第9章對應分析

1、第9章 對應分析v對應分析(correspondence analysis)是用于尋求列聯(lián)表的行和列之間聯(lián)系的一種低維圖形表示法，它可以從直覺上揭示出同一分類變量的各個類別之間的差異，以及不同分類變量各個類別之間的對應關系。v對應分析是由法國人Benzecri于1970年提出的，起初在法國和日本最為流行，然后引入美國。v在對應分析中，列聯(lián)表的每一行對應（通常是二維）圖中的一點，每一列也對應同一圖中的一點。本質(zhì)上，這些點都是列聯(lián)表的各行各列向一個二維歐式空間的投影，這種投影最大限度地保持了各行（或各列）之間的關系。第九章 對應分析v9.1 行輪廓和列輪廓v9.2 獨立性的檢驗和總慣性v9.3 行

2、、列輪廓的坐標v9.4 對應分析圖9.1 行輪廓和列輪廓v一、列聯(lián)表v二、對應矩陣v三、行、列輪廓一、列聯(lián)表v其中， 是第 行、第 列類別組合的頻數(shù)， ； 為第 行的頻數(shù)之 和， ； 為第 列的頻數(shù)之和， ； 為所有類別組 合的頻數(shù)總和。 ijnij1,2, ,1,2,ip jq1qiijjnni1,2,ip1pjijinn1,2,jqj1111pqpqijijijijnnnn二、對應矩陣v這里， 。v顯然有 。 1111,qqppijijijijiijjijjjiinnnpppppnnn111pqijijppv稱 為對應矩陣。將對應矩陣表中的最后一列用 表示，即 其中 是元素均為1的 維向量

3、，最后一行用 表示，即 v其中 是元素均為1的 維向量，向量 和 的元素有時稱為行和列密度（masses）。 ijijpnnPr12,pppprP11,1,11q c12,qpppc1 P1,1,11prc三、行、列輪廓v第 行輪廓： 其各元素之和等于1 ，即 。v第 列輪廓： 其各元素之和等于1 ，即 。i1212,iqiqiiiiiiiiiiipnppnnpppnnnr1,1,2,iip r1j1212,jjpjjjpjjjjjjjjpppnnnpppnnnc1,1,2,jjq1 c行輪廓矩陣 v其中 。111121111221222122212qqrppppqpppppppppppppp

4、ppppppprrRD Pr12diag,rppppD列輪廓矩陣 v其中 。111121222122112121212,qqqqcqpppqqppppppppppppppppppCPDc cc12diag,cqpppD 可見， 可以表示成各列輪廓的加權平均。類似地， 即 可以表示成各行輪廓的加權平均。 121121,qccqjjjqpppprP1PDD 1c cccr11prriiipc1 P1 DD Pr c例9.1.1v將由個人組成的樣本按心理健康狀況與社會經(jīng)濟狀況進行交叉分類，分類結果見表9.1.3。 v 將表9.1.3中的數(shù)據(jù)除以，得到對應矩陣，列于表9.1.4中。表9.1.4給出的行

5、密度和列密度向量為0.1850.363,0.305,0.173,0.231,0.160,0.1310.2180.234rc 行輪廓矩陣為 列輪廓矩陣為10.3940.1860.2350.1170.0680.3120.1740.2340.1610.1180.3090.1800.2130.1490.1490.2210.1540.2420.2010.183rRD P10.2390.1990.1880.1360.0970.3710.3660.3670.3660.3270.2210.2260.2010.2040.2490.1700.2090.2450.2940.327cCPD兩個馬賽克圖 對心理健康的每

6、一種狀況，A、B、C、D、E五個小方塊的寬度顯示了行輪廓，0、1、2、3四種心理健康狀況的小方塊高度顯示了行密度。 對社會經(jīng)濟的每一種狀況，0、1、2、3四個小方塊的高度顯示了列輪廓，A、B、C、D、E五種社會經(jīng)濟狀況的小方塊寬度顯示了列密度。9.2 獨立性的檢驗和總慣量v一、行、列獨立的檢驗 v二、總慣量一、行、列獨立的檢驗v在列聯(lián)表中，檢驗行變量和列變量相互獨立假設的統(tǒng)計量為 當獨立性的原假設為真，且樣本容量 充分大，期望頻數(shù) 時， 近似服從自由度為 的卡方分布。拒絕規(guī)則為 若 ，則拒絕獨立性的原假設 其中 是 的上分位點。2211pqijijijijpp pnp pn5,1,2, ,1,

7、2,ijnp pipjq211pq221,1pq221,1pq21,1pq21,1pq二、總慣量 總慣量還可以行輪廓和列輪廓的形式表達如下：2211pqijijijijpp pnp p總慣量21111pqpijijiiiciijijpppppp rc Drc總慣量21111qpqijjijjjrjjijippppppcrDcr總慣量 其中 稱為第 行輪廓 到行輪廓中心 的卡方（ ）距離，它可看作是一個加權的平方歐氏距離。同樣， 是第 列輪廓 到列輪廓中心 的卡方距離。故總慣量可看成是行輪廓到其中心的卡方距離的加權平均，也可看成是列輪廓到其中心的卡方距離的加權平均。它既度量了行輪廓之間的總變差，

8、也度量了列輪廓之間的總變差。211qijijicijjpppprc Drcic2211pijjijrjiippppcrDcrjjcrir總慣量為零的等價情形 v總慣量為零與以下三種情形的任一種等價： （1） ，或表示為 ； （2）所有的行輪廓相等，即 ； （3）所有的列輪廓相等，即 。v所以，如果行變量與列變量相互獨立，則我們可以期望（由樣本數(shù)據(jù)構成的）列聯(lián)表中所有的行有相近的輪廓，所有的列亦有相近的輪廓。,1,2, ,1,2,ijijpp pip jqPrc12prrrc12qcccr9.3 行、列輪廓的坐標9.4 對應分析圖v一、行、列輪廓的逼近 v二、行（列）點之間的距離 v三、行點和列

9、點相近的意涵一、行、列輪廓的逼近二、行（列）點之間的距離v如果兩個行（列）點接近，則表明相應的兩個行（列）輪廓是類似的；反之，如果兩個行（列）點遠離，則表明相應的兩個行（列）輪廓是非常不同的。需要指出的是，行點與列點之間并沒有直接的距離關系。三、行點和列點相近的意涵v如果一個行點和一個列點相近，則表明行、列兩個變量的相應類別組合發(fā)生的頻數(shù)會高于這兩個變量相互獨立情形下的期望值。例9.4.1v 在例9.1.1中，經(jīng)計算，奇異值、主慣性以及貢獻率等的計算結果列于表9.4.1中?？倯T量的94.75%可由第一維來解釋，前二維解釋了高達99.76%的總慣量，幾乎解釋了列聯(lián)表數(shù)據(jù)的所有變差。例9.4.1 行點和列