空間直角坐標系,曲面方程,空間曲線方程

1、教學(xué)課題：§11空間直角坐標系，曲面方程，空間曲線方程教學(xué)目的：1. 將學(xué)生的思維由平面引導(dǎo)到空間，明確空間解析幾何的意義和目的；2. 理解空間直角坐標系、空間一點的坐標的概念。3 理解曲面方程的概念；4 掌握常見的曲面及其方程；5 理解空間曲線的方程；6 掌握空間曲線在坐標面上的投影。教學(xué)重點：1空間直角坐標系的概念；2曲面方程、空間曲線方程的概念3空間曲線在坐標面上的投影教學(xué)難點：1.空間思想的建立，空間一點的坐標。2曲面方程、空間曲線方程的概念3掌握空間曲線在坐標面上的投影。教學(xué)時間：4學(xué)時教學(xué)過程：一、學(xué)科教育（一）為什么我們要重視學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)1數(shù)學(xué)觀數(shù)學(xué)與語文兩大學(xué)科代表著人類

2、兩大文化：科學(xué)文化與人文文化，數(shù)學(xué)是一門特殊的科學(xué)，數(shù)學(xué)精神、數(shù)學(xué)思想、數(shù)學(xué)方法中充分顯示著一般科學(xué)精神、科學(xué)思想、科學(xué)方法。數(shù)學(xué)是一門特殊的科學(xué)，數(shù)學(xué)充分顯示著一般科學(xué)精神、思想和方法；數(shù)學(xué)是一種文化，它屬于甚至代表科學(xué)文化；數(shù)學(xué)是最富創(chuàng)新性的科學(xué)，數(shù)學(xué)的研究被視為人類智力的前鋒；數(shù)學(xué)是推動人類進步的最重要的思維學(xué)科之一?，F(xiàn)代社會，數(shù)學(xué)的技術(shù)作用日益突出，學(xué)校教育隨之強調(diào)數(shù)學(xué)的技術(shù)作用，數(shù)學(xué)教師也習(xí)慣于數(shù)學(xué)教育就是數(shù)學(xué)知識、數(shù)學(xué)方法的教育。但許多學(xué)生卻認為學(xué)大量復(fù)雜的數(shù)學(xué)以后沒有用，因而學(xué)數(shù)學(xué)興趣不大、動力不足。日本著名數(shù)學(xué)教育家米山國藏指出：學(xué)生進入社會后，幾乎沒有機會應(yīng)用他們在學(xué)校所學(xué)到

3、的數(shù)學(xué)知識，因而這種作為知識的數(shù)學(xué)，通常在學(xué)生出校門不到一兩年就忘掉了。他認為學(xué)數(shù)學(xué)的意義在于：不管人們從事什么業(yè)務(wù)工作，那種銘刻于頭腦中的數(shù)學(xué)精神和數(shù)學(xué)思想方法，卻長期的在他們的生活和工作中發(fā)揮著重要作用。實際上學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的意義、價值不僅在于數(shù)學(xué)知識和方法的學(xué)習(xí)，還在于通過數(shù)學(xué)知識、方法的學(xué)習(xí)來促進人腦發(fā)育發(fā)展、培養(yǎng)人的科學(xué)文化素質(zhì)，發(fā)展包括思維能力、創(chuàng)新能力在內(nèi)的人的聰明智慧，數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)能為人一生的可持續(xù)發(fā)展提供動力。2 知識技術(shù)數(shù)學(xué)知識已滲透于各種自然科學(xué)、及許多社會科學(xué)之中，數(shù)學(xué)知識是我們學(xué)習(xí)各門科學(xué)的基礎(chǔ)和工具，語言、符號、圖象、計算、估計、推理、建模等基本內(nèi)容已滲透與我們?nèi)粘Ｉ钆c工作

4、之中，數(shù)學(xué)成了我們的基本技能 。高等數(shù)學(xué)是學(xué)習(xí)其它學(xué)科的基礎(chǔ)和前題，是學(xué)習(xí)其它學(xué)科必不可少的工具，特別是工程類和管理類的學(xué)科。數(shù)學(xué)用于工程領(lǐng)域和經(jīng)濟管理領(lǐng)域：數(shù)學(xué)的知識、原理、原則、方法。 enginering：the application of scientific and mathematical principles to practical use(工程：科學(xué)和數(shù)學(xué)原理在實踐中的應(yīng)用)（二） 我們應(yīng)該如何學(xué)習(xí)高等數(shù)學(xué)1. 大學(xué)的學(xué)習(xí)與中學(xué)的學(xué)習(xí)的區(qū)別（1）自主性：不會有家長和老師來嚴格監(jiān)督，但學(xué)籍管理制度將起制約作用。（2）成績要求：中學(xué)教育是升學(xué)教育，以高考為指揮棒。大學(xué)教育是就業(yè)

5、教育，以掌握知識、方法、技能來培養(yǎng)人的素質(zhì)，發(fā)展能力。要取得學(xué)分必須要達到相應(yīng)的要求。學(xué)生的成績要進入學(xué)生個人檔案和上網(wǎng)。（3）學(xué)習(xí)的知識內(nèi)容上：大學(xué)以學(xué)習(xí)知識、培養(yǎng)能力、提高素質(zhì)并重。知識部分是面廣而不去深究偏題怪題和很難的題，以掌握知識點為主。2高等數(shù)學(xué)課的特點（1）課時數(shù)少, 知識內(nèi)容點多，一次課涵蓋的知識內(nèi)容就多，記憶量較大，但我們對習(xí)題的難度要求不是很高，主要是知識點的直接應(yīng)用。（2）知識內(nèi)容理論與實踐聯(lián)系較緊密，學(xué)科間的滲透較多。（3） 思維方式的變化：由有限變無限。3. 高等數(shù)學(xué)課的學(xué)習(xí)方法（1）課堂聽課要作筆記，記在書上或筆記本上均可。要完成課堂上的練習(xí)，每一個同學(xué)要準備一個課

6、堂練習(xí)本，專門用于課堂練習(xí)之用。（2）不能缺課，數(shù)學(xué)的前后連貫性很強，邏輯性也很強，沒有前面的基礎(chǔ)，就難于學(xué)習(xí)后面的內(nèi)容。（3）要注意預(yù)習(xí)，預(yù)習(xí)不是要你完全學(xué)懂，預(yù)習(xí)是要搞清楚下一次課的主要內(nèi)容有哪些，有哪些問題，在書上的什么位置?？梢园褧匆槐椤＃?）課后的復(fù)習(xí)與作業(yè)。課后應(yīng)把書與筆記通看一遍，找出本次課的重點及自己存在問題的地方，不懂的就要問清楚。作業(yè)一定要獨立完成（一是不抄別人的，二是要不對照書上例題和公式來做，做不起時重新去看書記憶題型的步驟、記憶公式與法則，然后脫離書本再做）。1大學(xué)的學(xué)習(xí)與中學(xué)的學(xué)習(xí)的區(qū)別（1）自主性：不會有家長和老師來嚴格監(jiān)督，但學(xué)籍管理制度將起制約作用。（2）成

7、績要求：大學(xué)教育是就業(yè)教育，不是長學(xué)教育。中學(xué)教育是升學(xué)教育，的學(xué)習(xí)目的是升學(xué)，以高考為指揮棒。對成績分數(shù)沒有嚴格的限制，但大學(xué)不同。大學(xué)是要你掌握知識為主，要取得學(xué)分必須要達到基本要求（60分以上）。但并不是60分萬歲，學(xué)校很多激勵措施，如獎學(xué)金制度、學(xué)生綜合素質(zhì)評定制度、優(yōu)秀先進學(xué)生的評選制度、推薦就業(yè)制度。另外學(xué)生的成績要進入學(xué)生個人檔案和上網(wǎng)，供用人單和社會查詢。（3）學(xué)習(xí)的知識內(nèi)容上：大學(xué)以學(xué)習(xí)知識和培養(yǎng)能力并重。知識部分是面廣而不去深究偏題怪題和很難的題，以掌握知識點為主。1. 數(shù)學(xué)的重要性（1） 數(shù)學(xué)用于工程領(lǐng)域和經(jīng)濟管理領(lǐng)域：數(shù)學(xué)的知識、原理、原則。enginering：the

8、 application of scientific and mathematical principles to practical use.(工程：科學(xué)和數(shù)學(xué)原理在實踐中的應(yīng)用)（2） 數(shù)學(xué)的思維方法在各種領(lǐng)域：現(xiàn)在有很多有名的大學(xué)招收文科類研究生就喜歡要理工科的學(xué)生?，F(xiàn)在要從事計算機高級研究的機構(gòu)更喜歡要數(shù)學(xué)專業(yè)的人才，因為學(xué)數(shù)學(xué)的人來計算機的知識很容易，現(xiàn)在的很多計算機方面的專家都是學(xué)數(shù)學(xué)出生的。數(shù)學(xué)在經(jīng)濟、管理更是必不可少，離開數(shù)學(xué)就談不上學(xué)習(xí)經(jīng)濟學(xué)、管理學(xué)，同樣很多大學(xué)的經(jīng)濟學(xué)、管理學(xué)方面的專家也是學(xué)數(shù)學(xué)出生的。以前有段時間數(shù)學(xué)專業(yè)的學(xué)生就業(yè)不很好，但現(xiàn)在發(fā)生了轉(zhuǎn)變。管理系主任介紹

9、說，你寫的文章數(shù)學(xué)符號少了就一定不是一篇好的文章。（3）數(shù)學(xué)是學(xué)習(xí)其它學(xué)科的基礎(chǔ)和前題，是學(xué)習(xí)其它學(xué)科必不可少的工具，特別是工程類和管理類的學(xué)科。（4）數(shù)學(xué)已經(jīng)從后臺走上了前臺，通過數(shù)學(xué)建?？蓪芏囝I(lǐng)域（如交通、環(huán)境、軍事、農(nóng)業(yè)等）進行定量的分析研究。全國大學(xué)生數(shù)學(xué)建模競賽介紹。2. 大學(xué)數(shù)學(xué)課的特點（1） 課時數(shù)少（14×5）, 知識內(nèi)容點多，一次課涵蓋的知識內(nèi)容就多，記憶量較大，但我們對習(xí)題的難度要求不是很高，主要是知識點的直接應(yīng)用。（2）知識內(nèi)容理論與實踐聯(lián)系較緊密，學(xué)科間的滲透較多。我們本學(xué)期的內(nèi)容是一元微積分學(xué)，即教材上的前六章。（3） 思維方式的變化：由有限變無限。3.

10、數(shù)學(xué)課的學(xué)習(xí)方法（1）課堂聽課要作筆記，記在書上或筆記本上均可。要完成課堂上的練習(xí)，每一個同學(xué)要準備一個課堂練習(xí)本，專門用于課堂練習(xí)之用。（2）不能缺課，數(shù)學(xué)的前后連貫性很強，邏輯性也很強，沒有前面的基礎(chǔ)，就難于學(xué)習(xí)后面的內(nèi)容。（3）要注意預(yù)習(xí)，預(yù)習(xí)不是要你完全學(xué)懂，預(yù)習(xí)是要搞清楚下一次課的主要內(nèi)容有哪些，有哪些問題，在書上的什么位置。可以把書看一遍。（4）課后的復(fù)習(xí)與作業(yè)。課后應(yīng)把書與筆記通看一遍，找出本次課的重點及自己存在問題的地方，不懂的就要問清楚。作業(yè)一定要獨立完成（一是不抄別人的，二是要不對照書上例題和公式來做，做不起時重新去看書記憶題型的步驟、記憶公式與法則，然后脫離書本再做）。二

11、、空間直角坐標系1. 空間直角坐標系 坐標原點O; 坐標軸（軸，軸，軸）相互垂直，其方向如圖所示； 長度單位. 這樣就組成了空間直角坐標系.稱為坐標原點，每兩個坐標軸確定的平面稱為坐標平面，簡稱為坐標面.軸與軸所確定的坐標面稱為坐標面，類似地有坐標面,坐標面.這些坐標面把空間分成八個部分，每一個稱為一個卦限.軸的正半軸的卦限稱為第 I 卦限，從第 I 卦限開始，從軸的正向向下看，按逆時針的方向，先后出現(xiàn)的卦限依次稱為第、卦限;第、卦限下面的空間部分依次稱為第、卦限。2. 空間一點的坐標（1）點坐標的規(guī)定過空間的一點分別作三條坐標軸的垂面，這三個垂面與三條坐標軸的三個垂足分別在軸、軸、軸上，它們

12、對應(yīng)的數(shù)分別稱為點的坐標,坐標和坐標。有序數(shù)組就稱為點的坐標，記為（2）兩個問題已知空間一點確定其坐標由坐標確定點的位置。3兩點之間的距離設(shè)空間兩點 M1 ( x1, y1, z1)、M2 ( x2 , y2 , z2 ), 求它們之間的距離 d = |M1M2|. 過點 M1 M2各作三張平面分別垂直于三個坐標軸，形成如圖的長方體。(M1QM2是直角三角形) (M1PQ 是直角三角形)所以特別地，點M ( x , y , z) 與原點O ( 0, 0,0 ) 的距離三、曲面方程的概念若曲面S上的點的坐標都滿足方程 (或)，而不在曲面S上的點的坐標都不滿足方程 (或)則稱方程 (或)為曲面S的

13、方程.而曲面S就稱為方程 (或)的圖形.四 幾種特殊的曲面（一） 球面方程球心在，半徑為R的球面方程球心在原點時，半徑為R的球面方程為例1: 表示怎樣的曲面?解: 原方程兩邊同時除以 2 ，并將常數(shù)項移到等式右端，得配方得 所以，原方程表示球心在半徑為 1 的球面.注：球面方程中項的系數(shù)是相同的。（二） 柱面及其方程 1柱面的概念： 動直線L 沿給定曲線C平行移動形成的曲面，稱為柱面，動直線L 稱為柱面的母線，定曲線C稱為柱面的準線.如圖：2母線平行于坐標軸的柱面方程以坐標面上的曲線C :為準線，平行于z軸的直線L為母線的柱面方程.關(guān)鍵是建立柱面上任一點的座標（滿足某種條件）的方程 如圖：設(shè)為

14、柱面上的任一點，過作平行于軸的直線交坐標面于點由柱面定義可知必在準線C 上.所以的坐標滿足曲線C的方程.由于方程不含z，所以點也滿足方程 .而不在柱面上的點作平行于z軸的直線與坐標面的交點必不在曲線C上，也就是說不在柱面上的點的坐標不滿足方程.所以，不含變量z的方程在空間表示以坐標面上的曲線為準線，平行于 z 軸的直線為母線的柱面.類似地 不含變量的方程在空間表示以坐標面上的曲線為準線，平行于 x 軸的直線為母線的柱面.而不含變量的方程在空間表示以坐標面上的曲線為準線，平行于軸的直線為母線的柱面.判定下列方程所表示的曲面：xyzOxyzO2xyzO（三） 旋轉(zhuǎn)曲面及其方程1旋轉(zhuǎn)曲面的概念 平面

15、曲線C繞同一平面上定直線L旋轉(zhuǎn)所形成的曲面，稱為旋轉(zhuǎn)曲面，定直線L稱為旋轉(zhuǎn)軸.2.以坐標軸為旋轉(zhuǎn)軸的旋轉(zhuǎn)曲面的方程建立面上曲線C：繞z軸旋轉(zhuǎn)所成的旋轉(zhuǎn)曲面的方程,如圖：設(shè)為旋轉(zhuǎn)曲面上任意一點，過點作平面垂直于z 軸，交z軸于點，交曲線C 于點.由于點可以由點繞z 軸旋轉(zhuǎn)得到，因此有由于 (1)所以 (2)又因為在曲線C上，所以 將代(1)、(2)代入理 即得所求旋轉(zhuǎn)曲面方程:說明：平面曲線 C：繞軸旋轉(zhuǎn)所成的旋轉(zhuǎn)曲面的方程為：同理：平面曲線 C：繞軸旋轉(zhuǎn)所成的旋轉(zhuǎn)曲面的方程為：例2:將下列平面曲線繞指定坐標軸旋轉(zhuǎn)，試求所得旋轉(zhuǎn)曲面方程:(1) 坐標面上的直線( )，繞軸. (2) 坐標面上的拋

16、物線 ( )，繞z軸. (3) 坐標面上的橢圓分別繞軸.解: (1)坐標面上的直線( )，繞軸. 故保持不變，將換成則得 即:所求旋轉(zhuǎn)曲面方程為 如圖：表示的曲面稱為圓錐面，點O 稱為圓錐的頂點.(2) 坐標面上的拋物線 ( )，繞z軸旋轉(zhuǎn)所得的曲面方程為：該曲面稱為旋轉(zhuǎn)拋物面. 其特征是:當時，旋轉(zhuǎn)拋物面的開口向下.xyzO一般地，方程所表示的曲面稱為橢圓拋物面。(3) 坐標面上的橢圓分別繞軸旋轉(zhuǎn)，故保持不變，而將換成得旋轉(zhuǎn)曲面的方程為xyzO該曲面稱為旋轉(zhuǎn)橢球面.該橢圓繞軸旋轉(zhuǎn)而得的旋轉(zhuǎn)橢球面的方程為一般地方程所表示的曲面稱為橢球面.其特征是:用坐標面或平行于坐標面的平面截曲面所得到的交線

17、均為橢圓.當中有或或時，即為旋轉(zhuǎn)橢球面，當時，即為球面.五、空間曲線的方程（一）空間曲線的一般方程稱為空間曲線的一般方程判定下列方程組所表示的曲線?注：同解方程組所表示的曲線是相同的。（二）空間曲線的參數(shù)方程空間曲線G上動點的坐標也可以用另一個變量的函數(shù)來表示，即形如上的方程組稱為曲線G的參數(shù)方程,為參數(shù). 例3:設(shè)質(zhì)點在圓柱面上以均勻的角速度w繞軸旋轉(zhuǎn)，同時又以均勻的線速度向平行于軸的方向上升.運動開始，即時，質(zhì)點在處，求質(zhì)點的運動方程.解: 設(shè)時間時，質(zhì)點的位置為，由作坐標面的垂線垂足為Q (x, y , 則從到所轉(zhuǎn)過的角q = wt，上升的高度，即質(zhì)點的運動方程為：此方程稱為螺旋線方程.六、空間曲線在坐標面上的投影設(shè)G為已知空間曲線，則以G為準線，平行于軸的直線為母線的柱面，稱為空間曲線G關(guān)于坐標面的投影柱面.而投影柱面與坐標面的交線C稱為曲線G在坐標面的投影曲線.類似地，可以定義曲線G關(guān)于坐標面、坐標面的投影柱面及投影曲線.設(shè)空間曲線G的方程為消去，得.可知滿足曲線G的方程一定滿足方程，而是母線平行于軸的柱面方程，因此，柱面就是曲線G關(guān)于坐標面的投影柱面.而就是曲面G在坐標面上的投影曲線的方程.同理，從曲線G的方程中消去或者，就可得到G關(guān)于坐標面或者坐標面的投