五年級奧數(shù)-比例模型(教師版)

1、比例模型1鳥頭模型兩個三角形中有一個角相等或互補，這兩個三角形叫做共角三角形.鳥頭模型：有相等（或互補）的內(nèi)角的兩個三角形，其面積比等于相等（或互補）內(nèi)角的夾邊乘積之比即有關(guān)系式S ADE AD AE存在。 S ABC AB AC2、風箏模型（蝶形定理）任意四邊形中的比例關(guān)系: SI : S2S4 : S3 或者 Ss3S2S4 AO :OCSl: S4 S3蝶形定理為我們提供了解決不規(guī)則四邊形的面積問題的一個途 徑通過構(gòu)造模型，一方面可以使不規(guī)則四邊形的面積關(guān)系與四邊形內(nèi) 的三角形相聯(lián)系；另一方面，也可以得到與面積對應(yīng)的對角線的比例關(guān) 系梯形中比例關(guān)系 s : S3 a2 :b2 : S3

2、： S2: S4 a2: b2: ab: ab ; S的對應(yīng)份數(shù)為 a b 2 3相似模型 AD AE DE AF AB AC BC AG2 2 Sade : SABCAF : AG教學(xué)重* j A正確識別各種圖形所屬的模型，并正確熟練運用比例模型中的關(guān)系例1如圖在 ABC 中,D,E分別是AB, AC上的點，且 AD: AB2:5，AE: AC4:7，ADE 16平方厘米，求 ABC的面積答案70平方厘米解析連接 BE , S ade： Sa ABEAD : AB 2:5 (2 4) :(5 4),足 ABE : Sa ABC AE: AC 4:7(4 5):(75),所以 S ADE :

3、S ABC (2 4):(7 5),設(shè)足ADE 8份，則Sa ABC 35份，Sa ADE 16平方厘米，所以1份是2平方厘米，35份就是70 平方厘米， ABC的面積是70平方厘米例2已知 DEF的面積為7平方厘米，BE CE,AD 2BD,CF 3AF ,求 ABC的面積.A答案24平方厘米解析例3如圖，長方形ABCD的面積是36, E是AD的三等分點,AE 2ED ,則陰影部分的S BDE-ABC(BDBE):(BABC)(1 1):(2 3)1: 6S CEF:Sa ABC(CECF):(CBCA)(1 3):(2 4)3:8S ADF:& ABC(ADAF):(ABAC)(2

4、 1):(3 4)1:6設(shè)SaABC24份,則S BDE4 份，Sa ADF4份,Sa CEF9 份，DEF244 -4 97份，恰好是7平方厘米，所以Sa ABC24平方厘米25面積為答案 2.7解析如圖，連接OE 根據(jù)蝶形定理,ON : ND S COE ： S CDE 1 S CAE ： S CDE 1：1 ,所S OENISOEDOM : MA S BOE ： S BAE 1 S BDE ： S BAE 1：4, 所以2OEMIS又OEA 又S OED1 ISC S矩形ABCD3 4S QEA2S QED6 ,所以陰影部分面積為：3 16 12.7 .25例4如圖，已知CD 5 , D

5、E7 , EF 15 , FG 6 ,線段AB將圖形分成兩部分，左邊部分面積是38,右邊部分面積是65,那么三角形 ADG的面積是.GG答案 40解析連接AF , BD .根據(jù)題意可知，CF57 1527 ;15所以，S BEF27S CBF7S AEDS ADG ,282115于疋：S ADGSCBF65 ；2827S BEC12S AEG18SADG ,27S CBF,7 C12 CSADGS CBF38 2827DG 7 15 6 28 ;解析 AO ： OC S ABD ： S BDC1:3 , A OC 2 3 6 , OC : OD 6:32:1可得S ADG 40 .故三角形AD

6、G的面積是40.例5四邊形ABCD的對角線AC與BD交于點O （如圖所示）.如果三角形 ABD的面積等于1三角形BCD的面積的-，且AO 2 , DO 3 ,那么CO的長度是DO的長度的 3倍.答案 2:1例6如圖， ABC中，DE，F(xiàn)G，BC互相平行， AD DF FB，則SADE : ?四邊形 DEGF : 5邊形 FGCB答案1:3:5解析設(shè)SA ADE1份，根據(jù)面積比等于相似比的平方，2 2 2 2 Sa ADE : S AFGAD : AF 1:4Sa ADE : Sa ABC所以9份,四邊形FGCB 5份 所以 SA ADE : S四邊形DEGF ： S四邊形FGCB1:3:51如

7、圖，三角形 ABC的面積為3平方厘米，其中AB: BE 2:5 , BC: CD 3: 2 ,三角形BDE的面積是多少?答案12.5平方厘米解析由于 ABC DBE 180 ,所以可以用共角定理，設(shè)AB 2份，BC 3份，則BE 5份,BD 325 份，由共角定理 足 ABC : BDE (AB BC):(BE BD) (23):(5 5)6:25,設(shè)ABC 6份，恰好是3平方厘米，所以1份是0.5平方厘米，25份就是25 0.5 12.5平方 厘米，三角形BDE的面積是12.5平方厘米2如圖，平行四邊形 ABCD，BE AB，CF 2CB，GD 3DC，HA 4AD ,平行四邊形ABCD的面

8、積是2，求平行四邊形 ABCD與四邊形EFGH的面積比.E答案1/18解析連接AC、BD .根據(jù)共角定理在 ABC 和 BFE 中,ABC與 FBE互補,ABCS FBEAB BC 1 1BE BF 1 3又 Sa ABC1 ,所以 Sa FBE同理可得& GCF 8 ,DHG 15 ,AEH所以 SEFGHsa AEHSA CFGS DHGSA BEFSABCD8 8 15+3+2 36 .所以SABCDSEFGH2361183如圖，三角形ABC的面積是1 , E是AC的中點,BE交于點F 則四邊形DFEC的面積等于.點D在BC上，且BD : DC 1:2 , AD與DAC答案5/1

9、2解析方法一：連接CF ,根據(jù)燕尾定理，s ABFBD1s ABFAE 1SA ACFDC2，SA CBFECAEFs EFC3份，如圖所設(shè) 3 BDF1 份，則 5 DCF2 份，S ABF3 份，標所以SDCEF12 s ABC512方法二：連接DE ,由題目條件可得到S ABD1S ABC31 C12 一1BFSA ABD1s ADESAADCSA ABC,所以-，2233FESA ADE1111Q 1 11 S1s DEFSADEBSA BEC二 二二 SA ABC2232 3212而 SA CDE21SA ABC1所以則四邊形DFEC的面積等于5323124如圖，四邊形被兩條對角線分

10、成4個三角形，其中三個三角形的面積已知,求：三角形 BGC的面積；（2） AG:GC ？AD答案6 1:3解析根據(jù)蝶形定理，SVBGC 1 2 3 ,那么SVBGC6 ；根據(jù)蝶形定理，AG: GC 12:36 1:3 .5 如圖，平行四邊形 ABCD的對角線交于 O點， CEF、 OEF、 ODF、 BoE的面 積依次是 2、4、4和6.求：求 OCF的面積；求 GCE的面積.答案 4 2/3解析根據(jù)題意可知， BCD的面積為24 4616 ,那么 BCO和 CDO的面積都是16 2 8 ,所以 OCF的面積為8 4 4 ；由于 BCO的面積為8, BOE的面積為6 ,所以 OCE的面積為8

11、62 ,根據(jù)蝶形定理，EG FGS COE S COF2:41:2,所以S GCE : S GCFEG :FG1: 2 ,112那么SGCES CEF212336如圖，長方形 ABCD中，BE : EC2:3 , DF : FC 1:2 ,三角形 DFG的面積為2平方厘米，求長方形 ABCD的面積.答案 72平方厘米解析連接AE , FE .因為 BE: EC 2:3 , DF : FC 1:2 ,所以 SVDEFI)S長方形ABCDS長方形ABCD 因為 SVAED2 S1 1長方形 ABCD， AG: GF210 5:1，所以 SVAGD5SVGDF10 平方厘米，所以SVAFD12平方厘

12、米.因為SVAFDIS長方形ABCD，所以長方形ABCD的面積是72平6方厘米7如圖，正方形ABCD面積為3平方厘米,M是AD邊上的中點求圖中陰影部分的面積.答案1平方厘米解析因為M是AD邊上的中點，所以 AM : BC 1:2 ,根據(jù)梯形蝶形定理可以知道S AMG : SX ABG : S MCG : S BCG12:d 2) :(1 2) :22 1:2:2:4,設(shè) SAGM1份，則S MCD1 2 3 份，所以正方形的面積為1 2 2 4 3 12份，S陰影 2 2 4份，所以SW :S正方形1: 3，所以S陰影1平方厘米.8在下圖的正方形ABCD中，E是BC邊的中點,AE與BD相交于F

13、點，三角形BEF的面積為1平方厘米，那么正方形ABCD面積是平方厘米.答案12平方厘米2解析連接DE ,根據(jù)題意可知BE : AD 1:2 ,根據(jù)蝶形定理得 S梯形（1 2）9（平方厘米），s ECD3 （平方厘米），那么SWABCD12 （平方厘米）.9已知ABCD是平行四邊形，BC : CE 3: 2 ,三角形ODE的面積為6平方厘米.則陰影部 分的面積是平方厘米.答案21平方厘米 解析連接AC .由于ABCD是平行四邊形，BC: CE 3: 2 ,所以CE : AD 2:3 ,2 26915（平方厘米）,根據(jù)梯形蝶形定理，SV COE : Svaoc : Svdoe : S/aod 2:

14、2 3:2 3:34:6:6:9 , 所以SVAOC6 （平方厘米），SVAOD9 （平方厘米） ，又 SVABCSVACD陰影部分面積為6 1521（平方厘米）.10右圖中ABCD是梯形，ABED是平行四邊形,已知三角形面積如圖所示（單位：平方厘米）陰影部分的面積是平方厘米.答案6平方厘米解析 連接AE .由于AD與BC是平行的，所以 AECD也是梯形，那么 S OCD S OAE .根據(jù)蝶形定理，S OCD S OAE S OCE S OAD 4936,故2OCD36,所以S OCD 6（平方厘米）11右圖中ABCD是梯形，ABED是平行四邊形，已知三角形面積如圖所示（單位：平方厘米），

15、陰影部分的面積是平方厘米.答案4平方厘米解析連接AE 由于AD與BC是平行的，所以AECD也是梯形，那么SOCDSOAE 2816 ,故根據(jù)蝶形定理，S OCD S OAE S OCE S OAD2S OCD 16，所以S OCD4 （平方厘米）1 1另解：在平行四邊形 ABED中，SADE 一 Syabed 16 812（平方厘米），2 2所以 S AOE S ADE S AOD 1284（平方厘米），根據(jù)蝶形定理，陰影部分的面積為8 2 4 4（平方厘米）12在四邊形 ABCD中，其對角線 AC、DB交于E點。且AF=CE , DE=BG 。已知四邊形 ABCD的面積為1 ,求 EFG的面

16、積。答案 1解析分別用 a、b、c、d 表示 CDE、 ADE、 ABE、 BCEO由鳥頭模型，可知：a:S EFG=(CE ×DE):(EF EG);b:S EFG=(AE XDE):(EF EG);c:S EFG= (AE XBE):(EF EG);d:S EFG= (CE XBE):(EF EG).因此，(a+b+c+d):4S EFG=(CE >DE+AE × DE+AE × BE+CE ×BE):(EF EG)=DE ×AE+CE)+BE ×AE+CE):(EF EG)=(AE+CE) ×BE+DE):(EF

17、E×)=(AC ×BD):(EF EG) o因為 AF=EC、DE= BG,可知 BD=EG、EF= AC,因此(AC× BD):(EF ×EG)=1 ,即 S EFG= S四邊形ABCD=I 11 13如圖所示，正方形 ABCD邊長為6厘米，AE -AC , CF - BC .三角形DEF的3 3面積為平方厘米.BF答案10平方厘米11 2解析 由題意知 AE AC、CF BC ,可得CE AC .根據(jù)”共角定理”可得,333S CEF : ABC (CF CE): (CB AC) 12 :(3 3)2:9 ；而SA ABC6 6 2 18 ；所以 S

18、A CEF4 ；同理得，SA CDE : SA ACD 2：3；，S CDE 18 3 2 12 , S CDF6故 Sadef Sa CEF Sa DEC Sa DFC4 12 6 10(平方厘米).14如圖，已知三角形 ABC面積為1 ,延長AB至D ,使BD AB ;延長BC至E ,使CE 2BC ;延長CA至F ,使AF 3AC ,求三角形DEF的面積.答案18解析用共角定理在 VABC和VCFE中， ACB與 FCE互補, SVABCAC BC1 11SVFCEFC CE 4 2 8 '又 SVABC 1，所以 sfCE 8 .同理可得 SzADF 6 , SzBDE 3 所

19、以SVDEFSVABCsfceSVADFSzBDE1 8 6 3 18 .15如圖所示，正方形ABCD邊長為8厘米，E是AD的中點，F(xiàn)是CE的中點，G是BF的中點，三角形ABG的面積是多少平方厘米?答案12平方厘米解析連接AF、EG .因為SBCF SCDE1 82 16，根據(jù)”當兩個三角形有一個角相等或互補時，這4兩個三角形的面積比等于夾這個角的兩邊長度的乘積比”SVAEF 8 , SVEFG8 ,再根據(jù)”當兩個三角形有一個角相等或互補時，這兩個三角形的面積比等于夾這個角的兩邊長度的乘積比”，得到SVBFC16，SABFE32，SVABF24，所以SVABG12平方厘米1如圖，三角形 ABC

20、被分成了甲（陰影部分）、乙兩部分，BD DC 4 , BE 3 , AE 6 乙部分面積是甲部分面積的幾倍？答案5解析連接 AD .I BE 3 , AE 6AB 3BE , SVABD 3SVBDE又 BD DC 4 ,SVABC2 S/ABDSVABC6Sbde , Si 5S甲2如圖在 ABC中，D在BA的延長線上，E在AC上，且AB: AD 5: 2 ,AE: EC3:2 , ADE 12平方厘米，求 ABC的面積.E答案50平方厘米解析連接 BE , ade ： SaABE AD: AB 2:5(2 3):(5 3)所以 S ADE : S ABC (3 2)： 5 (3 2)6:2

21、5 ,設(shè) Sa ADE 6 份，則 Sa ABC25 份，Sa ADE 12平方厘米，所以1份是2平方厘米，25份就是50平方厘米， ABC的面積是50平方厘米.23長方形ABCD的面積為36 cm，E、F、G為各邊中點，H為AD邊上任意一點，問陰影部分面積是多少？F答案13.5解析尋找可利用的條件，連接 BH、HC ,如下圖:SABCDS AHB S CHB S CHDS FHBS CHB2S DHGISDHC236-(S2S CHD )3618；S EHBS BHFS DHGS陰影S EBF11111S EBF-BEBF(二 AB)U BC)-36 4.522228SEHB 即SBHFSD

22、HGAHBSCHB所以陰影部分的面積是:S陰影18 S EBF 18 4.5 13.54如圖所示，在平行四邊形 ABCD中, E為AB的中點，AF 2CF ,三角形AFE(圖中陰影部 分)的面積為8平方厘米平行四邊形的面積是多少平方厘米？答案48平方厘米 解析 連接FB.三角形AFB面積是三角形 CFB面積的2倍，而三角形AFB面積是三角形 AEF面積的2倍，所以三角形ABC面積是三角形 AEF面積的3倍；又因為平行四邊形的面積是三角形ABC面積的2倍，所以平行四邊形的面積是三角形AFE面積的(3 2) 6倍因此，平行四邊形的面積為8 648(平方厘米).5如圖，ABC中，DE 則 ADE :

23、 S四邊形DEGF : S四邊形FGNM,FG , MN , PQ , BC 互相平行，AD DF FM MP PB ,答案 1:3:5:7:9解析設(shè)Sa ADE 1份，'ADE2 2S AFG AD : AFS四邊形DEGF3份此9 AFG4份，進而有S四邊形FGNM5份S四邊形MNQP7份S四邊形PQCB9份.所以有同理有1:4 ,因:S四邊形DEGF : S四邊形FGNM : S四邊形MNQP : S四邊形PQCB 1: 3: 5:7:9當堂總結(jié):S四邊形MNQP : S四邊形PQCB家庭作業(yè)1如圖在 ABC中，D,E分別是AB, AC上的點，且 AD : AB 2:5 , AE

24、 : AC 4:7,& ADE 16平方厘米，求 ABC的面積答案70平方厘米解析連接 BE，ADE ： SaABEAD: AB 2:5 (2 4) :(5 4)，ABE :Sa ABC AE: AC 4:7 (4 5):(7 5),所以 S ADE :Sa ABC (2 4):(7 5), 設(shè)Sa ADE 8份，則Sa ABC 35份，Sa ADE 16平方厘米，所以1份是2平方厘米，35 份就是70平方厘米， ABC的面積是70平方厘米.2如圖，三角形 ABC中，AB是AD的5倍，AC是AE的3倍，如果三角形 ADE的面積等 于1,那么三角形 ABC的面積是多少？解析連接BE AE

25、C 3AE SVABC3Svabe 又 AB 5AD SVADESVABE15 ,s/ABC15SVADE15 問：內(nèi)圈3如圖，園林小路由白色正方形石板和紅、青兩色的三角形石板鋪成 紅色三角形石板的總面積大，還是外圈青色三角形石板的總面積大？答案一樣大解析圖中有多個。因為白色石板均為正方形(如圖)。因此AB=AD、AE=AC,推出SAADE:S ABC= (AD ×E): (AB×AC) = 1:1 ,即兩三角形面積相等。 同理可知內(nèi)圈紅色三 角形面積應(yīng)該等于外圈青色三角形面積，所以內(nèi)外總面積相等。4、如下圖，在三角形 ABC中，BD=2AD , AG=2CG , E、F為BC邊上的三等分點，求四邊 形DGFE面積占三角形ABC的幾分之幾？答案4/9解析 三角形ADG的面積：三角形 ABC的面積=(AD:AB) × (AG:AC)=(I : 3) × (2 : 3)=2/9三角形 CGF 的面積：三角形 ABC 的面積=(CG