灰色動態(tài)的基本理論

1、第五章 灰色動態(tài)建?；驹砘疑珓討B(tài)建模是灰色系統(tǒng)理論中的重要內(nèi)容之一。在本章中，我們將主要介紹灰色建模的技術(shù)路線，包括灰色動態(tài)建模的原理，以及常見的GM（1,1）和GM（1,n）模型的建模過程與步驟。第一節(jié) 灰色建模的技術(shù)路線一、灰色動態(tài)建模原理灰色預(yù)測建模是以灰色模塊概念為基礎(chǔ)的?；疑到y(tǒng)理論認(rèn)為一切隨機(jī)量都是在一定范圍內(nèi)、一定時段上變化的灰色量及灰色過程。對于灰色量的處理，不是去尋求它的統(tǒng)計規(guī)律和概率分布，而是從無規(guī)律的原始數(shù)據(jù)中找出規(guī)律，即對數(shù)據(jù)通過一定方式處理后，使其成為較有規(guī)律的時間序列數(shù)據(jù)，再建立模型。因為在客觀系統(tǒng)中，無論怎樣復(fù)雜，系統(tǒng)內(nèi)部總是有關(guān)聯(lián)、有整體功能和有序的。因此，

2、作為表現(xiàn)系統(tǒng)行為特征的數(shù)據(jù)，總是蘊(yùn)含著某種規(guī)律。經(jīng)過一定方式處理而生成的序列數(shù)據(jù)，我們稱之為“模塊”。其幾何意義為生成序列數(shù)據(jù)在時間與數(shù)據(jù)二維平面上所給的連續(xù)曲線與其底部（即橫坐標(biāo)）所構(gòu)成的總稱。我們將由已知數(shù)據(jù)列構(gòu)成的模塊，稱為白色模塊，而由白色模塊外推到未來的模塊，即由預(yù)測值構(gòu)成的模塊，稱為灰色模塊。一般情況下，對于給定的原始數(shù)據(jù)列不能直接用于建模，因這些數(shù)據(jù)多為隨機(jī)的、無規(guī)律的。若將原始數(shù)據(jù)列經(jīng)過一次累加生成，則可獲得新數(shù)據(jù)列 其中新生成的數(shù)據(jù)列為一單調(diào)增長的曲線，顯然它增強(qiáng)了原始數(shù)列的規(guī)律性，而隨機(jī)性被弱化了。對于非負(fù)的數(shù)據(jù)列，累加的次數(shù)越多，則隨機(jī)性弱化越明顯，規(guī)律性也就越強(qiáng)，因而較

3、容易用指數(shù)函數(shù)去逼近。經(jīng)過處理后的數(shù)據(jù)弱化了原始數(shù)據(jù)列的隨機(jī)性，從而找到了其變化的規(guī)律性，并為建立動態(tài)模型提供了中間信息。 對于生物學(xué)、社會經(jīng)濟(jì)學(xué)和環(huán)境生態(tài)系統(tǒng)，應(yīng)用微分方程便于描述其內(nèi)部物理或化學(xué)過程動態(tài)特征?；疑到y(tǒng)理論之所以能夠用來建立微分方程模型，是因為灰色系統(tǒng)理論將隨機(jī)量當(dāng)作是在一定范圍內(nèi)變化的灰色量，將隨機(jī)過程當(dāng)作是在一定幅區(qū)和一定時區(qū)變化的灰色過程。其次灰色系統(tǒng)理論將無規(guī)律的原始數(shù)據(jù)生成后，使其成為較有規(guī)律的生成數(shù)列再進(jìn)行建模。所以，灰色GM建模實際上是生成數(shù)據(jù)模型，而一般建模所用的是原始數(shù)據(jù)模型。此外，灰色系統(tǒng)理論通過灰數(shù)的不同生成，數(shù)據(jù)的不同取舍，不同級的殘差模型的補(bǔ)充，來調(diào)

4、整、修正、提高模型的精度。二、常見的GM （n, h ）模型 GM （n, h ）模型是指n 階h個變量的微分方程，不同n與h的GM模型有不同的意義和用途。GM模型大體可歸為以下二類。1，作為預(yù)測模型，常用GM （n, 1）模型常用GM （n, 1）模型，即只有一個變量的GM模型。對數(shù)據(jù)列要求是“綜合效果”的時間序列。由于n越大，計算越復(fù)雜，但精度未必就越高。因此一般情況下n值在3階以下。最常用的n=1階模型，計算簡單，適用性廣，記為GM（1, 1），稱為單序列一階線性動態(tài)模型。GM （1, 1）模型的微分方程為。系數(shù)向量=a ,T。相應(yīng)的時間函數(shù)為求導(dǎo)還原后可得到：上述兩個方程為GM （1,

5、 1）模型灰色預(yù)測的基本計算公式。GM （2, 1）為二階模型，有兩個特征根，其動態(tài)過程能反映不同情況，即可能是單調(diào)的、非單調(diào)的或擺動的（振蕩的）情況。GM （2, 1）模型的微分方程為：其系數(shù)向量 其時間響應(yīng)函數(shù)為： 式中 l1、l2為兩個特征根，按以下不同情況可分析系統(tǒng)的主要動態(tài)特征。若l1=l2，則動態(tài)過程是單調(diào)的。若l1¹l2，且為實數(shù)，動態(tài)過程可能是非單調(diào)的。若l1、l2為共軛復(fù)根，則動態(tài)過程是周期擺動的。2，狀態(tài)分析模型，常用GM （1, h）模型上面介紹的GM （1, 1）和GM （2, 1）一般多用于預(yù)測。而作為狀態(tài)分析模型，常用GM （1, h）模型，它可以反映h-

6、1個變量對于因變量一階導(dǎo)數(shù)的影響。由于h>1，故稱為h個序列的一階線性動態(tài)模型。其建模步驟如下：設(shè)有h個變量X1, X2, , Xh組成原始數(shù)列xi（0）xi（0）（1）, xi（0）（2）, , xi（0）（n） （i=1, 2, , h）。對Xi （0）分別作一次累加生成，得到新的數(shù)列：Xi（1）xi（1）（1）, xi（1）（2）, , xi（1）（n）（ i=1, 2, , h）建立微分方程：其系數(shù)向量=（b1,b2, , bh-1）T用最小二乘法求解，即=（BTB）-1BTYN 式中B為累加矩陣，YN為常數(shù)項向量，分別為：YNx1（0）（2）, x1（0）（3）, , x1（0

7、）（n）T則可求得微分方程的解：第二節(jié) GM（1，1）模型GM（1, 1）模型實際上就是灰色數(shù)列預(yù)測，對時間序列數(shù)據(jù)進(jìn)行數(shù)量大小的預(yù)測，如人口預(yù)測、勞力預(yù)測、產(chǎn)量預(yù)測、產(chǎn)值預(yù)測及各種趨勢預(yù)測等，一般利用歷年統(tǒng)計資料，對其未來發(fā)展進(jìn)行預(yù)測。這類預(yù)測不僅應(yīng)用廣，而且方法步驟也有普遍意義。為此，我們作比較詳細(xì)的介紹。一、建立GM （1, 1）模型的基本步驟第1步：對數(shù)據(jù)序列X（0）x（0）（1）, x（0）（2）, , x（0）（N）作一次累加生成，得到X（1）x（1）（1）, x（1）（2）, , x（1）（N） 其中第2步：構(gòu)造累加矩陣B與常數(shù)項向量YN， 即YNx1（0）（2）, x1（0）（

8、3）, , x1（0）（ N）T第3步：用最小二乘法解灰參數(shù)第4步：將灰參數(shù)代入時間函數(shù)：第5步：對求導(dǎo)還原得到或 第6步：計算與之差e（0）（t）及相對誤差e（t）e（t）e（0）（t）/x（0）（t）第7步：模型精度檢驗及應(yīng)用模型進(jìn)行預(yù)報。為了分析模型的可靠性，必須對模型進(jìn)行精度檢驗。目前較通用的診斷方法是對模型進(jìn)行后驗差檢驗。即先計算觀察數(shù)據(jù)離差s1：及殘差的離差s2：再計算后驗比：及小誤差概率：根據(jù)后驗比c和小誤差概率p對模型進(jìn)行診斷。當(dāng)p>0.95和c<0.35時，則可認(rèn)為模型是可靠的，可用于預(yù)測。這時可根據(jù)模型對系統(tǒng)行為進(jìn)行預(yù)測。上述7步為整個建模、預(yù)測的分析過程。當(dāng)所

9、建立模型的殘差較大、精度不夠理想時，為提高精度，一般應(yīng)對其殘差進(jìn)行殘差GM （1, 1）模型建模分析，以修正預(yù)報模型。二、GM（1，1）模型的不同形式根據(jù)鄧聚龍教授對GM（1，1）模型的研究結(jié)果，他提出了得多種不同形式的GM（1，1）模型，現(xiàn)將主要的幾種列舉如下：（1） （2） （3） （4） ；k=2，3，n（5），k3（6）（7）（8）三、對發(fā)展系數(shù)-a值解釋與分析我們將GM（1，1）模型中的參數(shù)-a稱為發(fā)展系數(shù)，b稱為灰色作用量。-a反映了和的發(fā)展勢態(tài)。一般情況下，系統(tǒng)作用量應(yīng)是外生的或前定的，而GM（1，1）是單序列建模，只用到系統(tǒng)的行為序列（或稱為輸出序列），而無外作用序列（或稱輸入

10、序列）。GM（1，1）中灰色作用量是從背景值中挖掘出來的數(shù)據(jù)，它反映了數(shù)據(jù)變化的關(guān)系，其確切內(nèi)涵是灰色的。灰色作用量是內(nèi)涵外延化的具體體現(xiàn)，它的存在是區(qū)別灰色建模與一般輸入輸出建模的分水嶺，也是區(qū)分灰色系統(tǒng)觀點和灰箱觀點的重要標(biāo)志。此外，一些學(xué)者如劉思峰等通過對GM（1，1）模擬的誤差和預(yù)測誤差進(jìn)行分析，對GM（1，1）模型中發(fā)展系數(shù)-a進(jìn)行深入研究，對發(fā)展系數(shù)-a值的大小與系統(tǒng)預(yù)測精度及其應(yīng)用可能作了探討，并提出了如下論斷：（1）當(dāng)-a0.3時，GM（1，1）可用于中長期預(yù)測；（2）當(dāng)0.3-a0.5時，可用于短期預(yù)測，中長期預(yù)測慎用；（3）當(dāng)0.5-a0.8時，用GM（1，1）作短期預(yù)測應(yīng)

11、十分謹(jǐn)慎；（4）當(dāng)0.8-a1時，應(yīng)采用殘差修正GM（1，1）模型；（5）當(dāng)-a1時，不宜采用GM（1，1）模型。第三節(jié) 灰色數(shù)列GM （1，n）模型GM （1, 1）模型和GM （2, 1）模型均為單序列線性動態(tài)模型，而GM（1, n）模型是描述多元（多變量）一階線性動態(tài)模型。它主要用于系統(tǒng)的動態(tài)分析。對于具有n個數(shù)列、數(shù)列長度為m的原始數(shù)據(jù)，我們可用如下數(shù)據(jù)矩陣描述：第1步：計算一次累加生成的數(shù)據(jù)矩陣；第2步：構(gòu)造矩陣B、Y和緊鄰均值生成序列Zi；B=Y=x1（0）（2），x1（0）（3），x1（0）（ m）T第3步：用最小二乘法解灰參數(shù)；第4步：建立灰色微分方程GM（1，n）；式中： -a為系統(tǒng)發(fā)展系數(shù);為驅(qū)動項;bi為驅(qū)動系數(shù)