球面平均法和泊松公式_第1頁
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文檔簡介

1、§7.2 球面平均法和泊松公式一 本節(jié)主要思想 （1）對(duì)三維波動(dòng)方程的初值問題，先假設(shè)已知空間某一點(diǎn)的振動(dòng)，然后以點(diǎn)為發(fā)射子波的波源，根據(jù)球面波的對(duì)稱性，可根據(jù)加權(quán)平均的思想來考察球面的平均振動(dòng)，從而將問題歸結(jié)為兩個(gè)自變量的一維波動(dòng)方程，最后采用極限的思想，令，即可得到點(diǎn)的振動(dòng) （2）對(duì)二維波動(dòng)方程的初值問題，采用將其上升到三維空間的思想，根據(jù)已有的三維波動(dòng)方程的泊松公式，獲得此問題的三維解，再采用降維法，最終獲得二維解二 三維波動(dòng)方程的初值問題，泊松公式三維波動(dòng)方程初值問題解的泊松公式考察三維波動(dòng)方程的初值問題： 以表示以點(diǎn)為心，半徑為的球面，以表示的面元，則的面元注：下面用加權(quán)平

2、均的思想（即球面平均法）求函數(shù)在球面上的平均值： 注：（4）、（5）實(shí)際上是球的參數(shù)方程的表達(dá)式（3）式也可寫成 ，注：由于，與正好約掉 由此可知，所以，為了求可以先求 下面就來討論如何求： 注意到，容易算得同理，可求出，將他們相加，得到 注： 將方程（1）兩端取球面平均，即得 等式兩邊同乘以得 （6）注：與時(shí)間無關(guān)，所以可將放入算子中這是關(guān)于的一維波動(dòng)方程，其通解為 （7）令，得 從而知，故有 （8）注： 的取值范圍應(yīng)是 我們所關(guān)心的是的情況，因?yàn)榇藭r(shí)表明振動(dòng)已傳至所考察的球面，若，表明振動(dòng)還未傳至所考察的球面，這樣就無法考察點(diǎn)的振動(dòng)為求，將上式對(duì)求導(dǎo)，得 （9）令，即得 （10）所以，為求，只需求為此將（8）式再對(duì)求導(dǎo)，得 （11） 由（9）、（11）兩式得 （12）在上式中令，并注意到（3）式和初始條件（2）式，即得 注意到（10）式，在上式中令，即得

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