第屆日本數(shù)學(xué)奧林匹克競(jìng)賽試題及答案

1、第七屆日本數(shù)學(xué)奧林匹克競(jìng)賽試題問(wèn)題1 兩個(gè)整數(shù)相加時(shí)，得到的數(shù)是一個(gè)兩位數(shù)，且兩個(gè)數(shù)字相同；相乘時(shí)，得到的數(shù)是一個(gè)三位數(shù)，且三個(gè)數(shù)字相同。請(qǐng)寫出所有滿足上述條件的兩個(gè)整數(shù)。（12分）問(wèn)題2 把26個(gè)玻璃球分裝在a、b、c、d、e五個(gè)袋子里，每個(gè)袋里的球數(shù)不同且都裝了1個(gè)以上。用一臺(tái)天平稱重量，當(dāng)稱到裝有11個(gè)玻璃球的袋子時(shí)，超重警鈴就會(huì)響。看下圖：當(dāng)、的狀態(tài)時(shí)，警鈴就響；的狀態(tài)時(shí)，警鈴不響。請(qǐng)按從小到大的順序?qū)懗鲅b入5個(gè)袋中玻璃球的數(shù)量的組合（例如： 1、3、5、7、10），并寫出所有的組合。解答欄中有6組空，但不一定全部使用。（14分）（注：不用考慮袋子的重量）問(wèn)題 3把6cm×1

2、0cm的長(zhǎng)方形沿點(diǎn)線分割成4個(gè)圖形，請(qǐng)按下面兩個(gè)要求分割。分割后的4個(gè)圖形，面積可大可小，但它們應(yīng)該互為相似形。分割后的4個(gè)圖形，可以有面積相等的，但不能都是面積相等的圖形。請(qǐng)回答出4種分割方法，并分別在解答欄中用實(shí)線畫出。（翻轉(zhuǎn)后如果同另一種分割重疊的話，將看做是同一種分割方法。）（20分）問(wèn)題4 右圖三角形ABC是等腰三角形。AB=AC，BAC=120°。三角形ADE是正三角形，點(diǎn)D在BC邊上，BDDC=23。當(dāng)三角形ABC的面積是50cm2時(shí)，三角形ADE的面積是多少？（14分）問(wèn)題5 有一只表分不清長(zhǎng)針和短針了，多數(shù)情況下可根據(jù)兩針?biāo)傅奈恢门袛喑稣_的時(shí)間。但有時(shí)也會(huì)出現(xiàn)兩

3、種情況，使你判斷不出正確的時(shí)間。請(qǐng)問(wèn)從中午12點(diǎn)到夜里12點(diǎn)這段時(shí)間會(huì)遇到多少次判斷不出的情況？（12分）（注：不包括中午12點(diǎn)和夜里12點(diǎn)）問(wèn)題6 把一個(gè)多邊形沿著幾條直線剪開(kāi)，分割成若干個(gè)多邊形。分割后的多邊形的邊數(shù)總和比原多邊形的邊數(shù)多13條，內(nèi)角和是原多邊形內(nèi)角和的1.3倍。請(qǐng)問(wèn)：原來(lái)的多邊形是幾邊形？把原來(lái)的多邊形分割成了多少個(gè)多邊形？（14分）問(wèn)題7 把ABC滾到ABC的位置。求ABC滾動(dòng)過(guò)的面積。（14分）（注：圓周率取3.14）分析與解 問(wèn)題1 兩個(gè)整數(shù)相加時(shí)，得到的數(shù)是一個(gè)兩位數(shù)，且兩個(gè)數(shù)字相同；相乘時(shí)，得到的數(shù)是一個(gè)三位數(shù)，且三個(gè)數(shù)字相同，請(qǐng)寫出所有滿足上述條件的兩個(gè)整數(shù)。

4、分析與解 兩位數(shù)中，數(shù)字相同的兩位數(shù)有11、22、33、44、55、66、77、88、99共九個(gè)，它們中的每個(gè)數(shù)都可以表示成兩個(gè)整數(shù)相加的形式，例如33=1+32=2+31=3+30=16+17，共有16種形式，如果把每個(gè)數(shù)都這樣分解，再相乘，看哪兩個(gè)數(shù)的乘積是三個(gè)數(shù)字相同的三位數(shù)，顯然太繁瑣了。可以從乘積入手，因?yàn)槿齻€(gè)數(shù)字相同的三位數(shù)有111、222、333、444、555、666、777、888、999，每個(gè)數(shù)都是111的倍數(shù)，而111=37×3，因此把這九個(gè)數(shù)表示成一個(gè)兩位數(shù)與一個(gè)一位數(shù)或兩個(gè)兩位數(shù)相乘時(shí)，必有一個(gè)因數(shù)是37或37的倍數(shù)，但只能是37的2倍（想想為什么？）把九個(gè)

5、三位數(shù)分解：111=37×3 222=37×6=74×3333=37×9 444=37×12=74×6555=37×15 666=37×18=74×9777=37×21 888=37×24=74×12999=37×27把兩個(gè)因數(shù)相加，只有（74+3=）77和（37+18=）55的兩位數(shù)字相同。所以滿足見(jiàn)意的答案是74和3，37和18。問(wèn)題2 把26個(gè)玻璃球分裝在a、b、c、d、e五個(gè)袋子里，每個(gè)袋子里的球數(shù)不同且都裝了1個(gè)以上。用一臺(tái)天平稱重量，當(dāng)稱到裝有11個(gè)玻璃

6、球的袋子時(shí)，超重警鈴就會(huì)響?？聪聢D。當(dāng)、的狀態(tài)時(shí)，警鈴就響；的狀態(tài)時(shí)，警鈴不響。請(qǐng)按從小到大的順序?qū)懗鲅b入5個(gè)袋中玻璃球的數(shù)量的組合（例如：1、3、5、7、10），并寫出所有的組合。分析與解 根據(jù)題意，a、b、c、d、e袋中裝的玻璃球的數(shù)量各不相同。a、b、c、d、e五個(gè)袋子里共裝有26個(gè)玻璃球，這26個(gè)玻璃球的重量應(yīng)是相同的，所以五個(gè)袋子的重量各不相同。用一臺(tái)天平稱重，當(dāng)稱到裝有11個(gè)玻璃球的袋子時(shí)，超重警鈴就會(huì)響，這一條件，應(yīng)理解為天平稱得的玻璃球個(gè)數(shù)是11或多于11個(gè)時(shí)，超重警鈴就會(huì)響。從給出的條件可知：比較（2）、（3）、（4）式可知，ab，ad。由（1）+（3），（1）+（4），（5

7、）式可得：由上面的三個(gè)式子可知，b、d兩袋中球的數(shù)量是4或3或2或1個(gè)，但由于ab，ad，所以a袋中球的數(shù)量是2或1個(gè)，b、d兩袋中的球只能是4或3或2個(gè)。進(jìn)一步由（2）、（3）、（4）式可知，c袋中球的數(shù)量只能是8或9個(gè)。由此可列舉出符合題意的數(shù)組，它們是：（1、2、3、9、11）（1、2、4、9、10）（1、3、4、8、10）（2、3、4、8、9）問(wèn)題3 把6cm×10cn的長(zhǎng)方形沿點(diǎn)線分割成4個(gè)圖形，請(qǐng)按下面兩個(gè)要求分割。分割后的4個(gè)圖形，面積可大可小，但它們應(yīng)該互為相似形；分割后的4個(gè)圖形，可以有面積相等的，但不能都是面積相等的圖形。請(qǐng)回答出4種分割方法，并分別在解答欄中用實(shí)

8、線畫出（翻轉(zhuǎn)后如果同另一種分割重疊的話，將看做是同一種分割方法）。分析與解 先來(lái)解釋一下什么是相似形。把一個(gè)多邊形的各邊都擴(kuò)大或縮小相同的倍數(shù)后與另一個(gè)多邊形的每一對(duì)應(yīng)邊都完全重合，這樣的兩個(gè)多邊形就是相似形。例如，所有的等邊三角形都是相似的，所有的正方形都是相似的。把大長(zhǎng)方形沿點(diǎn)線分割成4部分，可以將其分成四個(gè)長(zhǎng)方形。根據(jù)長(zhǎng)方形長(zhǎng)與寬的不同比值，結(jié)合題意，枚舉出每一類可能分割出的長(zhǎng)方形，看用哪一類中的4個(gè)長(zhǎng)方形（面積不同的）能拼出6cm×10cm的長(zhǎng)方形（為了敘述方便，下面省去單位）。（一）1×n形（即長(zhǎng)方形長(zhǎng)與寬的比是1：n，n是整數(shù)）（l）最小的長(zhǎng)方形是1×

9、1，與它相似的長(zhǎng)方形有2×2，3×3，4×4，5×5，6×6?？梢苑指畛?×6的長(zhǎng)方形（見(jiàn)圖1）。不能分割出5×5的長(zhǎng)方形（見(jiàn)圖2），因?yàn)椴徽摪? × 5的長(zhǎng)方形放在6 × 10的長(zhǎng)方形中的哪一位置，在這個(gè)5×5的長(zhǎng)方形的上邊（或下邊）的5個(gè)小正方形，只能分割成5塊1×1的長(zhǎng)方形，這顯然不合題意。分割出的長(zhǎng)方形中最大的不可能是4×4或更小的。因?yàn)椋? × 4）× 4= 64 6 × 10，（4 × 4） × 3+（3 

10、5; 3）×1=57 6 × 10。（2）最小的長(zhǎng)方形是1×2，與其相似的長(zhǎng)方形有2×4，3 × 6，4 × 8，5 × 10。不能分割出5×10的長(zhǎng)方形（分析同（1）中 5×5）。也不能分割出4×8的長(zhǎng)方形（見(jiàn)圖3），因?yàn)?×10-（4 × 8） ×1=32，（2 × 4）×3= 2432。還不能分割出3×6的長(zhǎng)方形。不能分出4個(gè)3×6的長(zhǎng)方形，因?yàn)椋? × 6）× 4=72 6 × 10。不能

11、分出3個(gè)3×6的長(zhǎng)方形，因?yàn)?×10-（3×6）×3=6， 1×2=2 6，2 × 4 = 86。不能分出2個(gè)3×6的長(zhǎng)方形，因?yàn)?0-（3×6）×2=24，（2×4）×2=1624，也不能分出1個(gè) 3×6的長(zhǎng)方形，因?yàn)椋?×6）×l+（2×4）×3=4260。更不能分割出2×4或回1×2的長(zhǎng)方形，因?yàn)椋?×4） × 4=32 6×10。（3）最小的長(zhǎng)方形是1×3，與其相似的長(zhǎng)

12、方形有2×6，3×9?？梢苑指畛?×9的長(zhǎng)方形（見(jiàn)圖4）。不能分割出2×6的長(zhǎng)方形，因?yàn)椋?×6）×4=48 6×10。（4）最小的長(zhǎng)方形是1×4，與其相似的長(zhǎng)方形有2×8，這樣的兩個(gè)長(zhǎng)方形都不能分割出來(lái)。因?yàn)椋?×8）×4=646×10，（2×8）×3+（1×4）×1=526×10。（5）最小的長(zhǎng)方形是1×5，與其相似的長(zhǎng)方形有2×10，這樣的兩個(gè)長(zhǎng)方形都不能分割出來(lái)。因?yàn)椋? ×10）

13、5;3=6×10，（2×10）×2+（1×5）×2=50 6×10。（6）同樣可以證明不能分割出 1×6、1×7、1×8、1×9、1×10這些長(zhǎng)方形。（二）對(duì)于2×n、3×n、4×n、5×n形的長(zhǎng)方形，按照（一）的分析方法，可以找到一種符合題意的分割方法（見(jiàn)圖5）。也可以把6×10的長(zhǎng)方形沿點(diǎn)線分割成其他多邊形（見(jiàn)圖6）。問(wèn)題4 下圖三角形ABC是等腰三角形。ABAC，BAC120°。三角形ADE是正三角形，點(diǎn)D在BC邊上，B

14、DDC23。當(dāng)三角形ABC的面積是50cm2時(shí)，三角形ADE的面積是多少？分析與解 以點(diǎn)A為中心，由三個(gè)三角形ABC可拼成右圖：連結(jié)QE、RF、GD，則DEQFRG是一個(gè)正六邊形。連結(jié)RD、DQ、RQ，顯然RDQ是一個(gè)等邊三角形，并且它的面積是正六邊形面積的一半。SPBC=SABC×3=150cm2，SRDQ=SPBC-SDQC×3=42cm2，SADE=S正六邊形÷6=2×SRDQ÷6=14cm2。問(wèn)題5 有一只表分不清長(zhǎng)針和短針了，多數(shù)情況下可根據(jù)兩針?biāo)傅奈恢门袛喑稣_的時(shí)間。但有時(shí)也會(huì)出現(xiàn)兩種情況，使你判斷不出正確的時(shí)間。請(qǐng)問(wèn)從中午12

15、點(diǎn)到夜里12點(diǎn)這段時(shí)間會(huì)遇到多少次判斷不出的情況？（注：不包括中午12點(diǎn)和夜里12點(diǎn)）分析與解 當(dāng)表在某點(diǎn)某分時(shí)，經(jīng)過(guò)一段時(shí)間后，如果時(shí)針恰好走到原來(lái)分針的位置，而分針恰好走到原來(lái)時(shí)針的位置，即兩針位置互換，由于分針、時(shí)針?lè)直娌磺?，所以凡能發(fā)生兩針位置互換的兩個(gè)時(shí)刻都不能正確的判斷當(dāng)時(shí)的時(shí)間（如下圖）。兩針位置互換，當(dāng)時(shí)針、分針共走60格時(shí)，由于時(shí)針走1格，分針走午12點(diǎn)多至1點(diǎn)多，1點(diǎn)多至2點(diǎn)多，2點(diǎn)多至3點(diǎn)多夜里10點(diǎn)多至11點(diǎn)多，共11次。同樣可以算出兩針位置互換時(shí)針、分針共走120、180、240、300、360、420、480、540、600、660格時(shí)，可以出現(xiàn)兩針位置互換的次數(shù)分

16、別是10、9、8、7、6、5、4、3、2、1次，所以分辨不出正確時(shí)間的次數(shù)共有（1110987654321）×2=132次。注：題目只要求我們算出分辨不清時(shí)間的次數(shù)，所以沒(méi)有必要算出具體的時(shí)間。問(wèn)題6 把一個(gè)多邊形沿著幾條直線剪開(kāi)，分割成若干個(gè)多邊形。分割后的多邊形的邊數(shù)總和比原多邊形的邊數(shù)多13條，內(nèi)角和是原多邊形內(nèi)角和的1.3倍。請(qǐng)問(wèn)：原來(lái)的多邊形是幾邊形？把原來(lái)的多邊形分割成了多少個(gè)多邊形？分析與解 先來(lái)觀察下面這組圖形：容易看出，n邊形有n個(gè)頂點(diǎn)，n邊形是由（n2）個(gè)三角形組成的。因此，知道了一個(gè)多邊形的邊數(shù)或頂點(diǎn)數(shù)（n），就可以求出它的內(nèi)角和（n2）×180

17、76;，知道了一個(gè)多邊形由多少個(gè)三角形（m）組成的，就可以求出它的邊數(shù)或頂點(diǎn)數(shù)（m2）。設(shè)原多邊形是由a個(gè)三角形組成的，分割后的多邊形共由b個(gè)三角形組成，a和b都是整數(shù)，根據(jù)題意有：1.3×a×180°b×180°，于是有1.3a=b。由于b是整數(shù)，所以1.3a也是整數(shù)，a必是10的倍數(shù)，于是1.3a是13的倍數(shù)，b也是13的倍數(shù)。（一）設(shè)a=10，則b=13，進(jìn)而可知原多邊形有12個(gè)頂點(diǎn)（12條邊），而分割后的多邊形有15個(gè)頂點(diǎn)（15條邊）。由于連結(jié)一個(gè)多邊形的兩頂點(diǎn)時(shí)，將一個(gè)多邊形分成兩個(gè)多邊形后，頂點(diǎn)的數(shù)目不變，而分出的兩個(gè)多邊形比原來(lái)增

18、多2條邊。連結(jié)多邊形的一個(gè)頂點(diǎn)與一邊上一點(diǎn)時(shí)，頂點(diǎn)數(shù)目增多1個(gè)，而分出的兩個(gè)多邊形比原來(lái)增多3條邊。連接兩邊上一點(diǎn)時(shí)，頂點(diǎn)數(shù)目增多2個(gè)，而邊數(shù)比原來(lái)增多4條。要增多（1512=）3個(gè)頂點(diǎn)，增多13條邊，有兩種連線方法。（見(jiàn)下圖）顯然原多邊形是12邊形，兩種連結(jié)方法都將12邊形分成了6個(gè)多邊形。（二）如果a=20，則b26，原多邊形有22個(gè)頂點(diǎn)，而分割后的多邊形有28個(gè)頂點(diǎn)，增多了（2822=）6個(gè)頂點(diǎn)，不論怎樣連結(jié)都不能使分割后的多邊形邊數(shù)總和比原來(lái)的多邊形增多13條邊。因此原多邊形不是22邊形。如果a更大，則分割后增加的頂點(diǎn)個(gè)數(shù)更多，不論怎樣連結(jié)都不符合題目要求。因此原多邊形只能是12邊形。問(wèn)題7