高中數(shù)學(xué)圓錐曲線解題技巧方法總結(jié)--圓錐曲線

1、高中數(shù)學(xué)圓錐曲線解題技巧方法總結(jié) 圓錐曲線 1.圓錐曲線的兩定義： 第一定義中要重視“括號(hào)”內(nèi)的限制條件：橢圓中，與兩個(gè)定點(diǎn)F ，F(xiàn) 的距離的和等于常數(shù) ，且此常數(shù) 一定要大于 ，當(dāng)常數(shù)等于 時(shí)，軌跡是線段F F ，當(dāng)常數(shù)小于 時(shí)，無(wú)軌跡；雙曲線中，與兩定點(diǎn)F ，F(xiàn) 的距離的差的絕對(duì)值等于常數(shù) ，且此常數(shù) 一定要小于|F F |，定義中的“絕對(duì)值”與 |F F |不可忽視。若 |F F |，則軌跡是以F ，F(xiàn) 為端點(diǎn)的兩條射線，若 |F F |，則軌跡不存在。若去掉定義中的絕對(duì)值則軌跡僅表示雙曲線的一支。 如方程 表示的曲線是_（答：雙曲線的左支） 2.圓錐曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程（標(biāo)準(zhǔn)方程是指中心（頂

2、點(diǎn)）在原點(diǎn)，坐標(biāo)軸為對(duì)稱軸時(shí)的標(biāo)準(zhǔn)位置的方程）： （1）橢圓：焦點(diǎn)在 軸上時(shí) （ ），焦點(diǎn)在 軸上時(shí) 1（ ）。方程 表示橢圓的充要條件是什么？（ABC0，且A，B，C同號(hào)，AB）。 若 ，且 ，則 的最大值是_， 的最小值是_（答： ） （2）雙曲線：焦點(diǎn)在 軸上： =1，焦點(diǎn)在 軸上： 1（ ）。方程 表示雙曲線的充要條件是什么？（ABC0，且A，B異號(hào)）。 如設(shè)中心在坐標(biāo)原點(diǎn) ，焦點(diǎn) 、 在坐標(biāo)軸上，離心率 的雙曲線C過(guò)點(diǎn) ，則C的方程為_(kāi)（答： ） （3）拋物線：開(kāi)口向右時(shí) ，開(kāi)口向左時(shí) ，開(kāi)口向上時(shí) ，開(kāi)口向下時(shí) 。 3.圓錐曲線焦點(diǎn)位置的判斷（首先化成標(biāo)準(zhǔn)方程，然后再判斷）： （1

3、）橢圓：由 , 分母的大小決定，焦點(diǎn)在分母大的坐標(biāo)軸上。 如已知方程 表示焦點(diǎn)在y軸上的橢圓，則m的取值范圍是_（答： ） （2）雙曲線：由 , 項(xiàng)系數(shù)的正負(fù)決定，焦點(diǎn)在系數(shù)為正的坐標(biāo)軸上； （3）拋物線：焦點(diǎn)在一次項(xiàng)的坐標(biāo)軸上，一次項(xiàng)的符號(hào)決定開(kāi)口方向。 提醒：在橢圓中， 最大， ，在雙曲線中， 最大， 。 4.圓錐曲線的幾何性質(zhì)： （1）橢圓（以 （ ）為例）：范圍： ；焦點(diǎn)：兩個(gè)焦點(diǎn) ；對(duì)稱性：兩條對(duì)稱軸 ，一個(gè)對(duì)稱中心（0,0），四個(gè)頂點(diǎn) ，其中長(zhǎng)軸長(zhǎng)為2 ，短軸長(zhǎng)為2 ；準(zhǔn)線：兩條準(zhǔn)線 ； 離心率： ，橢圓 ， 越小，橢圓越圓； 越大，橢圓越扁。 如（1）若橢圓 的離心率 ，則 的值

4、是_（答：3或 ）； （2）以橢圓上一點(diǎn)和橢圓兩焦點(diǎn)為頂點(diǎn)的三角形的面積最大值為1時(shí)，則橢圓長(zhǎng)軸的最小值為_(kāi)（答： ） （2）雙曲線（以 （ ）為例）：范圍： 或 ；焦點(diǎn)：兩個(gè)焦點(diǎn) ；對(duì)稱性：兩條對(duì)稱軸 ，一個(gè)對(duì)稱中心（0,0），兩個(gè)頂點(diǎn) ，其中實(shí)軸長(zhǎng)為2 ，虛軸長(zhǎng)為2 ，特別地，當(dāng)實(shí)軸和虛軸的長(zhǎng)相等時(shí)，稱為等軸雙曲線，其方程可設(shè)為 ；準(zhǔn)線：兩條準(zhǔn)線 ； 離心率： ，雙曲線 ，等軸雙曲線 ， 越小，開(kāi)口越小， 越大，開(kāi)口越大；兩條漸近線： 。 （3）拋物線（以 為例）：范圍： ；焦點(diǎn)：一個(gè)焦點(diǎn) ，其中 的幾何意義是：焦點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離；對(duì)稱性：一條對(duì)稱軸 ，沒(méi)有對(duì)稱中心，只有一個(gè)頂點(diǎn)（0,0）；

5、準(zhǔn)線：一條準(zhǔn)線 ； 離心率： ，拋物線 。 如設(shè) ，則拋物線 的焦點(diǎn)坐標(biāo)為_(kāi)（答： ）； 5、點(diǎn) 和橢圓 （ ）的關(guān)系：（1）點(diǎn) 在橢圓外 ；（2）點(diǎn) 在橢圓上 1；（3）點(diǎn) 在橢圓內(nèi) 6直線與圓錐曲線的位置關(guān)系： （1）相交： 直線與橢圓相交； 直線與雙曲線相交，但直線與雙曲線相交不一定有 ，當(dāng)直線與雙曲線的漸近線平行時(shí)，直線與雙曲線相交且只有一個(gè)交點(diǎn)，故 是直線與雙曲線相交的充分條件，但不是必要條件； 直線與拋物線相交，但直線與拋物線相交不一定有 ，當(dāng)直線與拋物線的對(duì)稱軸平行時(shí)，直線與拋物線相交且只有一個(gè)交點(diǎn)，故 也僅是直線與拋物線相交的充分條件，但不是必要條件。 （2）相切： 直線與橢圓

6、相切； 直線與雙曲線相切； 直線與拋物線相切； （3）相離： 直線與橢圓相離； 直線與雙曲線相離； 直線與拋物線相離。 提醒：（1）直線與雙曲線、拋物線只有一個(gè)公共點(diǎn)時(shí)的位置關(guān)系有兩種情形：相切和相交。如果直線與雙曲線的漸近線平行時(shí),直線與雙曲線相交,但只有一個(gè)交點(diǎn)；如果直線與拋物線的軸平行時(shí),直線與拋物線相交,也只有一個(gè)交點(diǎn)；（2）過(guò)雙曲線 1外一點(diǎn) 的直線與雙曲線只有一個(gè)公共點(diǎn)的情況如下：P點(diǎn)在兩條漸近線之間且不含雙曲線的區(qū)域內(nèi)時(shí)，有兩條與漸近線平行的直線和分別與雙曲線兩支相切的兩條切線，共四條；P點(diǎn)在兩條漸近線之間且包含雙曲線的區(qū)域內(nèi)時(shí)，有兩條與漸近線平行的直線和只與雙曲線一支相切的兩條

7、切線，共四條；P在兩條漸近線上但非原點(diǎn)，只有兩條：一條是與另一漸近線平行的直線，一條是切線；P為原點(diǎn)時(shí)不存在這樣的直線；（3）過(guò)拋物線外一點(diǎn)總有三條直線和拋物線有且只有一個(gè)公共點(diǎn)：兩條切線和一條平行于對(duì)稱軸的直線。 7、焦點(diǎn)三角形（橢圓或雙曲線上的一點(diǎn)與兩焦點(diǎn)所構(gòu)成的三角形）問(wèn)題： ，當(dāng) 即 為短軸端點(diǎn)時(shí)， 的最大值為bc；對(duì)于雙曲線 。 如 （1）短軸長(zhǎng)為 ， 8、拋物線中與焦點(diǎn)弦有關(guān)的一些幾何圖形的性質(zhì)：（1）以過(guò)焦點(diǎn)的弦為直徑的圓和準(zhǔn)線相切；（2）設(shè)AB為焦點(diǎn)弦， M為準(zhǔn)線與x軸的交點(diǎn)，則AMFBMF；（3）設(shè)AB為焦點(diǎn)弦，A、B在準(zhǔn)線上的射影分別為A ，B ，若P為A B 的中點(diǎn)，則P

8、APB；（4）若AO的延長(zhǎng)線交準(zhǔn)線于C，則BC平行于x軸，反之，若過(guò)B點(diǎn)平行于x軸的直線交準(zhǔn)線于C點(diǎn)，則A，O，C三點(diǎn)共線。 9、弦長(zhǎng)公式：若直線 與圓錐曲線相交于兩點(diǎn)A、B，且 分別為A、B的橫坐標(biāo)，則 ，若 分別為A、B的縱坐標(biāo)，則 ，若弦AB所在直線方程設(shè)為 ，則 。特別地，焦點(diǎn)弦（過(guò)焦點(diǎn)的弦）：焦點(diǎn)弦的弦長(zhǎng)的計(jì)算，一般不用弦長(zhǎng)公式計(jì)算，而是將焦點(diǎn)弦轉(zhuǎn)化為兩條焦半徑之和后，利用第二定義求解。 拋物線： 10、圓錐曲線的中點(diǎn)弦問(wèn)題：遇到中點(diǎn)弦問(wèn)題常用“韋達(dá)定理”或“點(diǎn)差法”求解。 在橢圓 中，以 為中點(diǎn)的弦所在直線的斜率k= ； 弦所在直線的方程： 垂直平分線的方程： 在雙曲線 中，以 為中點(diǎn)的弦所在直線的斜率k= ；在拋物線 中，以 為中點(diǎn)的弦所在直線的斜率k= 。 提醒：因?yàn)?是直線與圓錐曲線相交于兩點(diǎn)的必要條件，故在求解有關(guān)弦長(zhǎng)、對(duì)稱問(wèn)題時(shí)，務(wù)必別忘了檢驗(yàn) ！ 11了解下列結(jié)論 （1）雙曲線 的漸近線方程為 ； （2）以 為漸近線（即與雙曲線 共漸近線）的雙曲線方程為 為參數(shù)， 0）。 （3）中心在原點(diǎn)，坐標(biāo)軸為對(duì)稱軸的橢圓、雙曲線方程可設(shè)為 ； （4）橢圓、雙曲線的通徑（過(guò)焦點(diǎn)且垂直于對(duì)稱軸的弦）為 ，焦準(zhǔn)距（焦點(diǎn)到相應(yīng)準(zhǔn)線的距離）為 ，拋物線的通徑為 ，焦準(zhǔn)距為 ； （5）通徑是