直角三角形勾股定理面積

1、博源教育輔導(dǎo)講義學(xué)員姓名： 輔導(dǎo)科目： 數(shù)學(xué) 教師： 孫迎春課 題等腰三角形、直角三角形、勾股定理、面積授課時(shí)間：備課時(shí)間：教學(xué)目標(biāo)1. 了解直角三角形的判定與性質(zhì)2. 理解直角三角形的邊角關(guān)系，掌握用勾股定理解某些簡單的實(shí)際問題。3.靈活運(yùn)用等腰（等邊）三角形的判定定理與性質(zhì)定理，以及底邊上的高、中線、頂角的平分線三線合一的性質(zhì)進(jìn)行有關(guān)的證明和計(jì)算。重點(diǎn)、難點(diǎn)重點(diǎn)：勾股定理的推導(dǎo)和引用難點(diǎn)：三線合一以及勾股定理的靈活應(yīng)用考點(diǎn)及考試要求（含中考）1. 等腰三角形、等邊三角形的有關(guān)概念（A）2. 等腰三角形、等邊三角形的性質(zhì)和一個(gè)三角形是等腰三角形的條件(D)3. 直角三角形的概念(A)4. 直

2、角三角形的性質(zhì)和一個(gè)三角形是直角三角形的條件(D)5. 運(yùn)用勾股定理解決簡單問題，用勾股定理的逆定理判定直角三角形(D)教學(xué)內(nèi)容一、 等腰（等邊）三角形【經(jīng)典例題】例1、等腰三角形一腰上的高與腰長之比為12，則等腰三角形的頂角為（ ）A、300 B、600 C、1500 D、300或1500 分析：如圖所示，在等腰ABC中，CD為腰AB上的高，CDAB12，ACAB，CDAC12，在RtABC中有答案D。 例2、如圖，在ABC中，ACBC，ACB900，D是AC上一點(diǎn)，AEBD的延長線于E，又AEBD，求證：BD是ABC的角平分線。分析：ABC的角平分線與AE邊上的高重合，故可作輔助線補(bǔ)全圖形

3、，構(gòu)造出全等三角形（證明略）。例3、如圖，在等腰直角ABC中，AD為斜邊上的高，以D為端點(diǎn)任作兩條互相垂直的射線與兩腰分別相交于E、F點(diǎn)，連結(jié)EF與AD相交于G，試問：你能確定AED和AGF的大小關(guān)系嗎？分析與結(jié)論：依題意有ADEFDC，EDF為等腰直角三角形，又AEDAEFDEG，AGFAEFEAG，事實(shí)上EAG與DEG都等于450，故AEDAGF。評注：加強(qiáng)對圖形的分析、發(fā)現(xiàn)、挖掘等腰三角形、全等三角形，用相同或相等角的代數(shù)式表示AED、AGF，從而比較其大小是本題的解題關(guān)鍵。課內(nèi)達(dá)標(biāo)訓(xùn)練：一、填空題：1、等腰三角形的兩外角之比為52，則該等腰三角形的底角為 。2、在ABC中，ABAC，B

4、D平分ABC交AC于D，DE垂直平分AB，E為垂足，則C 。3、等腰三角形的兩邊長為4和8，則它腰上的高為 。4、在ABC中，ABAC，點(diǎn)D在AB邊上，且BDBCAD，則A的度數(shù)為 。5、如圖，ABBCCD，ADAE，DEBE，則C的度數(shù)為 。 6、如圖，D為等邊ABC內(nèi)一點(diǎn)，DBDA，BPAB，DBPDBC，則BPD 。7、如圖，在ABC中，AD平分BAC，EGAD分別交AB、AD、AC及BC的延長線于點(diǎn)E、H、F、G，已知下列四個(gè)式子： 1（23） 12（32）4（32） 41其中有兩個(gè)式子是正確的，它們是 和 。二、選擇題：1、等腰三角形中一內(nèi)角的度數(shù)為500，那么它的底角的度數(shù)為（ ）

5、A、500 B、650 C、1300 D、500或6502、如圖，D為等邊ABC的AC邊上一點(diǎn)，且ACEABD，CEBD，則ADE是（ ） A、等腰三角形 B、直角三角形 C、不等邊三角形 D、等邊三角形 3、如圖，在ABC中，ABC600，ACB450，AD、CF都是高，相交于P，角平分線BE分別交AD、CF于Q、S，那么圖中的等腰三角形的個(gè)數(shù)是（ ） A、2 B、3 C、4 D、54、如圖，已知BO平分CBA，CO平分ACB，且MNBC，設(shè)AB12，BC24，AC18，則AMN的周長是（ ） A、30 B、33 C、36 D、39 5、如圖，在五邊形ABCDE中，AB1200，EAABBC

6、DCDE，則D（ ） A、300 B、450 C、600 D、67.50三、解答題：1、如圖，在ABC中，ABAC，D、E、F分別為AB、BC、CA上的點(diǎn)，且BDCE，DEFB。求證：DEF是等腰三角形。2、為美化環(huán)境，計(jì)劃在某小區(qū)內(nèi)用30平方米的草皮鋪設(shè)一塊邊長為10米的等腰三角形綠地。請你求出這個(gè)等腰三角形綠地的另兩邊長。3、如圖，在銳角ABC中，ABC2C，ABC的平分線與AD垂直，垂足為D，求證：AC2BD。 4、在等邊ABC的邊BC上任取一點(diǎn)D，作DAE600，AE交C的外角平分線于E，那么ADE是什么三角形？證明你的結(jié)論。二、直角三角形、勾股定理、面積【經(jīng)典例題】例1、如圖，在四邊

7、形ABCD中，A600，BD900，BC2，CD3，則AB？分析：通過作輔助線，將四邊形問題轉(zhuǎn)化為三角形問題來解決，其關(guān)鍵是對內(nèi)分割還是向外補(bǔ)形。答案： 例2、如圖，P為ABC邊BC上一點(diǎn)，PC2PB，已知ABC450，APC600，求ACB的度數(shù)。分析：本題不能簡單地由角的關(guān)系推出ACB的度數(shù)，而應(yīng)綜合運(yùn)用條件PC2PB及APC600來構(gòu)造出含300角的直角三角形。這是解本題的關(guān)鍵。答案：ACB750（提示：過C作CQAP于Q，連結(jié)BQ，則AQBQCQ） 例3、如圖，公路MN和公路PQ在點(diǎn)P處交匯，且QPN300，點(diǎn)A處有一所中學(xué)，AP160米，假設(shè)汽車行駛時(shí)，周圍100米以內(nèi)會受到噪聲的影

8、響，那么汽車在公路MN上沿PN方向行駛時(shí)，學(xué)校是否會受到噪聲的影響？如果受影響，已知汽車的速度為18千米小時(shí)，那么學(xué)校受影響的時(shí)間為多少秒？分析：從學(xué)校（A點(diǎn)）距離公路（MN）的最近距離（AD80米）入手，在距A點(diǎn)方圓100米的范圍內(nèi)，利用圖形，根據(jù)勾股定理和垂徑定理解決它。略解：作ADMN于D，在RtADP中，易知AD80。所以這所學(xué)校會受到噪聲的影響。以A為圓心，100米為半徑作圓交MN于E、F，連結(jié)AE、AF，則AEAF100，根據(jù)勾股定理和垂徑定理知：EDFD60，EF120，從而學(xué)校受噪聲影響的時(shí)間為：（小時(shí)）24（秒）評注：本題是一道存在性探索題，通過給定的條件，判斷所研究的對象是

9、否存在。 例3圖 例4圖例4、臺風(fēng)是一種自然災(zāi)害，它以臺風(fēng)中心為圓心在周圍數(shù)十千米范圍內(nèi)形成氣旋風(fēng)暴，有極強(qiáng)的破壞力如圖12，據(jù)氣象觀測，距沿海某城市A的正南方向220千米的B處有一臺風(fēng)中心，其中心最大風(fēng)力為12級，每遠(yuǎn)離臺風(fēng)中心20千米，風(fēng)力就會減弱一級，該臺風(fēng)中心現(xiàn)正以15千米時(shí)的速度沿北偏東300方向往C移動(dòng)，且臺風(fēng)中心風(fēng)力不變。若城市所受風(fēng)力達(dá)到或超過四級，則稱為受臺風(fēng)影響。（1）該城市是否會受到這次臺風(fēng)的影響? 請說明理由。（2）若會受到臺風(fēng)影響，那么臺風(fēng)影響該城市的持續(xù)時(shí)間有多長?（3）該城市受到臺風(fēng)影響的最大風(fēng)力為幾級?解：（1）如圖1，由點(diǎn)A作ADBC，垂足為D。AB220，B

10、30°AD110（千米）。由題意知，當(dāng)A點(diǎn)距臺風(fēng)中心不超過160千米時(shí)，將會受到臺風(fēng)的影響。故該城市會受到這次臺風(fēng)的影響。（2）由題意知，當(dāng)A點(diǎn)距臺風(fēng)中心不超過160千米時(shí)，將會受到臺風(fēng)的影響。則AEAF160。當(dāng)臺風(fēng)中心從E處移到F處時(shí)，該城市都會受到這次臺風(fēng)的影響。由勾股定理得：。EF60（千米）。該臺風(fēng)中心以15千米時(shí)的速度移動(dòng)。這次臺風(fēng)影響該城市的持續(xù)時(shí)間為（小時(shí)）。（3）當(dāng)臺風(fēng)中心位于D處時(shí)，A市所受這次臺風(fēng)的風(fēng)力最大，其最大風(fēng)力為126.5（級）。評注：本題是一道幾何應(yīng)用題，解題時(shí)要善于把實(shí)際問題抽象成幾何圖形，并領(lǐng)會圖形中的幾何元素代表的意義，由題意可分析出，當(dāng)A點(diǎn)距臺

11、風(fēng)中心不超過160千米時(shí)，會受臺風(fēng)影響，若過A作ADBC于D，設(shè)E，F(xiàn)分別表示A市受臺風(fēng)影響的最初，最后時(shí)臺風(fēng)中心的位置，則AEAF160；當(dāng)臺風(fēng)中心位于D處時(shí)，A市受臺風(fēng)影響的風(fēng)力最大。課內(nèi)達(dá)標(biāo)訓(xùn)練:一、填空題：1、如果直角三角形的邊長分別是6、8、，則的取值范圍是 。2、如圖，D為ABC的邊BC上的一點(diǎn)，已知AB13，AD12，BD5，ACBC，則BC 。 3、如圖，四邊形ABCD中，已知ABBCCDDA2231，且B900，則DAB 。4、等腰ABC中，一腰上的高為3cm，這條高與底邊的夾角為300，則 。5、如圖，ABC中，BAC900，B2C，D點(diǎn)在BC上，AD平分BAC，若AB1，

12、則BD的長為 。6、已知RtABC中，C900，AB邊上的中線長為2，且ACBC6，則 。7、如圖，等腰梯形ABCD中，ADBC，腰長為8cm，AC、BD相交于O點(diǎn)，且AOD600，設(shè)E、F分別為CO、AB的中點(diǎn)，則EF 。 8、如圖，點(diǎn)D、E是等邊ABC的BC、AC上的點(diǎn)，且CDAE，AD、BE相交于P點(diǎn)，BQAD。已知PE1，PQ3，則AD 。9、如圖所示，所有的四邊形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形，其中最大的正方形的邊長為7cm，則正方形A、B、C、D的面積的和是 。二、選擇題：1、如圖，已知ABC中，AQPQ，PRPS，PRAB于R，PSAC于S，則三個(gè)結(jié)論：ASAR；QPAR

13、；BRPQSP中（ ） A、全部正確 B、僅和正確 C、僅正確 D、僅和正確2、如果一個(gè)三角形的一條邊的長是另一條邊的長的2倍，并且有一個(gè)角是300，那么這個(gè)三角形的形狀是（ ） A、直角三角形 B、鈍角三角形 C、銳角三角形 D、不能確定3、在四邊形ABCD中，ADCD，AB13，BC12，CD4，AD3，則ACB的度數(shù)是（ ） A、大于900 B、小于900 C、等于900 D、不能確定 4、如圖，已知ABC中，B900，AB3，BC，OAOC，則OAB的度數(shù)為（ ） A、100 B、150 C、200 D、250三、解答題： 1、閱讀下面的解題過程：已知、為ABC的三邊，且滿足，試判斷A

14、BC的形狀。 解： ABC是直角三角形。問：（1）上述解題過程中，從哪一步開始出現(xiàn)錯(cuò)誤？請寫出該步的代號 ； （2）錯(cuò)誤的原因是 ； （3）本題的正確結(jié)論是 。 2、已知ABC中，BAC750，C600，BC，求AB、AC的長。 3、如圖，ABC中，AD是高，CE是中線，DCBE，DGCE于G。 （1）求證：G是CE的中點(diǎn)； （2）B2BCE。 4、如圖，某校把一塊形狀近似于直角三角形的廢地開辟為生物園，ACB900，BC60米，A360。（1）若入口E在邊AB上，且與A、B等距離，請你在圖中畫出入口E到C點(diǎn)的最短路線，并求最短路線CE的長（保留整數(shù)）；（2）若線段CD是一條水渠，并且D點(diǎn)在邊

15、AB上，已知水渠造價(jià)為50元米，水渠路線應(yīng)如何設(shè)計(jì)才能使造價(jià)最低？請你畫出水渠路線，并求出最低造價(jià)。參考數(shù)據(jù)：sin3600.5878，sin5400.80905、已知ABC的兩邊AB、AC的長是方程的兩個(gè)實(shí)數(shù)根，第三邊BC5。（1）為何值時(shí)，ABC是以BC為斜邊的直角三角形；（2）為何值時(shí)，ABC是等腰三角形，求出此時(shí)其中一個(gè)三角形的面積。6、如圖，所有的四邊形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形，其中最大的正方形的邊長為6cm,則正方形A，B，C，D的面積之和為_cm2。7、如圖，一個(gè)三級臺階，它的每一級的長、寬和高分別為20、3、2，A 和B是這個(gè)臺階兩個(gè)相對的端點(diǎn)，A點(diǎn)有一只螞蟻，想到B點(diǎn)去吃可口的食物，則螞蟻沿著臺階面爬到B點(diǎn)最短路程是。8、如圖，分別以直角三角形ABC三邊為直徑向外作三個(gè)半圓，其面積分別用S1、S2、S3表示，則不難證明S1=S2+S3 .(1) 如圖，分別以直角三角形ABC三邊為邊向外作三個(gè)正方形，其面積分別用S1、S2、S3表示，那么S1、S2、S3之間有什么關(guān)系？(不必證明)(2) 如圖，分別以直角三角形ABC三邊為邊向外作三個(gè)正三角形，其面積分別用S1、S2、S3表示，請你確定S1、S2、S3之間的關(guān)系并加以證明；(3) 若分別以直角三角形ABC