特征根法求數(shù)列通項(xiàng)_第1頁(yè)
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1、特征根法求解數(shù)列遞推公式類型一、形如是常數(shù)）的數(shù)列 （二階線性遞推式） 形如是常數(shù)）的二階遞推數(shù)列都可用特征根法求得通項(xiàng)，其特征方程為 （1）若有二異根，則可令是待定常數(shù)） （2）若有二重根，則可令是待定常數(shù)） 再利用可求得，進(jìn)而求得例1 已知數(shù)列滿足，求數(shù)列的通項(xiàng)解：其特征方程為，解得，令，由，得， 例2已知數(shù)列滿足，求數(shù)列的通項(xiàng)解：其特征方程為，解得，令，由，得， 類型二、形如的數(shù)列 （分式遞推式） 對(duì)于數(shù)列，是常數(shù)且） 其特征方程為，變形為（1） 若有二異根，則可令（其中是待定常數(shù)）代入的值可求得值。 即數(shù)列是首項(xiàng)為，公比為的等比數(shù)列，于是這樣可求得（2） 若有二重根，則可令（其中是待定

2、常數(shù)）代入的值可求得值。 即數(shù)列是首項(xiàng)為，公差為的等差數(shù)列，于是這樣可求得例3已知數(shù)列滿足，求數(shù)列的通項(xiàng)解：其特征方程為，化簡(jiǎn)得，解得，令 由得，可得，數(shù)列是以為首項(xiàng)，以為公比的等比數(shù)列，例4已知數(shù)列滿足，求數(shù)列的通項(xiàng)解：其特征方程為，即，解得，令 由得，求得，數(shù)列是以為首項(xiàng)，以為公差的等差數(shù)列，【附】類型一證明:遞推公式為（其中p，q均為非零常數(shù)）。先把原遞推公式轉(zhuǎn)化為，其中滿足，顯然是方程的兩個(gè)非零根。1） 如果，則，成等比，很容易求通項(xiàng)公式。2） 如果，則成等比。公比為， 所以，轉(zhuǎn)化成： ，( I )又如果，則等差，公差為，所以，即： 可以整理成通式： （II)如果，則令，,就有，利用待定系數(shù)法可以求出的通項(xiàng)公式所以，化簡(jiǎn)整理得： 可以整理成通式：(注：

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