簡單的工程問題教研

1、 簡單的工程問題（方法篇）定義：在日常生活中，做某一件事，制造某種產品，完成某項任務，完成某項工程等等，都要涉及到工作總量、工作效率以及工作時間三個量。在數(shù)學中，探討這三個數(shù)量之間關系的應用題，我們都叫它們做“工程問題”。概念認識導入1：五星花園修隧道，這條隧道長200米，有一個工程隊修完共用20天，每天修多少米？導入2：修一段路，共修了20天，那么每天修這條路的多少？對比兩題列表格如下：工作總量工作時間工作效率導入1200米為具體數(shù)值20（天）200÷20=10（米/天）導入2沒有告訴具體的數(shù)值（當題目中沒有告訴具體的數(shù)值時，我們就用“1”來表示）20（天）1÷20=通過

2、對比我們可以發(fā)現(xiàn)：工作總量：需要完成的工作量。（比如：做某一件事，制造某種產品，完成某項任務，完成某項工程等等）在工程問題中，當工作總量會出現(xiàn)兩種情況，一種是告訴了具體的數(shù)值，另一種沒有告訴具體數(shù)值，我們就以“1”來表示。工作時間：完成一項工作，完成整個工作所花掉的實際時間（休息時間除外）。工作時間一定為帶有單位的具體的數(shù)值。例：完成一項工作，甲花了10天才完成，其中甲休息兩天，甲的工作時間是（）工作效率：一個單位時間內所完成的工作量。（單位時間：一天，一小時，一分鐘）當工作總量為具體的數(shù)值時，工作效率同樣為具體的數(shù)值，帶有單位。當工作總量沒有告訴具體的數(shù)值，為“1”時，工作效率為分數(shù)，不帶單

3、位這兩道題我們可以很簡單的求出工效，但是在實際工程問題中工效都是“隱藏”在一些條件中的。例：求出甲乙的工作效率 完成一項工程，甲獨做需要10天，乙獨做需要15天， 修一段路，甲單獨修要10天，乙修6天修了這段路的。 修一段路，甲2天修了這段路的，乙修8天修了這段路的。求工作效率時通常都是：找準工作時間對應的工作量。然后利用工作量除以工作時間。二關于合作（在一些工程問題中，出了單干之外，往往還涉及到合作）導入：媽媽買了20個蘋果，要求姐姐每天吃4個，弟弟每天吃1個，姐弟一起吃，問這些蘋果多少天能被吃完？分析表格如下：合作的工效姐姐的工效：4（個/天）弟弟的工效：1（個/天）所以姐弟一起就要吃：1

4、+4=5（個/天）合作工效：各自的工效之和合作的時間20÷（1+4）=4（天）他們合作4天就把蘋果吃完了，即姐姐吃了4天，弟弟也吃了4天。合作時間：合作的時間等于各自單獨的工作時間合作的工作總量弟弟吃的蘋果：1×4=4（個）姐姐吃的蘋果：4×4=16（個）合做工作總量：等于各自的工作量之和。簡單練習：1：完成一項工程，甲獨做需要10天完成，乙獨做需要15天完成過，那么甲乙合作，合作的工作效率是_2：甲乙合做6天，:甲做 天，乙也做 天3：完成一項工作，甲乙先合作20天，再由乙單獨做5天完成這項工作，那么乙的做了_天，甲做了_天。（強調工作總量不變）4：甲乙合作完成

5、一項工程，甲做了全部的，乙做了全部的，則兩人合作一共完成這項工程的_。 例題解析類型一：一般工程問題導入：修一段路，甲單獨完成要10天，乙單獨完成需要15天。甲乙合作多少天可以完成？ 分析：問題求的是工作時間，那么我們只需要找出工作總量和工作效率即可。題中不知道工作總量的具體數(shù)量，所以我們假設為單位“1”。甲乙合作那么合作的工作效率應該是甲的工作效率加乙的工作效率。甲乙合作的效率也就是： +=完成的時間： 1÷=6（天）通過這道題，我們就可以看出，一般的工程問題應用題由兩個部分組成，前一個部分提供“工作效率”，而后一個部分主要是提供“工作方法”。例1：一件工作，甲5小時完成全部工作的

6、，乙6小時又完成剩下任務的一半，最后余下的部分由甲、乙合做，還需幾小時才能完成？分析：此題要求余下的部分甲乙合作要多少天，我們只要知道余下的工作量是多少，和甲乙合作的工效即可。解：甲的工效：÷5= 乙的工效：（1-）×÷6= 甲乙合作的工效：+=余下的工作量：1-×=合作的天數(shù)；÷=（小時）小結：在解決工程問題時，我們一般從問題出發(fā)，理清解決問題所需要的條件，然后再題目的已知條件中去尋找所需要的條件。并且工作量，工作時間，工作效率三者一定要對應。即：用什么工作方法在哪段時間內完成了哪一部分工作量。練習：單獨完成某項工程，甲、乙、丙分別需要10小

7、時、15小時、20小時。開始三人一起干，后因工作需要，甲中途調走，結果共用了6小時完成這項工作。問甲實際工作了多少小時？類型二：用組合法解工程問題例題2：完成一項工作，甲隊單獨做30天完成?，F(xiàn)甲乙兩隊合做15天后，甲隊有任務調離。乙隊再做9天完成了任務，問這項工作由乙單獨完成需要多少天？分析：工作方法中提供的工作時間有“甲乙合作15天”和“乙單獨做9天”但是題中提供的效率是甲的效率，并不是成對應關系。工作效率不能改變，那么就需要我們把工作方法改變一下，改變成與效率對應的甲的工作時間。工作方法改成： 甲先單獨做15天，余下的由乙做了（15+9=24)天完成。為什么要改變工作方法：題目中給的工作方

8、式與工作效率不對應。為什么能改變工作方法：因為不論怎么改變工作方式，整個工作除了甲做的就是乙做的。整個工作總量不變。 甲的工作量：×15= 乙的工作量： 這道題就可以很簡單的求出：1÷（1×15）÷24=48（天）例題3：一項工程，甲乙兩隊合做8天可以完成，現(xiàn)由甲隊先做6天，余下的任務由乙隊獨做10天完成。問乙隊單獨做這項工程需要多少時間？分析：工作方法提供的時間是甲、乙單獨做的時間，而可以求出的效率是甲乙合作的效率，并不是成對應關系，同樣也需要我們轉化。轉化成： 甲乙合作了6天余下的由乙單獨做了4天完成。 甲乙合作的工作量:×6= 乙: 這道

9、題就可以很簡單的求出： 1÷（1×6）÷4=16（天）根據(jù)例題2、3我們可以得出解決工程問題中“分”與“合”的方法。例題四中是單獨的甲的效率，時間與效率不對應，我們就進行“拆分”。例題五中題中提供的是甲乙合作的效率，時間與效率也不對應，我們就進行“合并”?？偨Y：提供的是單獨的效率就把工作方法“拆分” 提供的是合作的效率就把工作方法“合并”練習：甲乙兩隊合做，20天可完成一項工程。先由甲隊做8天，再由乙隊做12天，還剩下這項工程的。甲乙兩隊獨做各需多少天？類型三：兩兩合作工程問題例4：一件工程，甲乙合作需6天完成，乙丙合作需9天完成，甲丙合作15天完成。現(xiàn)在甲乙丙三

10、人合作需多少天完成？分析：要求甲乙丙三人合作完成的天數(shù)，我們只要知道甲乙丙三人的合作工效即可。題目中告訴了我們甲乙丙三人每兩人的合作工效。列式表示可得： 甲+乙=，乙+丙=，甲+丙= 三個等式中甲乙丙各出現(xiàn)了兩次，把三個等式加起來可得： 2×甲+2×乙+2×丙=，即：2×（甲+乙+丙）= ，甲+乙+丙= 甲乙丙三人合作完成的天數(shù)：1÷=（天）練習：某項工程，甲乙合作6天可以完成，乙丙合作需8天，甲丙合作則需12天。問三人合作幾天可以完工？甲乙丙單獨做此工程各需幾天完工？類型四：假設法工程問題例5：一項工程，甲單獨做20天完成，乙單獨做15天完成

11、。這項工程，先由甲做了若干天后，再由乙單獨完成，從開工到完成共用18天。求甲乙兩人各做了多少天？分析：完成這項工程甲乙的工作方式為甲先做，再有乙做，共用18天，要求甲乙各做了多少天，這種題型跟我們以前學的小兔子晴雨天采蘑菇為同一種類型的題。所以我們可以用假設法來解此題。已知甲的工效：，乙的工效解法一：假設這18天全部是有甲來做。 那么甲這18天總共完成的工作量為：18×=，比整個工程還少了。（為什么會少？） 我們在假設全部由甲來做的時候，是把乙換做了甲，那么每換一天，甲就要比乙少做-= 總共少了，把乙換做了甲，每天少做，所以乙換的天數(shù)就為：÷=6（天） 甲做的天數(shù)就為：18

12、-6=12（天）注意：如果開始假設全部的天數(shù)是甲做的，求的結果就是乙(同學們假設全部由乙來做)解法二：由題意可知，整個工程不是由甲做的的，就是由乙做的。整個工程量為1，甲乙的工效我們知道，完成的總天數(shù)我們也知道。所以此題我們還有可以用方程來解。解： 設甲工作天，則乙工作（18-）天。 +（18-）=1 =12 乙工作的天數(shù)：18-12=6（天）練習：一件工程，甲獨做需20天完成，乙獨做需12天完成。這件工程，先由甲做了若干天，然后由乙繼續(xù)做完，從開始到完工共用14天。問甲乙兩人各做了多少天？例6：一項工程，甲隊獨做需要15天完成，乙隊獨做需要30天完成，丙隊獨做需要45天完成。現(xiàn)在由甲乙丙三隊

13、合作完成這項工程。在工程過程中，甲隊休息1天，乙隊休息2天，丙隊休息了4天。求完成這項工程前后一共用了多少天？分析：此題的工作方式中，甲乙丙都各自休息了若干天。他們的工作時間就不能確定，那么我們可以假設甲乙丙三人沒休息，那么甲休息一天的工作量1×=，乙休息兩天的工作量為2×=，丙隊休息4天的工作量為4×=。我們假設他們都沒有休息。那么他們三人出了把原本的“1”的工作量做完之外，還要做多（+），總工作量就為（1+）， 解法一： （1+）÷（+） =÷ =10（天）解法二：（同學們自己完成。列方程）練習：一項工程，甲單獨完成需要30天，乙單獨完成需

14、要45天，丙單獨完成需要90天?，F(xiàn)在由甲乙丙三隊合作完成此工程。在完成這項工程的過程中，甲休息2天，乙休息3天，丙沒有休息，求完成這項工程前后一共用了多少天？小結：對于題目中出現(xiàn)了某隊“休息”或做了“若干天”，這種工作時間不確定的題型，我們一般采用假設法來做。當然也可以通過列方程的方法來做。類型五：消元法解工程問題導入：完成某項工程，甲做11天，乙做2天，可以完成這項工程的；甲做11天，乙做4天，可以完成這項工程的。求甲乙單獨完成這項工作各需多少天？分析：要求甲乙單獨完成工作需要的天數(shù)，只要知道甲乙的工作效率即可。題目中告訴了我們兩種不同的工作方式。列出這兩種工作方式可得： 11×甲

15、的工效+2×乙的工效=. 11×甲的工效+4×乙的工效=. 對比兩個等式我們可以發(fā)現(xiàn)，第二種比第一種多完成了-=，是因為乙多做了2天，所以我們可得：乙的工作效率為÷2=。 把乙的工作效率帶入任意一個等式即可求出甲的工效 甲的工效：（-×2）÷11= 即：甲單獨完成需要 1÷=20（天） 乙單獨完成需要 1÷=60（天）小結：此類題型往往會出現(xiàn)兩種情況，我們把兩種情況列出來，通過對比法，可以消去一個未知量，用這樣的方法消去未知量，通常稱為“消元法”例題7：完成某項工程，甲做4天，乙做5天，可以完成這項工程的；乙做3天，甲做6天，可以完成這項工程的。求甲乙單獨完成這項工作各需多少天？分析：此題跟導入題一樣，所以我們可以根據(jù)兩種工作方式列出等式 4×甲的工效+5×乙的工效=. 3×甲的工效