直線方程的幾種建立方式及其適用范圍

1、直線方程的幾種建立方式及其適用范圍羅村高級(jí)中學(xué) 黃勉確定在不同條件下的直線方程，是高考試題重點(diǎn)考查的內(nèi)容之一。因此，需要熟練掌握直線方程的各種形式，以及各自的適用范圍，以便在不同的情況下靈活地選用。下面直線方程的幾種建立方式及其適用范圍列出，以供大家參考：一、 點(diǎn)斜式若直線過(guò)定點(diǎn)，斜率為，則直線的方程為；它不適用平行于軸（包括軸）的直線，換句話說(shuō)就是不適用于斜率不存在（即傾斜角為）的直線。當(dāng)斜率不存在時(shí)，直線的方程為：；特別地，當(dāng)0時(shí)，其方程為。例1、 已知直線過(guò)點(diǎn)A（1，2）,B()，求直線的方程。分析：因?yàn)橹本€經(jīng)過(guò)點(diǎn)B(),且m是一個(gè)參數(shù)，因此需要對(duì)m進(jìn)行分情況討論。解：當(dāng)m1時(shí)，直線的傾

2、斜角為，其斜率是不存在的，故此直線的方程為。當(dāng)m1時(shí)，直線的斜率為，又因?yàn)橹本€通過(guò)點(diǎn)A（1，2），所以直線的方程為：。例2、 已知直線經(jīng)過(guò)點(diǎn)P（3，4），且在兩坐標(biāo)軸上的截距相等，求直線的方程。 分析：不難看出，直線在經(jīng)過(guò)原點(diǎn)和斜率為1的兩種情況下在兩坐標(biāo)軸上的截距相等。因此，需要對(duì)這兩種情況分類(lèi)討論。解：若直線經(jīng)過(guò)原點(diǎn)，則直線的斜率為，從而直線的方程為：，即。若直線不經(jīng)過(guò)原點(diǎn)，由于它在兩坐標(biāo)軸上的截距相等，所以直線的斜率為，從而直線的方程為：即。二、 斜截式若直線的斜率為且在軸上的截距為，則直線的方程為：；它不適用于平行于軸（包括軸斜率）的直線，即不適用于斜率不存在（傾斜角為）的直線。也就是

3、說(shuō)，斜截式與點(diǎn)斜式的適用范圍是一樣的。例3、 已知直線經(jīng)過(guò)點(diǎn),若直線在兩坐標(biāo)軸上的截距之和為12，求直線的方程。分析：由于直線在兩坐標(biāo)軸上的截距之和為12，且經(jīng)過(guò)點(diǎn)，因此可建立方程分別求出此直線的斜率和在斜率上的截距，從而利用斜截式建立直線的方程。解：設(shè)直線的斜率為，在軸上的截距為，從而直線的方程可設(shè)為：；由于直線經(jīng)過(guò)點(diǎn)，令0，得解得或，所以所求的直線方程為，即。三、 兩點(diǎn)式若直線經(jīng)過(guò)兩點(diǎn)（），則直線的方程為：。它適用于不平行于坐標(biāo)軸（包括坐標(biāo)軸）的直線，若將此方程改寫(xiě)成：，則它適用于任何直線。特別地，當(dāng)時(shí)，直線方程為；當(dāng)時(shí)，直線方程為。例4、 已知直線：，過(guò)點(diǎn)引一條直線與分別交于點(diǎn)M，N兩點(diǎn)

4、，若P恰為MN的中點(diǎn)，求直線的方程。分析：由于M，N以P為中點(diǎn)，也就是說(shuō)M,N關(guān)于點(diǎn)P對(duì)稱(chēng)，從而可用求對(duì)稱(chēng)點(diǎn)的問(wèn)題分別求出點(diǎn)M，N的坐標(biāo)，利用兩點(diǎn)式建立直線方程。解：設(shè)M()，則N點(diǎn)的坐標(biāo)為（）又點(diǎn)M,N分別在直線，上，解得，從而M,N兩點(diǎn)的坐標(biāo)分別為M(),N所以直線的方程為：，整理得。四、 截距式若直線在軸上的截距分別為，則直線的方程為：；它不適用于平行于坐標(biāo)軸（包括坐標(biāo)軸）的直線和經(jīng)過(guò)原點(diǎn)的直線。但若將此直線改寫(xiě)成，則適用于任何直線。例5、 若直線在兩坐標(biāo)軸上的截距相等，其截距之和為12,求直線的方程。分析：由于直線在兩坐標(biāo)軸上的截距相等，且兩截距之和等于12，則其截距不可能為零，從而可

5、求出兩截距的值利用截距式建立直線方程。解：設(shè)直線在上的截距分為，則且，從而所以所求的直線方程為整理得。例6、 若直線在x軸上的截距的截距是它y軸上的截距的2倍，且兩截距之和等于12，求直線的方程。分析：同上題一樣，由于直線在x軸上的截距的截距是它y軸上的截距的2倍，且兩截距之和等于12，所以其截距不可能為零，從而可求出兩截距的值利用截距式建立直線方程。解：設(shè)直線在上的截距分為，則且解得，所以所求的直線方程為整理得。五、 一般式直線的方程的一般形式為；它適用于任何直線。例7、 過(guò)點(diǎn)引一條直線，使A(2,3),B()到它的距離相等，求這條直線的方程。解：設(shè)此直線的方程為，直線過(guò)點(diǎn)且A(2,3),B()到它的距離相等，從而有，解得A=4B或3ABC=0；A=4B,C=6B或2A=3B,7A=3C直線的方程為，即。例8、 若求過(guò)點(diǎn)P（1,2）且與直線平行的直線的方程。分析：由于所求直線與直線平行，所以可用一般式建立所求直線的方程，再用待定系數(shù)法求出C，從而寫(xiě)出所求的直線方程。解：設(shè)所求直線方程為，因?yàn)樗^(guò)點(diǎn)（1,2），將點(diǎn)（1,2）代入直線方程，解得C=8，從而所求的直線方程為：。重點(diǎn)提示：由以上分析可以看出：1