21平面向量的實際背景及基本概念

1、第二章 平面向量2.1 平面向量的實際背景及基本概念1.1.掌握向量的意義、表示方法以及有關概念掌握向量的意義、表示方法以及有關概念. . （重點）（重點）2.2.能作一個向量與已知向量相等，根據(jù)圖形判定向量是否能作一個向量與已知向量相等，根據(jù)圖形判定向量是否平行、共線、相等平行、共線、相等. .（重點）（重點） 同學們都知道，數(shù)學是一門基礎學科，是解決其它同學們都知道，數(shù)學是一門基礎學科，是解決其它一些學科問題的有力工具一些學科問題的有力工具. .其實數(shù)學的很多理論是由其它其實數(shù)學的很多理論是由其它學科的一些知識抽象而來的學科的一些知識抽象而來的. .成為理論后又反過來對其它成為理論后又反過

2、來對其它學科起作用學科起作用. .比如同學們學習的物理，它與數(shù)學就有非常比如同學們學習的物理，它與數(shù)學就有非常密切的關系密切的關系. .唉唉, 哪兒去了哪兒去了?嘻嘻嘻嘻!大笨大笨貓貓!AB老鼠由老鼠由A A向東北方向以每秒向東北方向以每秒6 6米的速度米的速度逃竄，如果貓由逃竄，如果貓由B B向正東方向以每秒向正東方向以每秒1010米速度追趕，那么貓能否抓到老鼠？米速度追趕，那么貓能否抓到老鼠？為什么？為什么？ 請同學們回憶在物理中學習過哪些既有大小又有方請同學們回憶在物理中學習過哪些既有大小又有方向的量？向的量？ 向量的物理背景與概念向量的物理背景與概念 在現(xiàn)實生活中，我們會遇到很多量，其

3、中一些量在在現(xiàn)實生活中，我們會遇到很多量，其中一些量在取定單位后用一個實數(shù)就可以表示出來，如長度、質(zhì)量取定單位后用一個實數(shù)就可以表示出來，如長度、質(zhì)量等等. .還有一些量，如我們在物理中所學習的位移、力是既還有一些量，如我們在物理中所學習的位移、力是既有大小又有方向的量，例如：物體受到的重力是豎直向有大小又有方向的量，例如：物體受到的重力是豎直向下的（圖下的（圖2.1-12.1-1），物體的質(zhì)量越大，它受到的重力越大；），物體的質(zhì)量越大，它受到的重力越大；物體在液體中受到的浮力是豎直向上的（圖物體在液體中受到的浮力是豎直向上的（圖2.1-22.1-2），物），物體浸在液體中的體積越大，它受到的

4、浮力越大；被拉長體浸在液體中的體積越大，它受到的浮力越大；被拉長的彈簧的彈力是向左的（圖的彈簧的彈力是向左的（圖2.1-32.1-3），被壓縮的彈簧的彈），被壓縮的彈簧的彈力是向右的（圖力是向右的（圖2.1-42.1-4），并且在彈性限度內(nèi)，彈簧拉長），并且在彈性限度內(nèi)，彈簧拉長或壓縮的長度越大，彈力越大或壓縮的長度越大，彈力越大. .一、向量的定義一、向量的定義既有既有大小大小，又有，又有方向方向的量叫做的量叫做向量向量. .數(shù)量只有大小，可以進行代數(shù)運算、比較大??；向量有方數(shù)量只有大小，可以進行代數(shù)運算、比較大??；向量有方向，大小，不能比較大小向，大小，不能比較大小.思考思考: :時間時間

5、, ,路程路程, ,功功, ,速度速度, ,加速度是向量加速度是向量嗎嗎? ?為什么為什么? ?ABAB二、向量的表示方法二、向量的表示方法有向線段有向線段 （起點、起點、 ）(1)(1)幾何表示法：幾何表示法： a a ，b,b,(2)(2)字母表示法：字母表示法：B B（終點）終點）A A（起點）起點） 方向方向、長度長度問題問題1 1：“向量就是有向線段，有向線段就是向量向量就是有向線段，有向線段就是向量.”的說的說 法對嗎？法對嗎？不對，向量是自由向量，只有大小和方向兩個要素；與不對，向量是自由向量，只有大小和方向兩個要素；與起點無關：只要大小和方向相同，則這兩個向量就是相同起點無關：

6、只要大小和方向相同，則這兩個向量就是相同的向量；有向線段有起點、大小和方向三個要素，起點的向量；有向線段有起點、大小和方向三個要素，起點不同，盡管大小和方向相同，也是不同的有向線段不同，盡管大小和方向相同，也是不同的有向線段. .三三、向量的有關概念向量的有關概念1.1.向量的向量的長度（模）長度（模）：向量：向量ABAB的的大小大小, ,也就是向量也就是向量 的的長長度（或稱模）度（或稱模）. . |AB|AB|記作記作AB 2 2兩個特殊向量：兩個特殊向量： 問：在平面上把所有單位向量的起點平移到同一點問：在平面上把所有單位向量的起點平移到同一點P P，那么它們的終點的集合組成什么圖形？那

7、么它們的終點的集合組成什么圖形？零向量零向量-長度為長度為0 0的向量叫做零向量，記作的向量叫做零向量，記作 0 0. .P單位向量單位向量-長度等于長度等于1 1個單位的向量叫作單位向量個單位的向量叫作單位向量. .例例1.1.如圖，試根據(jù)圖中的比例尺以及三地的位置，在圖中如圖，試根據(jù)圖中的比例尺以及三地的位置，在圖中分別用向量表示分別用向量表示A A地至地至B B、C C兩地的位移，并求出兩地的位移，并求出A A地至地至B B、C C兩地的實際距離（精確到兩地的實際距離（精確到1km1km）. .AB解：解： 表示表示A A地至地至B B地的位移，且地的位移，且AB 200km 200km

8、 . . AC表示表示A A地至地至C C地的位移，且地的位移，且AC 280km 280km . .（1 1）相等向量：相等向量：長度長度相等相等且且方向相同方向相同的向量叫做相等向量的向量叫做相等向量. .記作：記作：a = b abo o.b aA AB BC CD DD DC CB BA A四、向量間的關系四、向量間的關系各向量的終點與直線各向量的終點與直線l之間有什么關系？之間有什么關系？如：如：abc（2 2）平行向量：平行向量：方向方向相同相同或或相反相反的的非零向量非零向量叫做平行向量叫做平行向量. .記作記作 a b cb c規(guī)定：規(guī)定：0 0與任一向量平行與任一向量平行.

9、.問：問：把一組平行于直線把一組平行于直線l的向量的起點平移到直線的向量的起點平移到直線l上的上的一點一點O O ，這時它們是不是平行向量？這時它們是不是平行向量？O Ol .C COC = cOC = cA AOA = a OA = a OB = b OB = b B B 平行向量又叫做共線向量平行向量又叫做共線向量問題問題2 2：兩個向量是否可以比較大?。績蓚€向量是否可以比較大??？ 向量不能比較大小，我們知道，長度相等且方向相向量不能比較大小，我們知道，長度相等且方向相同的兩個向量表示相等向量，但是兩個向量之間只有相同的兩個向量表示相等向量，但是兩個向量之間只有相等關系，沒有大小之分，等關

10、系，沒有大小之分，“對于向量對于向量 、 ， 或或 ”這種說法是錯誤的這種說法是錯誤的. .abba ba 例例2 2如圖，設如圖，設O O是正六邊形是正六邊形ABCDEFABCDEF的中心，分別寫出圖中的中心，分別寫出圖中 與與 相等的向量相等的向量. 解：解：OACBDO;OBDCEO;OCABEDFO. OA OB OC 、 、方向相同方向相同長度相等長度相等1.1.判斷下列說法的正誤判斷下列說法的正誤. .向量向量 與與 是共線向量，則是共線向量，則A A、B B、C C、D D 四點必在同一直線上；四點必在同一直線上；單位向量都相等；單位向量都相等；任一向量與它的相反向量任一向量與它

11、的相反向量( (長度相同長度相同, ,方向相反的向方向相反的向量量) )不相等；不相等；共線的向量，若起點不同，則終點一定不同共線的向量，若起點不同，則終點一定不同. .AB CD ( () )( () )( () )( () )A AB BC CD DF FE EM M解：解：（1 1）DEDE、BFBF、FBFB、FAFA、 AFAF、EDED、MCMC（2 2）FBFB、AFAF、MCMC2.2.如圖如圖,D,D、E E、F F分別是分別是ABCABC各邊上的中點，四邊形各邊上的中點，四邊形BCMFBCMF是平是平行四邊形，請分別寫出行四邊形，請分別寫出：（1 1）與）與CMCM長度相等且共線的向量；（長度相等且共線的向量；（2 2）與）與EDED相等的向量；相等的向量；3.3.已知邊長為已知邊長為2 2的等邊三角形的等邊三角形ABCABC，求，求BCBC邊上的中線向量邊上的中線向量 的模的模