§數(shù)量積矢量積混合積

1、§2 數(shù)量積 矢量積 混合積2.1 兩矢量的數(shù)量積在物理學(xué)中，設(shè)物體在力的作用下沿直線從點(diǎn)移動(dòng)到，即取得位移，力與位移的夾角為即，則力所做的功為 。 這里功是一個(gè)數(shù)量，它由力與位移所唯一確定。一般地，兩個(gè)矢量與可唯一確定數(shù)值，于是有： 定義2.1 設(shè)有矢量與，稱數(shù)為矢量與的數(shù)量積，記為，即=。 兩矢量的數(shù)量積有稱為兩矢量的點(diǎn)積或內(nèi)積。零矢量與任何矢量的數(shù)量積為零；與數(shù)量積也記為，即。由數(shù)量積的定義知，物體在力作用下沿直線取得位移所做的功，就是力與位移的數(shù)量積，即。數(shù)量積有下列運(yùn)算規(guī)律：(1) ； (交換率)(2) ； (結(jié)合率)(3) 。 (分配率)例2.1 設(shè)矢量與的夾角為求。解：

2、 =。例2.2 設(shè)， 求+。 解： 由 得：+，+，+。將以上三式相加并代入 得： 所以+。下面我們來推導(dǎo)數(shù)量積的坐標(biāo)表示。 設(shè) ，根據(jù)數(shù)量積的運(yùn)算規(guī)律，得 ，因?yàn)槎际菃挝幌蛄?，知；又因?yàn)槭腔ハ啻怪钡模?，所?=。 (2.1) 這就是數(shù)量積的坐標(biāo)表示。 再者，前已知=，可見=，那么，當(dāng)與都不是零向量時(shí)，有=，即得兩向量夾角余弦的坐標(biāo)表示： =。 (2.2)例2.3 已知三點(diǎn)，求。 解: 因?yàn)?=，所以 =。2.2 兩矢量的矢量積在力學(xué)中，力對于定點(diǎn)的力矩是一個(gè)矢量，它的模是由力的作用點(diǎn)關(guān)于定點(diǎn)的向徑（由定點(diǎn)向作用點(diǎn)的有向線段）與力確定的數(shù) ；它的方向滿足：垂直于確定的平面，且順次成為右手系。

3、由于數(shù)及的方向由唯一確定，所以力矩是由力和向徑所唯一確定的矢量。由兩個(gè)矢量按同樣的規(guī)則來確定另一個(gè)矢量，在其他力學(xué)、物理學(xué)問題中還會遇到，因此，我們抽象出如下的定義：定義2.2 設(shè)有矢量與，矢量按下述方法由與確定：(1) ；(2) 矢量的方向垂直和所決定的平面，且，三矢量方向順次成右手系，則稱矢量為矢量與的矢量積，記為，即。(1)式的幾何意義|的值等于以與為鄰邊的平行四邊形的面積。矢量與的矢量積也稱為它們的矢量積，叉積。由矢量積定義，力矩。由矢量積的定義可以推得：(i) 。(ii) 對于兩個(gè)非零矢量，如果，那么；反之，如果，那么。下面來推導(dǎo)矢量積的坐標(biāo)表達(dá)式。設(shè)，由上述的運(yùn)算規(guī)律，得 ；因?yàn)椋?/p>

4、=，=，=，所以 =。 (2.3)為便于記憶，上式可用行列式記號形式地表示為 (2.4) 按第一行展開，得經(jīng)計(jì)算即得(2.3)。例2.4 設(shè)求。解: 由(2.4)得。例2.5 對例2.4中的向量、，求一單位向量，使得與、都垂直。解: 取，則與、都垂直，由例2.4知，故 。矢量積滿足下列運(yùn)算規(guī)律： ； （反交換率） ； （結(jié)合率） ；。 （分配率）由知，矢量積并不滿足交換率。矢量積的模，在數(shù)值上恰好是以與為鄰邊的平行四邊形的面積。這一性質(zhì)有比較好的應(yīng)用。例2.6 設(shè)且 與垂直，求及。解: 由于，所以，于是2×3×sin=6。又因?yàn)椋谑?。?.7 設(shè)、為已知兩點(diǎn)，在直線上一點(diǎn)

5、分有向線段為兩個(gè)有向線段與，使得它們的值的比等于定數(shù)，即，求分點(diǎn)的坐標(biāo)。解: 因?yàn)槿c(diǎn)共線，于是所求等式的向量表示為 ；易知 ，得 ，或 即 =， 所以點(diǎn)的坐標(biāo)是 。 這點(diǎn)叫做有向線段的定比分點(diǎn)。時(shí)點(diǎn)在兩點(diǎn)與之間，時(shí)點(diǎn)在兩點(diǎn)與之外；時(shí)點(diǎn)是兩點(diǎn)與的中間點(diǎn)，并得有向線段的中點(diǎn)坐標(biāo)為 。 例2.8 已知兩點(diǎn)和，計(jì)算向量的模、方向余弦和方向數(shù)。 解: =；= =2； =,=,=；，。例2.8 計(jì)算，并解釋它的幾何意義。解 00 2()從而得到|=2|。上式表明，已知一平行四邊形兩鄰邊為與，則以它的兩條對角為鄰邊的平行四邊形的面積等于原平行四邊形面積的兩倍。（圖21） 圖 21 2.3 矢量的混合積設(shè)有

6、三個(gè)矢量如果先作前兩個(gè)矢量與的矢量積，再作與矢量的數(shù)量積，即，便得到一個(gè)數(shù)，稱這個(gè)數(shù)為三個(gè)矢量的混合積，記為，即。下面我們來推出三個(gè)矢量的混合積的坐標(biāo)表示式。設(shè)矢量，由(2.4)式，矢量積的坐標(biāo)表示， =，再由(2.1)式，得: =。即的混合積的坐標(biāo)表示為。由行列式的性質(zhì)易知混合積滿足 ，即輪換混合積中三個(gè)向量的順序，其值不變。 ，即對調(diào)混合積中相鄰兩個(gè)向量，混合積變號。2.3 混合積的幾何意義混合積是一個(gè)數(shù)，由|cos(，)|及的幾何意義可知，的絕對值在數(shù)值上等于以三矢量為棱的平行六面體的體積。平行六面體的底面積即其高為|cos(，)|，所以平行六面體的體積V=|cos(，)|。由混合積的定

7、義可知，三個(gè)非零矢量共面（即三個(gè)矢量在同一個(gè)平面上，或在互相平行的平面上）的充分必要條件是。例2.9 空間中四點(diǎn)證明這四點(diǎn)共面。證 因?yàn)槎?所以向量共面，從而點(diǎn)共面。練習(xí)7.21. 化簡下列各式： (1) (2) (3) 2. ，式中，又，化簡表達(dá)式。3. 求 ； Prj；。4. 已知|=2，|=5，(，)=，問：系數(shù)為何值時(shí)，矢量與垂直。5 一矢量的終點(diǎn)在點(diǎn)，它在軸、軸、軸上的投影依次為4，4，和7。求這矢量的起點(diǎn)A的坐標(biāo)。6已知的頂點(diǎn)坐標(biāo)是，求的面積。 7求平行四邊形面積，若已知對角線未矢量，1，2，（） 。8. 設(shè)矢量與軸、軸的夾角分別為、，它與軸的夾角是鈍角，求。9已知兩點(diǎn)與，求與矢量方向一致的單位矢量。 10. 以不共面的四點(diǎn)，為頂點(diǎn)購成一個(gè)四面體，求它的體積。11. 設(shè)的頂點(diǎn)為，求三角形的面積。12. 試用矢量證明三角形的余弦定理。13. 設(shè)，求證，共面。14 證明：。15 試用向量證明三角形的余弦定理。16 設(shè)密度為的液體流過平面上的面積為的一個(gè)區(qū)域，液體在這區(qū)域上各點(diǎn)的流速均為（常矢量