空間向量立體幾何導學案

1、學習過程一、課前準備（預習教材P102 P104，找出疑惑之處）復習1：可以確定一條直線；確定一個平面的方法有哪些？復習2：如何判定空間A,B,C三點在一條直線上？復習3：設(shè)a，b，a·b二、新課導學學習探究探究任務(wù)一：向量表示空間的點、直線、平面問題：怎樣用向量來表示點、直線、平面在空間中的位置？新知：點：在空間中，我們?nèi)∫欢c作為基點，那么空間中任意一點的位置就可以用向量來表示，我們把向量稱為點的位置向量.直線：直線的方向向量：和這條直線平行或共線的非零向量.對于直線上的任一點,存在實數(shù)，使得，此方程稱為直線的向量參數(shù)方程.平面：空間中平面的位置可以由內(nèi)兩個不共線向量確定.對于平

2、面上的任一點,是平面內(nèi)兩個不共線向量，則存在有序?qū)崝?shù)對,使得.空間中平面的位置還可以用垂直于平面的直線的方向向量表示空間中平面的位置.平面的法向量：如果表示向量的有向線段所在直線垂直于平面，則稱這個向量垂直于平面,記作，那么向量叫做平面的法向量.試試： .1.如果都是平面的法向量，則的關(guān)系 .2.向量是平面的法向量，向量是與平面平行或在平面內(nèi)，則與的關(guān)系是.反思：1. 一個平面的法向量是唯一的嗎？2. 平面的法向量可以是零向量嗎？向量表示平行、垂直關(guān)系：設(shè)直線的方向向量分別為，平面的法向量分別為，則典型例題例1 已知兩點,求直線AB與坐標平面的交點.變式：已知三點,點在上運動（O為坐標原點）,

3、求當取得最小值時,點的坐標.小結(jié)：解決有關(guān)三點共線問題直接利用直線的參數(shù)方程即可. 例2 用向量方法證明兩個平面平行的判定定理：一個平面內(nèi)的兩條相交直線與另一個平面平行，則這兩個平面平行.變式：在空間直角坐標系中,已知,試求平面ABC的一個法向量.小結(jié)：平面的法向量與平面內(nèi)的任意向量都垂直.動手試試練1. 設(shè)分別是直線的方向向量，判斷直線的位置關(guān)系：；.練2. 設(shè)分別是平面的法向量，判斷平面的位置關(guān)系：；.三、總結(jié)提升學習小結(jié)1. 空間點，直線和平面的向量表示方法2. 平面的法向量求法和性質(zhì).知識拓展：求平面的法向量步驟：設(shè)平面的法向量為；找出(求出)平面內(nèi)的兩個不共線的向量的坐標；根據(jù)法向量

4、的定義建立關(guān)于的方程組；解方程組,取其中的一個解,即得法向量.當堂檢測（時量：5分鐘滿分：10分）計分：1. 設(shè)分別是直線的方向向量，則直線的位置關(guān)系是.2. 設(shè)分別是平面的法向量，則平面的位置關(guān)系是.3. 已知，下列說法錯誤的是（）A. 若，則 B.若，則C.若，則 D.若，則4.下列說法正確的是（）A.平面的法向量是唯一確定的B.一條直線的方向向量是唯一確定的C.平面法向量和直線的方向向量一定不是零向量D.若是直線的方向向量，則5. 已知，能做平面的法向量的是（）A. B. C. D. 課后作業(yè)1. 在正方體中，求證：是平面的一個法向量.2已知，求平面的一個法向量.§3.2立體幾

5、何中的向量方法（2）學習目標1. 掌握利用向量運算解幾何題的方法，并能解簡單的立體幾何問題；2.掌握向量運算在幾何中求兩點間距離和求空間圖形中的角度的計算方法.學習過程一、課前準備（預習教材P105 P107，找出疑惑之處.復習1：已知，且，求.復習2：什么叫二面角？二面角的大小如何度量？二面角的范圍是什么？二、新課導學學習探究探究任務(wù)一：用向量求空間線段的長度問題：如何用向量方法求空間線段的長度？新知：用空間向量表示空間線段，然后利用公式求出線段長度.試試：在長方體中，已知,求的長.反思：用向量方法求線段的長度，關(guān)鍵在于把未知量用已知條件中的向量表示.典型例題例1 如圖，一個結(jié)晶體的形狀為平

6、行六面體，其中，以頂點A為端點的三條棱長都相等，且它們彼此的夾角都是60°，那么以這個頂點為端點的晶體的對角線的長與棱長有什么關(guān)系？變式1：上題中平行六面體的對角線的長與棱長有什么關(guān)系？變式2：如果一個平行六面體的各條棱長都相等，并且以某一頂點為端點的各棱間的夾角都等于, 那么由這個平行六面體的對角線的長可以確定棱長嗎?探究任務(wù)二：用向量求空間圖形中的角度例2如圖，甲站在水庫底面上的點A處，乙站在水壩斜面上的點B處.從A，B到直線（庫底與水壩的交線）的距離分別為，的長為，的長為.求庫底與水壩所成二面角的余弦值.變式：如圖，的二面角的棱上有兩點，直線分別在這個二面角的兩個半平面內(nèi)，且都

7、垂直于已知,求的長.動手試試練1. 如圖，已知線段AB在平面內(nèi)，線段，線段BDAB，線段，如果ABa，ACBDb，求C、D間的距離.練2. 如圖，M、N分別是棱長為1的正方體的棱、的中點求異面直線MN與所成的角.三、總結(jié)提升學習小結(jié)1.求出空間線段的長度：用空間向量表示空間線段，然后利用公式；2. 空間的二面角或異面直線的夾角，都可以轉(zhuǎn)化為利用公式求解.知識拓展解空間圖形問題時,可以分為三步完成: （1）建立立體圖形與空間向量的聯(lián)系，用空間向量表示問題中涉及的點、直線、平面，把立體幾何問題轉(zhuǎn)化為向量問題(還常建立坐標系來輔助)；（2）通過向量運算，研究點、直線、平面之間的位置關(guān)系以及它們之間距

8、離和夾角等問題；（3）把向量的運算結(jié)果“翻譯”成相應(yīng)的幾何意義.當堂檢測（時量：5分鐘滿分：10分）計分：1. 已知，則.2. 已知，則的夾角為.3. 若M、N分別是棱長為1的正方體的棱的中點,那么直線所成的角的余弦為（）A. B. C. D.4. 將銳角為邊長為的菱形沿較短的對角線折成的二面角，則間的距離是（）A. B. C. D.5.正方體中棱長為，,是的中點，則為（）A. B. C. D.課后作業(yè)1. 如圖，正方體的棱長為1，分別是的中點，求：所成角的大小；所成角的大??；的長度.§3.2立體幾何中的向量方法（3）.學習目標1. 進一步熟練求平面法向量的方法；2. 掌握向量運算在

9、幾何中如何求點到平面的距離和兩異面直線間距離的計算方法；3. 熟練掌握向量方法在實際問題中的作用.學習過程一、課前準備復習1：已知，試求平面的一個法向量. 復習2：什么是點到平面的距離？什么是兩個平面間距離？二、新課導學學習探究探究任務(wù)一：點到平面的距離的求法問題：如圖A空間一點到平面的距離為,已知平面的一個法向量為,且與不共線,能否用與表示?分析:過作于O,連結(jié)OA,則d=|=,.cosAPO=|cos|D. =|cos|=新知：用向量求點到平面的距離的方法：設(shè)A空間一點到平面的距離為,平面的一個法向量為，則D. = 試試：在棱長為1的正方體中，求點到平面的距離.反思：當點到平面的距離不能直

10、接求出的情況下，可以利用法向量的方法求解.典型例題例1 已知正方形ABCD的邊長為4，E、F分別是AB、AD的中點，GC平面ABCD，且GC2，求點B到平面EFG的距離.變式：如圖,是矩形,平面,分別是的中點,求點到平面的距離.APDCBMN小結(jié)：求點到平面的距離的步驟：建立空間直角坐標系，寫出平面內(nèi)兩個不共線向量的坐標；求平面的一個法向量的坐標；找出平面外的點與平面內(nèi)任意一點連接向量的坐標；代入公式求出距離.探究任務(wù)二：兩條異面直線間的距離的求法例2 如圖，兩條異面直線所成的角為，在直線上分別取點和,使得,且.已知，求公垂線的長.變式：已知直三棱柱的側(cè)棱,底面中, ，且,是的中點,求異面直線

11、與的距離.小結(jié)：用向量方法求兩條異面直線間的距離，可以先找到它們的公垂線方向的一個向量，再在兩條直線上分別取一點，則兩條異面直線間距離求解.三、總結(jié)提升學習小結(jié)1.空間點到直線的距離公式2.兩條異面直線間的距離公式知識拓展用向量法求距離的方法是立體幾何中常用的方法.當堂檢測（時量：5分鐘滿分：10分）計分：1. 在棱長為1的正方體中，平面的一個法向量為；2.在棱長為1的正方體中，異面直線和所成角是；3.在棱長為1的正方體中，兩個平行平面間的距離是；4. 在棱長為1的正方體中，異面直線和間的距離是；5. 在棱長為1的正方體中，點是底面中心，則點O到平面的距離是.課后作業(yè)1. 如圖，正方體的棱長為

12、1，點是棱中點，點是中點，求證：是異面直線與的公垂線，并求的長.2. 如圖，空間四邊形各邊以及的長都是1，點分別是邊的中點，連結(jié).計算的長；求點到平面的距離.§第三章空間向量（復習）學習目標1.掌握空間向量的運算及其坐標運算；2. 立體幾何問題的解決熟練掌握向量是很好的工具.學習過程一、課前準備（預習教材P115116，找出惑之處）復習1：如圖，空間四邊形中，.點M在OA上，且OM=2MA, N為BC中點，則復習2：平行六面體中，點P,M,N分別是的中點，點Q在上，且,用基底表示下列向量：; ; ; .主要知識點：1. 空間向量的運算及其坐標運算：空間向量是平面向量的推廣, 有關(guān)運算

13、方法幾乎一樣,只是“二維的”變成 “三維的”了.2. 立體幾何問題的解決向量是很好的工具平行與垂直的判斷角與距離的計算典型例題例1 如圖,一塊均勻的正三角形面的鋼板的質(zhì)量為，在它的頂點處分別受力、，每個力與同它相鄰的三角形的兩邊之間的夾角都是，且.這塊鋼板在這些力的作用下將會怎樣運動？這三個力最小為多大時，才能提起這塊鋼板？變式：上題中，若不建立坐標系，如何解決這個問題？小結(jié)：在現(xiàn)實生活中的問題，我們可以轉(zhuǎn)化我數(shù)學中向量的問題來解決，具體方法有坐標法和直接向量運算法，對能建立坐標系的題，盡量使用坐標計算會給計算帶來方便.例2如圖，在直三棱柱中，,點M是的中點，求證：.變式：正三棱柱的底面邊長為1，棱長為2，點M是BC的中點，在直線上求一點N，使.例3 如圖，長方體中，點E,F分別在上，且,.求證：平面;當時，求平面與平面所成的角的余弦值.動手試試練1.如圖，正三棱柱的底面邊長為，側(cè)棱長為.試建立適當?shù)淖鴺讼?，寫出點的坐標求的側(cè)面所成的角.練2. 已知點A(1,-2,0),向量，求點B的坐標，使得，且.三、總結(jié)提升學習小結(jié)1. 空間向量的運算與平面向量的方法相同；2. 向量的數(shù)量積和平面的法向量是向量解決立體幾何問題常用的方