分段函數(shù)的幾種常見題型及解法

1、函數(shù)的概念和性質(zhì)考點 分段函數(shù)分段函數(shù)是指自變量在兩個或兩個以上不同的范圍內(nèi), 有不同的對應(yīng)法那么的函數(shù), 它是一個函數(shù), 卻又常常被學(xué)生誤認(rèn)為是幾個函數(shù); 它的定義域是各段函數(shù)定義域的并集, 其值域也是各段函數(shù)值域的并集. 由于它在理解和掌握函數(shù)的定義、函數(shù)的性質(zhì)等知識的程度的考察上有較好的作用, 時常在高考試題中“閃亮登場, 本文就幾種具體的題型做了一些思考, 解析如下：1求分段函數(shù)的定義域和值域例1求函數(shù)的定義域、值域. 2求分段函數(shù)的函數(shù)值例2函數(shù)求. 3求分段函數(shù)的最值例3求函數(shù)的最大值. 4求分段函數(shù)的解析式例4在同一平面直角坐標(biāo)系中, 函數(shù)和的圖象關(guān)于直線對稱, 現(xiàn)將的圖象沿軸向

2、左平移2個單位, 再沿軸向上平移1個單位, 所得的圖象是由兩條線段組成的折線如下列圖, 那么函數(shù)的表達(dá)式為 5作分段函數(shù)的圖像例5函數(shù)的圖像大致是 6求分段函數(shù)得反函數(shù)例6是定義在上的奇函數(shù), 且當(dāng)時, , 設(shè)的反函數(shù)為, 求的表達(dá)式. 7判斷分段函數(shù)的奇偶性例7判斷函數(shù)的奇偶性. 8判斷分段函數(shù)的單調(diào)性例8判斷函數(shù)的單調(diào)性. 例9寫出函數(shù)的單調(diào)減區(qū)間. 9解分段函數(shù)的方程例10設(shè)函數(shù), 那么滿足方程的的值為 10解分段函數(shù)的不等式例11設(shè)函數(shù), 假設(shè), 那么得取值范圍是 例12設(shè)函數(shù), 那么使得的自變量的取值范圍為 A B. C. D. 反響練習(xí)12021新課標(biāo)全國，5分函數(shù)f(x)假設(shè)|f

3、(x)|ax，那么a的取值范圍是()A(，0B.(，1C2,1 D2,022021福建，4分函數(shù)f(x)那么f_.32021北京，5分函數(shù)f(x)的值域為_42021江西，5分假設(shè)函數(shù)f(x)那么f(f(10)()Alg 101 B2C1 D052021北京，5分根據(jù)統(tǒng)計，一名工人組裝第x件某產(chǎn)品所用的時間(單位：分鐘)為f(x)(A，c為常數(shù))工人組裝第4件產(chǎn)品用時30分鐘，組裝第A件產(chǎn)品用時15分鐘，那么c和A的值分別是()A75,25 B75,16C60,25 D60,1662021江蘇，5分設(shè)f(x)是定義在R上且周期為2的函數(shù)，在區(qū)間1,1上，f(x)其中a，bR.假設(shè)f()f()，

4、那么a3b的值為_72021江蘇，5分實數(shù)a0，函數(shù)f(x)假設(shè)f(1a)f(1a)，那么a的值為_函數(shù)的概念和性質(zhì)考點一 分段函數(shù)分段函數(shù)是指自變量在兩個或兩個以上不同的范圍內(nèi), 有不同的對應(yīng)法那么的函數(shù), 它是一個函數(shù), 卻又常常被學(xué)生誤認(rèn)為是幾個函數(shù); 它的定義域是各段函數(shù)定義域的并集, 其值域也是各段函數(shù)值域的并集. 由于它在理解和掌握函數(shù)的定義、函數(shù)的性質(zhì)等知識的程度的考察上有較好的作用, 時常在高考試題中“閃亮登場, 本文就幾種具體的題型做了一些思考, 解析如下：1求分段函數(shù)的定義域和值域例1求函數(shù)的定義域、值域. 【解析】作圖, 利用“數(shù)形結(jié)合易知的定義域為, 值域為. 2求分段

5、函數(shù)的函數(shù)值例2函數(shù)求. 【解析】因為, 所以. 3求分段函數(shù)的最值例3求函數(shù)的最大值. 【解析】當(dāng)時, , 當(dāng)時, , 當(dāng)時, , 綜上有. 4求分段函數(shù)的解析式例4在同一平面直角坐標(biāo)系中, 函數(shù)和的圖象關(guān)于直線對稱, 現(xiàn)將的圖象沿軸向左平移2個單位, 再沿軸向上平移1個單位, 所得的圖象是由兩條線段組成的折線如下列圖, 那么函數(shù)的表達(dá)式為 【解析】當(dāng)時, , 將其圖象沿軸向右平移2個單位, 再沿軸向下平移1個單位, 得解析式為, 所以, 當(dāng)時, , 將其圖象沿軸向右平移2個單位, 再沿軸向下平移1個單位, 得解析式, 所以, 綜上可得, 應(yīng)選A. 5作分段函數(shù)的圖像例5函數(shù)的圖像大致是 解

6、析：在定義范圍討論，當(dāng)0<x<1時，；當(dāng)x>1時，應(yīng)選D6求分段函數(shù)得反函數(shù)例6是定義在上的奇函數(shù), 且當(dāng)時, , 設(shè)的反函數(shù)為, 求的表達(dá)式. 【解析】設(shè), 那么, 所以, 又因為是定義在上的奇函數(shù), 所以, 且, 所以, 因此, 從而可得. 7判斷分段函數(shù)的奇偶性例7判斷函數(shù)的奇偶性. 【解析】當(dāng)時, , , 當(dāng)時, , 當(dāng), , 因此, 對于任意都有, 所以為偶函數(shù). 8判斷分段函數(shù)的單調(diào)性例8判斷函數(shù)的單調(diào)性. 【解析】顯然連續(xù). 當(dāng)時, 恒成立, 所以是單調(diào)遞增函數(shù), 當(dāng)時, 恒成立, 也是單調(diào)遞增函數(shù), 所以在上是單調(diào)遞增函數(shù); 或畫圖易知在上是單調(diào)遞增函數(shù). 例

7、9寫出函數(shù)的單調(diào)減區(qū)間. 【解析】, 畫圖易知單調(diào)減區(qū)間為. 9解分段函數(shù)的方程例1001年上海設(shè)函數(shù), 那么滿足方程的的值為 【解析】假設(shè), 那么, 得, 所以舍去, 假設(shè), 那么, 解得, 所以即為所求. 10解分段函數(shù)的不等式例11設(shè)函數(shù), 假設(shè), 那么得取值范圍是 【解析1】首先畫出和的大致圖像, 易知時, 所對應(yīng)的的取值范圍是. 【解析2】因為, 當(dāng)時, , 解得, 當(dāng)時, , 解得, 綜上的取值范圍是. 應(yīng)選D. 例12設(shè)函數(shù), 那么使得的自變量的取值范圍為 A B. C. D. 【解析】當(dāng)時, , 所以, 當(dāng)時, , 所以, 綜上所述, 或, 應(yīng)選A項. 【點評：】 以上分段函數(shù)

8、性質(zhì)的考查中, 不難得到一種解題的重要途徑, 假設(shè)能畫出其大致圖像, 定義域、值域、最值、單調(diào)性、奇偶性等問題就會迎刃而解, 方程、不等式等可用數(shù)形結(jié)合思想、等價轉(zhuǎn)化思想、分類討論思想及函數(shù)思想來解, 使問題得到大大簡化, 效果明顯. 反響練習(xí)12021新課標(biāo)全國，5分函數(shù)f(x)假設(shè)|f(x)|ax，那么a的取值范圍是()A(，0B.(，1C2,1 D2,0解析：此題考查一次函數(shù)、二次函數(shù)、對數(shù)函數(shù)、分段函數(shù)及由不等式恒成立求參數(shù)的取值范圍問題，意在考查考生的轉(zhuǎn)化能力和利用數(shù)形結(jié)合思想解答問題的能力當(dāng)x0時，f(x)x22x(x1)210，所以|f(x)|ax化簡為x22xax，即x2(a2

9、)x，因為x0，所以a2x恒成立，所以a2；當(dāng)x0時，f(x)ln(x1)0，所以|f(x)|ax化簡為ln(x1)ax恒成立，由函數(shù)圖象可知a0，綜上，當(dāng)2a0時，不等式|f(x)|ax恒成立，選擇D.答案：D22021福建，4分函數(shù)f(x)那么f_.解析：此題主要考查分段函數(shù)的求值，意在考查考生的應(yīng)用能力和運算求解能力ftan 1，ff(1)2×(1)32.答案：232021北京，5分函數(shù)f(x)的值域為_解析：此題主要考查分段函數(shù)的概念、性質(zhì)以及指數(shù)函數(shù)、對數(shù)函數(shù)的性質(zhì)，意在考查考生對函數(shù)定義域、值域掌握的熟練程度分段函數(shù)是一個函數(shù)，其定義域是各段函數(shù)定義域的并集，值域是各段函

10、數(shù)值域的并集當(dāng)x1時，logx0，當(dāng)x<1時，0<2x<2，故值域為(0,2)(，0(，2)答案：(，2)42021江西，5分假設(shè)函數(shù)f(x)那么f(f(10)()Alg 101 B2C1 D0解析：f(10)lg 101，故f(f(10)f(1)1212.答案：B52021北京，5分根據(jù)統(tǒng)計，一名工人組裝第x件某產(chǎn)品所用的時間(單位：分鐘)為f(x)(A，c為常數(shù))工人組裝第4件產(chǎn)品用時30分鐘，組裝第A件產(chǎn)品用時15分鐘，那么c和A的值分別是()A75,25 B75,16C60,25 D60,16解析：因為組裝第A件產(chǎn)品用時15分鐘，所以15(1)，所以必有4<A，且30(2)，聯(lián)立(1)(2)解得c60，A16.答案：D62021江蘇，5分設(shè)f(x)是定義在R上且周期為2的函數(shù)，在區(qū)間1,1上，f(x)其中a，bR.假設(shè)f()f()，那么a3b的值為_解析：因為f(x)是定義在R上且周期為2的函數(shù)，所以f()f()，且f(1)f(1)，故f()f()，從而a1,3a2b2.由f(1)f(1)，得a1，故b2a.由得a2，b4，從而a3b10.答