高一《對數(shù)與對數(shù)函數(shù)》講義【解析版】

1、精選優(yōu)質(zhì)文檔-傾情為你奉上對數(shù)與對數(shù)函數(shù)【高考要求】 1.理解對數(shù)的概念及其運算性質(zhì)，知道用換底公式能將一般對數(shù)轉(zhuǎn)化為自然對數(shù)或常用對數(shù)，了解對數(shù)在簡化運算中的作用.2.理解對數(shù)函數(shù)的概念，理解對數(shù)函數(shù)的單調(diào)性與函數(shù)圖象通過的特殊點，知道指數(shù)函數(shù)yax與對數(shù)函數(shù)ylogax互為反函數(shù)(a>0，a1)，體會對數(shù)函數(shù)是一類重要的函數(shù)模型【知識梳理】1.對數(shù)的概念(1)對數(shù)的定義如果axN(a>0且a1)，那么數(shù)x叫做以a為底N的對數(shù)，記作_ xlogaN _，其中_ a _叫做對數(shù)的底數(shù)，_ N _叫做真數(shù).真數(shù)N為正數(shù)（負數(shù)和零無對數(shù)）說明：實質(zhì)上，上述對數(shù)表達式，不過是指數(shù)函數(shù)的另

2、一種表達形式，例如：與 這兩個式子表達是同一關(guān)系，因此，有關(guān)系式“”同“+”“×”“”等符號一樣，表示一種運算，即已知一個數(shù)和它的冪求指數(shù)的運算，這種運算叫對數(shù)運算，不過對數(shù)運算的符號寫在數(shù)的前面。對數(shù)的底數(shù)和真數(shù)從對數(shù)的實質(zhì)看：如果abN(a>0且a1)，那么b叫做以a為底N的對數(shù)，即blogaN.它是知道底數(shù)和冪求指數(shù)的過程.底數(shù)a從定義中已知其大于0且不等于1；N在對數(shù)式中叫真數(shù)，在指數(shù)式中，它就是冪，所以它自然應(yīng)該是大于0的.(2)幾種常見對數(shù)對數(shù)形式特點記法一般對數(shù)底數(shù)為a(a>0且a1)logaN常用對數(shù)底數(shù)為_10_lg_N自然對數(shù)底數(shù)為_e_ln_N2對數(shù)

3、的性質(zhì)與運算法則（1）對數(shù)基本性質(zhì)：，-對數(shù)恒等式（2）對數(shù)運算性質(zhì)：若，則： （3）換底公式：推論： 點評：（1）要熟練掌握公式的運用和逆用。（2）在使用公式的過程中，要注意公式成立的條件。例如：真數(shù)為兩負數(shù)的積，不能寫成=3.對數(shù)函數(shù)的圖象與性質(zhì) 對數(shù)函數(shù)定義：函數(shù)稱對數(shù)函數(shù)，說明：（1）一個函數(shù)為對數(shù)函數(shù)的條件是：系數(shù)為1； 底數(shù)為大于0且不等于1的正常數(shù)； 變量為真數(shù). 在對數(shù)式中，真數(shù)必須是大于0的，所以對數(shù)函數(shù)ylogax的定義域應(yīng)為x|x>0. 對數(shù)型函數(shù)的定義域：特別應(yīng)注意的是：真數(shù)大于零、底數(shù)大于零且不等于1。函數(shù)圖像：1）對數(shù)函數(shù)的圖象都經(jīng)過點（0，1），且圖象都在第

4、一、四象限；2）對數(shù)函數(shù)都以軸為漸近線（當時，圖象向上無限接近軸；當時，圖象向下無限接近軸）；3）對于相同的，函數(shù)的圖象關(guān)于軸對稱。a>10<a<1圖象性質(zhì)(1)定義域：_(0，)_(2)值域：_ R _(3)過點_(1,0)_，即x1_時，y_0_(4)當x>1時，_ y>0_當0<x<1時，_ y<0_(5)當x>1時，_ y<0_當0<x<1時，_ y>0_(6)在(0，)上是_增_(7)在(0，)上是_減_變化對圖象的影響在第一象限內(nèi)，從順時針方向看圖象，逐漸增大；在第四象限內(nèi)，從順時針方向看圖象，逐漸減小.

5、奇偶性非奇非偶4.反函數(shù)反函數(shù)及其性質(zhì)互為反函數(shù)的兩個函數(shù)的圖象關(guān)于直線對稱。若函數(shù)上有一點，則必在其反函數(shù)圖象上，反之若在反函數(shù)圖象上，則必在原函數(shù)圖象上。由對數(shù)的定義容易知道:指數(shù)函數(shù)yax與對數(shù)函數(shù)_.ylogax _互為反函數(shù)，它們的圖象關(guān)于直線_yx _對稱. 由指數(shù)函數(shù)的定義域，值域，容易得到對數(shù)函數(shù)的定義域為，值域為，【考點突破】考點一 對數(shù)形式與指數(shù)形式的互化【例1-1】下列指數(shù)式改寫成對數(shù)式； 【例1-2】下列對數(shù)式改寫成指數(shù)式； 【例1-3】求下列各式的； ； ； 【解析】由，得，即；由，得，即，故；由，得故；由，得故【點評】對數(shù)的定義是對數(shù)形式和指數(shù)形式互化的依據(jù)，而對數(shù)

6、形式與指數(shù)形式的互化又是解決問題重要手段。考點二對數(shù)式的化簡求值與運算性質(zhì)【例2-1】計算下列各式. lg 25lg 2·lg 50(lg 2)2； (log32log92)·(log43log83).【解析】原式(lg 2)2(1lg 5)lg 2lg 52(lg 2lg 51)lg 22lg 5(11)lg 22lg 52(lg 2lg 5)2. 原式···.【例2-2】已知求解法一：，解法二：【例2-3】設(shè)，求的值.【解析】（1）， 【探究提高】(1)在對數(shù)運算中，先利用冪的運算把底數(shù)或真數(shù)進行變形，化成分數(shù)指數(shù)冪的形式，使冪的底數(shù)最簡，

7、然后再運用對數(shù)運算法則化簡合并，在運算中要注意化同底和指數(shù)與對數(shù)互化.(2)熟練地運用對數(shù)的三個運算性質(zhì)并配以代數(shù)式的恒等變形是對數(shù)計算、化簡、證明常用的技巧.【練習】(1)計算：log2.56.25lgln= （2）求值：【解析】原式；原式=(3)設(shè)2a5bm，且2，則m的值為()A.B10C20D100【答案】A考點三 對數(shù)的概念及應(yīng)用【例3-1】對數(shù)函數(shù)的判斷 隨寫【例3-2】若函數(shù)是對數(shù)函數(shù)，則的值為_.【例3-3】若函數(shù)的定義域為R，則實數(shù)的取值范圍是_.【練習】（1）對數(shù)函數(shù)的圖象過點（16，2），則函數(shù)的解析式為_（2）函數(shù)y的定義域是()A1，2 B1，2) C D【解析】 由

8、0<2x11<x1. 【答案】D考點四對數(shù)函數(shù)的圖象及應(yīng)用【例4-1】函數(shù)的圖象恒過點_【例4-2】已知0<a<b<1<c，mlogac，nlogbc，則m與n的大小關(guān)系是_ m>n _【解析】m<0，n<0，logac·logcblogab<logaa1，m>n.【規(guī)律方法】用對數(shù)函數(shù)的圖象與性質(zhì)比較大?。?）同底數(shù)的兩個對數(shù)值的大小比較【注意底數(shù)范圍】（2）同真數(shù)的對數(shù)值大小關(guān)系（3）同對數(shù)值比較真數(shù)大?。?）利用中間量(0或1)（5）作差或作商法，結(jié)合換底公式及對數(shù)運算性質(zhì).【練習】（1）已知函數(shù)f(x)loga

9、(xb) (a>0且a1)的圖象過兩點(1,0)和(0,1)，則a_，b_.(2）若點(a，b)在ylg x圖象上，a1，則下列點也在此圖象上的是()A. B. C. D.（3）比較大?。?log1.10.7與log1.20.7.【解析】作出ylog1.1x與ylog1.2x的圖象，如圖所示，兩圖象與x0.7相交可知log1.10.7<log1.20.7.【答案】（1）a2，b2. （2）D （3）<考點五對數(shù)函數(shù)的值域與最值 隨寫考點六對數(shù)函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用角度一對數(shù)型函數(shù)的奇偶性【例6-1】若函數(shù)是奇函數(shù)，則【解析】由于是奇函數(shù)，即，又， 角度二對數(shù)型函數(shù)的單調(diào)性【例6-2

10、-1】的單調(diào)減區(qū)間為（ ） A B C D【例6-2-2】已知y=loga(2ax)在區(qū)間0，1上是x的減函數(shù)，求a的取值范圍【解析】先求函數(shù)定義域：由2ax0，得ax2又a是對數(shù)的底數(shù)，a0且a1，x由遞減區(qū)間0，1應(yīng)在定義域內(nèi)可得1，a2，又2ax在x0，1是減函數(shù)y=loga(2ax)在區(qū)間0，1也是減函數(shù)，由復合函數(shù)單調(diào)性可知：a1 1a2【規(guī)律方法】求解與對數(shù)函數(shù)有關(guān)的復合函數(shù)的單調(diào)性的步驟：確定定義域；弄清函數(shù)是由哪些基本初等函數(shù)復合而成的，將復合函數(shù)分解成基本初等函數(shù)yf(u)，ug(x)；分別確定這兩個函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；若這兩個函數(shù)同增或同減，則yf(g(x)為增函數(shù)，若一增一減

11、，則yf(g(x)為減函數(shù)，即“同增異減” 角度三比較對數(shù)值的大小【例6-3-1】比較大?。簂og3與log5 【解析】log3<log310，而log5>log510，log3<log5.【例6-3-2】設(shè)alog3，blog2，clog3，則()Aa>b>cBa>c>b Cb>a>cDb>c>a【解析】alog3>1，blog23，則<b<1，clog32<，a>b>c.【例6-3-3】已知，則有（ ）ABCD【解析】，同理.，即 【答案】D 角度四解簡單的對數(shù)不等式或方程【例6-4】已知

12、f(x)是偶函數(shù)，且在0，)上是減函數(shù)，若f(lg x)f(2)，則x的取值范圍是()A B C D【解析】 法一：不等式可化為或，解得1x100或x1，所以法二：由偶函數(shù)的定義可知，f(x)f(x)f(|x|)，故不等式f(lg x)f(2)可化為|lg x|2，即2lg x2，解得x100。 【答案】C【練習】（1）.已知函數(shù)，若，則等于（ ）ABC2D2【答案】B（2）函數(shù)f(x)(x22x3)的單調(diào)遞增區(qū)間是_（¥，1）_（3）函數(shù)f(x)loga(ax3)在1，3上單調(diào)遞增，則a的取值范圍是()A(1，) B(0，1) C D(3，)【解析】 由于a>0，且a1，所以

13、uax3為增函數(shù)，所以若函數(shù)f(x)為增函數(shù)，則f(x)logau必為增函數(shù)，所以a>1.又uax3在1，3上恒為正，所以a3>0，即a>3. 【答案】D（4）已知奇函數(shù)f(x)在R上是增函數(shù)若af(log2)，bf(log24.1)，cf(20.8)，則a，b，c的大小關(guān)系為()Aa<b<c Bb<a<c Cc<b<a Dc<a<b【解析】由f(x)是奇函數(shù)可得，af(log2)f(log25)，因為log25>log24.1>log242>20.8，且函數(shù)f(x)是增函數(shù)，所以c<b<a. 【答

14、案】C（5）定義在R上的偶函數(shù)f(x)在0，)上遞增，f()0，則滿足>0的x的取值范圍是()A(0，)B(0，)(2，) C(0，)(，2)D(0，)【解析】由題意可得：f(x)f(x)f(|x|)，f(|logx|)>f()，f(x)在0，)上遞增，于是|logx|>，解得x的取值范圍是(0，)(2，) 【答案】B【失誤與防范】1.在運算性質(zhì)logaMnnlogaM時，要特別注意條件，在無M0的條件下應(yīng)為logaMnnloga|M|(nN*，且n為偶數(shù)).2.指數(shù)函數(shù)yax (a>0，且a1)與對數(shù)函數(shù)ylogax(a>0，且a1)互為反函數(shù)，應(yīng)從概念、圖象和

15、性質(zhì)三個方面理解它們之間的聯(lián)系與區(qū)別.3.明確函數(shù)圖象的位置和形狀要通過研究函數(shù)的性質(zhì)，要記憶函數(shù)的性質(zhì)可借助于函數(shù)的圖象.因此要掌握指數(shù)函數(shù)和對數(shù)函數(shù)的性質(zhì)首先要熟記指數(shù)函數(shù)和對數(shù)函數(shù)的圖象.課后練習一、選擇題1. 當時，下列說法正確的是（ ）若，則；若，則；若，則；若，則A與B與CD2. （a0）化簡得結(jié)果是（）A.aB.a2C.aD.a【答案】C3. log7log3（log2x）0，則等于（）A. B. C. D.【答案】C4. 已知，那么用表示是（ ）A. B. C. D. 【答案】A5. ，則的值為（ ）A. B.4 C.1 D.4或1【答案】B6設(shè)My|y()x，x0，)，Ny|

16、ylog2x，x(0,1，則集合MN等于 ()A(，0)1，)B0，)C(，1D(，0)(0,1)【答案】C7. 設(shè)alog32，bln 2，c5，則()Aa<b<cBb<c<a Cc<a<bDc<b<a【解析】log23>1，log2e>1，log23>log2e.>>1，0<a<b<1.alog32>log3，a>. bln 2>ln ，b>. c5<，c<a<b. 8. 若,那么滿足的條件是（ ）A. B. C. D.【答案】C9.已知函數(shù)f(x)ax

17、logax(a>0，a1)在1,2上的最大值與最小值之和為loga26，則a 的值為 ()A. B. C.2 D.4【解析】當x>0時，函數(shù)ax，logax的單調(diào)性相同，因此函數(shù)f(x)axlogax是(0，)上的單調(diào)函數(shù)，f(x)在1,2上的最大值與最小值之和為f(1)f(2)a2aloga2，由題意得a2aloga26loga2.即a2a60，解得a2或a3(舍去) 【答案】C10函數(shù)f(x)的定義域是()A(3，0)B(3，0C(，3)(0，) D(，3)(3，0)【解析】因為f(x)，所以要使函數(shù)f(x)有意義，需使即3<x<0.11(2017·廣州綜

18、合測試(一)已知函數(shù)f(x)則f(f(3)()A. B. C D3解析 由f(x)的解析式可得f(3)1log23，又1log23<0，則f(f(3)f(1log23)22log23，故選A.12若函數(shù)f(x)若f(a)>f(a)，則實數(shù)a的取值范圍是()A(1,0)(0,1)B(，1)(1，)C(1,0)(1，)D(，1)(0,1)【解析】當a>0時，f(a)log2a，f(a)，f(a)>f(a)，即log2a>log2， a>，解得a>1. 當a<0時，f(a)，f(a)log2(a)，f(a)>f(a)，即>log2(a)，a

19、<，解得1<a<0，由得1<a<0或a>1. 【答案】C二.填空題13. 若lg2a，lg3b，則log512_【答案】 14函數(shù)恒過定點.【答案】（3,1）15. 3a2，則log382log36_ 【答案】 16若log2a<0，則a的取值范圍是_.【答案】17函數(shù)f(x)log2 ·log(2x)的最小值為_【解析】依題意得f(x)log2x·(22log2x)(log2x)2log2x，當且僅當log2x，即x時等號成立，所以函數(shù)f(x)的最小值為.【答案】18關(guān)于函數(shù)f(x)lg(x0)，有下列命題：其圖象關(guān)于y軸對稱；

20、當x>0時，f(x)是增函數(shù)；當x<0時，f(x)是減函數(shù)；f(x)的最小值是lg 2； f(x)在區(qū)間(1，0)、(2，)上是增函數(shù)；f(x)無最大值，也無最小值其中所有正確命題的序號是_【解析】根據(jù)已知條件可知f(x)lg(x0)為偶函數(shù)，顯然利用偶函數(shù)的性質(zhì)可知命題正確；對真數(shù)部分分析可知最小值為2，因此命題正確；利用復合函數(shù)的單調(diào)性判定法則可知f(x)在(0，1)上遞減，在(1，)上遞增，f(x)為偶函數(shù)，故f(x)在(1，0)上遞增，在(，1)上遞減，故命題正確，命題錯誤；函數(shù)f(x)有最小值，因此命題錯誤 【答案】三、解答題19. 計算求值：（1） （2）20.已知函數(shù)

21、f(x)loga(x1)loga(1x)，a>0且a1.(1)求f(x)的定義域；(2)判斷f(x)的奇偶性并予以證明；(3)若a>1時，求使f(x)>0的x的解集.【解析】(1)f(x)loga(x1)loga(1x)，則解得1<x<1.故所求函數(shù)f(x)的定義域為x|1<x<1(2)由(1)知f(x)的定義域為x|1<x<1，且f(x)loga(x1)loga(1x)loga(x1)loga(1x)f(x)，故f(x)為奇函數(shù)(3)因為當a>1時，f(x)在定義域x|1<x<1內(nèi)是增函數(shù)，所以f(x)>0>

22、1.解得0<x<1.所以使f(x)>0的x的解集是x|0<x<121已知函數(shù)f(x)loga(x1)loga(1x)，a0且a1.(1)求f(x)的定義域；(2)判斷f(x)的奇偶性并予以證明；(3)當a1時，求使f(x)0的x的解集【解析】(1)要使函數(shù)f(x)有意義，則解得1x1.故所求函數(shù)f(x)的定義域為(1，1)(2)由(1)知f(x)的定義域為(1，1)，且f(x)loga(x1)loga(1x)loga(x1)loga(1x)f(x)，故f(x)為奇函數(shù)(3)因為當a1時，f(x)在定義域(1，1)內(nèi)是增函數(shù)，所以f(x)01，解得0x1.所以使f(

23、x)0的x的解集是(0，1)【選做部分】1若函數(shù)yf(x)是函數(shù)yax(a>0且a1)的反函數(shù)，且f(2)1，則f(x)()Alog2x B Clogx D2x2【解析】由題意知f(x)logax，因為f(2)1，所以loga21.所以a2.所以f(x)log2x.2. （）等于（）A.1B.1C.2D.2 【答案】B3.已知函數(shù)f(x)若af(a)>0，則實數(shù)a的取值范圍是()A(1，0)(0，1) B(，1)(1，)C(1，0)(1，) D(，1)(0，1)【解析】 若a>0，則af(a)aloga>0loga>00<a<1；若a<0，則af

24、(a)alog2(a)>0log2(a)<0a<11<a<0.綜上，1<a<1且a0，故選A.4設(shè)函數(shù)f(x)loga|x|在(，0)上單調(diào)遞增，則f(a1)與f(2)的大小關(guān)系是()Af(a1)>f(2) Bf(a1)<f(2)Cf(a1)f(2) D不能確定【解析】由已知得0<a<1，所以1<a1<2，又易知函數(shù)f(x)為偶函數(shù)，故可以判斷f(x)在(0，)上單調(diào)遞減，所以f(a1)>f(2)【答案】A 5.已知函數(shù)f(x)滿足：當x4時，；當x<4時，f(x)f(x1)則f(2log23)的值為()A.B.C.D.【解析】因為3<2log23<4，故f(2log23)f(2log231)f(3log2