第十一章無窮級數(shù)37116

1、教 學(xué) 內(nèi) 容批注第十一章 無窮級數(shù)§11.1 常數(shù)項(xiàng)級數(shù)的概念和性質(zhì)一、常數(shù)項(xiàng)級數(shù)的概念常數(shù)項(xiàng)級數(shù):給定一個數(shù)列u1,u2,u3,×××,un,×××,則由這數(shù)列構(gòu)成的表達(dá)式u1 +u2+u3+×××+un +×××叫做（常數(shù)項(xiàng)）無窮級數(shù),簡稱（常數(shù)項(xiàng))級數(shù),記為,即,其中第n項(xiàng)un叫做級數(shù)的一般項(xiàng)或通項(xiàng).級數(shù)的部分和:作級數(shù)的前n項(xiàng)和稱為級數(shù)的部分和.級數(shù)斂散性定義:如果級數(shù)的部分和數(shù)列有極限s,即,則稱無窮級數(shù)收斂,這時極限s叫做這個級數(shù)的和,并寫成教 學(xué) 內(nèi)

2、 容批注如果沒有極限,則稱無窮級數(shù)發(fā)散.余項(xiàng):當(dāng)級數(shù)收斂時,其部分和sn是級數(shù)的和s的近似值,它們之間的差值 rn=s-sn=un+1+un+2+×××，叫做級數(shù)的余項(xiàng).例1討論等比級數(shù)(幾何級數(shù))的斂散性,其中a¹0,q叫做級數(shù)的公比. 解如果q¹1,則部分和. 當(dāng)|q|<1時, 因?yàn)? 所以此時級數(shù)收斂,其和為. 當(dāng)|q|>1時, 因?yàn)? 所以此時級數(shù)發(fā)散. 如果|q|=1,則當(dāng)q=1時,sn=na®¥,因此級數(shù)發(fā)散;當(dāng)q=-1時,級數(shù)成為a-a+a-a+×××, 因?yàn)閟n隨著n

3、為奇數(shù)或偶數(shù)而等于a或零,教 學(xué) 內(nèi) 容批注所以sn的極限不存在, 從而這時級數(shù)也發(fā)散.綜上所述,如果|q|<1,則級數(shù)收斂,其和為;如果|q|³1,則級數(shù)發(fā)散.例2證明級數(shù) 1+2+3+×××+n+××× 是發(fā)散的.證此級數(shù)的部分和為.顯然,因此所給級數(shù)是發(fā)散的.例3判別無窮級數(shù)的收斂性. 解由于因此,從而,所以這級數(shù)收斂,它的和是1.教 學(xué) 內(nèi) 容批注二、收斂級數(shù)的基本性質(zhì)性質(zhì)1如果常數(shù),則級數(shù)與有相同的斂散性.且若級數(shù)收斂于s,則級數(shù)收斂于 ks.,即=.這是因?yàn)?設(shè)與的部分和分別為sn與sn,由于，所以可知與有

4、相同的斂散性，這表明級數(shù)與有相同的斂散性.且當(dāng)時，.即級數(shù)收斂于ks.性質(zhì)2如果級數(shù)、分別收斂于和s、s,則級數(shù)也收斂,且其和為s±s.，即. 這是因?yàn)?如果、的部分和分別為sn、sn、tn,則教 學(xué) 內(nèi) 容批注性質(zhì)3在級數(shù)中去掉、加上或改變有限項(xiàng),不會改變級數(shù)的收斂性.性質(zhì)4如果級數(shù)收斂,則對這級數(shù)的項(xiàng)任意加括號后所成的級數(shù)仍收斂,且其和不變.應(yīng)注意的問題:如果加括號后所成的級數(shù)收斂,則不能斷定去括號后原來的級數(shù)也收斂. 例如,級數(shù)（1-1)+（1-1) +×××收斂于零,但級數(shù)1-1+1-1+×××卻是發(fā)散的.推論:如果

5、加括號后所成的級數(shù)發(fā)散,則原來級數(shù)也發(fā)散.級數(shù)收斂的必要條件:性質(zhì)5 如果收斂,則. 證 設(shè)級數(shù)的部分和為sn,且,則.應(yīng)注意的問題:級數(shù)的一般項(xiàng)趨于零并不是級數(shù)收斂的充分條件.例4 證明調(diào)和級數(shù)是發(fā)散的.教 學(xué) 內(nèi) 容批注證假若級數(shù)收斂且其和為s,sn是它的部分和.顯然有及.于是.但另一方面,故,矛盾.這矛盾說明級數(shù)必定發(fā)散.§11. 2 常數(shù)項(xiàng)級數(shù)的審斂法一、正項(xiàng)級數(shù)及其審斂法正項(xiàng)級數(shù):各項(xiàng)都是正數(shù)或零的級數(shù)稱為正項(xiàng)級數(shù).定理1正項(xiàng)級數(shù)收斂的充分必要條件它的部分和數(shù)列sn有界.定理2(比較審斂法)設(shè)和都是正項(xiàng)級數(shù),且un£vn(n=1, 2,××&#

6、215;).若級數(shù)收斂,則級數(shù)收斂;反之,若級數(shù)發(fā)散,則級數(shù)發(fā)散.教 學(xué) 內(nèi) 容批注證 設(shè)級數(shù)收斂于和s,則級數(shù)的部分和sn=u1+u2+×××+un£v1+v2+×××+vn£s (n=1, 2, ×××),即部分和數(shù)列sn有界,由定理1知級數(shù)收斂. 反之,設(shè)級數(shù)發(fā)散,則級數(shù)必發(fā)散.因?yàn)槿艏墧?shù)收斂,由上已證明的結(jié)論,將有級數(shù)也收斂,與假設(shè)矛盾.注意：由于級數(shù)的斂散性與它的前面有限項(xiàng)無關(guān)，以及級數(shù)的每一項(xiàng)乘以不為零的常數(shù)不會影響級數(shù)的斂散性，因此，如果存在自然數(shù)N,使當(dāng)n³N

7、時有un£kvn(k>0)成立時，比較申斂法則仍成立.例1討論p-級數(shù)的收斂性. 解 設(shè)p£1.這時,而調(diào)和級數(shù)發(fā)散,由比較審斂法知,當(dāng)p£1時級數(shù)發(fā)散. 設(shè)p>1.因?yàn)楫?dāng) 時，有，所以，(n=2, 3, ×××).p-級數(shù)部分和教 學(xué) 內(nèi) 容批注，(n=2, 3, ×××).這表明有上界，因此級數(shù)當(dāng)p>1時收斂.綜上所述,p-級數(shù)當(dāng)p>1時收斂,當(dāng)p£1時發(fā)散.例2證明級數(shù)是發(fā)散的. 證 因?yàn)?而級數(shù)是發(fā)散的,根據(jù)比較審斂法可知所給級數(shù)也是發(fā)散的.定理3(比較審斂法的極

8、限形式) 設(shè)和都是正項(xiàng)級數(shù),記,(1) 當(dāng)時，則級數(shù)和級數(shù)同時收斂或同時發(fā)散.(2)當(dāng)，且級數(shù)收斂時, 則級數(shù)收斂;(2)當(dāng), 且級數(shù)發(fā)散, 則級數(shù)發(fā)散.教 學(xué) 內(nèi) 容批注 證明 （1）由極限的定義可知,對,存在自然數(shù)N,當(dāng)n>N時,有不等式,即,再根據(jù)比較審斂法的推論1,即得所要證的結(jié)論.（2）例3 判別級數(shù)的收斂性. 解 因?yàn)?而級數(shù)發(fā)散,根據(jù)比較審斂法的極限形式,級數(shù)發(fā)散.教 學(xué) 內(nèi) 容批注例4判別級數(shù)的收斂性. 解 因?yàn)?而級數(shù)收斂,根據(jù)比較審斂法的極限形式,級數(shù)收斂.定理4(比值審斂法,達(dá)朗貝爾判別法)設(shè)是正項(xiàng)級數(shù)且,則（1）當(dāng)r<1時級數(shù)收斂;（2）當(dāng)r>1(或)

9、時級數(shù)發(fā)散;（3）當(dāng)r=1時級數(shù)可能收斂也可能發(fā)散.例5證明級數(shù)是收斂的.解 因?yàn)?根據(jù)比值審斂法可知所給級數(shù)收斂.例6判別級數(shù)的收斂性. 解 因?yàn)?根據(jù)比值審斂法可知所給級數(shù)發(fā)散.教 學(xué) 內(nèi) 容批注例7判別級數(shù)的收斂性. 解 .這時r=1,比值審斂法失效,必須用其它方法來判別級數(shù)的收斂性. 因?yàn)?而級數(shù)收斂,因此由比較審斂法可知所給級數(shù)收斂. 定理5(根值審斂法,柯西判別法) 設(shè)為正項(xiàng)級數(shù),如果,則（1）當(dāng)r<1時級數(shù)收斂;（2）當(dāng)r>1(或)時級數(shù)發(fā)散;（3）當(dāng)r=1時級數(shù)可能收斂也可能發(fā)散. 例8證明級數(shù)是收斂的. 解 因?yàn)?所以根據(jù)根值審斂法可知所給級數(shù)收斂.例6判定級數(shù)的

10、收斂性.教 學(xué) 內(nèi) 容批注解 因?yàn)?所以, 根據(jù)根值審斂法知所給級數(shù)收斂.二、交錯級數(shù)及其審斂法交錯級數(shù):交錯級數(shù)是這樣的級數(shù),它的各項(xiàng)是正負(fù)交錯的.交錯級數(shù)的一般形式為,其中.例如,是交錯級數(shù),但不是交錯級數(shù).定理6（萊布尼茨定理）如果交錯級數(shù)滿足條件:(1)un³un+1 (n=1, 2, 3,×××); (2),則級數(shù)收斂,且其和s£u1,其余項(xiàng)rn的絕對值|rn|£un+1. 簡要證明:設(shè)前n項(xiàng)部分和為sn. 由s2n=(u1-u2)+(u3-u4)+×××+(u2n 1-u2n), 及 s2n=

11、u1-(u2-u3)+(u4-u5)+×××+(u2n-2-u2n-1)-u2n看出數(shù)列s2n單調(diào)增加且有界(s2n<u1), 所以收斂.設(shè)s2n®s(n®¥), 則也有s2n+1=s2n+u2n+1®s(n®¥),所以sn®s(n®¥). 從而級數(shù)是收斂的, 且sn<u1. 因?yàn)?|rn|=un+1-un+2+×××也是收斂的交錯級數(shù), 所以|rn|£un+1.教 學(xué) 內(nèi) 容批注例9 證明級數(shù)收斂,并估計(jì)和及余項(xiàng). 證 這

12、是一個交錯級數(shù).因?yàn)榇思墧?shù)滿足 (1)(n=1, 2,×××), (2),由萊布尼茨定理,級數(shù)是收斂的,且其和s<u1=1,余項(xiàng)三、絕對收斂與條件收斂:絕對收斂與條件收斂: 若級數(shù)收斂,則稱級數(shù)絕對收斂;若級數(shù)收斂,而級數(shù)發(fā)散,則稱級條件收斂.定理7如果級數(shù)絕對收斂,則級數(shù)必定收斂.注意: 如果級數(shù)發(fā)散,我們不能斷定級數(shù)也發(fā)散. 但是,如果我們用比值法或根值法判定級數(shù)發(fā)散,則我們可以斷定級數(shù)必定發(fā)散.這是因?yàn)?此時|un|不趨向于零,從而un也不趨向于零,因此級數(shù)也是發(fā)散的.教 學(xué) 內(nèi) 容批注例11判別級數(shù)的收斂性.解 因?yàn)閨,而級數(shù)是收斂的,所以級數(shù)也收斂

13、,從而級數(shù)絕對收斂.例12判別級數(shù)的收斂性.解:由,有,可知,因此級數(shù)發(fā)散.§ 11. 3 冪級數(shù)一、函數(shù)項(xiàng)級數(shù)的概念函數(shù)項(xiàng)級數(shù):給定一個定義在區(qū)間I上的函數(shù)列un(x),由這函數(shù)列構(gòu)成的表達(dá)式u1(x)+u2(x)+u3(x)+×××+un(x)+×××稱為定義在區(qū)間I上的(函數(shù)項(xiàng))級數(shù),記為.教 學(xué) 內(nèi) 容批注收斂點(diǎn)與發(fā)散點(diǎn):對于區(qū)間I內(nèi)的一定點(diǎn)x0,若常數(shù)項(xiàng)級數(shù)收斂,則稱點(diǎn)x0是級數(shù)的收斂點(diǎn).若常數(shù)項(xiàng)級數(shù)發(fā)散,則稱點(diǎn)x0是級數(shù)的發(fā)散點(diǎn).收斂域與發(fā)散域:函數(shù)項(xiàng)級數(shù)的所有收斂點(diǎn)的全體稱為它的收斂域,所有發(fā)散點(diǎn)的全體稱為它的

14、發(fā)散域.和函數(shù):在收斂域上,函數(shù)項(xiàng)級數(shù)的和是x的函數(shù)s(x),s(x)稱為函數(shù)項(xiàng)級數(shù)的和函數(shù),并寫成這函數(shù)的定義就是級數(shù)的收斂域,部分和:函數(shù)項(xiàng)級數(shù)un(x)的前n項(xiàng)的部分和記作sn(x), 即sn(x)= u1(x)+u2(x)+u3(x)+×××+un(x).在收斂域上有或sn(x)®s(x)(n®¥) .教 學(xué) 內(nèi) 容批注余項(xiàng):函數(shù)項(xiàng)級數(shù)的和函數(shù)s(x)與部分和sn(x)的差rn(x)=s(x)-sn(x)叫做函數(shù)項(xiàng)級數(shù)的余項(xiàng). 函數(shù)項(xiàng)級數(shù)un(x)的余項(xiàng)記為rn(x), 它是和函數(shù)s(x)與部分和sn(x)的差rn(x)=s(

15、x)-sn(x). 在收斂域上有.例1 求下列函數(shù)項(xiàng)級數(shù)的收斂域：（1） （2） 二、冪級數(shù)及其收斂性冪級數(shù):函數(shù)項(xiàng)級數(shù)中簡單而常見的一類級數(shù)就是各項(xiàng)都冪函數(shù)的函數(shù)項(xiàng)級數(shù),這種形式的級數(shù)稱為冪級數(shù),它的形式是a0+a1x+a2x2+×××+anxn+×××,其中常數(shù)a0,a1,a2,×××,an,×××叫做冪級數(shù)的系數(shù).注: 冪級數(shù)的一般形式是a0+a1(x-x0)+a2(x-x0)2+×××+an(x-x0)n+××

16、5;,經(jīng)變換t=x-x0就得a0+a1t+a2t2+×××+antn+×××.教 學(xué) 內(nèi) 容批注定理1 (阿貝爾定理)如果級數(shù)anxn當(dāng)x=x0 (x0¹0)時收斂,則適合不等式|x|<|x0|的一切x使這冪級數(shù)絕對收斂.反之,如果級數(shù)anxn當(dāng)x=x0時發(fā)散,則適合不等式|x|>|x0|的一切x使這冪級數(shù)發(fā)散.提示:anxn是的簡記形式.證先設(shè)x0是冪級數(shù)的收斂點(diǎn),即級數(shù)收斂.根據(jù)級數(shù)收斂的必要條件,有,于是存在一個常數(shù)M,使| anx0n |£M(n=0, 1, 2, ××

17、15;).這樣級數(shù)的的一般項(xiàng)的絕對值.因?yàn)楫?dāng)|x|<|x0|時,等比級數(shù)收斂,所以級數(shù)收斂,也就是級數(shù)anxn絕對收斂.定理的第二部分可用反證法證明.倘若冪級數(shù)當(dāng)x=x0時發(fā)散而有一點(diǎn)x1適合|x1|>|x0|使級數(shù)收斂,則根據(jù)本定理的第一部分,級數(shù)當(dāng)x=x0時應(yīng)收斂,這與所設(shè)矛盾.定理得證.推論如果級數(shù)不是僅在點(diǎn)x=0一點(diǎn)收斂,也不是在整個數(shù)軸上都收斂,則必有一個完全確定的正數(shù)R存在,使得當(dāng)|x|<R時,冪級數(shù)絕對收斂;當(dāng)|x|>R時,冪級數(shù)發(fā)散;當(dāng)x=R與x=-R時,冪級數(shù)可能收斂也可能發(fā)散.教 學(xué) 內(nèi) 容批注收斂半徑與收斂區(qū)間:正數(shù)通常叫做冪級數(shù)的收斂半徑. 開區(qū)

18、間(-R,R)叫做冪級數(shù)的收斂區(qū)間. 再由冪級數(shù)在x=±R處的收斂性就可以決定它的收斂域. 冪級數(shù)的收斂域是(-R, R)(或-R, R)、(-R, R、-R, R之一.規(guī)定:若冪級數(shù)只在x=0收斂,則規(guī)定收斂半徑R=0 ,若冪級數(shù)對一切x都收斂,則規(guī)定收斂半徑R=+¥,這時收斂域?yàn)?-¥, +¥).定理2設(shè)冪級數(shù)系數(shù)，如果, 則這冪級數(shù)的收斂半徑簡要證明:.(1)如果0<r<+¥, 則只當(dāng)r|x|<1時冪級數(shù)收斂, 故. (2)如果r=0, 則冪級數(shù)總是收斂的,故R=+¥.(3)如果r=+¥,則只當(dāng)x=0

19、時冪級數(shù)收斂, 故R=0.教 學(xué) 內(nèi) 容批注例1 求冪級數(shù)的收斂半徑與收斂域.解因?yàn)樗允諗堪霃綖?當(dāng)x=1時, 冪級數(shù)成為, 是收斂的;當(dāng)x=-1時, 冪級數(shù)成為, 是發(fā)散的.因此,收斂域?yàn)?-1, 1.例2 求冪級數(shù)的收斂域.解因?yàn)?所以收斂半徑為R=+¥,從而收斂域?yàn)?-¥, +¥).例3 求冪級數(shù)的收斂半徑.解 因?yàn)?所以收斂半徑為R=0,即級數(shù)僅在x=0處收斂.教 學(xué) 內(nèi) 容批注例4 求冪級數(shù)的收斂半徑.解 級數(shù)缺少奇次冪的項(xiàng),定理2不能應(yīng)用.可根據(jù)比值審斂法來求收斂半徑: 冪級數(shù)的一般項(xiàng)記為.因?yàn)?當(dāng)4|x|2<1即時級數(shù)收斂;當(dāng)4|x|2>

20、;1即時級數(shù)發(fā)散,所以收斂半徑為.提示:例5 求冪級數(shù)的收斂域.解令t=x-1,上述級數(shù)變?yōu)? 因?yàn)?,所以收斂半徑R=2.教 學(xué) 內(nèi) 容批注當(dāng)t=2時,級數(shù)成為,此級數(shù)發(fā)散;當(dāng)t=-2時,級數(shù)成為,此級數(shù)收斂.因此級數(shù)的收斂域?yàn)?2£t<2. 因?yàn)?2£x-1<2,即-1£x<3,所以原級數(shù)的收斂域?yàn)?1, 3).三、冪級數(shù)的運(yùn)算設(shè)冪級數(shù)及分別在區(qū)間(-R, R)及(-R¢, R¢)內(nèi)收斂,則在(-R, R)與(-R¢, R¢)中較小的區(qū)間內(nèi)有加法:,減法:,乘法:=a0b0+(a0b1+a1b0)x+(

21、a0b2+a1b1+a2b0)x2+(a0bn+a1bn-1+×××+anb0)xn+×××性質(zhì)1冪級數(shù)的和函數(shù)s(x)在其收斂域I上連續(xù). 如果冪級數(shù)在x=R (或x=-R)也收斂,則和函數(shù)s(x)在(-R, R(或-R, R)連續(xù).教 學(xué) 內(nèi) 容批注性質(zhì)2冪級數(shù)的和函數(shù)s(x)在其收斂域I上可積, 并且有逐項(xiàng)積分公式(xÎI ),逐項(xiàng)積分后所得到的冪級數(shù)和原級數(shù)有相同的收斂半徑.性質(zhì)3冪級數(shù)的和函數(shù)s(x)在其收斂區(qū)間(-R,R)內(nèi)可導(dǎo), 并且有逐項(xiàng)求導(dǎo)公式(|x|<R),逐項(xiàng)求導(dǎo)后所得到的冪級數(shù)和原級數(shù)有相同的收

22、斂半徑.例6 求冪級數(shù)的和函數(shù).解求得冪級數(shù)的收斂域?yàn)?1,1).設(shè)和函數(shù)為s(x),即,xÎ-1,1). 顯然s(0)=1.在的兩邊求導(dǎo)得對上式從0到x積分,得.教 學(xué) 內(nèi) 容批注 所以,當(dāng)x¹0時,有,從而 .由和函數(shù)在收斂域上的連續(xù)性, 綜合起來得.提示: 應(yīng)用公式, 即.例7 求級數(shù)的和.解考慮冪級數(shù),此級數(shù)在-1, 1)上收斂,設(shè)其和函數(shù)為s(x),則.在例6中已得到xs(x)=ln(1-x),于是-s(-1)=ln2,即教 學(xué) 內(nèi) 容批注§11.4 函數(shù)展開成冪級數(shù)一、泰勒級數(shù) 要解決的問題:給定函數(shù)f(x),要考慮它是否能在某個區(qū)間內(nèi)“展開成冪級數(shù)”

23、,就是說,是否能找到這樣一個冪級數(shù),它在某區(qū)間內(nèi)收斂,且其和恰好就是給定的函數(shù)f(x). 如果能找到這樣的冪級數(shù),我們就說,函數(shù)f(x)在該區(qū)間內(nèi)能展開成冪級數(shù),或簡單地說函數(shù)f(x)能展開成冪級數(shù),而該級數(shù)在收斂區(qū)間內(nèi)就表達(dá)了函數(shù)f(x).泰勒多項(xiàng)式:如果f(x)在點(diǎn)x0的某鄰域內(nèi)具有各階導(dǎo)數(shù),則在該鄰域內(nèi)f(x)近似等于,其中(x介于x與x0之間).泰勒級數(shù):如果f(x)在點(diǎn)x0的某鄰域內(nèi)具有各階導(dǎo)數(shù)f¢(x),f¢¢(x),×××,f (n)(x),×××,則當(dāng)n®¥時,f(x)

24、在點(diǎn)x0的泰勒多項(xiàng)式成為冪級數(shù)這一冪級數(shù)稱為函數(shù)f(x)的泰勒級數(shù). 顯然,當(dāng)x=x0時,f(x)的泰勒級數(shù)收斂于f(x0).需回答的問題:除了x=x0外,f(x)的泰勒級數(shù)是否收斂? 如果收斂,它是否一定收斂于f(x)? 定理設(shè)函數(shù)f(x)在點(diǎn)x0的某一鄰域U(x0)內(nèi)具有各階導(dǎo)數(shù),則f(x)在該鄰域內(nèi)能展開成泰勒級數(shù)的充分必要條件是f(x)的泰勒公式中的余項(xiàng)Rn(x)當(dāng)n®0時的極限為零,即 教 學(xué) 內(nèi) 容批注證明 先證必要性.設(shè)f(x)在U(x0)內(nèi)能展開為泰勒級數(shù),即,又設(shè)sn+1(x)是f(x)的泰勒級數(shù)的前n+1項(xiàng)的和,則在U(x0)內(nèi)sn+1(x)® f(x)

25、(n®¥).而f(x)的n階泰勒公式可寫成f(x)=sn+1(x)+Rn(x),于是Rn(x)=f(x)-sn+1(x)®0(n®¥). 再證充分性.設(shè)Rn(x)®0(n®¥)對一切xÎU(x0)成立.因?yàn)閒(x)的n階泰勒公式可寫成f(x)=sn+1(x)+Rn(x),于是sn+1(x)=f(x)-Rn(x)®f(x),即f(x)的泰勒級數(shù)在U(x0)內(nèi)收斂,并且收斂于f(x).麥克勞林級數(shù):在泰勒級數(shù)中取x0=0,得,此級數(shù)稱為f(x)的麥克勞林級數(shù).展開式的唯一性:如果f(x)能展開成x的

26、冪級數(shù),那么這種展式是唯一的,它一定與f(x)的麥克勞林級數(shù)一致. 這是因?yàn)?如果f(x)在點(diǎn)x0=0的某鄰域(-R,R)內(nèi)能展開成x的冪級數(shù),即 f(x)=a0+a1x+a2x2+×××+anxn+×××,那么根據(jù)冪級數(shù)在收斂區(qū)間內(nèi)可以逐項(xiàng)求導(dǎo),有f¢(x)=a1+2a2x+3a3x2+×××+nanxn-1+×××,f¢¢(x)=2!a2+3×2a3x+×××+n×(n-1)anxn-2 +&

27、#215;××,f¢¢¢(x)=3!a3+×××+n×(n-1)(n-2)anxn-3 +×××,×××××××××××××××f(n)(x)=n!an+(n+1)n(n-1) ××× 2an+1x+×××,于是得 a0=f(0),a1=f¢(0),×

28、;××,×××.教 學(xué) 內(nèi) 容批注注意:如果f(x)能展開成x的冪級數(shù),那么這個冪級數(shù)就是f(x)的麥克勞林級數(shù).但是,反過來如果f(x)的麥克勞林級數(shù)在點(diǎn)x0=0的某鄰域內(nèi)收斂,它卻不一定收斂于f(x).因此,如果f(x)在點(diǎn)x0=0處具有各階導(dǎo)數(shù),則f(x)的麥克勞林級數(shù)雖然能作出來,但這個級數(shù)是否在某個區(qū)間內(nèi)收斂,以及是否收斂于f(x)卻需要進(jìn)一步考察.二、函數(shù)展開成冪級數(shù)直接展開法步驟:第一步 求出f (x)的各階導(dǎo)數(shù):f ¢(x),f ¢¢(x),×××,f(n)(x),&#

29、215;××.第二步 求函數(shù)及其各階導(dǎo)數(shù)在x=0處的值: f(0),f ¢(0),f ¢¢(0),×××,f(n)( 0),×××.第三步 寫出冪級數(shù),并求出收斂半徑R.第四步 考察在區(qū)間(-R,R)內(nèi)時是否Rn(x)®0(n®¥).是否為零.如果Rn(x)®0(n®¥),則f(x)在(-R,R)內(nèi)有展開式(-R<x<R).例1將函數(shù)f(x)=ex展開成x的冪級數(shù).解所給函數(shù)的各階導(dǎo)數(shù)為f (n)(x)=ex(n=

30、1, 2,×××),因此f (n)(0)=1(n=1, 2,×××).于是得級數(shù),它的收斂半徑R=+¥.教 學(xué) 內(nèi) 容批注對于任何有限的數(shù)x、x (x介于0與x之間),有,而,所以,從而有展開式.例2將函數(shù)f(x)=sin x展開成x的冪級數(shù). 解 因?yàn)?n=1, 2,×××),所以f (n)(0)順序循環(huán)地取0, 1, 0,-1,××× (n=0, 1, 2, 3,×××),于是得級數(shù),它的收斂半徑為R=+¥.對于任何有限的

31、數(shù)x、x (x介于0與x之間),有®0 (n®¥).因此得展開式.例3 將函數(shù)f(x)=(1+x)m展開成x的冪級數(shù),其中m為任意常數(shù). 解:f(x)的各階導(dǎo)數(shù)為f¢(x)=m(1+x)m-1,f¢¢(x)=m(m-1)(1+x)m-2,×××××××××,教 學(xué) 內(nèi) 容批注f(n)(x)=m(m-1)(m-2)×××(m-n+1)(1+x)m-n,×××××

32、5;×××,所以 f(0)=1,f¢(0)=m,f¢¢(0)=m(m-1),×××, f(n)(0)=m(m-1)(m-2)×××(m-n+1),×××于是得冪級數(shù).可以證明間接展開法:例4 將函數(shù)f(x)=cos x展開成x的冪級數(shù). 解 已知(-¥<x<+¥).對上式兩邊求導(dǎo)得.例5 將函數(shù)展開成x的冪級數(shù).解因?yàn)?把x換成-x2,得(-1<x<1).注: 收斂半徑的確定: 由-1<-x2<1得-1<x<1.教 學(xué) 內(nèi) 容批注例6 將函數(shù)f(x)=ln(1+x) 展開成x的