帶通采樣定理證明

1、【精品文檔】如有侵權(quán)，請(qǐng)聯(lián)系網(wǎng)站刪除，僅供學(xué)習(xí)與交流帶通采樣定理證明.精品文檔.帶通信號(hào)的采樣與重建一、帶通采樣定理的理論基礎(chǔ) 基帶采樣定理只討論了其頻譜分布在（0，）的基帶信號(hào)的采樣問(wèn)題。作為接收機(jī)的模數(shù)轉(zhuǎn)換來(lái)說(shuō)：接收信號(hào)大多為已調(diào)制的射頻信號(hào)。射頻信號(hào)相應(yīng)的頻率上限遠(yuǎn)高于基帶信號(hào)的頻率上限。這時(shí)如果想采用基帶采樣就需要非常高的采樣速率！這是現(xiàn)實(shí)中的A/D難以實(shí)現(xiàn)的。這時(shí)，低通采樣定理已經(jīng)不能滿足實(shí)際中的使用要求。帶通采樣定理是適用于這樣的帶通信號(hào)的采樣理論基礎(chǔ)，下面給出定理。帶通采樣定理：設(shè)一個(gè)頻率帶限信號(hào)其頻帶限制在內(nèi)，如果其采樣速率滿足式： = （2-1）式中, 取能滿足的最大整數(shù)（0

2、，1，2），則用進(jìn)行等間隔采樣所得到的信號(hào)采樣值能準(zhǔn)確的確定原信號(hào)。帶通采樣定理使用的前提條件是：只允許在其中一個(gè)頻帶上存在信號(hào)，而不允許在不同的頻帶同時(shí)存在信號(hào)，否則將會(huì)引起信號(hào)混疊1。如圖2.3所示，為滿足這一條件的一種方案，采用跟蹤濾波器的辦法來(lái)解決，即在采樣前先進(jìn)行濾波1 ，也就是當(dāng)需要對(duì)位于某一個(gè)中心頻率的帶通信號(hào)進(jìn)行采樣時(shí)，就先把跟蹤濾波器調(diào)到與之對(duì)應(yīng)的中心頻率上，濾出所感興趣的帶通信號(hào)，然后再進(jìn)行采樣，以防止信號(hào)混疊。這樣的跟蹤濾波器稱之為抗混疊濾波器。圖2.3 帶通信號(hào)采樣式（2-1）用帶通信號(hào)的中心頻率和頻帶寬度B也可用式（2-2）表示： （2-2）式中，取能滿足（B為頻帶寬

3、度）的最大正整數(shù)。當(dāng)頻帶寬帶B一定時(shí)，為了能用最低采樣速率即兩倍頻帶寬度的采樣速率（）,帶通信號(hào)的中心頻率必須滿足。也即信號(hào)的最高或最低頻率是信號(hào)的整數(shù)倍。帶通采樣理論的應(yīng)用大大降低了所需的射頻采樣頻率，為后面的實(shí)時(shí)處理奠定了基礎(chǔ)。但是從軟件無(wú)線電的要求來(lái)看，帶通采樣的帶寬應(yīng)是越寬越好，這樣對(duì)不同基帶帶寬的信號(hào)會(huì)有更好的適應(yīng)性，在相同的工作頻率范圍內(nèi)所需要的“盲區(qū)”采樣頻率數(shù)量減少，有利于簡(jiǎn)化系統(tǒng)設(shè)計(jì)。另外，當(dāng)對(duì)于一個(gè)頻率很高的射頻信號(hào)采樣時(shí)，如果采樣頻率設(shè)的太低，對(duì)提高采樣量化的信噪比是不利的。所以在可能的情況下，帶通采樣頻率應(yīng)該盡可能選的高一些，使瞬時(shí)采樣帶寬盡可能寬。但是隨著采樣速率的提

4、高帶來(lái)的一個(gè)問(wèn)題是采樣后的數(shù)據(jù)流速率很高。因此一個(gè)實(shí)際的無(wú)線電通信帶寬一般為幾千赫茲到幾百赫茲。實(shí)際對(duì)單信號(hào)采樣時(shí)采樣率是不高的。所以對(duì)這種窄帶信號(hào)的采樣數(shù)據(jù)流降速是完全可能的。多速率信號(hào)處理技術(shù)為這種降速處理實(shí)現(xiàn)提供了理論依據(jù)。二、帶通采樣過(guò)程待采樣信號(hào)為中頻是100MHz，帶寬為2MHz的帶通信號(hào)：fc0=100e6; /中頻頻率fc1=99e6; /信號(hào)一的頻率fc2=101e6; /信號(hào)二的頻率fs1=3e6; /欠采樣的采樣頻率fs2=4e6; /臨界采樣采樣頻率fs3=6e6; /大于2倍帶寬的采樣速率f0=250e6 /用以模擬連續(xù)信號(hào)的離散信號(hào)采樣速率（遠(yuǎn)大于nyquist率）

5、 t=0:1/f0:1e-6; xt0=2*cos(2*pi*fc1*t)+4*cos(2*pi*fc2*t);待采樣信號(hào)的波形和頻譜如圖所示： 圖1 原信號(hào)波形及頻譜按照如上的三種采樣頻率對(duì)待采樣信號(hào)進(jìn)行采樣，得到的三個(gè)信號(hào)及其幅度譜如圖所示：1） 欠采樣條件下得到的采樣信號(hào)：圖2 欠采樣信號(hào)的波形及幅度譜2) 臨界采樣：圖3 臨界采樣信號(hào)的波形及幅度譜3） 滿足采樣條件的采樣信號(hào) 圖4 正常采樣信號(hào)的波形及幅度譜三、信號(hào)重建1）設(shè)計(jì)通帶為99101MHz的4階巴特沃茲一型IIR濾波器來(lái)作為信號(hào)恢復(fù)的模擬濾波器，濾波器的設(shè)計(jì)過(guò)程及幅頻響應(yīng)特性如圖所示：fs=250e6;N=4;figure(

6、6);Wn = 0.792 0.808;b,a=butter(N,Wn,'bandpass');h,w=freqz(b,a);plot(w/pi*fs/2,abs(h); grid;title('Amplitude Response');xlabel('Frequency (Hz)'); ylabel('Amplitude');圖1 濾波器的幅度響應(yīng)2）將三種采樣信號(hào)的到的數(shù)據(jù)流通過(guò)信號(hào)恢復(fù)濾波器，即上述的巴特沃茲一型濾波器，得到的結(jié)果如下：圖2欠采樣恢復(fù)圖3 臨界采樣恢復(fù)圖3 正常采樣恢復(fù)四、結(jié)果分析從結(jié)果可見(jiàn)：欠采樣信號(hào)進(jìn)行恢

7、復(fù)時(shí)，從信號(hào)完整角度進(jìn)行觀察便可以發(fā)現(xiàn)信號(hào)的不同，缺少了原信號(hào)的部分信息。而臨界采樣信號(hào)的恢復(fù)，在信號(hào)周期上有一定的變化，比原信號(hào)的信息有所丟失。正常采樣下的信號(hào)可以恢復(fù)出原信號(hào)一個(gè)完整周期的頻譜。但由于所選取信號(hào)長(zhǎng)度的問(wèn)題，沒(méi)能恢復(fù)全部信號(hào)，但這已經(jīng)能夠證明帶通采樣定理的正確性，即采樣后的信號(hào)沒(méi)有丟失原信號(hào)的信息。附:%´øͨ²ÉÑù¶¨ÀíµÄÑéÖ¤%´øͨÖ

8、;ÐÐÄƵÂÊΪfc=100MHz,ÐźÅƵÂÊΪf1=99MHzºÍf2=101MHz%²ÉÑùËÙÂÊ·Ö±ðΪ3MHz¡¢4MHz¡¢6MHz% B=2MHz,Àí

9、4;ÛÉϵ±²ÉÑùƵÂÊ´ïµ½¶þ±¶´ø¿íʱ£ºÐźŵÄƵÆײ»»á»ìµþ¡£%cle

10、ar all; clc; close all;fc0=100e6;fc1=99e6; %ÐźÅ1µÄƵÂÊfc2=101e6; %ÐźÅ2µÄƵÂÊfs1=3e6; %µÍÓÚ¶þ±¶´ø¿íµÄ²ÉÑù

11、8;µÂÊfs2=4e6; %ÁÙ½ç²ÉÑùƵÂÊfs3=6e6; %´óÓÚ¶þ±¶´û¿îµÄ²ÉÑùƵÂÊ f0=250e6;%±íʾԭÐ

12、97;ºÅµÄ²ÉÑùƵÂÊ£¬±ÈÆä²ÉÑùƵÂʸßÒ»¸öÊýÁ¿¼¶%µÍͨ²ÉÑù¶¨À&#

13、237;µÄ²ÉÑù×÷ΪԭģÄâÐźÅ%t=0:1/f0:1e-6;N=1e-6*f0;xt0=2*cos(2*pi*fc1*t)+4*cos(2*pi*fc2*t);figure(1);subplot(2,1,1);plot(t,xt0);title('´ý²ÉÑùÐźÅ

14、78;¨ÐÎ');xlabel('x');ylabel('xt');yjw0=fft(xt0,N);absy0=abs(yjw0);f=(0:N-1)*f0/N; subplot(2,1,2);plot(f,absy0);title('´ý²ÉÑùÐźÅƵÆ×')xlabel('Êý×ÖƵÂ

15、;Ê');ylabel('·ù¶ÈÆ×')%´øͨ²ÉÑù¶¨ÀíϵÄÇ·²ÉÑù²¨Ðμ°ÆµÆ×%t=0:1/fs1:5e-5;N=5e-5*fs1;xts1=2*cos(2

16、*pi*fc1*t)+4*cos(2*pi*fc2*t);figure(2);subplot(2,1,1);plot(t,xts1);title('Ç·²ÉÑùÐźŲ¨ÐÎ');xlabel('x');ylabel('xt');yjws1=fft(xts1,N);absys1=abs(yjws1);f=(0:N-1)*fs1/N; subplot(2,1,2);plot(f,absys1);xlabel(

17、'Êý×ÖƵÂÊ');ylabel('·ù¶ÈÆ×')title('Ç·²ÉÑùÐźÅƵÆ×')%´øͨ²ÉÑù¶¨ÀíÏÂ

18、ÁÙ½ç²ÉÑùµÄ²¨Ðμ°ÆµÆ×%t=0:1/fs2:5e-5;N=5e-5*fs2;xts2=2*cos(2*pi*fc1*t)+4*cos(2*pi*fc2*t);figure(3);subplot(2,1,1);plot(t,xts2);title('ÁÙ½ç²ÉÑùÐÅ

19、86;Ų¨ÐÎ');xlabel('x');ylabel('xt');yjws2=fft(xts2,N);absys2=abs(yjws2);f=(0:N-1)*fs2/N; subplot(2,1,2);plot(f,absys2);xlabel('Êý×ÖƵÂÊ');ylabel('·ù¶ÈÆ×')title('

20、3;Ù½ç²ÉÑùÐźÅƵÆ×');%´óÓÚÁÙ½ç²ÉÑùƵÂʵĴøͨ²ÉÑùµÄ²¨Ðμ&#

21、176;ƵÆ×%t=0:1/fs3:5e-5;N=5e-5*fs3;xts3=2*cos(2*pi*fc1*t)+4*cos(2*pi*fc2*t);figure(4);subplot(2,1,1);plot(t,xts3);title('´óÓÚÁÙ½ç²ÉÑùÐźŲ¨ÐÎ');xlabel('x');ylabel(&

22、#39;xt');yjws3=fft(xts3,N);absys3=abs(yjws3);f=(0:N-1)*fs3/N; subplot(2,1,2);plot(f,absys3);xlabel('Êý×ÖƵÂÊ');ylabel('·ù¶ÈÆ×')title('´óÓÚÁÙ½ç²ÉÑù

23、ÐźÅƵÆ×');fs=250e6;N=4;figure(6);Wn = 0.792 0.808;b,a=butter(N,Wn,'bandpass');h,w=freqz(b,a);plot(w/pi*fs/2,abs(h); grid;title('Amplitude Response');xlabel('Frequency (Hz)'); ylabel('Amplitude');%Ç·²ÉÑùÐźŵ