第十二章無窮級(jí)數(shù)

1、無窮級(jí)數(shù)內(nèi)容概要和重難點(diǎn)提示常數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)的收斂與發(fā)散的概念，收斂級(jí)數(shù)的和的概念，級(jí)數(shù)的基本性質(zhì)與收斂的必要條件，幾何級(jí)數(shù)與級(jí)數(shù)及其收斂性；正項(xiàng)級(jí)數(shù)收斂性的判別法、任意項(xiàng)級(jí)數(shù)的絕對(duì)收斂與條件收斂、交錯(cuò)級(jí)數(shù)與萊布尼茨定理。冪級(jí)數(shù)及其收斂半徑、收斂區(qū)間（指開區(qū)間）和收斂域；冪級(jí)數(shù)的和函數(shù)、冪級(jí)數(shù)在其收斂區(qū)間內(nèi)的基本性質(zhì)，簡(jiǎn)單冪級(jí)數(shù)的和函數(shù)的求法、初等函數(shù)的冪級(jí)數(shù)展開式。對(duì)數(shù)一，要理解狄利克雷收斂定理以及付式展開式?？荚囈?1了解級(jí)數(shù)的收斂與發(fā)散、收斂級(jí)數(shù)的和的概念。 2了解級(jí)數(shù)的基本性質(zhì)及級(jí)數(shù)收斂的必要條件，掌握幾何級(jí)數(shù)及級(jí)數(shù)的收斂與發(fā)散的條件，掌握正項(xiàng)級(jí)數(shù)收斂性的比較判別法、比較判別法的極限形式

2、和比值判別法。 3了解任意項(xiàng)級(jí)數(shù)絕對(duì)收斂與條件收斂的概念以及絕對(duì)收斂與收斂的關(guān)系，了解交錯(cuò)級(jí)數(shù)的萊布尼茨判別法。 4會(huì)求冪級(jí)數(shù)的收斂半徑、收斂區(qū)間及收斂域。 5了解冪級(jí)數(shù)在其收斂區(qū)間內(nèi)的基本性質(zhì)（和函數(shù)的連續(xù)性、逐項(xiàng)求導(dǎo)和逐項(xiàng)積分），會(huì)求簡(jiǎn)單冪級(jí)數(shù)在其收斂區(qū)間內(nèi)的和函數(shù)。 6了解函數(shù)的麥克勞林（Maclaurin）展開式（牢記5個(gè)公式）。難點(diǎn)判斷數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)的斂散性 剖析級(jí)數(shù)與數(shù)列的關(guān)系 求和函數(shù) 理解狄利克雷定理考試知識(shí)要點(diǎn)講解一、 常數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)的概念與基本性質(zhì)（一） 基本概念1、 設(shè)有數(shù)列，將它們依次相加稱為由數(shù)列構(gòu)成的無窮級(jí)數(shù)，記為。2、 若（定數(shù)），則稱級(jí)數(shù)收斂，且收斂于總和；若（或者不定）

3、，則稱級(jí)數(shù)發(fā)散。（通俗的定義）3、 令，稱為級(jí)數(shù)前項(xiàng)部分和。顯然數(shù)列與有：。、若，則稱級(jí)數(shù)收斂，且收斂于總和，反之就是發(fā)散。收斂時(shí)稱為級(jí)數(shù)的余項(xiàng)（仍為級(jí)數(shù)）。（二） 基本性質(zhì)1、 若都收斂，對(duì)于任何常數(shù)，則也收斂，且；2、 在級(jí)數(shù)中添加或者去掉或者改變有限項(xiàng)，不改變其斂散性；3、 收斂的級(jí)數(shù)任意加括號(hào)后所得到的新級(jí)數(shù)仍收斂，且和不變；4、 （收斂的必要條件）收斂，反之不成立。注：（1）斂散性和其它性質(zhì)一樣都有：；（2）性質(zhì)3的逆和否命題不成立(但是任何命題原命題成立，則逆否命題必成立；（3）收斂，收斂，（不能用得出級(jí)數(shù)收斂，但是若則必發(fā)散）。（4）幾個(gè)重要的級(jí)數(shù)斂散性結(jié)論 幾何級(jí)數(shù)，當(dāng)時(shí)收斂于

4、，當(dāng)時(shí)發(fā)散；級(jí)數(shù)當(dāng)時(shí)收斂，當(dāng)時(shí)發(fā)散，（時(shí)即叫做調(diào)和級(jí)數(shù)）。推廣得 當(dāng)時(shí)收斂，當(dāng)時(shí)發(fā)散； 級(jí)數(shù)，當(dāng)時(shí)收斂，當(dāng)時(shí)發(fā)散。（您會(huì)證明、會(huì)應(yīng)用嗎？）。大家回憶一下，高數(shù)在哪里還介紹過收斂的概念？例題1判定下列級(jí)數(shù)的斂散性：（1）（）；（2）；（3）。二、常數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)斂散性的判定（一）正項(xiàng)級(jí)數(shù)定義1：若在中，則稱此級(jí)數(shù)為正項(xiàng)級(jí)數(shù)（若呢？）由于正項(xiàng)級(jí)數(shù)中，即單增，由單調(diào)有界數(shù)列必收斂，知 收斂有界，采用此結(jié)論可以得到：1、 比較審斂法 若（），且收斂，則也收斂；若（），且發(fā)散，則也發(fā)散。注：（1）定理告訴我們，要想判斷出收斂，必須找收斂的“哥哥”，“哥哥”收斂則“弟弟”收斂，同樣“弟弟”發(fā)散則“哥哥”發(fā)散；（

5、2）定理可改為：若（），（其中）且 收斂，則也收斂；另一個(gè)結(jié)論可同理給出。2、比較審斂法的極限形式 若，則（1）當(dāng)時(shí)，與同斂散；（2）當(dāng)時(shí)，若收斂，則也收斂；（3）當(dāng)時(shí)，若發(fā)散，則也發(fā)散。 3、比值審斂法（達(dá)朗貝爾判別法） 若，則（1）當(dāng)時(shí)，收斂；（2）當(dāng)時(shí)，發(fā)散，（3）當(dāng)時(shí)，此法失效。4、根值審斂法（柯西判別法）若，則（1）當(dāng)時(shí)，收斂；（2）當(dāng)時(shí)，發(fā)散，（3）當(dāng)時(shí)，此法失效。（5）積分審斂法 設(shè)為定義于單減的非負(fù)的連續(xù)函數(shù)，則與具有相同的斂散性。注：1、以上5個(gè)定理只適用于正項(xiàng)級(jí)數(shù)；2、方法優(yōu)點(diǎn)缺點(diǎn)選擇的原則比較法簡(jiǎn)單明了要找參照級(jí)數(shù)，且明確大小關(guān)系從幾何或者級(jí)數(shù)中找。比較法的極限形式比較簡(jiǎn)

6、單明了要找參照級(jí)數(shù)，且明確等價(jià)關(guān)系（見推論）從幾何或者級(jí)數(shù)中找。比值審斂法無需找參照級(jí)數(shù)不完備（方法失效）為含階乘或次冪的分式。根值審斂法無需找參照級(jí)數(shù)不完備（方法失效）為含階乘或次冪的分式。3、（比較法的極限形式）推論：若（若不為無窮小由必要條件知必發(fā)散），則與同斂散。（二）交錯(cuò)級(jí)數(shù)定義2：若在中是正負(fù)交錯(cuò)出現(xiàn)的，則稱此級(jí)數(shù)為交錯(cuò)級(jí)數(shù)，常表示為，規(guī)定萊布尼茲審斂法 若交錯(cuò)級(jí)數(shù)滿足：（1）（從某項(xiàng)開始）；（2），則收斂，且和大于零而小于，余項(xiàng)。注：1、第一條不滿足和第二條不滿足結(jié)論會(huì)怎樣？2、判別的單調(diào)性常用到導(dǎo)數(shù)符號(hào)。（三） 任意項(xiàng)級(jí)數(shù) 定義3：若在中是正負(fù)無序的，則稱此級(jí)數(shù)為任意項(xiàng)級(jí)數(shù)（或

7、一般項(xiàng)級(jí)數(shù)）。定理：若正項(xiàng)級(jí)數(shù)收斂，則也收斂。注：（1）定理的逆否命題為發(fā)散，則必發(fā)散；（2）定理的逆和否命題都不成立，即“若正項(xiàng)級(jí)數(shù)發(fā)散，則也發(fā)散”和“收斂，則必收斂”都是錯(cuò)誤的。于是產(chǎn)生了絕對(duì)收斂和條件收斂的定義：若收斂，且收斂，則稱它的收斂為絕對(duì)收斂；若收斂，但發(fā)散，則稱它的收斂為條件收斂?？梢?，任意項(xiàng)級(jí)數(shù)沒有自己的審斂法，但卻有3種狀態(tài)，即絕對(duì)收斂、條件收斂和發(fā)散三種狀態(tài)。判別任意項(xiàng)級(jí)數(shù)斂散性的方法先判斷收斂否？先判斷收斂否？注：令，則它們都是正項(xiàng)，。若絕對(duì)收斂，則，也收斂；若條件收斂，則，都發(fā)散。例題2 判定下列級(jí)數(shù)的斂散性：（1）；（2）；（3）,； （4）；（5）；（6）。解：（

8、1）因?yàn)?，所以。而收斂（），由比較法知，原級(jí)數(shù)收斂。（2）由于，而收斂（），由比較法極限形式知，原級(jí)數(shù)收斂。（3）因?yàn)?，所以，而收斂，由比較法極限形式知，原級(jí)數(shù)收斂。（4）取，因?yàn)椋ㄓ玫搅酥匾獦O限），所以原級(jí)數(shù)與同斂散，于是當(dāng)時(shí)收斂，當(dāng)時(shí)發(fā)散。（5）因?yàn)?，所以原?jí)數(shù)發(fā)散。（6）因?yàn)?。所以?dāng)時(shí)，原級(jí)數(shù)收斂；當(dāng)時(shí)，原級(jí)數(shù)發(fā)散，當(dāng)時(shí)，原級(jí)數(shù)為，此時(shí)若，原級(jí)數(shù)收斂；當(dāng)時(shí)，原級(jí)數(shù)發(fā)散。綜上所述（略）例題3判定下列級(jí)數(shù)的斂散性：（1）；（2）。解：（1），設(shè)（），則，即當(dāng)時(shí)，由萊布尼茲審斂法知原級(jí)數(shù)收斂。（2）這是交錯(cuò)級(jí)數(shù)，滿足但是不滿足，不能用萊布尼茲定理。但是 ，因?yàn)榻诲e(cuò)級(jí)數(shù)收斂，發(fā)散，故原級(jí)數(shù)發(fā)散。

9、例題4（04，數(shù)一）設(shè)有方程（），證明此方程存在唯一實(shí)根，并證明當(dāng)時(shí)，級(jí)數(shù)收斂。解：令，則在連續(xù)，。由零點(diǎn)定理，知在內(nèi)至少有一個(gè)零點(diǎn)；又因?yàn)椋ǎ?，知在?nèi)至多有一個(gè)零點(diǎn)所以在有僅有一個(gè)零點(diǎn)，故原方程有且僅有一個(gè)實(shí)根，且。由于，所以，當(dāng)時(shí)，由比較審斂法，知級(jí)數(shù)收斂。例題5（04，數(shù)一，4分）設(shè)為正項(xiàng)級(jí)數(shù)，下列結(jié)論正確的是（ ）（A）若，則收斂；（B）若使得，則發(fā)散。（C）若收斂，則。 （D）若發(fā)散，則使得。分析：（B）中由知，與同階，故發(fā)散。其它的可以舉反例。如：（A）取發(fā)散的，（C）取收斂的，（D）取發(fā)散的。選（B）。例題6（09，數(shù)一，4分）設(shè)有兩個(gè)數(shù)列，若，則（ ）（A）當(dāng)收斂時(shí)，收斂。 （

10、B）當(dāng)發(fā)散時(shí)，發(fā)散。（C）當(dāng)收斂時(shí)，收斂。 （D）當(dāng)發(fā)散時(shí)，發(fā)散。分析：由知，使得，又收斂，所以，令。，再知當(dāng)收斂時(shí)，收斂。其它的可以舉反例。如：（A）??；（B）??；（D）取。例題7 設(shè)偶函數(shù)的二階導(dǎo)函數(shù)在連續(xù)，且，證明絕對(duì)收斂。證明:為偶函數(shù)，所以，故的麥克勞林展式為，于是，所以且。由收斂，知原級(jí)數(shù)絕對(duì)收斂。思考練習(xí)：（1）判斷的斂散性，若收斂，是何種收斂？（2）設(shè)，求并證明，收斂。三、函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)的概念以及收斂問題 （一）定義定義在區(qū)間上的函數(shù)列構(gòu)成的無窮項(xiàng)級(jí)數(shù)稱為函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)。若存在使得數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)收斂，則稱點(diǎn)為的一個(gè)收斂點(diǎn)，所有收斂點(diǎn)的集合稱為收斂域；同理可以定義發(fā)散點(diǎn)和發(fā)散域。顯然 。令叫做

11、部分和函數(shù)，若，則稱收斂于和函數(shù)；否則發(fā)散。兩個(gè)常用的函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)為（1）冪級(jí)數(shù)（）；（2）傅里葉級(jí)數(shù)（）。（二）冪級(jí)數(shù)的收斂域與和函數(shù) 1、阿貝爾（）定理 冪級(jí)數(shù)除了僅在處收斂和在整個(gè)軸上都收斂外，若為收斂點(diǎn)，則對(duì)于內(nèi)一切點(diǎn)，都絕對(duì)收斂；若為發(fā)散點(diǎn)，則對(duì)于內(nèi)一切點(diǎn)，都發(fā)散。注：深刻領(lǐng)會(huì)定理揭示的冪級(jí)數(shù)收斂特點(diǎn)，從而知道有一個(gè)確定的數(shù)的存在。 2、求收斂半徑和收斂域的方法 （1） 求的公式 ： 在中 或者 （2）求收斂域（區(qū)別于收斂區(qū)間）的方法先說特殊的：若，則冪級(jí)數(shù)僅在處收斂；若，則它在整個(gè)軸上都收斂。對(duì)一般地（由阿貝爾定理知，起碼它在內(nèi)絕對(duì)收斂），這時(shí)需考慮端點(diǎn)的斂散性（即考察兩個(gè)數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)斂

12、散性），假若收斂，發(fā)散，則收斂域?yàn)?，其它的類推。注：求收斂半徑的方法只適合于標(biāo)準(zhǔn)的冪級(jí)數(shù)（），對(duì)關(guān)于的冪級(jí)數(shù)、缺項(xiàng)的冪級(jí)數(shù)以及非冪級(jí)數(shù)，則需要做變換化為標(biāo)準(zhǔn)的冪級(jí)數(shù)，這時(shí)斂散性不再符合阿貝爾定理了。例題8 填空： （1）設(shè)在處收斂，那么它在處是（ ）的，數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)是（）的。（2）設(shè)，條件收斂，那么收斂域是（ ）。 （3）（08，數(shù)一，4分）設(shè)在處收斂，在處發(fā)散，則的收斂域?yàn)椋?）。 例題9求下列冪級(jí)數(shù)的收斂半徑和收斂域：（1），（2），（3）。（1），。（2），（3）。（求和函數(shù)的內(nèi)容見另一課件） 習(xí) 題1、選擇題： （1）正確的是（）（A）若收斂，則必收斂；（B）若收斂，則必收斂；（C）且單減到0，又收斂，則必收斂；（