第三章 參數(shù)估計

1、第三章 參數(shù)估計重點：1.總體參數(shù)與統(tǒng)計量2.樣本均值與樣本比例及其標(biāo)準(zhǔn)誤差 難點：1.區(qū)間估計2.樣本量的確定知識點一：總體分布與總體參數(shù)統(tǒng)計分析數(shù)據(jù)的方法包括：描述統(tǒng)計和推斷統(tǒng)計（第一章）推斷統(tǒng)計是研究如何利用樣本數(shù)據(jù)來推 斷總體特征的統(tǒng)計學(xué)方法，包括參數(shù)估計和假設(shè)檢驗兩大類。總體分布是總體中所有觀測值所形成的分布?？傮w參數(shù)是對總體特征的某個概括性的度量。通常有總體平均數(shù)（ ） 總體方差（2 ）總體比例（ ）知識點二：統(tǒng)計量和抽樣分布總體參數(shù)是未知的，但可以利用樣本信息來推斷。統(tǒng)計量是根據(jù)樣本數(shù)據(jù)計算的用于推斷總體的某些量，是對樣本特征的某個概括性度量。統(tǒng)計量是樣本的函數(shù)，如樣本均值（）、

2、樣本方差（ s2）、樣本比例（p）等。構(gòu)成統(tǒng)計量的函數(shù)中不能包括未知因素。由于樣本是從總體中隨機抽取的，樣本具有隨機性，由樣本數(shù)據(jù)計算出的統(tǒng)計量也就是隨機的。統(tǒng)計量的取值是依據(jù)樣本而變化的，不同的樣本可以計算出不同的統(tǒng)計量值。例題·單選題以下為總體參數(shù)的是( ) a樣本均值b樣本方差 c樣本比例d總體均值答案：d 解析：總體參數(shù)是對總體特征的某個概括性的度量。通常有總體平均數(shù)、總體方差、總體比例題·判斷題：統(tǒng)計量是樣本的函數(shù)。答案：正確解析：統(tǒng)計量是樣本的函數(shù)，如樣本均值（）、樣本方差（）、樣本比例（p）等。構(gòu)成統(tǒng)計量的函數(shù)中不能包括未知因素。 例題·判斷題在抽樣

3、推斷中，作為推斷對象的總體和作為觀察對象的樣本都是確定的、唯一的。答案：錯誤解析：作為推斷對象的總體是唯一的，但作為觀察對象的樣本不是唯一的，不同的樣本可以計算出不同的統(tǒng)計量值。（一）樣本均值的抽樣分布設(shè)總體共有n個元素，從中隨機抽取一個容量為n的樣本，在重置抽樣時，共有nn種抽法，即可以組成nn不同的樣本，在不重復(fù)抽樣時，共有 個可能的樣本。每一個樣本都可以計算出一個均值，這些所有可能的抽樣均值形成的分布就是樣本均值的分布。但現(xiàn)實中不可能將所有的樣本都抽取出來，因此，樣本均值的概率分布實際上是一種理論分布。數(shù)理統(tǒng)計學(xué)的相關(guān)定理已經(jīng)證明： 即樣本均值的均值就是總體均值。在重置抽樣時，樣本均值的

4、方差為總體方的1/n，即 在不重置抽樣時，樣本均值的方差為其中，為修正系數(shù)，對于無限總體進(jìn)行不重置抽樣時，可以按照重置抽樣計算，當(dāng)總體為有限總體，n比較大而n/n5% 時，修正系數(shù)可以簡化為1-n/n，當(dāng)n比較大，而n/n<5%時，修正系數(shù)可以近似為1，即可以按重置抽樣計算。當(dāng)總體服從正態(tài)分布時，樣本均值一定服從正態(tài)分布，即有xn(,)時，n(,)若總體為未知的非正態(tài)分布時，只要樣本容量 n足夠大（通常要求n 30）,樣本均值仍會接近正態(tài)分布。樣本分布的期望值為總體均值，樣本方差為總體方差的1/n 。這就是統(tǒng)計上著名的中心極限定理。該定理可以表述為：從均值為,方差為的總體中，抽取樣本量為

5、n的隨機樣本，當(dāng)n充分大時（通常要求n 30），樣本均值的分布近似服從均值為,方差為的正態(tài)分布。如果總體不是正態(tài)分布，當(dāng)n為小樣本時（通常n<30）,樣本均值的分布則不服從正態(tài)分布。例題·單選題設(shè)一個總體共有5個元素，從中隨機抽取一個容量為2的樣本，在重置抽樣時，共有( )個樣本 a.25 b.10 c.5 d.1 答案：a 解析：在重置抽樣時，共有nn種抽法，共有樣本nn個，即52=5×5=25個。 例題·單選題設(shè)一個總體共有5個元素，從中隨機抽取一個容量為2的樣本，在不重置抽樣時，共有( )個樣本 a25 b10 c5 d1答案：b解析：在不重復(fù)抽樣時，

6、共有個可能的樣本。即（個）（二）樣本比例的抽樣分布比例是指具有某種屬性的單位占全部單位數(shù)的比重。總體比例（通常用 表示）是總體中具有某種屬性的單位數(shù)占全部總體單位數(shù)的比例，是一個參數(shù)，通常是未知的，也是我們想通過抽樣得到的說明總體特征的數(shù)據(jù)。樣本比例（通常用p表示）是隨機抽取的樣本中具有某種屬性的單位數(shù)占樣本全部單位數(shù)的比例，是一個樣本統(tǒng)計量，是隨機變量，對于一個已經(jīng)抽取出來的樣本來講，是可以觀察到的。描述所有可能樣本比例的概率分布就是樣本比例的抽樣分布。當(dāng)樣本容量比較大時，樣本比例p近似服從正態(tài)分布，且有p的數(shù)學(xué)期望就是總體比率 ，即(p)=而p的方差與抽樣方法有關(guān)，在重置抽樣下為，在不重置

7、抽樣下為即在重置抽樣時， p的分布為pn(,)在不重置抽樣時， p的分布為pn(,)一般講，當(dāng) np5,并n(1-p) 5時，就可以認(rèn)為樣本容量足夠大。對于無限總體進(jìn)行不重置抽樣時，可以按照重置抽樣計算，當(dāng)總體為有限總體，當(dāng)n比較大，而n/n 5%時，修正系數(shù) 會趨向1，這時也可以按重置抽樣計算方差。從上述分析可以看出，隨著樣本容量的增大，樣本比例的方差愈來愈小，說明樣本比例隨樣本容量增大，圍繞總體比例分布的峰度愈來愈高。例題·單選題當(dāng)樣本容量比較大時，在重置抽樣條件下，樣本比例p的方差為( )a. b. c. d.答案：a解析：當(dāng)樣本容量比較大時，在重置抽樣條件下，樣本比例p的方差

8、為 例題·單選題設(shè)一個總體含有3個可能元素，取值分別為1，2，3。從該總體中采取重復(fù)抽樣方法抽取樣本量為2的所有可能樣本，樣本均值為2的概率值是( ) a1/9 b2/9 c1/3 d 4/9 答案：c 解析：在重復(fù)抽樣下，樣本為1，2，3的概率都是1/3。例題·判斷題 樣本容量是指從一個總體中可能抽取的樣本個數(shù)。答案：錯誤解析：樣本容量是樣本中個體的數(shù)目。一個總體可以有多個樣本，各個樣本的的容量可以相同可以不同。例題·判斷題在確定總體比例估計中的樣本容量時，如果缺少比例的方差，常取比例值為 0.5。答案：正確知識點三：統(tǒng)計量的標(biāo)準(zhǔn)誤差統(tǒng)計量的標(biāo)準(zhǔn)誤差也稱為標(biāo)準(zhǔn)誤

9、，是指樣本統(tǒng)計量分布的標(biāo)準(zhǔn)差。可用于衡量樣本統(tǒng)計量的離散程度。在參數(shù)估計中，它是用于衡量樣本統(tǒng)計量與總體參數(shù)之間差距的一個重要尺度。樣本均值的標(biāo)準(zhǔn)誤計算公式為：當(dāng)總體標(biāo)準(zhǔn)差 未知時，可用樣本標(biāo)準(zhǔn)差s代替計算，這時計算的標(biāo)準(zhǔn)誤差稱為估計標(biāo)準(zhǔn)誤差。相應(yīng)地，樣本比例的標(biāo)準(zhǔn)誤計算公式為同樣，當(dāng)總體比例的方差（1- ）未知時，可用樣本比例的方差p(1-p)代替。例題·單選題 樣本均值的標(biāo)準(zhǔn)誤差計算公式為( ) a. b. c. d.答案：b解析：樣本均值的標(biāo)準(zhǔn)誤差計算公式為例題·單選題樣本比例的標(biāo)準(zhǔn)誤差計算公式為( )a. b. c. d.答案：a解析：樣本比例的標(biāo)準(zhǔn)誤差計算公式為例

10、題·單選題統(tǒng)計量的標(biāo)準(zhǔn)誤差也稱為標(biāo)準(zhǔn)誤，其大小與（）。a. 樣本量的平方根成反比 b. 樣本量的大小成反比c. 樣本量的大小成正比 d. 總體的標(biāo)準(zhǔn)差成反比答案：a解析：樣本均值的標(biāo)準(zhǔn)誤計算公式為：，標(biāo)準(zhǔn)誤與標(biāo)準(zhǔn)差成正比，與樣本量的平方根成反比。例題·多選題在參數(shù)估計中統(tǒng)計量的標(biāo)準(zhǔn)誤差可用于（）a.衡量樣本統(tǒng)計量與總體參數(shù)之間的差距 b.衡量樣本統(tǒng)計量的離散程度 c.衡量樣本統(tǒng)計量的集中程度 d.衡量總體參數(shù)的離散程度 e.衡量總體參數(shù)的集中程度。答案：ab 解析：統(tǒng)計量的標(biāo)準(zhǔn)誤差也稱為標(biāo)準(zhǔn)誤，是指樣本統(tǒng)計量分布的標(biāo)準(zhǔn)差。可用于衡量樣本統(tǒng)計量的離散程度。在參數(shù)估計中，它是用

11、于衡量樣本統(tǒng)計量與總體參數(shù)之間差距的一個重要尺度。第二節(jié) 參數(shù)估計知識點一：點估計與區(qū)間估計一點估計與區(qū)間估計參數(shù)估計是用樣本統(tǒng)計量去估計總體的參數(shù)。用樣本統(tǒng)計量來估計總體參數(shù)有兩種方法：點估計和區(qū)間估計點估計：是用樣本統(tǒng)計量的實現(xiàn)值來近似相應(yīng)的總體參數(shù)。區(qū)間估計：是根據(jù)估計可靠程度的要求，利用隨機抽取的樣本的統(tǒng)計量確定能夠覆蓋總體參數(shù)的可能區(qū)間的一種估計方法。區(qū)間估計是包括樣本統(tǒng)計量在內(nèi)（有時是以統(tǒng)計量為中心）的一個區(qū)間，該區(qū)間通常是由樣本統(tǒng)計量加減估計標(biāo)準(zhǔn)誤差得到的。與點估計不同，進(jìn)行區(qū)間估計時，根據(jù)樣本統(tǒng)計量的抽樣分布，可以對統(tǒng)計量與總體參數(shù)的接近程度給出一個概率度量。標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布為n（

12、0，1）分布，將概率分布標(biāo)準(zhǔn)化的公式為：=將z所對應(yīng)的概率稱為置信度或置信水平，將表示的范圍稱為置信區(qū)間。幾個概率下的置信區(qū)間：1.以68.73%的置信水平推斷總體參數(shù)推斷總體參數(shù)的置信區(qū)間為（z=1）（）2.以95.45%的置信水平推斷總體參數(shù)推斷總體參數(shù) 的置信區(qū)間為(z=2) （）3.以99.73%的置信水平推斷總體參數(shù)推斷總體參數(shù)的置信區(qū)間為(z=3)（）4.還有一個95%的概率度為z=1.96 （）例題·多選題由樣本統(tǒng)計量來估計總體參數(shù)的方法有（ ）a.點估計 b.區(qū)間估計 c.假設(shè)檢驗d.近似估計 e.抽樣估計答案：ab解析：用樣本統(tǒng)計量來估計總體參數(shù)有兩種方法：點估計和

13、區(qū)間估計例題·單選題以68. 27%的置信水平推斷總體參數(shù)的置信區(qū)間為a. b. c. d. 答案：a解析：68.27%的置信水平,其置信度為1，則置信區(qū)間為知識點二：評價估計量的標(biāo)準(zhǔn)用于估計總體參數(shù)的估計量可以有很多，如何選擇估計效果最好的那種估計量，評價估計量的好壞的標(biāo)準(zhǔn)具體有：1.無偏性，是指估計量抽樣分布的期望值等于被估計的總體參數(shù)。e（）=2.有效性，是指估計量的方差盡可能小。對同一個總體參數(shù)的兩個無偏估計量，有更小方差的估計量更有效。3.一致性，是指隨著樣本量的增大，標(biāo)準(zhǔn)誤越小，點估計量的值越來越接近被估計總體的參數(shù)。例題·多選題評價估計量的標(biāo)準(zhǔn)為（ ）。a一致

14、性 b無偏性 c顯著性 d有效性 e綜合性答案：abd 解析：評價估計量的標(biāo)準(zhǔn)為：一致性、無偏性、有效性。 例題·多選題樣本均值是總體均值的（ ）a.無偏估計量 b.一致估計量 c.有偏估計量d.無效估計 e.近似估計量答案：ab解析：從無偏性和一致性來看，樣本均值是總體均值的無偏估計量 、一致估計量。知識點三：一個總體均值的區(qū)間估計在對總體均值進(jìn)行區(qū)間估計時，需要考慮總體是否為正態(tài)分布、總體方差是否已知，用于估計的樣本是大樣本（n30）還是小樣本（n<30）等幾種情況。但不管哪種情況，總體均值的置信區(qū)間都是由樣本均值加減估計誤差得到的一般將置信水平表示為1- a ，統(tǒng)計量分布

15、兩側(cè)面積各為 a /2的分位數(shù)值，它取決于事先所要求的置信度（或可靠程度）。因此總體均值在1- a 置信水平下的置信區(qū)間可一般性地表達(dá)為： （-分位數(shù)值*的標(biāo)準(zhǔn)誤差，+分位數(shù)值*的標(biāo)準(zhǔn)誤差）（一）大樣本的估計大樣本（n 30）情況下，當(dāng)總體方差已知時，總體均值在1-置信水平下的置信區(qū)間為（）式中：為事先確定的一個概率值，它是總體均值不包括在置信區(qū)間的概率 ；1-為置信水平；為標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布上兩側(cè)面積各為/2時的z值；為估計誤差。大樣本情況下，當(dāng)總體方差未知時，上式中的可以用樣本方差代替，總體均值在1-置信水平下的置信區(qū)間為（）例題·單選題以95. 45%的置信水平推斷總體參數(shù)的置信區(qū)間

16、為a. b. c. d. 答案：b解析：95.45%的置信水平，其置信度為2，則置信區(qū)間為（二）小樣本的估計小樣本（n<30）情況下，對總體均值的估計都是建立在總體服從正態(tài)分布的假定前提下。（1）當(dāng)總體方差已知時，樣本均值經(jīng)過標(biāo)準(zhǔn)化后仍服從標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布，此時總體均值在1-置信水平下的置信區(qū)間仍為（）（2）如果總體方差未知時，樣本均值經(jīng)過標(biāo)準(zhǔn)化后仍服從自由度為（n-1）的t分布，即。t分布也是對稱分布，只不過計算出來的t值對應(yīng)的概率要查t分布概率表?？傮w均值在1-置信水平下的置信區(qū)間為（）總體均值的置信區(qū)間是由樣本均值和估計誤差兩部分組成的。例題·單選題小樣本情況下，總體服從正態(tài)

17、分布，總體方差已知，總體均值在置信水平a. b. c. d. 答案：a解析：小樣本（n<30）情況下，當(dāng)總體方差已知時，樣本均值經(jīng)過標(biāo)準(zhǔn)化后仍服從標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布，此時總體均值在1-置信水平下的置信區(qū)間仍為（）例題·單選題小樣本情況下，總體服從正態(tài)分布，總體方差未知，總體均值在置信水平a. b. c. d. 答案：a解析：小樣本情況下，如果總體方差未知時，總體均值在置信水平（1-a）下的置信區(qū)間為（）例題·單選題在其他條件不變的情況下，提高抽樣推斷的置信度，抽樣誤差范圍會（）。a. 不變 b. 變小 c. 變大 d. 不能確定答案：c解析：估計誤差，當(dāng)抽樣推斷的置信度提高

18、，為變大，范圍會變大。知識點四：一個總體比例的區(qū)間估計在大樣本（n 30）情況下，當(dāng)總體比例已知時，在1-置信水平下，總體比例的置信區(qū)間為（ ，）在大樣本（n 30）情況下，當(dāng)總體比例未知時，在1-置信水平下，總體比例的置信區(qū)間為（）總體比例的置信區(qū)間是由樣本比例和估計誤差兩部分組成的。例題·單選題根據(jù)隨機抽樣調(diào)查資料，某企業(yè)工人生產(chǎn)定額平均完成 103%，標(biāo)準(zhǔn)誤為 1%，置信度為 95.45%時，可以推斷該企業(yè)工人的生產(chǎn)定額平均完成百分比（）。a. 小于 101% b. 大于 105% c. 在 102%104%之間 d. 在 101%105%之間答案：d解析：估計誤差=2*1%，

19、則103%±2%，范圍為（101%，105%）例題·判斷題當(dāng)np5,并且n(1-p) 5時,就可以認(rèn)為樣本容量足夠大，樣本比例近似服從正態(tài)分布。答案：正確解析：在大樣本條件下，根據(jù)中心極限定理，若np5，n(1-p) 5，則二項分布可用正態(tài)分布近似。第三節(jié) 樣本量的確定知識點一：估計總體均值時樣本量的確定總體均值的置信區(qū)間是由樣本均值和估計誤差兩部分組成的。1.在重置抽樣條件下，設(shè)e代表允許的估計誤差，則樣本量計算公式為：如果總體標(biāo)準(zhǔn)差 未知，可以用樣本標(biāo)準(zhǔn)差s來代替；也可以用試驗調(diào)查的辦法，選擇一個初始樣本，以該樣本的標(biāo)準(zhǔn)差s作為總體標(biāo)準(zhǔn)差的估計值。樣本量與置信水平成正比

20、，與總體方差成正比，與允許的估計誤差的平方成反比。例題·計算題對某大學(xué)的消費支出進(jìn)行估計，已知該校的大學(xué)生消費支出的標(biāo)準(zhǔn)差為300元，現(xiàn)在想要估計消費支出95%的置信區(qū)間，允許的估計誤差不超過30元，則應(yīng)抽取多大的樣本量？解：已知=300，e=30，z/2=1.96.則=384.16385人即應(yīng)抽取385人作為樣本。（注意，不是四舍五入）例題·多選題決定樣本量大小的因素有（ ）a.置信水平 b.總體方差 c.允許的估計誤差d.總體均值 e.總體比例答案：abc 解析：在重置抽樣條件下，設(shè)e代表允許的估計誤差，則樣本量計算公式為：例題·判斷題樣本量與置信水平成正比，與總體方差成反比，與允許的估計誤差成正比.（ ）答案：錯誤解析：樣本量，樣本量與置信水平的平方成正比，與總體方差成正比，與允許的估計誤差的平方成反比. 知識點二：估計總體比例時樣本量的確定在重置抽樣條件