立體幾何大題二翻折

1、立體幾何大題題型二：翻折問題1.已知四邊形滿足，是的中點，將沿著翻折成，使面面，分別為的中點CABDEAB1CDEGF（1）求三棱錐的體積；（2）證明：平面；（3）證明：平面平面思路分析：對于翻折問題要注意翻折后的圖形與翻折前的圖形中的變與不變量（1）求棱錐的體積一般找棱錐高易求的進(jìn)行轉(zhuǎn)換由題意知，且，四邊形為平行四邊形，即為等邊三角形由面面的性質(zhì)定理，連結(jié)，則，可知平面所以即可；（2）本題利用線面平行的判定定理去做因為為的中點，注意利用中位線；（3）本題利用面面垂直的判定定理證明因為,只需證明平面即可。連結(jié)，則又為等邊三角形，則，得證本題注意體現(xiàn)了轉(zhuǎn)化的思想ABCDEGF（2）連接交于，連接

2、，為菱形，且為的中點，又面，平面，平面（3）連結(jié)，則又，平面又，平面又平面，平面平面點評：本題考查了直線與平面平行、平面與平面垂直的判定和幾何體的體積，以折疊問題為載體，折疊問題是考查學(xué)生空間想象能力的較好載體。如本題，不僅要求學(xué)生象解常規(guī)立幾綜合題一樣懂得線線，線面和面面垂直的判定方法及相互轉(zhuǎn)化，還要正確識別出沿折疊而成的空間圖形，更要識得折前折后有關(guān)線線、線面位置的變化情況以及有關(guān)量（邊長與角）的變化情況，否則無法正確解題這正是折疊問題的價值之所在2(2015·山東聊城二模)如圖(1)所示，正ABC的邊長為4，CD是AB邊上的高，E，F(xiàn)分別是AC和BC邊的中點，現(xiàn)將ABC沿CD翻

3、折成直二面角A­DC­B.(如圖(2)(1)試判斷直線AB與平面DEF的位置關(guān)系，并說明理由；(2)求二面角E­DF­C的余弦值；(3)在線段BC上是否存在一點P，使APDE？如果存在，求出的值；如果不存在，請說明理由【解】(1)平行在ABC中，由E、F分別是AC、BC中點，得EFAB，又AB平面DEF，EF平面DEF，AB平面DEF.(2)以點D為坐標(biāo)原點，以直線DB、DC、DA分別為x軸、y軸、z軸，建立空間直角坐標(biāo)系，則A(0，0，2)，B(2，0，0)，C(0，2，0)，E(0，1)，F(xiàn)(1，0)，(1，0)，(0，1)，(0，0，2)平面CDF

4、的法向量為(0，0，2)，設(shè)平面EDF的法向量為n(x，y，z)，則即取n(3，3)，cos，n，所以二面角E­DF­C的余弦值為.(3)存在設(shè)P(s，t，0)，有(s，t，2)，則·t20，t，又(s2，t，0)，(s，2t，0)，(s2)(2t)st，st2.把t代入上式得s，·，在線段BC上存在點P，使APDE.此時，.3(2015·陜西高考)如圖1，在直角梯形 ABCD中，ADBC，BAD，ABBCADa，E是AD的中點，O是AC與BE的交點將ABE沿BE折起到圖2中A1BE的位置，得到四棱錐A1BCDE. (1)證明：CD平面A1OC

5、；(2)當(dāng)平面A1BE平面BCDE時，四棱錐A1BCDE的體積為36，求a的值【解】(1)證明：在圖1中，因為ABBCADa，E是AD的中點BAD，所以BEAC.即在圖2中，BEA1O，BEOC.從而BE平面A1OC，又CDBE，所以CD平面A1OC.(2)由已知，平面A1BE平面BCDE，且平面A1BE平面BCDEBE，又由(1)，A1OBE，所以A1O平面BCDE，即A1O是四棱錐A1BCDE的高由圖1知，A1OABa，平行四邊形BCDE的面積SBC·ABa2.從而四棱錐A1BCDE的體積為V×S×A1O×a2×aa3，由a336，得a6.

6、4(2015·寧夏銀川一中二模)如圖1，在直角梯形ABCD中，ADC90°，CDAB，ADCDAB2，點E為AC中點將ADC沿AC折起，使平面ADC平面ABC，得到幾何體DABC，如圖2所示(1)在CD上找一點F，使AD平面EFB；(2)求點C到平面ABD的距離【解】(1)取CD的中點F，連結(jié)EF，BF，在ACD中，E，F(xiàn)分別為AC，DC的中點，EF為ACD的中位線，ADEF，EF平面EFB，AD平面EFB，AD平面EFB.(2)設(shè)點C到平面ABD的距離為h，在RtADC中，ADCD2，AC2，易求得BC2，AB4，AC2BC2AB2，ACBC.平面ADC平面ABC，平面ADC平面ABCAC，且BC平面ABC，BC平面ADC，BC是三棱錐BADC的高，BCAD，又ADDC，DCBCC，AD平面BCD，ADBD.SABDAD·BD×2×22，由VCABDVBA