21平面向量的實(shí)際背景及基本概念

1、第二章 平面向量2.1 平面向量的實(shí)際背景及基本概念1.1.掌握向量的意義、表示方法以及有關(guān)概念掌握向量的意義、表示方法以及有關(guān)概念. . （重點(diǎn)）（重點(diǎn)）2.2.能作一個(gè)向量與已知向量相等，根據(jù)圖形判定向量是否能作一個(gè)向量與已知向量相等，根據(jù)圖形判定向量是否平行、共線、相等平行、共線、相等. .（重點(diǎn)）（重點(diǎn)） 同學(xué)們都知道，數(shù)學(xué)是一門(mén)基礎(chǔ)學(xué)科，是解決其它同學(xué)們都知道，數(shù)學(xué)是一門(mén)基礎(chǔ)學(xué)科，是解決其它一些學(xué)科問(wèn)題的有力工具一些學(xué)科問(wèn)題的有力工具. .其實(shí)數(shù)學(xué)的很多理論是由其它其實(shí)數(shù)學(xué)的很多理論是由其它學(xué)科的一些知識(shí)抽象而來(lái)的學(xué)科的一些知識(shí)抽象而來(lái)的. .成為理論后又反過(guò)來(lái)對(duì)其它成為理論后又反過(guò)

2、來(lái)對(duì)其它學(xué)科起作用學(xué)科起作用. .比如同學(xué)們學(xué)習(xí)的物理，它與數(shù)學(xué)就有非常比如同學(xué)們學(xué)習(xí)的物理，它與數(shù)學(xué)就有非常密切的關(guān)系密切的關(guān)系. .唉唉, 哪兒去了哪兒去了?嘻嘻嘻嘻!大笨大笨貓貓!AB老鼠由老鼠由A A向東北方向以每秒向東北方向以每秒6 6米的速度米的速度逃竄，如果貓由逃竄，如果貓由B B向正東方向以每秒向正東方向以每秒1010米速度追趕，那么貓能否抓到老鼠？米速度追趕，那么貓能否抓到老鼠？為什么？為什么？ 請(qǐng)同學(xué)們回憶在物理中學(xué)習(xí)過(guò)哪些既有大小又有方請(qǐng)同學(xué)們回憶在物理中學(xué)習(xí)過(guò)哪些既有大小又有方向的量？向的量？ 向量的物理背景與概念向量的物理背景與概念 在現(xiàn)實(shí)生活中，我們會(huì)遇到很多量，其

3、中一些量在在現(xiàn)實(shí)生活中，我們會(huì)遇到很多量，其中一些量在取定單位后用一個(gè)實(shí)數(shù)就可以表示出來(lái)，如長(zhǎng)度、質(zhì)量取定單位后用一個(gè)實(shí)數(shù)就可以表示出來(lái)，如長(zhǎng)度、質(zhì)量等等. .還有一些量，如我們?cè)谖锢碇兴鶎W(xué)習(xí)的位移、力是既還有一些量，如我們?cè)谖锢碇兴鶎W(xué)習(xí)的位移、力是既有大小又有方向的量，例如：物體受到的重力是豎直向有大小又有方向的量，例如：物體受到的重力是豎直向下的（圖下的（圖2.1-12.1-1），物體的質(zhì)量越大，它受到的重力越大；），物體的質(zhì)量越大，它受到的重力越大；物體在液體中受到的浮力是豎直向上的（圖物體在液體中受到的浮力是豎直向上的（圖2.1-22.1-2），物），物體浸在液體中的體積越大，它受到的

4、浮力越大；被拉長(zhǎng)體浸在液體中的體積越大，它受到的浮力越大；被拉長(zhǎng)的彈簧的彈力是向左的（圖的彈簧的彈力是向左的（圖2.1-32.1-3），被壓縮的彈簧的彈），被壓縮的彈簧的彈力是向右的（圖力是向右的（圖2.1-42.1-4），并且在彈性限度內(nèi)，彈簧拉長(zhǎng)），并且在彈性限度內(nèi)，彈簧拉長(zhǎng)或壓縮的長(zhǎng)度越大，彈力越大或壓縮的長(zhǎng)度越大，彈力越大. .一、向量的定義一、向量的定義既有既有大小大小，又有，又有方向方向的量叫做的量叫做向量向量. .數(shù)量只有大小，可以進(jìn)行代數(shù)運(yùn)算、比較大小；向量有方數(shù)量只有大小，可以進(jìn)行代數(shù)運(yùn)算、比較大??；向量有方向，大小，不能比較大小向，大小，不能比較大小.思考思考: :時(shí)間時(shí)間

5、, ,路程路程, ,功功, ,速度速度, ,加速度是向量加速度是向量嗎嗎? ?為什么為什么? ?ABAB二、向量的表示方法二、向量的表示方法有向線段有向線段 （起點(diǎn)、起點(diǎn)、 ）(1)(1)幾何表示法：幾何表示法： a a ，b,b,(2)(2)字母表示法：字母表示法：B B（終點(diǎn)）終點(diǎn)）A A（起點(diǎn)）起點(diǎn)） 方向方向、長(zhǎng)度長(zhǎng)度問(wèn)題問(wèn)題1 1：“向量就是有向線段，有向線段就是向量向量就是有向線段，有向線段就是向量.”的說(shuō)的說(shuō) 法對(duì)嗎？法對(duì)嗎？不對(duì)，向量是自由向量，只有大小和方向兩個(gè)要素；與不對(duì)，向量是自由向量，只有大小和方向兩個(gè)要素；與起點(diǎn)無(wú)關(guān)：只要大小和方向相同，則這兩個(gè)向量就是相同起點(diǎn)無(wú)關(guān)：

6、只要大小和方向相同，則這兩個(gè)向量就是相同的向量；有向線段有起點(diǎn)、大小和方向三個(gè)要素，起點(diǎn)的向量；有向線段有起點(diǎn)、大小和方向三個(gè)要素，起點(diǎn)不同，盡管大小和方向相同，也是不同的有向線段不同，盡管大小和方向相同，也是不同的有向線段. .三三、向量的有關(guān)概念向量的有關(guān)概念1.1.向量的向量的長(zhǎng)度（模）長(zhǎng)度（模）：向量：向量ABAB的的大小大小, ,也就是向量也就是向量 的的長(zhǎng)長(zhǎng)度（或稱模）度（或稱模）. . |AB|AB|記作記作AB 2 2兩個(gè)特殊向量：兩個(gè)特殊向量： 問(wèn)：在平面上把所有單位向量的起點(diǎn)平移到同一點(diǎn)問(wèn)：在平面上把所有單位向量的起點(diǎn)平移到同一點(diǎn)P P，那么它們的終點(diǎn)的集合組成什么圖形？那

7、么它們的終點(diǎn)的集合組成什么圖形？零向量零向量-長(zhǎng)度為長(zhǎng)度為0 0的向量叫做零向量，記作的向量叫做零向量，記作 0 0. .P單位向量單位向量-長(zhǎng)度等于長(zhǎng)度等于1 1個(gè)單位的向量叫作單位向量個(gè)單位的向量叫作單位向量. .例例1.1.如圖，試根據(jù)圖中的比例尺以及三地的位置，在圖中如圖，試根據(jù)圖中的比例尺以及三地的位置，在圖中分別用向量表示分別用向量表示A A地至地至B B、C C兩地的位移，并求出兩地的位移，并求出A A地至地至B B、C C兩地的實(shí)際距離（精確到兩地的實(shí)際距離（精確到1km1km）. .AB解：解： 表示表示A A地至地至B B地的位移，且地的位移，且AB 200km 200km

8、 . . AC表示表示A A地至地至C C地的位移，且地的位移，且AC 280km 280km . .（1 1）相等向量：相等向量：長(zhǎng)度長(zhǎng)度相等相等且且方向相同方向相同的向量叫做相等向量的向量叫做相等向量. .記作：記作：a = b abo o.b aA AB BC CD DD DC CB BA A四、向量間的關(guān)系四、向量間的關(guān)系各向量的終點(diǎn)與直線各向量的終點(diǎn)與直線l之間有什么關(guān)系？之間有什么關(guān)系？如：如：abc（2 2）平行向量：平行向量：方向方向相同相同或或相反相反的的非零向量非零向量叫做平行向量叫做平行向量. .記作記作 a b cb c規(guī)定：規(guī)定：0 0與任一向量平行與任一向量平行.

9、.問(wèn)：?jiǎn)枺喊岩唤M平行于直線把一組平行于直線l的向量的起點(diǎn)平移到直線的向量的起點(diǎn)平移到直線l上的上的一點(diǎn)一點(diǎn)O O ，這時(shí)它們是不是平行向量？這時(shí)它們是不是平行向量？O Ol .C COC = cOC = cA AOA = a OA = a OB = b OB = b B B 平行向量又叫做共線向量平行向量又叫做共線向量問(wèn)題問(wèn)題2 2：兩個(gè)向量是否可以比較大?。?jī)蓚€(gè)向量是否可以比較大?。?向量不能比較大小，我們知道，長(zhǎng)度相等且方向相向量不能比較大小，我們知道，長(zhǎng)度相等且方向相同的兩個(gè)向量表示相等向量，但是兩個(gè)向量之間只有相同的兩個(gè)向量表示相等向量，但是兩個(gè)向量之間只有相等關(guān)系，沒(méi)有大小之分，等關(guān)

10、系，沒(méi)有大小之分，“對(duì)于向量對(duì)于向量 、 ， 或或 ”這種說(shuō)法是錯(cuò)誤的這種說(shuō)法是錯(cuò)誤的. .abba ba 例例2 2如圖，設(shè)如圖，設(shè)O O是正六邊形是正六邊形ABCDEFABCDEF的中心，分別寫(xiě)出圖中的中心，分別寫(xiě)出圖中 與與 相等的向量相等的向量. 解：解：OACBDO;OBDCEO;OCABEDFO. OA OB OC 、 、方向相同方向相同長(zhǎng)度相等長(zhǎng)度相等1.1.判斷下列說(shuō)法的正誤判斷下列說(shuō)法的正誤. .向量向量 與與 是共線向量，則是共線向量，則A A、B B、C C、D D 四點(diǎn)必在同一直線上；四點(diǎn)必在同一直線上；單位向量都相等；單位向量都相等；任一向量與它的相反向量任一向量與它

11、的相反向量( (長(zhǎng)度相同長(zhǎng)度相同, ,方向相反的向方向相反的向量量) )不相等；不相等；共線的向量，若起點(diǎn)不同，則終點(diǎn)一定不同共線的向量，若起點(diǎn)不同，則終點(diǎn)一定不同. .AB CD ( () )( () )( () )( () )A AB BC CD DF FE EM M解：解：（1 1）DEDE、BFBF、FBFB、FAFA、 AFAF、EDED、MCMC（2 2）FBFB、AFAF、MCMC2.2.如圖如圖,D,D、E E、F F分別是分別是ABCABC各邊上的中點(diǎn)，四邊形各邊上的中點(diǎn)，四邊形BCMFBCMF是平是平行四邊形，請(qǐng)分別寫(xiě)出行四邊形，請(qǐng)分別寫(xiě)出：（1 1）與）與CMCM長(zhǎng)度相等且共線的向量；（長(zhǎng)度相等且共線的向量；（2 2）與）與EDED相等的向量；相等的向量；3.3.已知邊長(zhǎng)為已知邊長(zhǎng)為2 2的等邊三角形的等邊三角形ABCABC，求，求BCBC邊上的中線向量邊上的中線向量 的模的模