盈虧問題教師

1、 盈虧問題講義 第一部分：知識介紹盈虧問題的特點是問題中每一同類量都要出現(xiàn)兩種不同的情況分配不足時，稱之為“虧”，分配有余稱之為“盈”；還有些實際問題，是把一定數(shù)量的物品平均分給一定數(shù)量的人時，如果每人少分，則物品就有余(也就是盈)，如果每人多分，則物品就不足(也就是虧)，凡研究這一類算法的應用題叫做“盈虧問題”可以得出盈虧問題的基本關(guān)系式：盈虧型：(盈虧)兩次分得之差人數(shù)或單位數(shù)盈盈型：(盈盈)兩次分得之差人數(shù)或單位數(shù)虧虧型：(虧虧)兩次分得之差人數(shù)或單位數(shù)物品數(shù)可由其中一種分法和人數(shù)求出.也有的問題兩次都有余或兩次都不足，不管哪種情況，都是屬于按兩個數(shù)的差求未知數(shù)的“盈虧問題”. 注意：1

2、.條件轉(zhuǎn)換（判斷盈虧類型）； 2.關(guān)系互換（確定盈虧數(shù)量）第二部分：例題精講【例 1】 幼兒園的老師給小朋友們發(fā)梨。每人個就剩個，每人個便少個。一共有多少位小朋友？一共有多少個梨？【考點】盈虧問題盈虧型【解析】 盈虧問題中的盈虧型，（人），（個）梨。【答案】個小朋友，個梨?！纠?2】 明明過生日，同學們?nèi)ソo他買蛋糕，如果每人出8元，就多出了8元；每人出7元，就多出了4元那么有多少個同學去買蛋糕？這個蛋糕的價錢是多少？【考點】盈虧問題盈盈型【解析】 “多8元”與“多4元”兩者相差（元），每個人要多出（元），因此就知道，共有（人），蛋糕價錢是（元）【答案】有人買蛋糕，蛋糕價錢為元【例 3】 學而思

3、學校新買來一批書，將它們分給幾位老師，如果每人發(fā)10本，還差9本，每人發(fā)9本，還差2本，請問有多少老師？多少本書？【考點】盈虧問題虧虧型【解析】 “差9本”和“差2本”兩者相差（本），每個人要多發(fā)（本），因此就知道，共有老師（人），書有（本）【答案】老師人，書有本?！纠?4】 學校規(guī)定上午8時到校，小明去上學，如果每分種走60米，可提早10分鐘到校；如果每分鐘走50米，可提早8分鐘到校，求小明幾時幾分離家剛好8時到校？由家到學校的路程是多少？【考點】盈虧問題行程中的盈虧【解析】 小明每分鐘走60米，可提早10分鐘到校，即到校后還可多走60×10600（米）；如果每分鐘走50米，可提早

4、8分鐘到校，即到校后還可多走50×8400（米），第一種情況比第二種情況每分鐘多走605010（米），就可以多走600400200（米），從而可以求出小明由家到校所需時間 200÷（6050）20（分鐘），所以小明7時40分離家剛好8時到校.由家到校的路程： 60×（2010）600（米）或：50×（208）600（米）【答案】小明7時40分離家剛好8時到校，學校到家的距離為米【例 5】 用一根長繩測量井的深度，如果繩子兩折時，多5米；如果繩子3折時，差4米.求繩子長度和井深.【考點】盈虧問題用繩子量井深【解析】 條件轉(zhuǎn)化：兩折，多米；三折，少米井的深度

5、為：（米）；繩子長度為：（米）【答案】繩子長米，井深米【例 6】 甲、乙兩人各買了相同數(shù)量的信封與相同數(shù)量的信紙，甲每封信用2 張信紙，乙每封信用3 張信紙，一段時間后，甲用完了所有的信封還剩下20 張信紙，乙用完所有信紙還剩下10 個信封，則他們每人各買了多少張信紙？【考點】盈虧問題信封【解析】 由題意，如果乙用完所有的信封，那么缺30 張信紙這是盈虧問題，盈虧總額為(2030)張信紙， 兩次分配的差為(32)張信紙，所以有信封(2030)÷(32)50(個)，有信紙2×5020120(張)【答案】張【例 7】 一家旅店，若每個房間住6人，則16人沒有床位；若每個房間住8

6、人，則有一間房間是空出來的.這家旅店有多少個房間？要住宿的人數(shù)有多少？【考點】盈虧問題條件轉(zhuǎn)化型【解析】 這道題在第二個分配方案里并沒直接告述我們少多少（即虧是多少），在這種說法中學生可能會錯誤計算.實際上，在第二種方案中，只要換一個說法：若每個房間住8人，還需要8個人才能住滿。這就跟之前的盈虧沒有區(qū)別，同樣是方案一：有一批人（總數(shù)），住進房間（份數(shù)）第一次分配6人住一間（一間房間分給它6個人），還多余8個人；第二次分配是8人住一間（一間房間分給它6個人），再來8個人才能讓所有房間有人.也就是所需的人的總數(shù)要相差16824（人），從這個對應的變化中可以看出，只要求24里面含有多少個2，就是所求

7、的房間數(shù)；有了房間數(shù)，就不難求出有多少人了. 16824（人）；24÷2=12（間）人數(shù)是12×8888（人）或 6×121688（人）【答案】12個房間；88人【例 8】 媽媽買來一籃橘子分給全家人，如果其中兩人分4個，其余人每人分2個，則多出4個；如果其中一人分6個，其余人每人分4個，則缺少12個，媽媽買來橘子多少個?全家共有多少人?【考點】盈虧問題條件轉(zhuǎn)化型【解析】 由“其中兩人分4個，其余每人分2個，則多出4個”轉(zhuǎn)化為全家每人都分2個，這分4個的兩人每人都拿出2個，共拿出4個，結(jié)果就多了個；由“一人分6個，其余每人分4個，則缺少12個”轉(zhuǎn)化為全家每人都分4

8、個，分6個的人拿出2個，結(jié)果就少了個，轉(zhuǎn)變成了盈虧問題的一般類型，則： 全家的人數(shù)：(人) 橘子的個數(shù)：(個) 【答案】橘子個，全家個人【例 9】 幼兒園將一筐蘋果分給小朋友，如果全部分給大班的小朋友，每人分5個，則余下10個。如全部分給小班的小朋友，每人分到8個，則缺2個。已知大班比小班多3人，問：這筐蘋果共有多少個？【考點】盈虧問題轉(zhuǎn)換分配單位【解析】 方法一：先把大班人數(shù)和小班人數(shù)轉(zhuǎn)化為一樣。大班減少3人，則蘋果又收回個蘋果，人數(shù)一樣，根據(jù)盈虧問題公式，小班人數(shù)為：人，蘋果總數(shù)是個。方法二：此題也可以將小班人數(shù)化成和大班人數(shù)一樣多，（老師可以讓學生自行嘗試），小班人數(shù)增加3人，則還需要發(fā)

9、個蘋果，人數(shù)一樣，根據(jù)盈虧問題公式，大班人數(shù)為：人，蘋果總數(shù)是個。【答案】個【例 10】 有一些糖，每人分塊則多塊，如果現(xiàn)有人數(shù)增加到原有人數(shù)的倍，那么每人塊就少兩塊，這些糖共有多少塊？【考點】盈虧問題轉(zhuǎn)換分配單位【解析】 第一次每人分塊，第二次每人分塊，可以認為原有的人每人拿出塊糖分給新增加的人，而新增加的人剛好是原來的一半，這樣新增加的人每人可分到塊糖果，這些人每人還差塊，一共差了塊，所以新增加了人，原有人糖果數(shù)為：(塊)【答案】糖果塊【例 11】 王老師給小朋友分蘋果和桔子，蘋果數(shù)是桔子數(shù)的2倍.桔子每人分3個，多4個；蘋果每人分7個，少5個.問有多少個小朋友？多少個蘋果和桔子？【考點】

10、盈虧問題轉(zhuǎn)換被分配物【解析】 因為橘子每人分3個多4個，而蘋果是橘子的2倍，因此蘋果每人分6個就多8個。又已知蘋果每人分7個少5個，所以按照盈虧問題公式可以得出（人）；蘋果個數(shù)為（個）；橘子個數(shù)為（個）?！敬鸢浮?3個小朋友；86個蘋果；43個橘子?！纠?12】 學而思學校買來一批體育用品，羽毛球拍是乒乓球拍的2倍，分給同學們，每組分乒乓球拍5副，余乒乓球拍15副，每組分羽毛球拍14副，則差30副，問：學而思學校買來羽毛球拍、乒乓球拍各多少副？【考點】盈虧問題轉(zhuǎn)換被分配物【解析】 因為乒乓球拍每人分5副多15副，而羽毛球拍是乒乓球拍的2倍，因此羽毛球拍每人分10副就多30副。又已知羽毛球拍每人

11、分14副少30副，所以按照盈虧問題公式可以得出（人）；羽毛球拍個數(shù)為（副）；乒乓球拍個數(shù)為（副）?！敬鸢浮坑鹈蚺?80副；乒乓球拍90副。第四部分：課后練習【作業(yè) 1】 用一根長繩測量井的深度，如果繩子3折時，多8米；如果繩子5折時，差2米；求繩子長度和井深.【考點】盈虧問題【解析】 條件轉(zhuǎn)化：三折，多米；五折，少米井的深度為：（米）；繩子長度為：（米）【答案】繩子長米，井深米【作業(yè) 2】 大猴采到一堆桃子，分給一群小猴吃。如果其中兩只小猴各分得4個桃，其余每只小猴各分得2個桃，則最后剩4個桃；如果其中一只小猴分得6個桃，其余每只小猴各分得4個桃，那么還差12個桃，大猴共采到（ ）個桃，這群

12、小猴共（ ）只?！究键c】盈虧問題【解析】 本題是典型的盈虧問題，可以將它轉(zhuǎn)化為：如果每個小猴分2個桃子，最后會剩下8個，如果每只小猴分4個，還差10個，應用盈虧問題的公式可以得到小猴子一共有只，桃子一共有個?！敬鸢浮總€桃子，小猴子只【作業(yè) 3】 春節(jié)前夕，一富翁想向丐幫幫眾施舍一筆錢財，一開始他準備給每人100元，結(jié)果剩下350元，他決定每人多給20元。這時從其它地方又聞訊趕來了5個乞丐，如果他們每個人拿到的錢和其它乞丐一樣多，富翁還需要再增加550元。原有（ ）名乞丐?！究键c】盈虧問題【解析】 如果不來這五個乞丐，富翁能剩下元。因此有名乞丐。【答案】名【作業(yè) 4】 體育隊將一些羽毛球分給若干

13、個人，每人5個還多余10個羽毛球，如果人數(shù)增加到3倍，那么每人分2個羽毛球還缺少8個，問有羽毛球多少個？【考點】盈虧問題【解析】 考慮人數(shù)增加3倍后，相當于按原人數(shù)每人給2×36（個），每人給5個與給6個，總數(shù)相差10818 (個），所以原有人數(shù) 18÷（65)18（人），羽毛球總數(shù)是 5×1810100（個）【答案】個【作業(yè) 5】 小強由家里到學校，如果每分鐘走50米，上課就要遲到3分鐘；如果每分鐘走60米，就可以比上課時間提前2分鐘到校。小強家到學校的路程是多少米？【考點】盈虧問題【解析】 遲到分鐘轉(zhuǎn)化成米數(shù)：（米），提前分鐘到校轉(zhuǎn)化成米數(shù)：（米），距離上課時

14、間為：（分鐘），家到學校的路程為：（米）【答案】米【作業(yè) 6】 實驗小學學生乘車去春游，如果每輛車坐60人，則有15人上不了車；如果每輛車多坐5人，恰好多出一輛車.問一共有幾輛車，多少個學生？【考點】盈虧問題【解析】 每輛車坐60人，則多余15人，每輛車坐60+5=65人，則多出一輛車，也就是差65人.因此車輛數(shù)目為：（65+15）÷5=80÷5=16（輛）. 學生人數(shù)為：60×（16-1）+15=60×15+15=900+15=915（人）.【答案】車輛，人數(shù)人【作業(yè) 7】 有若干個蘋果和若干個梨.如果按每1個蘋果配2個梨分堆，那么梨分完時還剩2個蘋果

15、；如果按每3個蘋果配5個梨分堆，那么蘋果分完時還剩1個梨.蘋果和梨各有多少個? 【考點】盈虧問題【解析】 容易看出這是一道盈虧應用題，但是盈虧總額與兩次分配數(shù)之差很難找到.原因在于第一種方案是1個蘋果“搭配”2個梨，第二種方案是3個蘋果“搭配”5個梨.如果將這兩種方案統(tǒng)一為1個蘋果“搭配”若干個梨，那么問題就好解決了.將原題條件變?yōu)椤?個蘋果搭配2個梨，缺4個梨；1個蘋果搭配5/3個梨，多1個梨”，此時盈虧總額為(個)梨，兩次分配數(shù)之差為(個)梨.所以有蘋果(個)，有梨(個).【答案】蘋果15個，梨26個【作業(yè) 8】 小白兔和小灰兔各有若干只如果5只小白兔和3只小灰兔放到一個籠子中，小白兔還多4只，小灰兔恰好放完；如果7只小白兔和3只小灰兔放到一個籠子中，小白兔恰好放完，小灰兔還多12只那么小白兔和小灰兔共有多少只？【考點】盈虧問題【解析】 “7只小白兔和3只小灰兔裝一個籠子，小白兔恰好裝完，小灰兔還多12只”說明小白兔少了12÷3×728（只），這樣原來籠子數(shù)有：（284）÷（75）16（個），所以小白兔有16×5484（只），小灰兔有16×348（只），