第十一章線面積分

1、第十一章 曲線積分與曲面積分 1 對弧長的曲線積分1設(shè)關(guān)于軸對稱，表示在軸上側(cè)的部分，當(dāng)關(guān)于是偶函數(shù)時(shí)，A.0 B. C. D.ABC都不對2、設(shè)是以點(diǎn)為頂點(diǎn)的正方形邊界,則= A. 4 B.2 C. D. 3、有物質(zhì)沿曲線：分布，其線密度為，則它的質(zhì)量 A. B. C. D.4求其中L為由所圍區(qū)域的整個(gè)邊界解：5其中L為雙紐線解：原積分=6其中L為原積分7其中L為球面與平面的交線解：將代入方程得于是L的參數(shù)方程：，又原積分=8、求均勻弧的重心坐標(biāo)， 2 對坐標(biāo)的曲線積分一、選擇題1.設(shè)關(guān)于軸對稱，表示在軸上側(cè)的部分，當(dāng)關(guān)于是偶函數(shù) 時(shí)，A.0 B. C.D.ABC都不對2設(shè)為的正向，則A.0

2、 B.4 C.2 D.-23為的正向， A.2 B.-2 C.0 D.二、計(jì)算1，其中由曲線從到方向解：2其中是正向圓周曲線解：由奇偶對稱性，：3其中為從點(diǎn)到的有向線段解：方程：，三、過和的曲線族，求曲線使沿該曲線從到的積分的值最小解：。最小，此時(shí)四、空間每一點(diǎn)處有力，其大小與到軸的距離成反比，方向垂直指向軸，試求當(dāng)質(zhì)點(diǎn)沿圓周從點(diǎn)到時(shí)，力所作的功解：由已知五、將積分化為對弧長的積分,其中L 沿上半圓周解：，于是 3 格林公式及其應(yīng)用一、選擇題1.若是上半橢圓取順時(shí)針方向,則= A.0 B.C. D 2. 設(shè)為的正向，則A2B.-2C.0 D.3.設(shè)為曲線的正向，則A9 B.-18C. -9 D

3、.0 二、計(jì)算題1.設(shè)是圓取逆時(shí)針方向，則解：將方程代入被積函數(shù)在由格林公式得2其中為點(diǎn)到的拋物線 的弧段解：因故積分與路徑無關(guān)，取3求，為(1) (2) 正方形邊界的正向解：(1)直接用格林公式=0(2) 設(shè)為圓周：取逆時(shí)針方向，其參數(shù)方程原積分為所以4、驗(yàn)證在面上是某函數(shù)的全微分，求出解：， 5、設(shè)曲線積分與路徑無關(guān)，其中具有連續(xù)的導(dǎo)數(shù)，且 ，計(jì)算的值解：取路徑：沿從到；再沿從到則或 4對面積的曲面積分1、計(jì)算曲面積分 ，其中是平面在第一卦限的部分 解：2、求曲面積分 ，其中是界于平面z=0和z=H之間的圓柱面 解： =23、求曲面積分 ，其中是錐面被柱面 所截得的有限部分 解：= 5 對

4、坐標(biāo)的曲面積分一、選擇題1.設(shè)關(guān)于面對稱反向，是在面的前側(cè)部分，若關(guān)于為偶函數(shù)，則（ ） A.0 B. C. D.ABC都不對2.設(shè)取上側(cè),則下述積分不等于零的是（）AB C D 3.設(shè)為球面取外側(cè),為其上半球面,則有（） A.B. C. D. 0二、計(jì)算1其中由及三個(gè)坐標(biāo)面所圍成閉曲面的外側(cè)2其中為錐面被平面所截部分的外側(cè)3.其中為被平面所截部分，其法向量與z軸成銳角三、用兩類曲面積分之間的關(guān)系計(jì)算1 求其中是柱面在部分，是的外法線的方向余弦2其中為連續(xù)函數(shù)，為平面在第四卦限部分的上側(cè)=四、試求向量穿過由及及所圍成圓臺外側(cè)面（不含上下底）的流量6 高斯公式1. 設(shè)是拋物面介于及之間部分的下側(cè)

5、，求 解：做補(bǔ)面：取上側(cè)，則構(gòu)成一個(gè)封閉曲面，取外側(cè)，由高斯公式知：原式=2設(shè)為取外側(cè),求解：原式=3.設(shè)為平面在第一卦限部分的上側(cè)，則=解：由輪換對稱性知原式=4. 求，其中有連續(xù)的二階導(dǎo)數(shù)，是 所圍立體的外側(cè)5.求，其中是 及所圍曲面的外側(cè)6.，其中為取外側(cè)7 斯托克斯公式1、設(shè)為依參數(shù)增大方向的橢圓：，求 （0）2設(shè)為平面與坐標(biāo)面交線，從z軸看去為逆時(shí)針方向，求 （2）3.設(shè)為圓周若從軸正向看依逆時(shí)針方向，則 （） 4、其中為圓周若從軸正向看依逆時(shí)針方向。5,其中為曲線從軸正 向看依逆時(shí)針方向。6,其中為橢圓若從x軸正向看，此橢圓依逆時(shí)針方向。第十章 自測題一、填空（每題4分，共20分）

6、1、設(shè)平面曲線為下半圓周，則曲線積分 （）2、設(shè)為橢圓，其周長為,則(12)3、設(shè)為正向圓周在第一象限中的部分，則曲線積分（）4、設(shè)是由錐面與半球面圍成的空間區(qū)域，是的整個(gè)邊界的外側(cè)，則5、設(shè)為球面外側(cè)，則曲面積分（0）二、選擇題（每題5分，共15分）1、設(shè)是在第一卦限部分.則有AB.C.D.2、設(shè)取上側(cè)，則下述積分不正確的是AB. C. D.3、設(shè)L是從點(diǎn)(0,0)沿折線、y=1-|x-1|至點(diǎn)A(2,0)的折線段，則曲線積分 為（ ） A 0 B -1 C 2 D 2 三、計(jì)算（每題8分）1計(jì)算曲面積分，其中為錐面在柱體 內(nèi)的部分2、過和的曲線族，求曲線使沿該曲線從到的積分的值最小解：。最小，此時(shí)3、計(jì)算曲線積分，其中是以為中心，為半徑的圓周（取逆時(shí)針方向）解：設(shè)為圓周：取逆時(shí)針方向，其參數(shù)方程原積分