應(yīng)力應(yīng)變分析

1、北京理工大學(xué)理學(xué)院力學(xué)系 韓斌10.1 應(yīng)力的概念應(yīng)力的概念 一點(diǎn)處的應(yīng)力狀態(tài)一點(diǎn)處的應(yīng)力狀態(tài)1.內(nèi)力在變形體內(nèi)某一截面上分布的描述內(nèi)力在變形體內(nèi)某一截面上分布的描述TM用截面法求某一截面上的內(nèi)力，得出該截面上的用截面法求某一截面上的內(nèi)力，得出該截面上的內(nèi)力分量：內(nèi)力分量：MTFFSN,截面分布內(nèi)力系向截截面分布內(nèi)力系向截面形心簡化后的等效力系面形心簡化后的等效力系為正確描述變形，應(yīng)在為正確描述變形，應(yīng)在該截面上的每一點(diǎn)，描該截面上的每一點(diǎn)，描述內(nèi)力的狀況。述內(nèi)力的狀況。xyzNFSFRFCM A A在在P點(diǎn)取面元點(diǎn)取面元 A， A上分布內(nèi)力合力為上分布內(nèi)力合力為在在 m-m截面上截面上P點(diǎn)處

2、定義：點(diǎn)處定義：FNFSFFSFNFAFNA0limAFSA0limAFpA0lim p應(yīng)力的單位：應(yīng)力的單位：1Pa=1N/m21Mpa=106Pa1Gpa=103Mpa=109Pa2. 變形體內(nèi)某一點(diǎn)的應(yīng)力狀態(tài)變形體內(nèi)某一點(diǎn)的應(yīng)力狀態(tài)應(yīng)力張量的概念應(yīng)力張量的概念正應(yīng)力、切應(yīng)力（或全應(yīng)力）正應(yīng)力、切應(yīng)力（或全應(yīng)力）均與均與有關(guān)有關(guān)過物體內(nèi)部某點(diǎn)過物體內(nèi)部某點(diǎn) p的所有截面上的應(yīng)力分的所有截面上的應(yīng)力分量的總體，稱為量的總體，稱為描述變形體內(nèi)部某點(diǎn)的應(yīng)力狀態(tài)，應(yīng)用描述變形體內(nèi)部某點(diǎn)的應(yīng)力狀態(tài)，應(yīng)用描述描述10.2應(yīng)力張量的表示方法（分量表示法）應(yīng)力張量的表示方法（分量表示法）1.單元體的概念單

3、元體的概念變形體內(nèi)某點(diǎn)處取出的邊長無限小的體積微元變形體內(nèi)某點(diǎn)處取出的邊長無限小的體積微元在直角坐標(biāo)系下，單元體為無限小正六面體在直角坐標(biāo)系下，單元體為無限小正六面體xyzxyz單元體的三對表面：單元體的三對表面：外法向與坐標(biāo)軸同向：外法向與坐標(biāo)軸同向：外法向與坐標(biāo)軸反向：外法向與坐標(biāo)軸反向單元體是變形體單元體是變形體的最基本模型的最基本模型2.應(yīng)力張量的表示方法應(yīng)力張量的表示方法單元體每個(gè)表面上，都有該點(diǎn)在該截面上的應(yīng)力單元體每個(gè)表面上，都有該點(diǎn)在該截面上的應(yīng)力矢量（全應(yīng)力），可分解為三個(gè)分量矢量（全應(yīng)力），可分解為三個(gè)分量每對表面上的應(yīng)力矢量互為反作用力，共每對表面上的應(yīng)力矢量互為反作用力

4、，共9個(gè)分量個(gè)分量xyzxyz各應(yīng)力分量的記法各應(yīng)力分量的記法xy該分量的指向該分量的指向所在面的法向所在面的法向xyxzxxyyyzyxzyzzzxzyzzzxyyyzyxxyxzxx兩腳標(biāo)相同兩腳標(biāo)相同正應(yīng)力正應(yīng)力兩腳標(biāo)不同兩腳標(biāo)不同切應(yīng)力切應(yīng)力故應(yīng)力張量的分量表示為：故應(yīng)力張量的分量表示為：zzzyzxyzyyyxxzxyxxzzyzxyzyyxxzxyx或或zzyzxyzyyxxzxyx或或若記若記x=1,y=2,z=3,則則3332312322211312113.單元體的平衡條件單元體的平衡條件xyzxyxzxxyyyzyxzyzzzxxCyCzC以單元體為分離體以單元體為分離體,過

5、其形心過其形心C作作xC,yC,zC軸：軸：0,0, 0CCCxyzMMMyzzyyxxyzxxzjiij切應(yīng)力互等定理切應(yīng)力互等定理故應(yīng)力張量為故應(yīng)力張量為9個(gè)分量中，只有個(gè)分量中，只有6個(gè)獨(dú)立分量！個(gè)獨(dú)立分量！10.3 平面應(yīng)力狀態(tài)分析平面應(yīng)力狀態(tài)分析若某點(diǎn)的單元體應(yīng)力狀態(tài)滿足：若某點(diǎn)的單元體應(yīng)力狀態(tài)滿足：9個(gè)應(yīng)力分量有些為零，不為零的應(yīng)力分量作用線都在個(gè)應(yīng)力分量有些為零，不為零的應(yīng)力分量作用線都在同一平面內(nèi)同一平面內(nèi)稱為稱為或或xyzxyyyxxyxyxyx可簡化為平面單元體：可簡化為平面單元體：xyxyyyxxyxyxyx例如當(dāng)物體的表面不受力時(shí)在表面例如當(dāng)物體的表面不受力時(shí)在表面取出

6、的單元體取出的單元體例如外力作用在板平面內(nèi)的薄板內(nèi)任意點(diǎn)例如外力作用在板平面內(nèi)的薄板內(nèi)任意點(diǎn)取出的單元體取出的單元體1.平面應(yīng)力狀態(tài)的工程表示方法平面應(yīng)力狀態(tài)的工程表示方法xyxyyxyxyx正應(yīng)力正應(yīng)力 ， 以拉為正以拉為正xy切應(yīng)力切應(yīng)力 ， 以使單元體順以使單元體順時(shí)針轉(zhuǎn)動(dòng)為正時(shí)針轉(zhuǎn)動(dòng)為正xy：故切應(yīng)力互等定理為：故切應(yīng)力互等定理為：yx2. 平面應(yīng)力狀態(tài)分析平面應(yīng)力狀態(tài)分析解析法解析法若某點(diǎn)的應(yīng)力狀態(tài)已知，可求出該點(diǎn)任意若某點(diǎn)的應(yīng)力狀態(tài)已知，可求出該點(diǎn)任意外法線與為外法線與為n的斜截面上的應(yīng)力分量。的斜截面上的應(yīng)力分量。已知：某點(diǎn)單元體上的應(yīng)力分量已知：某點(diǎn)單元體上的應(yīng)力分量xyx,x

7、yxyyxyxyxn 求該點(diǎn)外法線為求該點(diǎn)外法線為n的斜截面的斜截面 面上的正應(yīng)力面上的正應(yīng)力 , 切應(yīng)力切應(yīng)力 。沿斜面將單元體切開取分離體，設(shè)斜面面積為沿斜面將單元體切開取分離體，設(shè)斜面面積為dAxyxy0nFsin)cos(cos)cos(dAdAdAxx0cos)sin(sin)sin(dAdAxy nt2sin2cos22xyxyx同理同理 可得：可得：0tF2cos2sin2xyx斜面應(yīng)力公式斜面應(yīng)力公式2sin2cos22xyxyx2cos2sin2xyx（10.1） (10.2)xyxyyxyxyxn 10.4主平面、主方向、主應(yīng)力、最大切應(yīng)力主平面、主方向、主應(yīng)力、最大切應(yīng)力

8、1. 主平面主平面 主方向主方向 主應(yīng)力主應(yīng)力在變形體內(nèi)某一點(diǎn)處：在變形體內(nèi)某一點(diǎn)處：若某一方向的斜截面上若某一方向的斜截面上 ，則該截面稱為，則該截面稱為0該斜截面的方向角該斜截面的方向角 稱為稱為，則有則有02cos2sin2xyx (10.2)02 內(nèi)，得兩個(gè)值內(nèi)，得兩個(gè)值 和和 ，且，且1P2P9012PPyxxP22tan（10.3）主方向公式主方向公式即這兩個(gè)主平面相互垂直即這兩個(gè)主平面相互垂直主平面上的正應(yīng)力稱為主平面上的正應(yīng)力稱為由斜面應(yīng)力公式（由斜面應(yīng)力公式（10.1）2sin2cos22xyxyx02cos22sin22xyxdd令令yxx22tan即（即（10.3）式）式

9、同樣有同樣有故，主平面上的正應(yīng)力達(dá)到極值故，主平面上的正應(yīng)力達(dá)到極值即主應(yīng)力分別對應(yīng)于即主應(yīng)力分別對應(yīng)于 的極大值和極小值的極大值和極小值將將 P1， P2代入（代入（10.1）得出主平面上的主應(yīng)力為：）得出主平面上的主應(yīng)力為：2222xyxyx （10.4)主應(yīng)力公式主應(yīng)力公式以主平面為單元體的各面則稱為主單元體以主平面為單元體的各面則稱為主單元體xyxyyx1P2P 從變形體內(nèi)任意點(diǎn)取出的單元體稱為原始單元體從變形體內(nèi)任意點(diǎn)取出的單元體稱為原始單元體主單元體的各表面上只主單元體的各表面上只有正應(yīng)力，沒有切應(yīng)力有正應(yīng)力，沒有切應(yīng)力對平面應(yīng)力狀態(tài)，對平面應(yīng)力狀態(tài)，z平平面也為一個(gè)主平面，面也為

10、一個(gè)主平面，其上的主應(yīng)力為零。其上的主應(yīng)力為零。按代數(shù)值大小排列為按代數(shù)值大小排列為 分別稱為分別稱為對任意的一般應(yīng)力狀態(tài)，同樣存在著三個(gè)相互垂對任意的一般應(yīng)力狀態(tài)，同樣存在著三個(gè)相互垂直的主平面及三個(gè)主應(yīng)力。直的主平面及三個(gè)主應(yīng)力。一般應(yīng)力狀態(tài)的分類；一般應(yīng)力狀態(tài)的分類；某點(diǎn)的三個(gè)主應(yīng)力全不為零某點(diǎn)的三個(gè)主應(yīng)力全不為零該點(diǎn)為三向應(yīng)力狀態(tài)該點(diǎn)為三向應(yīng)力狀態(tài)某點(diǎn)有一個(gè)主應(yīng)力為零某點(diǎn)有一個(gè)主應(yīng)力為零該點(diǎn)為二向應(yīng)力狀態(tài)該點(diǎn)為二向應(yīng)力狀態(tài)某點(diǎn)有二個(gè)主應(yīng)力為零某點(diǎn)有二個(gè)主應(yīng)力為零該點(diǎn)為單向應(yīng)力狀態(tài)，簡該點(diǎn)為單向應(yīng)力狀態(tài)，簡單應(yīng)力狀態(tài)單應(yīng)力狀態(tài)某點(diǎn)處所有截面上的正應(yīng)力，其極大值為某點(diǎn)處所有截面上的正應(yīng)力，

11、其極大值為 1，極小值為極小值為 3單向、雙向、三向應(yīng)力狀態(tài)單向、雙向、三向應(yīng)力狀態(tài)2 .某點(diǎn)單元體的最大切應(yīng)力某點(diǎn)單元體的最大切應(yīng)力2cos2sin2xyx由斜面應(yīng)力公式由斜面應(yīng)力公式 求導(dǎo)求導(dǎo) (10.2)02sin22cos)(xyxddPyxxS2tan22cot上式的兩個(gè)解上式的兩個(gè)解 S1， S2為切應(yīng)力達(dá)到極值的平面為切應(yīng)力達(dá)到極值的平面 S與主平面與主平面 P相差相差45，即，即 P1與與 P2的角平分線的角平分線方向?yàn)榉较驗(yàn)?S1和和 S2的方向。切應(yīng)力的極值為：的方向。切應(yīng)力的極值為：2 Pi P S45x Pi同理，某點(diǎn)的三個(gè)主應(yīng)力中，任意二個(gè)主同理，某點(diǎn)的三個(gè)主應(yīng)力中，

12、任意二個(gè)主應(yīng)力都可找出一組切應(yīng)力極值，分別為：應(yīng)力都可找出一組切應(yīng)力極值，分別為：應(yīng)為三者當(dāng)中的最大者，即應(yīng)為三者當(dāng)中的最大者，即231max（10.5）2321P2312P2213P主切應(yīng)力主切應(yīng)力123所在平面所在平面3P1232P所在平面所在平面1231P所在平面所在平面而最大切應(yīng)力所在平面的法向應(yīng)為而最大切應(yīng)力所在平面的法向應(yīng)為 1， 3兩方向兩方向的角平分線方向。的角平分線方向。 max最大切應(yīng)力所在最大切應(yīng)力所在平面上的正應(yīng)力是多少？平面上的正應(yīng)力是多少？ 已知初始單元體的應(yīng)力已知初始單元體的應(yīng)力( (單位：單位：Mpa) )，求主單元體上的應(yīng)力并畫出主單元體。求主單元體上的應(yīng)力并

13、畫出主單元體。解：解：MPa1090504030404022 3080 xy例例 題題 1 例題例題MPa80 x0yMPa30 x由初始單元體上的應(yīng)力分量由初始單元體上的應(yīng)力分量代入主應(yīng)力公式：代入主應(yīng)力公式：故三個(gè)主應(yīng)力分別為故三個(gè)主應(yīng)力分別為MpaMpa10, 0,903212222xyxyx 45.181P55.712P4380602tanP求主方向：求主方向：例例 題題 1 例題例題45.18x 55.7110.5 10.5 應(yīng)力圓應(yīng)力圓一點(diǎn)處平面應(yīng)力狀態(tài)的圖解法。一點(diǎn)處平面應(yīng)力狀態(tài)的圖解法。xyxyyxyxyx由斜面應(yīng)力公式可得由斜面應(yīng)力公式可得2cos2sin2xyx(b)2si

14、n2cos22xyxyx(a)上兩式兩邊平方后相加上兩式兩邊平方后相加 222222xyxyx圓的方程：圓心圓的方程：圓心 ( )02,yx圓的半徑：圓的半徑：222xyx)(R2222Ryx上式在應(yīng)力坐標(biāo)系上式在應(yīng)力坐標(biāo)系 中為一圓，稱為中為一圓，稱為O圓心圓心 ( )02,yx2yx圓的半徑：圓的半徑：222xyx)(Rxxx,Dxyy,DCR應(yīng)力圓的畫法：應(yīng)力圓的畫法：xyxyyxyxyx已知某點(diǎn)的平面應(yīng)力狀態(tài)為已知某點(diǎn)的平面應(yīng)力狀態(tài)為xyx,x面坐標(biāo)面坐標(biāo) Dx（ ）y面坐標(biāo)面坐標(biāo) Dy（ ）xx,xy,兩點(diǎn)連線與兩點(diǎn)連線與 軸的交點(diǎn)軸的交點(diǎn)為圓心為圓心C以以CDx為半徑畫出應(yīng)力圓為半

15、徑畫出應(yīng)力圓應(yīng)力圓的物理意義：應(yīng)力圓的物理意義：圓周上任意一點(diǎn)的坐標(biāo)值，為該點(diǎn)某一斜截面上圓周上任意一點(diǎn)的坐標(biāo)值，為該點(diǎn)某一斜截面上的正應(yīng)力和切應(yīng)力的正應(yīng)力和切應(yīng)力xyxyyxyxyx 角以逆時(shí)針為正角以逆時(shí)針為正Oxxx,Dxyy,D2yxCR2 ),(因此，當(dāng)因此，當(dāng) 連續(xù)變化至連續(xù)變化至 時(shí)，坐標(biāo)時(shí)，坐標(biāo) 繞應(yīng)力圓的圓心轉(zhuǎn)一周繞應(yīng)力圓的圓心轉(zhuǎn)一周. . ,應(yīng)力圓上一點(diǎn)，由應(yīng)力圓上一點(diǎn)，由 繞圓心轉(zhuǎn)過繞圓心轉(zhuǎn)過 角，對應(yīng)角，對應(yīng) 截截面上的應(yīng)力面上的應(yīng)力 Dx2,Oxxx,Dxyy,D2yxCRxyxyyxyxyx 2 ),(OC2yx2yxxyyD,xxxD,12P22P pi2,D從應(yīng)

16、力圓上還可找到：主應(yīng)力，主方向，主切應(yīng)力從應(yīng)力圓上還可找到：主應(yīng)力，主方向，主切應(yīng)力主應(yīng)力：主應(yīng)力：主方向：主方向：zPP,21方向方向0 0 , 321,最大切應(yīng)力：最大切應(yīng)力：231maxOC2yx2yxxyyD,xxxD,12P22P pi2,Dyxxyyxyxyx1P2P Pi單元體的主應(yīng)力、主方向、主切應(yīng)力單元體的主應(yīng)力、主方向、主切應(yīng)力（2）純剪切（純剪）純剪切（純剪）TT 主單元體主單元體45 - 幾種工程上常見的應(yīng)力狀態(tài)的實(shí)例：幾種工程上常見的應(yīng)力狀態(tài)的實(shí)例：（1）單向拉伸）單向拉伸（2）單向壓縮）單向壓縮 某點(diǎn)單元體應(yīng)力狀態(tài)如圖，確某點(diǎn)單元體應(yīng)力狀態(tài)如圖，確定該點(diǎn)的主應(yīng)力、主

17、方向，畫定該點(diǎn)的主應(yīng)力、主方向，畫出主單元體及其上的應(yīng)力，并出主單元體及其上的應(yīng)力，并在應(yīng)力圓上標(biāo)出圖示截面上的在應(yīng)力圓上標(biāo)出圖示截面上的應(yīng)力，（單位：應(yīng)力，（單位： ）MPa302050100例例 題題 2 例題例題解：解：2220210030210030 MPa6 .243 .1057100302022tanP8 .2922PC8012P例例 題題 2 例題例題302050100 xD2030yD100 22P9 .142P與與 2對應(yīng)對應(yīng)主應(yīng)力為：主應(yīng)力為：0,6 .24,3 .105321MpaMpa1 .759021PP與與 1對應(yīng)對應(yīng)DMPa6 .7840MPa9 .374040主

18、單元體：主單元體： 1 .759 .14Mpa7 .24Mpa3 .105例例 題題 2 例題例題已知應(yīng)力圓如圖，畫已知應(yīng)力圓如圖，畫出該點(diǎn)的初始單元體出該點(diǎn)的初始單元體及應(yīng)力，主單元體及及應(yīng)力，主單元體及應(yīng)力。（單位：應(yīng)力。（單位： ）MPa解：解：C4020yDxD例例 題題 3 例題例題初始單元體初始單元體2040 xy半徑半徑 28.28202MPa28.48202122020MPa28. 8201220220 12tanP5 .1125 .2221PP主單元體：主單元體：例例 題題 3 例題例題C4020yDxD2040 xy28.4828. 85 .22112.5xzy11.5 1

19、1.5 三向應(yīng)力狀態(tài)三向應(yīng)力狀態(tài) 將三個(gè)主應(yīng)力按代數(shù)量的大將三個(gè)主應(yīng)力按代數(shù)量的大小順序排列小順序排列 321因此根據(jù)每一點(diǎn)的應(yīng)力狀態(tài)因此根據(jù)每一點(diǎn)的應(yīng)力狀態(tài)都可以找到都可以找到3 3個(gè)相互垂直的個(gè)相互垂直的主應(yīng)力和主應(yīng)力和3 3個(gè)正交的主方向個(gè)正交的主方向xzy213xyxzxxyyyzyxzyzzzx三向應(yīng)力圓三向應(yīng)力圓 空間任意方向截面上的應(yīng)力空間任意方向截面上的應(yīng)力 ， 可由三向應(yīng)力圓所夾可由三向應(yīng)力圓所夾陰影面中某點(diǎn)陰影面中某點(diǎn) 的應(yīng)力坐標(biāo)表示。的應(yīng)力坐標(biāo)表示。 K一點(diǎn)處最大的剪應(yīng)力一點(diǎn)處最大的剪應(yīng)力 231max312132K1p3pmax2p求求 ， ， ，123max解：解：

20、在在 ， 平面內(nèi)平面內(nèi) xyMPa109050403028028022 308050 xyz例例 題題 4 例題例題MPa50z為一個(gè)主應(yīng)力為一個(gè)主應(yīng)力MPa901MPa102MPa503MPa70231maxCyDxD501090一點(diǎn)的變形有正應(yīng)變一點(diǎn)的變形有正應(yīng)變( (線應(yīng)變線應(yīng)變) ) 和切應(yīng)變和切應(yīng)變( (剪應(yīng)變剪應(yīng)變) ) 11.6 11.6 應(yīng)變分析應(yīng)變分析1. 某點(diǎn)處（單元體的）變形的描述某點(diǎn)處（單元體的）變形的描述應(yīng)變應(yīng)變 xyz正應(yīng)變正應(yīng)變線段單位長度的改變量，無量綱線段單位長度的改變量，無量綱切切應(yīng)變應(yīng)變直角的改變量，單位：弧度直角的改變量，單位：弧度 xyzyxxyzyy

21、zxzzx某點(diǎn)處的應(yīng)變某點(diǎn)處的應(yīng)變二階對稱應(yīng)變張量二階對稱應(yīng)變張量zzyzxyzyyxxzxyx212121212121在在 ， 坐標(biāo)下坐標(biāo)下 xyxuxyvy2.2.平面應(yīng)變狀態(tài)平面應(yīng)變狀態(tài) （與平面應(yīng)力狀態(tài)對應(yīng)的）（與平面應(yīng)力狀態(tài)對應(yīng)的）單元體的相應(yīng)尺寸與應(yīng)變相乘得單元體的絕對變形量單元體的相應(yīng)尺寸與應(yīng)變相乘得單元體的絕對變形量xyxyyxyxyxxyxxyxyx,xyuxyvuyuxxuxyxy在在 ， 坐標(biāo)下，坐標(biāo)下， 方向到方向到 方向夾角方向夾角 xyxx令令 ， ，與平面應(yīng)力狀態(tài)的分析，與平面應(yīng)力狀態(tài)的分析類似有類似有 xyx 某點(diǎn)各個(gè)方位應(yīng)變的情況稱為該點(diǎn)的應(yīng)變狀態(tài)某點(diǎn)各個(gè)方位

22、應(yīng)變的情況稱為該點(diǎn)的應(yīng)變狀態(tài)22sin22cos22xyxyx2cos22sin22xyx應(yīng)變分析公式應(yīng)變分析公式斜面應(yīng)力公式斜面應(yīng)力公式2sin2cos22xyxyx2cos2sin2xyx（10.1） (10.2)22222 xyxyxyxx02tan主應(yīng)變方向：類似，也可求出該點(diǎn)的主應(yīng)變，主應(yīng)變方向類似，也可求出該點(diǎn)的主應(yīng)變，主應(yīng)變方向應(yīng)變花：應(yīng)變花：321可證明：在應(yīng)力或變形不是很大的情況下（線彈性范可證明：在應(yīng)力或變形不是很大的情況下（線彈性范圍）主應(yīng)力與主應(yīng)變圍）主應(yīng)力與主應(yīng)變 的方向是重合的。的方向是重合的?？捎糜趯?shí)驗(yàn)測定一點(diǎn)處可用于實(shí)驗(yàn)測定一點(diǎn)處的應(yīng)變狀態(tài)的應(yīng)變狀態(tài)xyx,11

23、2sin22cos221xyxyx222sin22cos222xyxyx332sin22cos223xyxyx012060120120450904545胡克定律胡克定律 E比例系數(shù)比例系數(shù) 稱為材料的稱為材料的 E比例系數(shù)比例系數(shù) 稱為泊松比稱為泊松比 21011.7 11.7 應(yīng)力應(yīng)變關(guān)系應(yīng)力應(yīng)變關(guān)系1.1.單向應(yīng)力狀態(tài)單向應(yīng)力狀態(tài)00橫向應(yīng)變橫向應(yīng)變 縱向應(yīng)變縱向應(yīng)變 1在線彈性范圍內(nèi)在線彈性范圍內(nèi) G剪切胡克定律剪切胡克定律 G可證明可證明 12EG2.2.純剪應(yīng)力狀態(tài)純剪應(yīng)力狀態(tài)只有只有 作用時(shí)作用時(shí)xExxExyExz3.3.廣義胡克定律廣義胡克定律zyxxyEyyEyxEyz只有只

24、有 作用時(shí)作用時(shí)y只有只有 作用時(shí)作用時(shí)zEzxEzyEzz只有只有 作用時(shí)作用時(shí)zxyzxy,Gijij00廣義胡克定律GEEEijijyxzzxzyyzyxx111故某點(diǎn)為任意應(yīng)力狀態(tài)時(shí)應(yīng)滿足：故某點(diǎn)為任意應(yīng)力狀態(tài)時(shí)應(yīng)滿足：對主單元體對主單元體 12332111E13221E21331E已知一構(gòu)件表面一點(diǎn)的應(yīng)變：已知一構(gòu)件表面一點(diǎn)的應(yīng)變： 401012490106445105 . 1GPaE2003 . 0求該點(diǎn)的主應(yīng)力和最大切應(yīng)力。求該點(diǎn)的主應(yīng)力和最大切應(yīng)力。04590例例 題題 5 例題例題解：解：則則 90sin290cos2245xyxyx444510910)5 . 12612(2yxxxxxEG12MPa2 .691093 . 121020043yxx例例 題題 5 例題例題0 x90y設(shè)設(shè)04590 xyyxxE1xyyE1整理后整理后 MPa2 .22412yxxEEMPa7.5212xyyEEM