概率論各章PPT

1、廣東工業(yè)大學(xué)廣東工業(yè)大學(xué)1 1 大數(shù)定理大數(shù)定理 2 2 中心極限定理中心極限定理廣東工業(yè)大學(xué)廣東工業(yè)大學(xué)廣東工業(yè)大學(xué)廣東工業(yè)大學(xué)一、問題的提出一、問題的提出 1、頻率的穩(wěn)定性、頻率的穩(wěn)定性 2、算術(shù)平均值的穩(wěn)定性、算術(shù)平均值的穩(wěn)定性 二、依概率收斂二、依概率收斂 設(shè)設(shè) 是一個隨機變量序列，是一個隨機變量序列，a 是一個常數(shù)。是一個常數(shù)。 ,21nYYY若對任意若對任意 ，有，有 0 1|lim aYPnn0|lim aYPnn或或 則稱隨機變量序列則稱隨機變量序列 依概率收斂于依概率收斂于a。記為。記為 ,21nYYYaYPn1、定義、定義 廣東工業(yè)大學(xué)廣東工業(yè)大學(xué)2、依概率收斂的性質(zhì)、依概

2、率收斂的性質(zhì) 設(shè)設(shè) ，且，且 在點在點 連續(xù)，則連續(xù)，則 ,aXPnbYPn),(yxg),(yx),(),(bagYXgPnn3、大數(shù)定律的概念、大數(shù)定律的概念設(shè)設(shè) 是一個隨機變量序列，記是一個隨機變量序列，記 ,21nXXXnXXXYnn 21 niiXn11若存在常數(shù)序列若存在常數(shù)序列 ，使得對任意，使得對任意 ，都有，都有 ,21naaa0 1|lim nnnaYP則稱隨機變量序列則稱隨機變量序列 服從服從大數(shù)定律大數(shù)定律(大數(shù)法則大數(shù)法則)。,21nXXX廣東工業(yè)大學(xué)廣東工業(yè)大學(xué)設(shè)隨機變量設(shè)隨機變量X具有數(shù)學(xué)期望具有數(shù)學(xué)期望 ，方差，方差 。 EX2 DX 22| XP221| XP

3、廣東工業(yè)大學(xué)廣東工業(yè)大學(xué)例例1 假設(shè)一批種子的良種率為假設(shè)一批種子的良種率為1/61/6，從中任意選出，從中任意選出600600粒，試計算粒，試計算這這600600粒種子中良種所占比例與粒種子中良種所占比例與 1/61/6之差的絕對值不超過之差的絕對值不超過0.020.02的的概率。概率。廣東工業(yè)大學(xué)廣東工業(yè)大學(xué)例例1 假設(shè)一批種子的良種率為假設(shè)一批種子的良種率為1/61/6，從中任意選出，從中任意選出600600粒，試計算粒，試計算這這600600粒種子中良種所占比例與粒種子中良種所占比例與 1/61/6之差的絕對值不超過之差的絕對值不超過0.020.02的的概率。概率。解：解：設(shè)設(shè)X表示表

4、示600粒種子中的良種數(shù)，粒種子中的良種數(shù)，)6/1 ,600( BX則有則有 于是于是 10061600 EX32506561600)( XD02. 0|61600| XP12|100| XP212)(1XD 4213. 0 由契比雪夫不等式，有由契比雪夫不等式，有 廣東工業(yè)大學(xué)廣東工業(yè)大學(xué)例例2(01) 設(shè)設(shè)X的方差為的方差為2,則根據(jù)切比雪夫不等式有估計則根據(jù)切比雪夫不等式有估計 2|EXXP廣東工業(yè)大學(xué)廣東工業(yè)大學(xué)1|11|lim11 niiniinEXnXnP0|11|lim11 niiniinEXnXnP1 1、切比雪夫大數(shù)定律、切比雪夫大數(shù)定律, cDXi ., 2 , 1 i,

5、 0 并且它們有公共上界，即并且它們有公共上界，即則對任意則對任意,21nXXXiDX相互獨立，方差相互獨立，方差設(shè)隨機變量設(shè)隨機變量都存在，都存在，都有都有或或意義意義: 在定理的條件下，在定理的條件下，n個隨機變量的算術(shù)平均，個隨機變量的算術(shù)平均，當(dāng)當(dāng)n無限增加時將幾乎變成一個常數(shù)。無限增加時將幾乎變成一個常數(shù)。 四、大數(shù)定律四、大數(shù)定律 廣東工業(yè)大學(xué)廣東工業(yè)大學(xué)2、切比雪夫大數(shù)定律的特殊情況、切比雪夫大數(shù)定律的特殊情況 設(shè)隨機變量設(shè)隨機變量 相互獨立，且具有相同的相互獨立，且具有相同的 ,21nXXX數(shù)學(xué)期望和方差：數(shù)學(xué)期望和方差： ,)( kXE2)( kXD), 2 , 1( k記記

6、 ,11 niiXnX, 0 則對任意則對任意有有 |lim XPn1|1|lim1 niinXnP|lim XPn0|1|lim1 niinXnP或或 廣東工業(yè)大學(xué)廣東工業(yè)大學(xué)1|1|lim1 pXnPniin0|1|lim1 pXnPniin1|lim pnXPn0|lim pnXPn3 3、伯努利大數(shù)定律、伯努利大數(shù)定律（2 2）設(shè)）設(shè)X為為n重貝努利試驗中事件重貝努利試驗中事件A發(fā)生的次數(shù)，且每次試驗發(fā)生的次數(shù)，且每次試驗或或 ,21nXXX10 , 0 相互獨立且都服從參數(shù)為相互獨立且都服從參數(shù)為p的的分布，則對任意分布，則對任意（1）設(shè)隨機變量）設(shè)隨機變量都有都有或或, 0 都有都

7、有,)(pAP 中中A發(fā)生的概率為發(fā)生的概率為 則對任意則對任意廣東工業(yè)大學(xué)廣東工業(yè)大學(xué)11.20廣東工業(yè)大學(xué)廣東工業(yè)大學(xué)1|1|lim1 niinXnP0|1|lim1 niinXnP或或4、辛欽大數(shù)定律、辛欽大數(shù)定律相互獨立同分布，期望存在。相互獨立同分布，期望存在。,21nXXX, 0 設(shè)隨機變量設(shè)隨機變量記記 為它們共同的期望，則對任意為它們共同的期望，則對任意 都有都有廣東工業(yè)大學(xué)廣東工業(yè)大學(xué)例例1 1 設(shè)設(shè) 獨立同分布獨立同分布,且且 則則,21nXXX, 0)( iXE lim1nXPniin廣東工業(yè)大學(xué)廣東工業(yè)大學(xué)廣東工業(yè)大學(xué)廣東工業(yè)大學(xué)一、問題的提出一、問題的提出 例如例如:

8、 : 考慮大炮的射程考慮大炮的射程. .受風(fēng)速、風(fēng)向影響產(chǎn)生的誤差；受風(fēng)速、風(fēng)向影響產(chǎn)生的誤差； 在很多實際問題中，常常需要考慮許多隨機因素所產(chǎn)生的在很多實際問題中，常常需要考慮許多隨機因素所產(chǎn)生的總的影響。總的影響。如如大炮炮身結(jié)構(gòu)導(dǎo)致的誤差；大炮炮身結(jié)構(gòu)導(dǎo)致的誤差；發(fā)炮士兵技術(shù)引起的誤差等等。發(fā)炮士兵技術(shù)引起的誤差等等。對我們來說重要的是這些隨機因素的總影響。對我們來說重要的是這些隨機因素的總影響。大炮的射程受很多隨機因素的影響大炮的射程受很多隨機因素的影響:瞄準(zhǔn)時的誤差；瞄準(zhǔn)時的誤差；廣東工業(yè)大學(xué)廣東工業(yè)大學(xué)下面我們來研究獨立隨機變量之和所特有的規(guī)律性問題。下面我們來研究獨立隨機變量之和

9、所特有的規(guī)律性問題。 由于無窮個隨機變量之和可能趨于由于無窮個隨機變量之和可能趨于，故我們不研究，故我們不研究n個個隨機變量之和本身而考慮它的標(biāo)準(zhǔn)化的隨機變量隨機變量之和本身而考慮它的標(biāo)準(zhǔn)化的隨機變量的分布函數(shù)的極限。的分布函數(shù)的極限。設(shè)隨機變量序列設(shè)隨機變量序列 相互獨立，相互獨立，,21nXXX記記 nnXXXY 21當(dāng)當(dāng)n無限增大時，無限增大時， 的極限分布是什么呢？的極限分布是什么呢？nY)()(111 niiniiniinXDXEXZ niiX1)()(nnnYDYEY 廣東工業(yè)大學(xué)廣東工業(yè)大學(xué)1 1、李雅普諾夫中心極限定理、李雅普諾夫中心極限定理 則有則有 設(shè)隨機變量設(shè)隨機變量 相

10、互獨立，具有數(shù)學(xué)期望和方差：相互獨立，具有數(shù)學(xué)期望和方差：,21XXiiXE )(0)(2 iiXD , 2 , 1 i記記 ,122 niinB 若存在正數(shù)若存在正數(shù) ，使得當(dāng)，使得當(dāng) 時，有時，有 n niiinXEB1220|1 nniiniiBX 11 近似地近似地 )1 , 0(Nlim11xBXPnniiniin )(x dtetx2/221 即，即，n 充分大時，有充分大時，有 二、中心極限定理二、中心極限定理廣東工業(yè)大學(xué)廣東工業(yè)大學(xué)nniiniiBX 11 近似地近似地 )1 , 0(N即，即，n 充分大時，有充分大時，有 nZ近似地近似地 ),(1nniiBN 則當(dāng)則當(dāng)n 充

11、分大時，有充分大時，有 niinnniiZBX11 有有,11 niinnniiZBX 定理說明：定理說明：無論各個隨機變量服從什么分布，只要滿足定理無論各個隨機變量服從什么分布，只要滿足定理的條件，那么當(dāng)?shù)臈l件，那么當(dāng)n很大時，它們的和就近似服從正態(tài)分布。很大時，它們的和就近似服從正態(tài)分布。 二、中心極限定理二、中心極限定理1 1、李雅普諾夫中心極限定理、李雅普諾夫中心極限定理 廣東工業(yè)大學(xué)廣東工業(yè)大學(xué))(lim1xxnnXPniin 2 2、林德伯格、林德伯格- -列維定理（獨立同分布的中心極限定理）列維定理（獨立同分布的中心極限定理）,21nXXX獨立同分布，且具有數(shù)學(xué)期獨立同分布，且具

12、有數(shù)學(xué)期 設(shè)隨機變量設(shè)隨機變量望和方差：望和方差：), 2 , 1(0)(,)(2 kXDXEkk 記記 )()(111 niiniiniinXDXEXYnnXnii 1的分布函數(shù)為的分布函數(shù)為 ， )(xFn則對任意實數(shù)則對任意實數(shù)x，有，有 )(limxFnndtetx2/221 廣東工業(yè)大學(xué)廣東工業(yè)大學(xué) 2 2、林德伯格、林德伯格- -列維定理（獨立同分布的中心極限定理）列維定理（獨立同分布的中心極限定理）)(lim1xxnnXPniin )(limxFnndtetx2/221 nnXnii 1近似地近似地 )1 , 0(N即，即，n 充分大時，有充分大時，有 nXnnii/11 近似地

13、近似地 )1 , 0(N可化為可化為 niiXnX11記記 nX/ 近似地近似地 )1 , 0(N則有則有 廣東工業(yè)大學(xué)廣東工業(yè)大學(xué) 2 2、林德伯格、林德伯格- -列維定理（獨立同分布的中心極限定理）列維定理（獨立同分布的中心極限定理）)(lim1xxnnXPniin )(limxFnndtetx2/221 nnXnii 1近似地近似地 )1 , 0(N即，即，n 充分大時，有充分大時，有 niiXnX11記記 nX/ 近似地近似地 )1 , 0(N則有則有 或或 X近似地近似地 ),(2nN 大樣本統(tǒng)計大樣本統(tǒng)計推斷的基礎(chǔ)推斷的基礎(chǔ)廣東工業(yè)大學(xué)廣東工業(yè)大學(xué)廣東工業(yè)大學(xué)廣東工業(yè)大學(xué)例例1 一

14、加法器同時收到一加法器同時收到20個噪聲電壓個噪聲電壓 ，設(shè)它們，設(shè)它們)20, 2 , 1( kVk是相互獨立的隨機變量，且都在區(qū)間是相互獨立的隨機變量，且都在區(qū)間 上服從均勻分布。上服從均勻分布。)10, 0(記記 ，求，求 的近似值。的近似值。 201kkVV105 VP廣東工業(yè)大學(xué)廣東工業(yè)大學(xué)例例2 一盒同型號螺絲釘共有一盒同型號螺絲釘共有100個，已知該型號的螺絲釘?shù)闹亓總€，已知該型號的螺絲釘?shù)闹亓渴且粋€隨機變量，期望值為是一個隨機變量，期望值為100g，標(biāo)準(zhǔn)差是，標(biāo)準(zhǔn)差是10g，求一盒螺絲釘，求一盒螺絲釘?shù)闹亓科疬^的重量起過 10.2kg的概率。的概率。廣東工業(yè)大學(xué)廣東工業(yè)大學(xué)例例

15、3 3 一生產(chǎn)線生產(chǎn)的產(chǎn)品成箱包裝，每箱的重量是隨機的。假一生產(chǎn)線生產(chǎn)的產(chǎn)品成箱包裝，每箱的重量是隨機的。假設(shè)每箱平均重設(shè)每箱平均重50千克，標(biāo)準(zhǔn)差為千克，標(biāo)準(zhǔn)差為5千克。若用最大載重為千克。若用最大載重為5噸的噸的汽車承運，試?yán)弥行臉O限定理說明每輛車最多可以裝多少箱，汽車承運，試?yán)弥行臉O限定理說明每輛車最多可以裝多少箱，才能保障不超載的概率大于才能保障不超載的概率大于0.977.其中其中 。977. 0)2( 廣東工業(yè)大學(xué)廣東工業(yè)大學(xué)的分布函數(shù)的極限。的分布函數(shù)的極限。設(shè)隨機變量序列設(shè)隨機變量序列 相互獨立，相互獨立，,21nXXX記記 nnXXXY 21)()(111 niiniini

16、inXDXEXZ niiX1)()(nnnYDYEY 考慮考慮標(biāo)準(zhǔn)化標(biāo)準(zhǔn)化隨機變量隨機變量 廣東工業(yè)大學(xué)廣東工業(yè)大學(xué)1 1、李雅普諾夫中心極限定理、李雅普諾夫中心極限定理 則有則有 設(shè)隨機變量設(shè)隨機變量 相互獨立，具有數(shù)學(xué)期望和方差：相互獨立，具有數(shù)學(xué)期望和方差：,21XXiiXE )(0)(2 iiXD , 2 , 1 i記記 ,122 niinB 若存在正數(shù)若存在正數(shù) ，使得當(dāng)，使得當(dāng) 時，有時，有 n niiinXEB1220|1 nniiniiBX 11 近似地近似地 )1 , 0(Nlim11xBXPnniiniin )(x dtetx2/221 即，即，n 充分大時，有充分大時，有

17、 廣東工業(yè)大學(xué)廣東工業(yè)大學(xué))(lim1xxnnXPniin 2 2、林德伯格、林德伯格- -列維定理（獨立同分布的中心極限定理）列維定理（獨立同分布的中心極限定理）,21nXXX獨立同分布，且具有數(shù)學(xué)期獨立同分布，且具有數(shù)學(xué)期 設(shè)隨機變量設(shè)隨機變量望和方差：望和方差：), 2 , 1(0)(,)(2 kXDXEkk 記記 )()(111 niiniiniinXDXEXYnnXnii 1的分布函數(shù)為的分布函數(shù)為 ， )(xFn則對任意實數(shù)則對任意實數(shù)x，有，有 )(limxFnndtetx2/221 即，即，n 充分大時，有充分大時，有 近似地近似地 )1 , 0(N廣東工業(yè)大學(xué)廣東工業(yè)大學(xué)棣莫

18、弗棣莫弗-拉拉普拉斯中心普拉斯中心極限定理極限定理 2 2、林德伯格、林德伯格- -列維定理（獨立同分布的中心極限定理）列維定理（獨立同分布的中心極限定理）,21nXXX獨立同分布，且具有數(shù)學(xué)期獨立同分布，且具有數(shù)學(xué)期 設(shè)隨機變量設(shè)隨機變量望和方差：望和方差：), 2 , 1(0)(,)(2 kXDXEkk 記記 )()(111 niiniiniinXDXEXYnnXnii 1近似地近似地 )1 , 0(N 均服從參數(shù)為均服從參數(shù)為p的的0-10-1分布分布 于是有于是有 )1 (1pnpnpXnii 近似地近似地 )1 , 0(N廣東工業(yè)大學(xué)廣東工業(yè)大學(xué),21nXXX相互獨立相互獨立, ,均

19、服從參數(shù)為均服從參數(shù)為p的的設(shè)隨機變量設(shè)隨機變量0-1分布，則對任意實數(shù)分布，則對任意實數(shù) x，有，有 )()1(lim1xxpnpnpXPniin dtetx2/221 3 3、棣莫弗、棣莫弗- -拉普拉斯中心定理拉普拉斯中心定理 即，即，n 充分大時，有充分大時，有 )1 (1pnpnpXnii 近似地近似地 )1 , 0(N廣東工業(yè)大學(xué)廣東工業(yè)大學(xué),21nXXX相互獨立相互獨立, ,均服從參數(shù)為均服從參數(shù)為p的的設(shè)隨機變量設(shè)隨機變量0-1分布，則對任意實數(shù)分布，則對任意實數(shù) x，有，有 )()1(lim1xxpnpnpXPniin dtetx2/221 3 3、棣莫弗、棣莫弗- -拉普拉

20、斯中心定理拉普拉斯中心定理 即，即，n 充分大時，有充分大時，有 )1 (1pnpnpXnii 近似地近似地 )1 , 0(N niinXY1),(pnB廣東工業(yè)大學(xué)廣東工業(yè)大學(xué))()1(limxxpnpnpYPnn 3 3、棣莫弗、棣莫弗- -拉普拉斯定理（二項分布以正態(tài)分布為極限分布）拉普拉斯定理（二項分布以正態(tài)分布為極限分布）)1(pnpnpYn 近似地近似地 )1 , 0(N即，即，n 充分大時，有充分大時，有 設(shè)隨機變量設(shè)隨機變量 服從參數(shù)為服從參數(shù)為n，p的二項分布，的二項分布，nY則對任意則對任意 實數(shù)實數(shù)x，恒有，恒有 dtetx2/221 或或 近似地近似地 )1(,(pnp

21、npN nY意義：在實際應(yīng)用中，只要意義：在實際應(yīng)用中，只要n充分大，二項分布就可以用正態(tài)充分大，二項分布就可以用正態(tài)分布來近似計算。分布來近似計算。廣東工業(yè)大學(xué)廣東工業(yè)大學(xué)（1）對任意非負整數(shù)）對任意非負整數(shù)nk, 2 , 1 , 0 kXP)1(5 . 0()1(5 . 0(pnpnpkpnpnpk 意義：在實際應(yīng)用中，只要意義：在實際應(yīng)用中，只要n充分大，二項分布就可以用正態(tài)充分大，二項分布就可以用正態(tài)分布來近似計算。分布來近似計算。設(shè)設(shè) ),(pnBX5 . 05 . 0 kXkP)1(5 . 0)1()1(5 . 0pnpnpkpnpnpXpnpnpkP n充分大充分大 廣東工業(yè)大學(xué)

22、廣東工業(yè)大學(xué)（2）對任意非負整數(shù)）對任意非負整數(shù)nkk 21021kXkP )1()1(12pnpnpkpnpnpk 意義：在實際應(yīng)用中，只要意義：在實際應(yīng)用中，只要n充分大，二項分布就可以用正態(tài)充分大，二項分布就可以用正態(tài)分布來近似計算。分布來近似計算。設(shè)設(shè) ),(pnBX)1()1()1(21pnpnpkpnpnpXpnpnpkP n充分大充分大 廣東工業(yè)大學(xué)廣東工業(yè)大學(xué)廣東工業(yè)大學(xué)廣東工業(yè)大學(xué)例例1 一船舶在某海區(qū)航行，已知每遭受一次波浪的沖擊，縱搖一船舶在某海區(qū)航行，已知每遭受一次波浪的沖擊，縱搖角大于角大于 的概率的概率 ，若船舶遭受了，若船舶遭受了9000090000次波浪沖擊，問

23、其次波浪沖擊，問其中有中有29500295003050030500次縱搖角度大于次縱搖角度大于 的概率是多少的概率是多少? ?333/1 p廣東工業(yè)大學(xué)廣東工業(yè)大學(xué)解：解： 在在90000次波浪沖擊中縱搖角大于次波浪沖擊中縱搖角大于 的次數(shù)記為的次數(shù)記為X，3則有則有 )3/1 ,90000( BX于是，所求概率為于是，所求概率為 3050029500 XP 30500295009000090000)311()31(kkkkCknkknppCkXP )1(例例1 一船舶在某海區(qū)航行，已知每遭受一次波浪的沖擊，縱搖一船舶在某海區(qū)航行，已知每遭受一次波浪的沖擊，縱搖角大于角大于 的概率的概率 ，若

24、船舶遭受了，若船舶遭受了9000090000次波浪沖擊，問其次波浪沖擊，問其中有中有29500295003050030500次縱搖角度大于次縱搖角度大于 的概率是多少的概率是多少? ?333/1 p廣東工業(yè)大學(xué)廣東工業(yè)大學(xué)例例1 一船舶在某海區(qū)航行，已知每遭受一次波浪的沖擊，縱搖一船舶在某海區(qū)航行，已知每遭受一次波浪的沖擊，縱搖角大于角大于 的概率的概率 ，若船舶遭受了，若船舶遭受了9000090000次波浪沖擊，問其次波浪沖擊，問其中有中有29500295003050030500次縱搖角度大于次縱搖角度大于 的概率是多少的概率是多少? ?333/1 p解：解： 在在90000次波浪沖擊中縱搖

25、角大于次波浪沖擊中縱搖角大于 的次數(shù)記為的次數(shù)記為X，3則有則有 )3/1 ,90000( BX于是，所求概率為于是，所求概率為 （利用中心極限定理）（利用中心極限定理） 3050029500 XP)1(30500)1()1(29500pnpnppnpnpXpnpnpP )1(29500()1(30500(pnpnppnpnp )2/25()2/25( 9995. 0 拉普拉斯中拉普拉斯中心極限定理心極限定理廣東工業(yè)大學(xué)廣東工業(yè)大學(xué)例例2 假設(shè)一批種子的良種率為假設(shè)一批種子的良種率為1/61/6，從中任意選出，從中任意選出600600粒，試計算粒，試計算這這600600粒種子中良種所占比例與粒

26、種子中良種所占比例與1/61/6之差的絕對值不超過之差的絕對值不超過0.020.02的概的概率。率。解：解：設(shè)設(shè)X表示表示600粒種子中的良種數(shù)，粒種子中的良種數(shù)，)6/1 ,600( BX則有則有 于是于是 10061600 EX32506561600)( XD02. 0|61600| XP12|100| XP212)(1XD 4213. 0 由由契比雪夫不等式契比雪夫不等式，有，有 廣東工業(yè)大學(xué)廣東工業(yè)大學(xué)例例2 假設(shè)一批種子的良種率為假設(shè)一批種子的良種率為1/61/6，從中任意選出，從中任意選出600600粒，試計算粒，試計算這這600600粒種子中良種所占比例與粒種子中良種所占比例與1

27、/61/6之差的絕對值不超過之差的絕對值不超過0.020.02的概的概率。率。法二（利用拉普拉斯中心極限定理）：法二（利用拉普拉斯中心極限定理）：02. 0|61600| XP12|100| XP1210012 XP3/250123/2501003/25012 XP)3/25012()3/25012( 8114. 0 解：解：設(shè)設(shè)X表示表示600粒種子中的良種數(shù)，粒種子中的良種數(shù)，)6/1 ,600( BX則有則有 于是于是 10061600 EX32506561600)( XD廣東工業(yè)大學(xué)廣東工業(yè)大學(xué)例例2 假設(shè)一批種子的良種率為假設(shè)一批種子的良種率為1/61/6，從中任意選出，從中任意選出

28、600600粒，試計算粒，試計算這這600600粒種子中良種所占比例與粒種子中良種所占比例與1/61/6之差的絕對值不超過之差的絕對值不超過0.020.02的概的概率。率。法二（利用拉普拉斯中心極限定理）：法二（利用拉普拉斯中心極限定理）：02. 0|61600| XP12|100| XP1210012 XP3/250123/2501003/25012 XP)3/25012()3/25012( 8114. 0 02. 0|61600| XP12|100| XP212)(1XD 4213. 0 由由契比雪夫不等式契比雪夫不等式，有，有 廣東工業(yè)大學(xué)廣東工業(yè)大學(xué)例例3 設(shè)某保險公司有設(shè)某保險公司有

29、10000人投保人投保,每人每年交保費每人每年交保費12元元,投保人每投保人每年的死亡率為年的死亡率為0.006.若投保人死亡若投保人死亡,則公司付給死亡人家屬則公司付給死亡人家屬1000元元,求求(1)保險公司沒有利潤的概率保險公司沒有利潤的概率;(2)每年利潤不少于每年利潤不少于60000元的概率元的概率.廣東工業(yè)大學(xué)廣東工業(yè)大學(xué)例例3 設(shè)某保險公司有設(shè)某保險公司有10000人投保人投保,每人每年交保費每人每年交保費12元元,投保人每投保人每年的死亡率為年的死亡率為0.006.若投保人死亡若投保人死亡,則公司付給死亡人家屬則公司付給死亡人家屬1000元元,求求(1)保險公司沒有利潤的概率保

30、險公司沒有利潤的概率;(2)每年利潤不少于每年利潤不少于60000元的概率元的概率.解解: 設(shè)設(shè)10000投保人中一年死亡投保人中一年死亡 人，人， 則顯然有則顯然有 )006. 0 ,10000( BX保險公司一年的收入為：保險公司一年的收入為： 1210000 元元120000 保險公司一年的支出為：保險公司一年的支出為： 元元X1000（1） 保險公司沒有利潤的概率為保險公司沒有利潤的概率為 1200001000 XP120 XP64.596012064.59601 XP006. 010000 npEX60 994. 0006. 010000)1( pnpDX64.59 )64.5960

31、(1 0 拉普拉斯中拉普拉斯中心極限定理心極限定理1201 XP廣東工業(yè)大學(xué)廣東工業(yè)大學(xué)例例3 設(shè)某保險公司有設(shè)某保險公司有10000人投保人投保,每人每年交保費每人每年交保費12元元,投保人每投保人每年的死亡率為年的死亡率為0.006.若投保人死亡若投保人死亡,則公司付給死亡人家屬則公司付給死亡人家屬1000元元,求求(1)保險公司沒有利潤的概率保險公司沒有利潤的概率;(2)每年利潤不少于每年利潤不少于60000元的概率元的概率.解解: 設(shè)設(shè)10000投保人中一年死亡投保人中一年死亡 人，人， 則顯然有則顯然有 )006. 0 ,10000( BX保險公司一年的收入為：保險公司一年的收入為：

32、 1210000 元元120000 保險公司一年的支出為：保險公司一年的支出為： 元元X1000（2） 每年利潤不少于每年利潤不少于60000元的概率為元的概率為 600001000120000 XP60 XP64.59606064.5960 XP)0( 21 拉普拉斯中拉普拉斯中心極限定理心極限定理006. 010000 npEX60 994. 0006. 010000)1( pnpDX64.59 廣東工業(yè)大學(xué)廣東工業(yè)大學(xué)例例4 4 設(shè)設(shè) 相互獨立相互獨立, ,設(shè)設(shè)nXXX,21,21nnXXXS 則根據(jù)列維則根據(jù)列維-林德伯格中心極限定理林德伯格中心極限定理,當(dāng)當(dāng)n充分大時充分大時, nS

33、近似服從正態(tài)分布近似服從正態(tài)分布,只要只要 nXXX,21(A) 有相同的數(shù)學(xué)期望有相同的數(shù)學(xué)期望 (B) 有相同的分布有相同的分布 (C) 服從同一指數(shù)分布服從同一指數(shù)分布 (D) 服從同一離散型分布服從同一離散型分布 廣東工業(yè)大學(xué)廣東工業(yè)大學(xué)例例5 5 設(shè)設(shè) 為獨立同分布序列為獨立同分布序列, ,且均服從參數(shù)為且均服從參數(shù)為 的的指數(shù)分布指數(shù)分布, ,則則,21nXXX )(lim1xxnnXPniin )(lim1xxnnXPniin )(lim1xxnXPniin )(lim1xxnXPniin （A） （B）（C） （D）廣東工業(yè)大學(xué)廣東工業(yè)大學(xué)例例6 6 假設(shè)假設(shè) 獨立同分布獨立同

34、分布, ,已知已知 nXXX,21kkaEX ),4 , 3 , 2 , 1( k0224 aa并且并且。證明當(dāng)。證明當(dāng)n充分大時，隨機變量充分大時，隨機變量 近似服從正態(tài)分布近似服從正態(tài)分布,并指出其分布參數(shù)。并指出其分布參數(shù)。 niinXnY121廣東工業(yè)大學(xué)廣東工業(yè)大學(xué)例例6 6 假設(shè)假設(shè) 獨立同分布獨立同分布, ,已知已知 nXXX,21kkaEX ),4 , 3 , 2 , 1( k0224 aa并且并且。證明當(dāng)。證明當(dāng)n充分大時，隨機變量充分大時，隨機變量 近似服從正態(tài)分布近似服從正態(tài)分布,并指出其分布參數(shù)。并指出其分布參數(shù)。 解：解： 由已知知，由已知知， 22221,nXXX獨

35、立同分布，獨立同分布， 且且 ,)(22aXEi )(2iXD224)()(iiXEXE 224aa 0 即即 22221,nXXX獨立同分布，期望與方差均存在。獨立同分布，期望與方差均存在。由獨立同分布的中心極限定理，由獨立同分布的中心極限定理， 當(dāng)當(dāng)n充分大時，有充分大時，有)(224212aannaXnii 近似地近似地 )1 , 0(N于是，于是， niinXnY121廣東工業(yè)大學(xué)廣東工業(yè)大學(xué)例例6 6 假設(shè)假設(shè) 獨立同分布獨立同分布, ,已知已知 nXXX,21kkaEX ),4 , 3 , 2 , 1( k0224 aa并且并且。證明當(dāng)。證明當(dāng)n充分大時，隨機變量充分大時，隨機變量

36、 近似服從正態(tài)分布近似服從正態(tài)分布,并指出其分布參數(shù)。并指出其分布參數(shù)。 解：解： )(224212aannaXnii 近似地近似地 )1 , 0(N由已知知，由已知知， 22221,nXXX獨立同分布，獨立同分布， 且且 ,)(22aXEi )(2iXD224)()(iiXEXE 224aa 0 即即 22221,nXXX獨立同分布，期望與方差均存在。獨立同分布，期望與方差均存在。由獨立同分布的中心極限定理，由獨立同分布的中心極限定理， 當(dāng)當(dāng)n充分大時，有充分大時，有于是，于是， niinXnY121廣東工業(yè)大學(xué)廣東工業(yè)大學(xué)例例6 6 假設(shè)假設(shè) 獨立同分布獨立同分布, ,已知已知 nXXX,

37、21kkaEX ),4 , 3 , 2 , 1( k0224 aa并且并且。證明當(dāng)。證明當(dāng)n充分大時，隨機變量充分大時，隨機變量 近似服從正態(tài)分布近似服從正態(tài)分布,并指出其分布參數(shù)。并指出其分布參數(shù)。 解：解： )(224212aannaXnii 近似地近似地 )1 , 0(N niinXnY121naaaXnnii/ )(1224212 近似地近似地 )1 , 0(N廣東工業(yè)大學(xué)廣東工業(yè)大學(xué)例例6 6 假設(shè)假設(shè) 獨立同分布獨立同分布, ,已知已知 nXXX,21kkaEX ),4 , 3 , 2 , 1( k0224 aa并且并且。證明當(dāng)。證明當(dāng)n充分大時，隨機變量充分大時，隨機變量 近似服

38、從正態(tài)分布近似服從正態(tài)分布,并指出其分布參數(shù)。并指出其分布參數(shù)。 解：解： niinXnY121),(2242naaaN 近似近似 niinXnY121naaaXnnii/ )(1224212 近似地近似地 )1 , 0(N廣東工業(yè)大學(xué)廣東工業(yè)大學(xué)例例7 對于一個學(xué)生而言，來參加家長會的家長人數(shù)是一個隨機對于一個學(xué)生而言，來參加家長會的家長人數(shù)是一個隨機變量，設(shè)一個學(xué)生無家長、變量，設(shè)一個學(xué)生無家長、1名家長、名家長、2名家長來參加會議的概名家長來參加會議的概率分別是率分別是0.05、0.8、0.15。若學(xué)校共有。若學(xué)校共有400名學(xué)生，設(shè)各學(xué)生參名學(xué)生，設(shè)各學(xué)生參加會議的家長數(shù)相互獨立，且服

39、從同一分布。（加會議的家長數(shù)相互獨立，且服從同一分布。（1）求來參加）求來參加會議的家長數(shù)會議的家長數(shù)X超過超過450的概率；（的概率；（2）求有）求有1名家長來參加會議名家長來參加會議的學(xué)生數(shù)不多于的學(xué)生數(shù)不多于340的概率。的概率。廣東工業(yè)大學(xué)廣東工業(yè)大學(xué)例例7 對于一個學(xué)生而言，來參加家長會的家長人數(shù)是一個隨機對于一個學(xué)生而言，來參加家長會的家長人數(shù)是一個隨機變量，設(shè)一個學(xué)生無家長、變量，設(shè)一個學(xué)生無家長、1名家長、名家長、2名家長來參加會議的概名家長來參加會議的概率分別是率分別是0.05、0.8、0.15。若學(xué)校共有。若學(xué)校共有400名學(xué)生，設(shè)各學(xué)生參名學(xué)生，設(shè)各學(xué)生參加會議的家長數(shù)相

40、互獨立，且服從同一分布。（加會議的家長數(shù)相互獨立，且服從同一分布。（1）求來參加）求來參加會議的家長數(shù)會議的家長數(shù)X超過超過450的概率；（的概率；（2）求有）求有1名家長來參加會議名家長來參加會議的學(xué)生數(shù)不多于的學(xué)生數(shù)不多于340的概率。的概率。解解: (1) 以以 表示第表示第k個學(xué)生來參加會議的家長個學(xué)生來參加會議的家長kX)400, 2 , 1( k人數(shù)。人數(shù)。易知易知 的分布律為的分布律為 kX15. 08 . 005. 0210PXk有有 , 1 . 1)( kXE.19. 0)( kXD由獨立同分布的極限定理，有由獨立同分布的極限定理，有 則有則有 ,4001 kkXX450 XP4504001 kkXP19. 040040045019. 04001 . 14004001 kkXP)147. 1(1 1257. 0 廣東工業(yè)