：連續(xù)隨機變量的分布函數(shù)： 當x連續(xù)時，由定義分布函數(shù)定義 FX(x) = P(X x) 可知， FX(x) 為一連續(xù)單

20、調(diào)遞增函數(shù)：2.3.2 隨機變量的概率密度隨機變量的概率密度n連續(xù)隨機變量的概率密度連續(xù)隨機變量的概率密度pX (x)upX (x)的定義：的定義：upX (x)的意義：的意義：ppX (x)是是FX (x)的導數(shù)，是的導數(shù)，是FX (x)曲線的斜率曲線的斜率p能夠從能夠從pX (x)求出求出P(a 0, a = 常數(shù)常數(shù)u概率密度曲線：概率密度曲線：222)(exp21)(axxpXn均勻分布隨機變量均勻分布隨機變量u定義：概率密度定義：概率密度式中，式中，a，b為常數(shù)為常數(shù)u概率密度曲線：概率密度曲線：其他0)/(1)(bxaabxpXbax0pA(x)n瑞利瑞利(Rayleigh)分布分

21、布隨機變量隨機變量 u定義：概率密度為定義：概率密度為式中，式中，a 0，為常數(shù)。，為常數(shù)。u概率密度曲線：概率密度曲線：0)exp(2)(2xaxaxxpX2.5 隨機變量的數(shù)字特征2.5.1 數(shù)學期望n定義：對于連續(xù)隨機變量定義：對于連續(xù)隨機變量n性質(zhì)：性質(zhì)：u u u u u 若若X和和Y互相獨立，且互相獨立，且E(X)和和E(Y)存在。存在。u dxxxpXEX)()(CCE)()()()(YEXEYXE)()()()(2121nnXEXEXEXXXE)()(XECXCE)()()(YEXEXYE CE(X)E(CX)2.5.2 方差n定義：定義：式中，式中，u方差的改寫：方差的改寫：

22、證：證：u對于離散隨機變量，對于離散隨機變量，u對于連續(xù)隨機變量，對于連續(xù)隨機變量，n性質(zhì)：性質(zhì)：uD( C ) = 0 uD(X+C)=D(X)，D(CX)=C2D(X) uD(X+Y)=D(X)+D(Y)uD(X1 + X2 + + Xn)=D(X1) + D(X2) + + D(Xn) )()(22XXEXDX的數(shù)學期望標準偏差，XXX22)(XXXD2222222222)(XXXXXXXXXEXXEiiipXxXD2)()(dxxpXxXDX)()()(22.5.3 矩n定義：隨機變量定義：隨機變量X的的k階矩為階矩為uk階原點矩：階原點矩：a = 0時的矩：時的矩：uk階中心矩：階中

23、心矩： 時的矩：時的矩：n性質(zhì)：性質(zhì)：u 一階原點矩為數(shù)學期望：一階原點矩為數(shù)學期望：u 二階中心矩為方差：二階中心矩為方差：dxxpaxaXEXkk)()()(dxxpxXmXkk)()(Xa dxxpXxXMXkk)()()()()(1XEXm22)()(XXDXM2.6 隨機過程2.6.1 隨機過程的基本概念nX(A, t) 事件事件A的全部可能的全部可能“實現(xiàn)實現(xiàn)”的總體；的總體；nX(Ai, t) 事件事件A的一個實現(xiàn)，為確定的時間函數(shù)；的一個實現(xiàn)，為確定的時間函數(shù)；nX(A, tk) 在給定時刻在給定時刻tk上的函數(shù)值。上的函數(shù)值。u簡記：簡記： X(A, t) X(t) X(Ai

24、, t) Xi (t)n例：接收機噪聲例：接收機噪聲n隨機過程的數(shù)字特征：隨機過程的數(shù)字特征：u統(tǒng)計平均值：統(tǒng)計平均值：u方差：方差：u自相關(guān)函數(shù)：自相關(guān)函數(shù)：)()()(iXXitmdxxxptXEi2)()()(iiitXEtXEtXD)()(),(2121tXtXEttRX2.6.2 平穩(wěn)隨機過程n平穩(wěn)隨機過程的定義：平穩(wěn)隨機過程的定義：統(tǒng)計特性與時間起點無關(guān)的隨機過程。統(tǒng)計特性與時間起點無關(guān)的隨機過程。（又稱嚴格平穩(wěn)隨機過程）（又稱嚴格平穩(wěn)隨機過程）n廣義平穩(wěn)隨機過程的定義：廣義平穩(wěn)隨機過程的定義：平均值、方差和自相關(guān)函數(shù)等與時間起點無關(guān)的隨機過程。平均值、方差和自相關(guān)函數(shù)等與時間起點

25、無關(guān)的隨機過程。n廣義平穩(wěn)隨機過程的性質(zhì)：廣義平穩(wěn)隨機過程的性質(zhì)：u u u n嚴格平穩(wěn)隨機過程一定也是廣義平穩(wěn)隨機過程。但是，廣義嚴格平穩(wěn)隨機過程一定也是廣義平穩(wěn)隨機過程。但是，廣義平穩(wěn)隨機過程就不一定是嚴格平穩(wěn)隨機過程。平穩(wěn)隨機過程就不一定是嚴格平穩(wěn)隨機過程。 常數(shù)Xm EX(t) 常數(shù)22X)t (XE) t (XE)t (XD21tt)(R )t -(tR )t ,(tRX21X21X2.6.3 各態(tài)歷經(jīng)性n“各態(tài)歷經(jīng)各態(tài)歷經(jīng)”的含義：的含義： 平穩(wěn)隨機過程的一個實現(xiàn)能夠經(jīng)歷此過程的所有狀態(tài)。平穩(wěn)隨機過程的一個實現(xiàn)能夠經(jīng)歷此過程的所有狀態(tài)。n各態(tài)歷經(jīng)過程的特點：可用時間平均值代替統(tǒng)計平

26、均值，例各態(tài)歷經(jīng)過程的特點：可用時間平均值代替統(tǒng)計平均值，例u各態(tài)歷經(jīng)過程的統(tǒng)計平均值各態(tài)歷經(jīng)過程的統(tǒng)計平均值mX：u各態(tài)歷經(jīng)過程的自相關(guān)函數(shù)各態(tài)歷經(jīng)過程的自相關(guān)函數(shù)RX( ):u一個隨機過程若具有各態(tài)歷經(jīng)性，則它必定是嚴格平穩(wěn)隨一個隨機過程若具有各態(tài)歷經(jīng)性，則它必定是嚴格平穩(wěn)隨機過程。但是，嚴格平穩(wěn)隨機過程就不一定具有各態(tài)歷經(jīng)機過程。但是，嚴格平穩(wěn)隨機過程就不一定具有各態(tài)歷經(jīng)性。性。 2/2/)(1limTTiTXdttXTm2/2/)()(1lim)(TTiiTXdttXtXTRn穩(wěn)態(tài)通信系統(tǒng)的各態(tài)歷經(jīng)性：穩(wěn)態(tài)通信系統(tǒng)的各態(tài)歷經(jīng)性： 假設信號和噪聲都是各態(tài)歷經(jīng)的。假設信號和噪聲都是各態(tài)歷經(jīng)

27、的。u一階原點矩一階原點矩mX = EX(t) 是信號的直流分量；是信號的直流分量；u一階原點矩的平方一階原點矩的平方mX 2 是信號直流分量的歸一化功率；是信號直流分量的歸一化功率；u二階原點矩二階原點矩E X 2( t ) 是信號歸一化平均功率；是信號歸一化平均功率；u二階原點矩的平方根二階原點矩的平方根E X 2(t)1/2 是信號電流或電壓的是信號電流或電壓的均方根值（有效值）；均方根值（有效值）；u二階中心矩二階中心矩 X2 是信號交流分量的歸一化平均功率是信號交流分量的歸一化平均功率;u若若mX = mX 2 = 0，則，則 X2 = E X 2( t ) ；u標準偏差標準偏差 X

28、 是信號交流分量的均方根值；是信號交流分量的均方根值； u若若mX = 0，則，則 X就是信號的均方根值就是信號的均方根值 。2.6.4 平穩(wěn)隨機過程的自相關(guān)函數(shù)和功率譜密度n自相關(guān)函數(shù)的性質(zhì)自相關(guān)函數(shù)的性質(zhì)u u u u u n功率頻譜密度的性質(zhì)功率頻譜密度的性質(zhì) u復習：確知信號的功率譜密度：復習：確知信號的功率譜密度：u類似地，平穩(wěn)隨機過程的功率譜密度為：類似地，平穩(wěn)隨機過程的功率譜密度為：p平均功率：平均功率：XPtXER)()0(2)()( RR)0()(RR)()(2tXER2)()0(XRRTfSfPTT2)(lim)(TfSEfPEfPTTX2)(lim)()(dfTfSEdf

29、fPPTTXX)(lim)(2n自相關(guān)函數(shù)和功率譜密度的關(guān)系自相關(guān)函數(shù)和功率譜密度的關(guān)系由由式中，式中， 令令 =t t，k =t + t，則上式可以化簡成，則上式可以化簡成 于是有于是有2/2/2/2/) (2/2/2/2/2/2/2/2/2) (1) ()(1) (*)(1)(TTTTttjTTtjTTtjTTtjTTTtjTTdtdtettRTdtetsdtetsTEdtetsdtetsTETfSE)()()(tstsEttRTTjTdeRTTfSE)(1)(2deRdeRTTfSEfPjTTjTTTX)()(1lim)(lim)(2上式表明，PX(f )和R( )是一對傅里葉變換：nP

30、X(f )的性質(zhì)：的性質(zhì)：uPX(f ) 0, 并且并且PX(f )是實函數(shù)。是實函數(shù)。u PX(f ) PX(-f )，即，即PX(f )是偶函數(shù)。是偶函數(shù)。 【例【例2.7】設有一個二進制數(shù)字信號設有一個二進制數(shù)字信號x(t)，如圖所示，其振幅，如圖所示，其振幅為為+a或或-a；在時間；在時間 T 內(nèi)其符號改變的次數(shù)內(nèi)其符號改變的次數(shù)k服從泊松分布服從泊松分布 式中，式中， 是單位時間內(nèi)振幅的是單位時間內(nèi)振幅的符號改變的平均次數(shù)。符號改變的平均次數(shù)。試求其相關(guān)函數(shù)試求其相關(guān)函數(shù)R( )和功率譜密度和功率譜密度P(f)。deRfPjX)()(dfefPRjX)()(0,!)()(kkeTkP

31、Tk+a-ax(t)tt0t-解：由圖可以看出，乘積x(t)x(t-)只有兩種可能取值：a2, 或 -a2。因此，式 可以化簡為： R() = a2 a2出現(xiàn)的概率 + (-a2) (-a2)出現(xiàn)的概率式中，“出現(xiàn)的概率”可以按上述泊松分布 P(k)計算。若在 秒內(nèi)x(t)的符號有偶數(shù)次變化，則出現(xiàn) + a2;若在 秒內(nèi)x(t)的符號有奇數(shù)次變化，則出現(xiàn) - a2。因此，用 代替泊松分布式中的T，得到)t ( x )t ( xE)(R) 5 () 3 () 1 () 4() 2() 0()()()(22PPPaPPPatxtxER222322! 3)(!2)(! 11 )(eaeeaeaR由于

32、在泊松分布中 是時間間隔，所以它應該是非負數(shù)。所以，在上式中當 取負值時，上式應當改寫成 將上兩式合并，最后得到：其功率譜密度P( f )可以由其自相關(guān)函數(shù)R( )的傅里葉變換求出： P( f )和R()的曲線：22)(eaR22)(eaR4)()(22202202222adeeadeeadeeadeRfPjjjj【例2.8】設一隨機過程的功率譜密度P( f )如圖所示。試求其自相關(guān)函數(shù)R()。解：功率譜密度P( f )已知， 式中，u自相關(guān)函數(shù)曲線：自相關(guān)函數(shù)曲線：0022cos22sin42cos22cos)(2)()(21ffffAdffAdfffPdfefPRfffj2,212012f

33、fffff【例2.9】試求白噪聲的自相關(guān)函數(shù)和功率譜密度。 解：白噪聲是指具有均勻功率譜密度Pn( f )的噪聲，即Pn( f ) n0/2式中，n0為單邊功率譜密度（W/Hz） 白噪聲的自相關(guān)函數(shù)可以從它的功率譜密度求得: 由上式看出，白噪聲的任何兩個相鄰時間（即 0時）的抽樣值都是不相關(guān)的。 白噪聲的平均功率 : 上式表明，白噪聲的平均功率為無窮大。 )(22)()(00ndfendfefPRjjX)0(2)0(0nRPn(f)n0/20fRn()n0/20n帶限白噪聲的功率譜密度和自相關(guān)函數(shù)帶限白噪聲的功率譜密度和自相關(guān)函數(shù)u帶限白噪聲：帶寬受到限制的白噪聲帶限白噪聲：帶寬受到限制的白噪

34、聲u帶限白噪聲的功率譜密度：帶限白噪聲的功率譜密度：設白噪聲的頻帶限制在設白噪聲的頻帶限制在(-fH, fH)之間，則有之間，則有 Pn(f) = n0 / 2,-fH f fH= 0,其他處其他處其自相關(guān)函數(shù)為：其自相關(guān)函數(shù)為：u曲線：曲線：HHHffjfffndfenRHH22sin22)(00n0/2Pn(f)0f-fHfHRn()01/2fH-1/2fH2.7 高斯過程（正態(tài)隨機過程）n定義：定義：u一維高斯過程的概率密度：一維高斯過程的概率密度：式中，式中，a = EX(t) 為均值為均值 2 = EX(t) - a2 為方差為方差 為標準偏差為標準偏差u高斯過程是平穩(wěn)過程，故高斯過

35、程是平穩(wěn)過程，故其概率密度其概率密度pX (x, t1)與與t1無關(guān)，無關(guān)，即，即， pX (x, t1) pX (x)upX (x)的曲線：的曲線：2212exp21),(axtxpXu高斯過程的嚴格定義：任意高斯過程的嚴格定義：任意n維聯(lián)合概率密度滿足：維聯(lián)合概率密度滿足：式中，式中，ak為為xk的數(shù)學期望（統(tǒng)計平均值）；的數(shù)學期望（統(tǒng)計平均值）； k為為xk的標準偏差；的標準偏差； |B|為歸一化協(xié)方差矩陣的行列式，即為歸一化協(xié)方差矩陣的行列式，即|B|jk為行列式為行列式|B|中元素中元素bjk的代數(shù)余因子；的代數(shù)余因子； bjk為歸一化協(xié)方差函數(shù)，即為歸一化協(xié)方差函數(shù)，即njnkkk

36、kjjjjknnnnXaxaxBBBtttxxxp112/1212/212121exp)2(1),;,(11121221112nnnnbbbbbbB kjkkjjjkaxaxEbnn維高斯過程的性質(zhì)維高斯過程的性質(zhì)upX (x1, x2, , xn; t1, t2, , tn)僅由各個隨機變量的數(shù)學期望僅由各個隨機變量的數(shù)學期望ai、標準偏差、標準偏差 i和歸一化協(xié)方差和歸一化協(xié)方差bjk決定，因此它是一個廣義決定，因此它是一個廣義平穩(wěn)隨機過程平穩(wěn)隨機過程 。u若若x1, x2, , xn等兩兩之間互不相關(guān)等兩兩之間互不相關(guān) ，則有當，則有當 j k 時，時，bjk = 0。這時，。這時，即，

37、此即，此n維聯(lián)合概率密度等于各個一維概率密度的乘積。維聯(lián)合概率密度等于各個一維概率密度的乘積。u若兩個隨機變量的互相關(guān)函數(shù)等于零，則稱為兩者若兩個隨機變量的互相關(guān)函數(shù)等于零，則稱為兩者互不相互不相關(guān)關(guān)；若兩個隨機變量的二維聯(lián)合概率密度等于其一維概率；若兩個隨機變量的二維聯(lián)合概率密度等于其一維概率密度之積，則稱為兩者密度之積，則稱為兩者互相獨立互相獨立?；ゲ幌嚓P(guān)的兩個隨機變?；ゲ幌嚓P(guān)的兩個隨機變量不一定互相獨立。互相獨立的兩個隨機變量則一定互不量不一定互相獨立?；ハ嗒毩⒌膬蓚€隨機變量則一定互不相關(guān)。相關(guān)。u高斯過程的隨機變量之間既互不相關(guān)，又互相獨立。高斯過程的隨機變量之間既互不相關(guān)，又互相獨立

38、。 ),(),(),(2exp21),;,(22112212121nnXXXkkknkknnXtxptxptxpaxtttxxxpn正態(tài)概率密度的性質(zhì)正態(tài)概率密度的性質(zhì)up(x)對稱于直線對稱于直線 x = a，即有：，即有：up(x)在區(qū)間在區(qū)間(- , a)內(nèi)單調(diào)上升，在區(qū)間內(nèi)單調(diào)上升，在區(qū)間(a, )內(nèi)單調(diào)下降，內(nèi)單調(diào)下降，并且在點并且在點a處達到其極大值處達到其極大值 當當x - 或或 x + 時，時，p(x) 0。 u u若若a = 0, = 1，則稱這種分布為標準化正態(tài)分布：，則稱這種分布為標準化正態(tài)分布： )()(xapxap)2/(11)(dxxpaadxxpdxxp2/1)(

39、)(2exp21)(2xxpn正態(tài)分布函數(shù)正態(tài)分布函數(shù)u將正態(tài)概率密度函數(shù)的積分定義為正態(tài)分布函數(shù)將正態(tài)概率密度函數(shù)的積分定義為正態(tài)分布函數(shù) ：式中，式中， (x)稱為概率積分函數(shù)稱為概率積分函數(shù) ：此積分不易計算，通常用查表方法計算。此積分不易計算，通常用查表方法計算。 axdzazdzazxFxx22222)(exp212)(exp21)(dzzxx2exp21)(2n用誤差函數(shù)表示正態(tài)分布用誤差函數(shù)表示正態(tài)分布u誤差函數(shù)定義：誤差函數(shù)定義：u補誤差函數(shù)定義：補誤差函數(shù)定義： u 正態(tài)分布表示法：正態(tài)分布表示法：dzexerfxz022)(dzedzexerfxerfcxzxz22221)

40、(1)(0axaxerfcaxaxerfxF,2211,22121)(頻率近似為fc2.8 窄帶隨機過程2.8.1 窄帶隨機過程的基本概念n何謂窄帶？何謂窄帶？ 設設隨機過程的頻帶寬度為隨機過程的頻帶寬度為 f，中心頻率為，中心頻率為fc。若。若 f fc，則稱此隨機過程為窄帶隨機過程。則稱此隨機過程為窄帶隨機過程。 n窄帶隨機過程的波形和表示式窄帶隨機過程的波形和表示式u波形和頻譜：波形和頻譜：u表示式表示式式中，式中，aX(t) 窄帶隨機過程的隨機包絡；窄帶隨機過程的隨機包絡； X(t) 窄帶隨機過程的隨機相位；窄帶隨機過程的隨機相位； 0 正弦波的角頻率。正弦波的角頻率。 上式可以改寫為

41、：上式可以改寫為：式中，式中， X (t)的同相分量的同相分量 X (t)的正交分量的正交分量 00)t (a),t (tcos)t (a)t (XXXXtsin)t (Xtcos)t (X)t (Xsc00)(cos)()(ttatXXXc)(sin)()(ttatXXXs2.8.2 窄帶隨機過程的性質(zhì)nXc(t)和和Xs(t)的統(tǒng)計特性：的統(tǒng)計特性：設設X(t)是一個均值為是一個均值為0的平穩(wěn)窄帶高斯過程，則的平穩(wěn)窄帶高斯過程，則u Xc(t)和和Xs(t)也是高斯過程；也是高斯過程；u Xc(t)和和Xs(t) 的方差相同，且等于的方差相同，且等于X(t)的方差；的方差；u在同一時刻上得

42、到的在同一時刻上得到的Xc和和Xs是不相關(guān)的和統(tǒng)計獨立的。是不相關(guān)的和統(tǒng)計獨立的。naX(t)和和 X(t)的統(tǒng)計特性：的統(tǒng)計特性：u窄帶平穩(wěn)隨機過程包絡窄帶平穩(wěn)隨機過程包絡aX(t)的概率密度等于：的概率密度等于：u窄帶平穩(wěn)隨機過程相位窄帶平穩(wěn)隨機過程相位 X(t)的概率密度等于：的概率密度等于： 02exp)(222XXXXXXaaaap2021)(XXp2.9 正弦波加窄帶高斯過程l通信系統(tǒng)中的正弦波加窄帶高斯過程：l正弦波加噪聲的表示式：式中， A 正弦波的確知振幅； 0 正弦波的角頻率； 正弦波的隨機相位； n(t) 窄帶高斯噪聲。lr (t )的包絡的概率密度 ：式中， 2 n(t

43、)的方差； I0() 零階修正貝塞爾函數(shù)。lpr(x) 稱為廣義瑞利分布，或稱萊斯(Rice)分布。當A = 0時， pr(x) 變成瑞利概率密度。)()cos()(0tntAtr0,21exp)(222202xAxAxIxxprlr (t )的相位的條件概率密度 ：式中， r( t )的相位，包括正弦波的相位 和噪聲的相位 pr( / ) 給定 的條件下， r( t )的相位的條件概率密度lr (t )的相位的概率密度:n當當 = 0時，時，式中，式中，2/12222/1222cos1sin2exp22cos22/exp)/(AerfAAApr dppprrr/)(2020exp)(1 12

44、exp21)0/(222GGerfGApr2cosAG GtdteGerf022)(瑞利分布r概率密度包絡r(a) 萊斯分布包絡的概率密度均勻相位相 位概率密度(b) 萊斯分布相位的概率密度l萊斯分布的曲線n當當A/ = 0時，時，包絡包絡瑞利分布瑞利分布相位相位均勻分布均勻分布n當當A/ 很大時，很大時，包絡包絡正態(tài)分布正態(tài)分布相位相位沖激函數(shù)沖激函數(shù)2.10 信號通過線性系統(tǒng)2.10.1 線性系統(tǒng)的基本概念n線性系統(tǒng)的特性線性系統(tǒng)的特性u有一對輸入端和一對輸出端有一對輸入端和一對輸出端u無源無源u無記憶無記憶u非時變非時變u有因果關(guān)系：當前輸出只決定于當前和過去的輸入有因果關(guān)系：當前輸出只

45、決定于當前和過去的輸入u有線性關(guān)系：滿足疊加原理有線性關(guān)系：滿足疊加原理若當輸入若當輸入為為xi(t)時，輸出為時，輸出為yi(t)，則當輸入為，則當輸入為 時，輸出為：時，輸出為：式中，式中，a1和和a2均為任意常數(shù)。均為任意常數(shù)。)()()(2211txatxatx)()()(2211tyatyatyn線性系統(tǒng)的示意圖線性系統(tǒng)的示意圖2.10.2 確知信號通過線性系統(tǒng)確知信號通過線性系統(tǒng)n時域分析法時域分析法設設h(t) 系統(tǒng)的沖激響應系統(tǒng)的沖激響應 x(t) 輸入信號波形輸入信號波形 y(t) 輸出信號波形輸出信號波形則有：則有：線性系統(tǒng)輸入輸出x(t)y(t)X(f)Y(f)h(t)H

46、(f)圖2.10.1 線性系統(tǒng)示意圖t(t)h(t)t00dhtxdthxthtxty)()()()()()()(dtthtth)(0,0)(對于物理可實現(xiàn)系統(tǒng)：對于物理可實現(xiàn)系統(tǒng)：n頻域分析法頻域分析法u設：輸入為能量信號，令設：輸入為能量信號，令 x( t ) 輸入能量信號輸入能量信號H( f ) h( t )的傅里葉變換的傅里葉變換 X( f ) x( t )的傅里葉變換 y( t ) 輸出信號 則此系統(tǒng)的輸出信號則此系統(tǒng)的輸出信號y( t )的頻譜密度的頻譜密度Y( f )為：為：p由由Y( f )的逆傅里葉變換可以求出的逆傅里葉變換可以求出y( t )：)()()(fHfXfYdfe

47、fYtytj)()(u設：輸入設：輸入x( t )為周期性功率信號，則有為周期性功率信號，則有 式中，式中， 輸出為：輸出為：u設：輸入設：輸入x( t )為非周期性功率信號，則當作隨機信號處理為非周期性功率信號，則當作隨機信號處理ntjnejnCtx0)()(02/2/00000)(1)(TTtjndtetxTjnC0 = 2/T0T0 信號的周期 f0 = 0 / 2是信號的基頻ntjnenHjnCty0)()()(00u【例【例2.10】若有一個若有一個RC低通濾波器，如圖低通濾波器，如圖2.10.4所示。試所示。試求出其沖激響應，以及當有按指數(shù)衰減的輸入時其輸出信求出其沖激響應，以及當

48、有按指數(shù)衰減的輸入時其輸出信號表示式。號表示式。 解解:設設 x(t) 輸入能量信號輸入能量信號 y(t) 輸出能量信號輸出能量信號 X(f) x(t)的頻譜密度的頻譜密度 Y(f) y(t)的頻譜密度的頻譜密度則此電路的傳輸函數(shù)為：則此電路的傳輸函數(shù)為： 此濾波器的沖激響應此濾波器的沖激響應h(t)： 圖2.10.4 RC濾波器RCx(t)y(t)RCjCjRCjfH11)/1 (/1)(RCttjtjeRCdfeRCjdfefHth/111)()(濾波器輸出和輸入之間的關(guān)系：假設輸入x(t)等于：則此濾波器的輸出為： dexRCdthxthtxtyRCt/ )()(1)()()()()(0, 00,)(ttetxataRCeeaRCeRCedeeRCtyRCtattaRCRCttRCta1/11)(/0)/1 (/0/ )(n無失真?zhèn)鬏敆l件無失真?zhèn)鬏敆l件設：系統(tǒng)是無失真的線性傳輸系統(tǒng)，輸入為一能量信號設：系統(tǒng)是無失真的線性傳輸系統(tǒng)，輸入為一能量信號x(t) ，則其無失真輸出信號則其無失真輸出信號y(t)為：為：式中，式中，k 衰減常數(shù)，衰減常數(shù)， td 延遲時間。延遲時間。u求系統(tǒng)的傳輸函數(shù)：求系統(tǒng)的傳輸函數(shù)： 對上式作傅里葉變換：對上式作傅里葉變換： 式中，式中，u無失真?zhèn)鬏敆l件：無失真?zhèn)鬏敆l件：p振幅特性與頻率無關(guān)；振幅